数学传播

A. 什么是勾股定理

定义
在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方。
勾股定理(6张)简介
勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。
勾股定理指出
直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。 也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 a的平方+b的平方=c的平方a^2+b^2=c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。
勾股数组
满足勾股定理方程 a^2+b^2=c^2;的正整数组(a，b，c)。例如(3，4，5)就是一组勾股数组。 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。 勾股数组的通式： a=M^2-N^2 b=2MNc=M^2+N^2 (M>N,M,N为正整数）
推广
1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 2．勾股定理是余弦定理的特殊情况。 勾股定理
曲安京： 商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。 刊于《数学传播》20卷， 台湾， 1996年9月第3期， 20-27页。 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。 陈良佐： 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期， 255-281页。 李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾， 1991年7月， 227-234页。 李继闵： 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期，29-41页 。
编辑本段勾股定理
定理
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2 ； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 古埃及人用这样的方法画直角
如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
勾股定理的来源
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。 毕达哥拉斯
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 常用勾股数组(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25) 有关勾股定理书籍 《数学原理》人民教育出版社 《探究勾股定理》同济大学出版社 《优因培教数学》北京大学出版社 《勾股书籍》 新世纪出版社 《九章算术一书》 《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社 《几何原本》 （原著：欧几里得）人民日报出版社
毕达哥拉斯树
毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。 利用不等式A^2+B^2≥2AB可以证明下面的结论： 三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。 毕达哥拉斯树
常见的勾股数
勾 股 弦
3K 4K 5K
6K 8K 10K
5K 12K 13K
7K 24K 25K
8K 15K 17K
9K 40K 41K
...... ...... ......
注：3K,4K,5K即3,4,5的同一倍数 勾股数 A=s^2-t^2 B=2st C=s^2+t^2 其中s>t,且s，t为正整数。
勾、股、弦的比例
1：√3：2 (一个锐角为30°的直角三角形) 1：1：√2（等腰直角三角形）
编辑本段最早的勾股定理应用

从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 ∵a=√[l^2-（l-h)^2]=√[5^2-(5-1)^2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。
编辑本段《周髀算经》中勾股定理的公式与证明
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。 首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二） 而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] —— 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 《周髀算经》证明步骤
“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。 “故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。 “②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。 “两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。 注意： ① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。 ② “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。 ③ 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称：“两矩者， 句股各自乘之实。共长者, 并实之数。 由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。 其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘， 并之为弦实, 开方除之即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二， 倍之为朱实四, 以句股之差自相乘为中黄实， 加差实亦成弦实。” 赵爽弦图
注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。 下为赵爽证明—— 青朱出入图
三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有A^2+B^2=C^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方（A2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（C……2 ）．由此便可证得a^2+b^2=c^2.
编辑本段加菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 如下： 解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2+b^2=c^2; 说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。

