全国大学生数学竞赛数学类试题

❶ 你好，请问你有历年全国大学生数学竞赛（数学类）的试题吗

没有？？？

❷ 求近几年的全国大学生数学竞赛试题及答案

2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答
（1）计算积分
解方法一 直接利用分部积分法得


；
方法二 不妨设 ，由于 ，
而积分 关于 在 上一致收敛，故可交换积分次序

；
方法三 将 固定，记 ， 可证 在 上收敛．
设 因为 ，而 收敛，
所以由Weierstrass判别法知道 对 一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，即
．
由 的任意性，上式在 上成立．
所以 ，由于 所以 ，
即 ．

(2)若关于 的方程 ， 在区间 内有唯一的实数解，求常数 .
解：设 ，则有 ，
当 时， ；当 时， .
由此 在 处达到最小值，
又 在 内有唯一的零点，
必有 ， ，
， ，
所以 .
（3）设函数 在区间 上连续，由积分中值公式，有 ， ，若导数 存在且非零，
求 .
解： ，
，
由条件，可知
，
，
故有 .
二、设函数 在 附近可微， ， ,
定义数列 .
证明： 有极限并求其值.
证明：由导数的定义，
对于任意 ,存在 ，当 时，有 .
于是 ，
从而，当 时，有 ，
，其中 .
对于上式求和，得到
，
即 ，
令 ，有
,
由 的任意性，得到 .
设 在 上有定义，在 处可导，且 .
证明： .

三、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有 ，
证明： 。
试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。
证明 证法一
由 在 上一致连续，对 ， ，
当
且 时，
便有 ；
取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为 ，每个小区间的长度小于 。
对于任意 ， ；
从而必有 ，使得 ；
由条件对每个 ，有 ；
于是存在 ，当 时， ，对 都成立；
故当 时，便有
，
即得 ，结论得证。
证法二 设 ,由题设条件知
在 上等度一致连续,对每一 ,有 ;
利用Osgood定理得, 在 上一致收敛于0,
对 ,存在 ，当 时,
有 , ,
从而当 时,有 ,
即得 ，结论得证。

设 在 上的连续，且对任何 ，
有 ，但推不出 。
例如函数
满足在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但不成立 。

四、设 ， 在 内连续， 在 内连续有界，且满足条件：
当 时， ；
在 中 与 有二阶偏导数，
， .
证明： 在 内处处成立.
证明：设 ，
则有
.
于是 ， ， ;
由已知条件，存在 ，当 时，
有 ， .
记 ，
设 ，我们断言，必有 ，
假若 ，则必有 ，使得 ；
易知 ， .

这与 矛盾，
所以
从而 ， ；
由 的任意性，得
， .
故在 内处处成立 .
五、 设 .
考虑积分 ， ，定义 ，
(1)证明 ；
(2)利用变量替换： ，计算积分 的值，并由此推出 .
证明：（1）由 ，在 上一致收敛，可以进行逐项积分

，
又 ，
所以 关于 是一致收敛的，可以逐项求极限，
于是有 .
故有 ；
(2) ,
,

注意到区域 关于 轴对称

;

;

;
或者利用分部积分,得

,
于是 ,
故 .
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答

一、计算题
（1） 求极限
解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.
注意到 ,
,
由于 ，
所以

.
解法2 利用 ，得
，
,
由于 ，
，
所以 .
（2）计算 ，
其中 为下半球 的上侧， .
解法一. 先以 代入被积函数，
，
补一块有向平面 ，其法向量与 轴正向相反，
利用高斯公式，从而得到

，
其中 为 围成的空间区域， 为 上的平面区域 ，
于是

.
解法二. 直接分块积分
，
其中 为 平面上的半圆 ， .
利用极坐标，得
，

，
其中 为 平面上的圆域， ，
用极坐标，得

，
因此 .
（3）现要设计一个容积为 的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？
解：设圆柱体的高为 ，底面直径为 ，费用为 ，
根据题意，可知 ，

，
当且仅当 时，等号成立，
，
故当 时，所需要的费用最少.
（4）已知 在 内满足 求 .
解：
，

，

所以， .
二、 求下列极限.
（1） ；
（2） ，其中 ， ， .
解：（1）

.
（2）
，

，
故 .
一般地，有 ，其中 ， ，

.
三．设 在 点附近有定义，且在 点可导， ， ，
求 .
解：

.

四、 设 在 上连续，无穷积分 收敛，求 .
解：设 ，由条件知， ，
，
利用分部积分，得
，
，
，
于是
.

五．设函数 在 上连续，在 内可微，且 ， .
证明：（1）存在 ，使得 ；
（2）对于每一 ，存在 ，使得 .
证明：（1）令 ，
由题设条件，可知 ，
；
利用连续函数的介值定理，得
存在 ，使得 ，即 .
（2）令 ，
由题设条件和（1）中的结果，可知，
， ；
利用罗尔中值定理，得
存在 ，使得 ，
由 ，
即得 .

