初中數學變式教學

Ⅰ 數學變式教學

數學教學思維能力培養之我見

對學生思維能力的培養是數學教學三大能力之一.在平時的教學中,既要注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想像力的培養。特別是直覺思維能力的培養由於長期得不到重視，學生在學習的過程中對數學的本質容易造成誤解，認為數學是枯燥乏味的；同時對數學的學習也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。
一、數學直覺思維的闡釋
數學直覺是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。
直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定並沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想像千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說：這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在於他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂』直覺』……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。
從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重於演繹，而直觀重於分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重並不等於完全，數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基於直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。
一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多演繹推理元素，一個成功的數學證明是這些基本運算或演繹推理元素的一個成功的組合，彷彿是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和演繹推理元素就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什麼這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什麼東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。
在教育過程中，老師由於把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功於邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，約30％的初中生學習了平面幾何推理之後，喪失了對數學學習的興趣，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

Ⅱ 如何在初中數學課中進行變式教學

一、遞進變異

遞進變異是指題目由特殊到一般的變異，而解題需要的基礎知識保持不變。一是題目的條件由特殊到一般，由簡單到復雜變異，這樣可形成遞進式變式題組。遞進式變式題組是指在課堂教學中，為了達到某一教學目的，根據學生的認知規律，合理、有效地設計一組數學問題，且這組數學問題又有一定的內在邏輯聯系，即前一個問題是後一個問題的特殊情況，後一個問題是前一個問題的一般的、情況，這樣由特殊到一般的題目組合稱為遞進式變式題組。這種遞進式變式題組，層層遞進，由淺入深，由簡到繁，循序漸進，螺旋式上升，有利於學生對問題本質的深刻理解，進而掌握解題規律、突破教學難點。二是在解題的一般規律不變的情況下，通過變化非本質屬性，有利於學生從中分離出一般的規律。三是有利於不同層次的學生。由於問題由簡單到復雜，可使不同層次的學生順著台階一步步的往上爬，並從中掌握一般規律。例如，在「分式」的教學中，設計如下作業。

案例1：

六、幾點思考

第一，基於變異理論進行變式教學，題目的變異要圍繞不變的本質而展開。變異的目的是要學生通過幾個實例發現並總結、歸納出解決問題的一般性原理（規律）. 因此，在進行變異時，首先要明確問題的本質，然後圍繞問題的本質不變，變化非本質屬性，以突出問題的本質屬性，使此類問題的一般性原理凸出出來。

第二，重復有利於提高學生數學知識的記憶強度。變異是在本質不變的情況下展開的，也就是說學生解答此類問題運用的思想方法是相同的. 因此，學生要重復使用相同的原理解答題目，是一種重復的思維活動。認知心理學的研究表明，重復可以增強學生對知識的記憶，能夠使長時記憶中的記憶強度增加，即記憶的痕跡大，這樣在學生解答其他問題時，便於從長時記憶中提取需要遷移的信息，從而提高分析問題和解決問題的能力。

第三，變異有利於不同層次學生發現並總結掌握問題的一般原理。學生之間的差異是客觀存在的，不同的學生其解決問題的能力，以及歸納、概括的能力是不同的. 因此，在進行題目變異時，要使題目有一定的梯度，也就是要遞進式變異，由簡單到復雜，從而使不同層次的學生都能夠從中分析並發現一般性的原理。

Ⅲ 怎樣在中學數學教學中進行變式訓練

所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特徵卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。
變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特徵，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。
一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。
從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。
通過對式子的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以後的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。
二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。
數學思維的發展，還賴於掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由於定理和公式的實質，也是人們對於概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在於明確理解定理和公式中概念的聯系，對於這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。
通過變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。
三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。
（一）多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。
許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，並讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。
（二）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。
一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異慾望，培養學生思維的靈活性。
（三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。
通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制「題海戰術」，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現「以少勝多」。
伽利略曾說過「科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的」。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。
譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特徵。
又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。
例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關於追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然後教師可對本例作以下變式。
變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒

Ⅳ 你認為初中數學變式的本質是什麼在變式教學中體現了哪些數學思想

素質教育是以培養具有創造性思維和創造能力的人才為目標而進行的創新教育為歸宿的教育。在課堂教學中落實素質教育，就要貫穿「學生為主體，訓練為主線，能力為主攻」的原則。現代數學課程標准指出：數學教學不僅僅要使學生獲得數學基礎知識,基本技能，更要獲得數學思想和觀念，形成良好的數學思維品質,要通過各種途徑，讓學生體會數學思考和創造的過程，增強學習的興趣和自信心,不斷提高自主學習的能力。所以加強在教學中注重變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現教學過程中教師與學生數學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創新、勇於探索的精神，從而真正把學生能力的培養落到實處。
所謂數學變式訓練，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特徵卻不變。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。
變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特徵，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。
一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。
從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。
通過對式子的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以後的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。
二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。
數學思維的發展，還賴於掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由於定理和公式的實質，也是人們對於概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在於明確理解定理和公式中概念的聯系，對於這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。
通過變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。
三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。
（一）多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。
許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，並讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。
（二）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。
一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異慾望，培養學生思維的靈活性。
（三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。
通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制「題海戰術」，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現「以少勝多」。
伽利略曾說過「科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的」。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。
譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特徵。
又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。
例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關於追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然後教師可對本例作以下變式。
變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）
變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經常會涉及到相遇問題和追及問題
現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發
（1）兩人同時相向而行經過幾秒兩人相遇。
（2）兩人同時同向而行經過幾秒兩第一次相遇。
（3）乙先出發5秒，然後甲開始出發，問甲經過幾秒兩人第一次相遇。
這題該為平時學生熟悉的操場環形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發的相遇和追及問題，（3）是不同時出發相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。
變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒後他發現用這樣的速度不能在規定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良後來要用多少速度才能在規定的時間內追上快艇？
這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、同時出發和不同時出發的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今後碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養了學生思維的深刻性。學生也不必陷於題海而不能自拔。
（三）一題多問，通過變式引申發展，擴充、發展原有功能，培養學生的創新意識和探究、概括能力。
牛頓說過：「沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。」中學生的想像力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養學生的創造性思維和發散思維。
教學中要特別重視對課本例題和習題的「改裝」或引申。數學的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善於對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利於知識的建構。
總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢於思考，敢於聯想，敢於懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出「源於課本，高於課本」，並能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會「變題」，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。