编辑本段多种证明方法
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A^2+B^2=C^2
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A^2+B^2=C^2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直线上， A^2+B^2=C^2.
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即A^2+B^2=C^2
证法5(欧几里得的证法)
《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2;。 把这两个结果相加， AB^2;+ AC^2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2;+ AC^2;= BC^2;。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如下： （1）（BD）^2;=AD·DC， （2）（AB）^2;=AD·AC ， （3）（BC）^2;=CD·AC 。 由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;， 图1即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。 图1
证法七（赵爽弦图）
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）^2;=c^2; 化简后便可得：a^2;+b^2;=c^2; 亦即：c=(a^2;+b^2;)1/2 勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。 1 周髀算经， 文物出版社,1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。 2. 陈良佐： 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》， 1989年第7卷第1期, 255-281页。 3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》， 台湾, 1991年7月， 227-234页。 4. 李继闵： 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期,29-41页 。 5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。 刊於《数学传播》20卷， 台湾, 1996年9月第3期， 20-27页
证法8（达芬奇的证法）
达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。 证明： 第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2 所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E' 又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 所以OF2+OE2=E'F'2 因为E'F'=EF 所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。
证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b ( a + b )= 1/2c^2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =(中间三角形)+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直 角三角形。 (简化) 2ab + 2b^2;= c^2; + b^2;- a^2;+ 2ab 2b^2; - b^2;+ a^2;= c^2; a^2; + b^2;= c^2; 注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
编辑本段习题及答案
将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转，使点A落在BC边上的A',利用阴影部分面积完成勾股定理的证明。∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c;求证：a^2+b^2=c^2. 答案 证明：作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上，连接AA' 、BB'， 延长B'A'交AB于点M 。 ∵△A'B'C是由△ABC旋转所得 ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C ∴∠A'B'C=∠ABC 延长B'A'交AB于点M 则∠A'B'C+∠B'A'C=90° 而∠B'A'C=∠MA'B（对顶角相等） ∴∠MBA'+MA'B=90° ∴B'M⊥AB ∴Rt△ABC∽Rt△A'BM ∴A'B/AB=A'M/AC 即(a-b)/c=A'M/b ∴A'M=(a-b)·b/c ∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M] =(1/2)·c·[c+(a-b)·b/c] =(1/2)c^2+(1/2)(a-b)·b =(1/2)[c^2+ab-b^2] S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab) 而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B ∴(1/2)[c^2+ab-b^2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a^2-ab) 则c^2+ab-b^2=2ab+a^2-ab ∴a^2+b^2=c^2. 勾股数
定义
勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
介绍
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理 可以 判断一个三角形的形状词条图册更多图册 勾股定理(6张)
词条图片(14张)

参考资料
1
曲安京： 商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。 刊于《数学传播》20卷， 台湾， 1996年9月第3期， 20-27页。

http://ke..com/view/551497.htm
2
周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。
3
陈良佐： 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期， 255-281页。
4
李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾， 1991年7月， 227-234页。
5
李继闵： 商高定理辨证。 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期，29-41页 。
扩展阅读：
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几何原本（又名《原本（element）》） 人民日报出版社 原著
3
http://ke..com/view/823719.htm
开放分类：
数学，定理，几何，勾股定理证明，勾股定理/毕氏定理/商高定理

“勾股定理”在汉英词典中的解释(来源：网络词典)：
1.[Mathematics] the Pythagorean theorem; the Pythagorean proposition
我来完善 “勾股定理”相关词条：
欧拉定理素数定理费马大定理正弦定理四色定理几何反比例函数因式分解余弦定理四边形
欧拉定理 素数定理 费马大定理 正弦定理 四色定理 几何 反比例函数 因式分解 余弦定理 四边形 直角三角形 NP完全问题 沟三股四玄五 射影定理 比例 毕达哥拉斯 切线长定理 勾股数 三角形定则 NP-Complete

B. 一和1有什么区别呢

“一”是中文汉字对数字的表达方式，更多地出现在非数学类、经济类的文章中，“1”是阿拉伯数字，原先是阿拉伯人对数字的表达方法，现在已经世界通用了，因为受西方先进数学传播的影响和其简洁的表达方式，在数学和经济学文章中使用较多。

C. 十六阶幻方

方法就是两句话：顺序填数，以中心点对称互换数字。

方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）

方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上（或非对角线上）的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。

D. 怎样才能学好数学

数学研究固然经常需要整套整套艰深的理论，但是也有一些短小精干的片段，只要你抓到了要领，想得够机巧，一下就能把看起来难如登天的问题解决掉。在这种地方，是最能见到数学神妙动人的本质了。我现在想举几个这样的小例子。