六、 试证：对每一个整数 ，成立
.
分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.
证明：显然 时，不等式成立；
下设 .
由于 ，
这样问题等价于证明
，
即
，
令 上式化为
，
从而等价于 ，
只要证明 ，
设 ，则只要证明
， ，
就有 ，
，
则问题得证.
以下证明 ， ，成立
上式等价于 ，
即 ，
令 ，
则 ，并且对 ，有

，
从而当 时， ，
这样问题得证.
注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.
六、设 为整数， ，证明方程 ，在 上至少有一个根.
六、 证明：存在 ，使得 .
证明：令 ，
则有 ，

，
由连续函数的介值定理，得
存在 ，使得 ，
故问题得证.
这里是由于 ， ，
在 上严格单调递减，
所以，当 时，有 .
七、 是否存在 上的可微函数 ，使得 ，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。
证明 如果这样的函数 存在，
我们来求 的不动点，即满足 的 ，
，
，
由此得 ，这表明 有唯一的不动点 ，易知 也仅有唯一的不动点 ， ，在等式 ，两边对 求导，得
，
让 ，即得 ，这是不可能的，故这样的函数不存在。
八、设函数 在 上一致连续，且对任何 ，有 ，
证明： 。
试举例说明，仅有 在 上的连续性推不出上述结论。
证明
由 在 上一致连续，对 ， ，
当
且 时，
便有 ；
取定充分大的正整数 ，使得 。现把区间 等分，设其分点为 ，每个小区间的长度小于 。
对于任意 ， ；
从而必有 ，使得 ；
由条件对每个 ，有 ；
于是存在 ，当 时， ，对 都成立；
故当 时，便有
，
即得 ，结论得证。

设 在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但推不出上述结论。
例如函数
满足在 上的连续，且对任何 ，有 ，
但不成立 。
高等数学竞赛试题7答案
一、求由方程 所确定的函数 在 内的极值，并判断是极大值还是极小值.
解：对 两边求导得 ，
令 得 ，代入原方程解得 .
.
故当 时， 取极大值 .
二、设 ，求 , .
解： = ,
=
三、计算曲线积分 ，其中 是以点（1，0）为中心， 为半径的圆周 ,取逆时针方向.
解： , , 当 时, ， 当 时 ,由格林公式知, .
当 时, ,作足够小的椭圆曲线 , 从 到 .
当 充分小时, 取逆时针方向,使 ,于是由格林公式得 ，
因此 = =
四、设函数 在 内具有连续的导数，且满足
，
其中 是由 所围成的闭区域，求当 时 的表达式.
解：
= ,
两边对 求导得
，且 ，
这是一个一阶线性微分方程，解得

五、设 ，求级数 的和.

解：令 , 则
= .

.
.

= = ,

六、设 在 上连续且单调增加，试证：对任意正数 ， ，恒有
.
解：令 ，
则 ,
=

= ,
于是 .
七、设 具有连续偏导数，由方程 =0确定隐函数 ，求 .
解：两边对 求偏导得 ,
两边对 求偏导得 ,
， , =1.
八、设 ，判别数列 的敛散性.
解：定义 ，令 ，则 ,
当 时， ,
= .
, 由 可知 收敛，从而 收敛.
九、设半径为 的球面 的球心在球面 ： 上，问当 为何值时，球面 在球面 内部的那部分面积最大？
解：由对称性可设 的方程为 ，球面 被球面 所割部分的方程为 ，
, ,
.
球面 与球面 的交线在 平面的投影曲线方程为 ，令
所求曲面面积为 ,
= .
令 得驻点 ,
容易判断当 时，球面 在球面 内部的那部分面积最大.
十.计算 ，其中曲线弧 为： ， .
解： , (1) ,
， (2)
将(1)、(2)代入 得
= =4.
十一.计算曲面积分 ，其中 是曲面 被平面 所截出部分的上侧.
解：记 为 平面上被园 所围成的部分的下侧， 为由 与 围成的空间闭区域.由高斯公式知

=
=
=2 .
=3

❸ 全国大学生数学竞赛数学类

大部分可以用高数的方法解答，毕竟这是全国性的！！
不一定，你对别的科目也很得手，可以参加另外的科目！！！

❹ 请问有往年全国大学生数学竞赛真题吗（数学类）

这种是全国统一出卷的,网络一下全国大学生数学竞赛非数学类试题 就好了

❺ 全国大学生数学竞赛预赛常考哪种类型的题

要看你是哪个省抄的袭，我去年参加湖北省的预赛，解析几何考的就不是教材上的课，以前基本是的，不过凭着自己的思维去做还是做的出来一部分的，高代一般考的是矩阵的等价，相似，合同，数分考的比较多，可以分三块，极限理论，级数理论和积分，题目一般都挺有思想的，平时肯定没有见过，主要考察的是数学思维吧，题目的综合性很强，说不出来具体的哪个点，每道题目都涉及到好几个点，不过有一点经验可以告诉你，就是题目的条件是解决问题的切入口，具体的自己慢慢体会吧

❻ 求2010全国大学生数学竞赛（数学类）预赛试题及答案。

一楼啊。。你没有就不要说废话了。。。

❼ 全国大学生数学竞赛试题及答案（非数学专业）

请问首届全国大学生数学竞赛试题是哪年的
我知道一个网站
要年份才能查
这个问题全国大学生数学竞赛试题及答案（非数学专业）,好难啊，辛辛苦苦回答了，给我个满意答案把