首先让我讲一段匈牙利天才数学家波沙 (Louis Pósa) 的故事。一九五九年当波沙十一岁时，著名的匈牙利数学家艾尔地希 (Paul Erdös) 经人介绍认识了他，便请他一同去吃午饭。当波沙正在喝汤时，艾尔地希就出了个题目想考考他的真本领有多大，他说：「波沙啊，你能不能证明假如有 n+1 个小於或等於 2n 的正整数，则它们中间必有一对数是互质的？」显然易见这个问题对 n 个数便不对，因为 2,4,6,…,2n 这 n 个数绝没有一对是互质的，而当初艾尔地希发现如此小小的定理时，还花了十分钟去找一个真正简单的证明。但是波沙继续喝著他的汤，还没过半分钟便答道：「如果你有 n+1 个小於或等於 2n 的正整数，总会有两个是相邻的，当然它们俩是互质的了。」这不是跟大数学家高斯七岁时便能一下算出 1 加到 100 相媲美吗？事质上匈牙利这麼一个小小的国家，本世纪可真出了不少大数学家，主要是因为他们非常重视中小学的数学教育，不仅有数学天才的专门中学，校际以及电视上的数学竞试，而且还有一份有八十多年历史，专门给中学生看的数学杂志，希望我们的《数学传播》也能发挥同样的作用。

第二个例子是有关用边长为 1 与 2 的矩形骨牌，覆盖边长为8的西洋棋棋盘。大家都知道如果你把棋盘的右上角与左下角截掉，就无法用 31 块骨牌来盖满。（参看图一）

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图一

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图二

因为截去的两角均为黑色，而一块骨牌必须同时盖住一黑格一白格，现在有 30 个黑格，32 个白格，只好「没法度」了。（这还是六十五年台大数学研究所博士班的考题呢！请参看《数学传播》第一卷第二期144页）但是如果我们任意割掉一黑格一白格，剩下的棋盘是不是一定可以用 31 块骨牌盖住呢？这个问题就不那麼容易回答了。当然你可以画几个例子看，然而试试给一个证明说它可以，或是给一个反例说它不可以！这个问题的解答其实是正面的，然而最初的证明建立在图像的配对理论上，相当的艰深。几年前美国 IBM 的一位数学家高莫瑞 (Ralph Gomoy) 想到了一个证明，简直是不费吹灰之力便达到目的了。如图二中，我们在棋盘上放一个向上的三叉戟，一个向下的四叉戟，那麼我们沿著「迷宫」走一圈，一定可以回到原来的出发点，也就是说这两把戟一放，我们便给所有的方格一个循环性的次序。假设我们现在把 A 与 B 两格割掉，就有两条路从 A 走到 B，但是沿著任何一条路，总是黑白相间的走。这就证明了在这个「迷宫」中，对任何一对颜色相异的方格而言，它们之间的通道上有偶数个方格。因此骨牌便可一块一块的盖上去，空间是一定够了，就怕转弯时转不过来。但是因为骨牌可以直放，也可以横放，所以转弯的地方并不会发生麻烦，於是沿著从 A 到 B 的两条通道一路盖过去，终究是要把有洞的棋盘刚刚好盖满的。

在《数学传播》第一卷第四期中，黄光明先生有一篇〈组合学漫谈〉，曾经提到「汉弥尔顿圈」。原来在一八五○年代，爱尔兰的著名数学家汉弥尔顿 (Sir William Rowan Hamilton) 发明了一个小游戏：假如我们手头有一个正十二面立体，每个顶点当作世界上一个著名的城市，试试看从任一城市出发，沿著稜线经过所有城市再回到原地，不过除了出发点，每一个城只能经过一次。汉弥尔顿把这个游戏叫做「环游世界」，并且以二十五英镑卖给了玩具商。

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图三

如果我们在图三中，把左边的 ABCDE 正五边形戳一个洞，将整个立体摊开成右边的平面图形，就不难看出如何画汉弥顿圈的方法了。但是如果我们的十二面体的每一面不是一个正五边形，而是一个菱形的话，还能不能找到汉弥尔顿圈呢？加拿大的著名的几何学家科克斯特 (H.S.M. Coxeter) 很巧妙的证明了没有这种图存在。

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图四

如图四中所示，每一个顶点要麼有三条边来相会，要麼有四条边来相会，而且与三边点相邻的是四边点，与四边点相邻的是三边点。所以假如有一条弥尔顿圈。则它必须相间的经过三边点与四边点，因此要通过 14 个顶点，这种圈上必须有 7 个三边点 7 个四边点。但是不幸的是我们现在只有 6 个四边点，所以「汉弥尔顿圈」是注定找不著了。

E. 我国著名的数学传播、普及和数学竞赛专家单墫教授在2011年“普林斯顿数学竞赛”集训营中，鼓励北京地区参

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
故答案为：45．

F. 数学传播理论为什么被称为线性传播理论

传播学诞生于美国，美国的学者分别从不同角度探索传播理论，并提出了种类繁多的传播模式，诸如以文字、图形和数学公式等表述的各种模式。传播学家运用不同的模式来解释信息传播的机制、传播的本质，提示传播过程与传播效果，预测未来传播的形势和结构等。一般认为，传播学的奠基人有五位：1、HaroldDwightLasswell，拉斯韦尔(1902-1980)是美国现代政治科学的创始人之一。提出了著名的传播学5w模式。2、KurtLewin，卢因（1890-1947）德国犹太人。提出了信息传播中的“把关人”的概念。3、CarlHovland，霍夫兰（1921-1961）耶鲁大学的实验心理学教授。把心理学实验方法引入了传播学领域，并揭示了传播效果形成的条件和复杂性，开展劝服研究。4、PaulF.Lazarsfeld，拉扎斯菲尔德（1901-1976）奥地利籍犹太人。罗杰斯指出，拉扎斯菲尔德比其他任何人都的把传播学引向了经验性研究的方向。5、WilburSchramm，施拉姆（1907-1988）美国人，设立了世界上第一个传播学研究所，，主编了第一批德传播学教材。开辟了如：电视对少年儿童的影响等几个新的研究领域。他被认为是集大成者。之所以起源于美国，是因为20世纪上半叶，欧亚大陆连续遭受了两次世界大战的祸害，而美国由于其独特的地理优势，成为众多科学家的避风港。而且，美国本身由于本土未遭破坏，技术的发明与应用一直持领先地位。比如：1920年匹兹堡无线电视台的开业，1926年，全美广播公司NBC的成立等等。从社会状况来说，美国的政治与社会生活中有着高度重视大众传媒的传统，在政治机制中大众媒介是与立法机构、政府机构互相制衡的力量之一，报纸曾被称为第二国会。

G. 美国科普界叱咤风云数十年的三位大师级人物分别是谁

20世纪下半叶，美国科普界叱咤风云数十年的三位大师级人物是艾萨克•阿西莫夫、卡尔•萨根与马丁•加德纳，堪称一时瑜亮，难分轩轾。时至今日，前面两人均已逝世，惟有加德纳先生依然健在，老当益壮，在数学传播领域继续发挥着他无可替代的作用。

H. 家之间交流和数学传播用什么语言，数学家

当然是数学语言了，那可是全世界通用的。就是那些符号、公式、定理，公理，等等

I. 加德纳的作品介绍

马丁·加德纳是世界著名科普作家，一生不遗余力地宣传数理科学，上至拓扑、群论，下到算术、代数，吸收了无数群众进入数理科学的殿堂，他的功绩是不可磨灭的。
“加德纳趣味数学系列”包括《<科学美国人>趣味数学集锦之一——悖论、谬误、多联骨牌及其他》、《<科学美国人>趣味数学集锦之二——迷宫、幻方、趣味拓扑及其他》、《最后的消遣——九头蛇、鸡蛋与其他数学之谜》、《令人愉悦的智力趣题》、《矩阵博士的魔法数》、《数学的奇妙》、《坎特伯雷趣题》、《亨利·杜德尼的数学趣题》、《中彩那天》等。
在《<科学美国人>趣味数学集锦之一——悖论、谬误、多联骨牌及其他》的序言中，马丁·加德纳写道：“本书是我在过去25年里给《科学美国人》杂志“数学游戏”专栏撰写的第一本文章合集的新版。其中第一章“变脸六边形折纸”是发表在该刊1956年12月上 的一篇文章。该杂志的出版商皮尔（Gerard Piel）提议出一个趣味数学的定期专栏，本书第二章就是始于1957年1月的这个专栏的第一篇文章。自从本书1959年问世以来。其中涉及的题目已有很多新的发现和论述，不重新排版并修订文字是不可能的了。因而，我写了一个很长的后记.把最有意义的新成果作了简要的总结。除了讨论短小问题的那两章没有参考文献外，其余各章的参考文献都已作了更新。”
《<科学美国人>趣味数学集锦之二——迷宫、幻方、趣味拓扑及其他》是马丁·加德纳在《科学美国人》杂志上发表的“数学游戏”专栏文章的第二本集子。作者引用大量翔实的资料，将知识性和趣味性融为一体，大多以娱乐和游戏为线索，以严密的科学思维和推理为基础，引导、启迪读者去思考和重新思考。作者对传统数学中那些似乎高深莫测的难题给予了简单得令人难以置信的解答，对魔术戏法进行了深入浅出的分析，对赌场上的鬼把戏做了科学的剖析和透视……既有娱乐功能，又有教育功能。
在《矩阵博士的魔法数》中，马丁·加德纳借追踪矩阵博士欧文·约书亚，为我们摆起了数字的魔幻方阵；美国总统选举，奥斯卡金像奖提名，好莱坞红星的预卜皆可由与其相关的基本数字预示其结果的必然性？加德纳先生在这里用叙述结合注释评注的方法为我们“抽丝拨茧”，将数字王国的数字奇妙组合一一展示在了读者面前……本书的重点是反对与批判数字迷信的。数字迷信在世界各国都以不同的面貌出现，例如日本的“数秘术”，中国的“术数”等。
2010年5月22日，马丁·加德纳去世。为了纪念这位数学传播领域的巨星，上海科技教育出版社特别推出“加德纳趣味数学典藏版”，向大师致敬！
“加德纳趣味数学典藏版”（第一辑）共6个品种，包括《趣题大师的才智挑战》、《趣题大师的思维训练》、《趣题大师的头脑体操》、《趣题大师的智力游戏》、《趣题大师的逻辑训练》及《趣题大师的推理问题》。这些书收录的都是马丁·加德纳和乔治·J·萨默斯（另一位趣题大师）精心挑选的独具特色又引人入胜的趣题，解这些题仅仅需要最初等的数学知识，而题目中又暗含着更高层次的数学思想。在赏玩这些趣题的过程中，你会发觉数学要比你想象的更加可爱。
加德纳在《趣题大师的智力游戏》的序言中说：“在为这本集子挑选材料的过程中，我竭力寻求那些独具特色而又引人入胜的趣题，它们仅仅要求最初等的数学知识，但同时又富有激励性地闪现出更高层次的数学思想。这些趣题已被归类成章，每章各针对数学中的一个领域。每章开头的简要评介，说明了为解决该章趣题所必须使用的数学门类的一些性质和重要性。在答案中，只要篇幅允许，我尽量详细地解释了每道题是如何解决的，并指出某些诱人的途径，这些途径从题目出发，蜿蜒曲折地通向数学丛林中更为枝叶繁盛的地区。的确，现在没有人可以怀疑数学的巨大实用价值。没有数学工具，就不可能有现代科学的发现和发明。但是，许多人并不理解，数学家事实上从数学中得到了愉悦。经过深思熟虑对症下药地摆平了一道有趣的题目，其令人愉悦的程度，就如同经过反复瞄准用保龄球一下子击倒了十个球瓶。”
“加德纳趣味数学典藏版”（第二辑）共4个品种，包括《挑战智力水平的100道趣题》、《培养几何直觉的100道趣题》、《训练逻辑思维的100道趣题》及《强调数字推算的100道趣题》。这些书是法国趣题大师皮埃尔·贝洛坎精心设计的绞脑汁难题集，一经推出立即风靡欧洲大陆，马丁·加德纳亲自为这些书作序推荐。