非交换几何暑期班

『壹』 泛函分析的拓扑线性空间

由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等），这说明函数空间里有不同的拓扑。而函数空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。
拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。 这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。或者对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）
在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域（特别的，一个一维拓扑线性空间）那么这样的算子成为线性泛函。
在线性算子的理论中有几个非常基本而重要的定理。
1.一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。
2.罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。
3.开映射定理和闭图像定理。
4.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。
20世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 泛函分析目前包括以下分支：
软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。
巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。
非交换几何，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍历论中的结果为基础的。
与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。

『贰』 悬而未决的世界数学难题

我觉得又要著名，还要数论，还要未解决，似乎这些决定了答案只有一个：哥德巴赫猜想。
楼上说的费马定理不行，那个已经被证明了。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

『叁』 点的其他数学分支中的点

在点集拓扑中的点, 定义为一个拓扑空间中的集合的元素.
尽管点被看做是主要的几何学和拓扑学中的基本概念, 但是有些几何和拓扑理论并不需要点的概念. 例如非交换几何和非点集拓扑. 一个"非点空间"不是作为一个集合来定义的, 而是通过某种类似于几何上的函数空间的结构(代数上的或者逻辑上的): 连续函数代数或者集合代数.

『肆』 七年级下册几何600字感想急求！只有1个小时（这时间内答到了给30分！）

我不清楚你需要的是什么？只是初等几何的吗？如果是初等几何的话可以不客气地说，整个20世纪没有任何本质发展，因为作为研究的课题初等几何早就死亡，Morley的三等分定理只是好玩而已，毫无重要性可言。

20世纪和本世纪几何的进展主要是微分几何和代数几何（如果把拓扑学认为是另一个学科的话）方面，你要是想写这方面历史的论文，题目是太大了。Jean Dieudonné写过一些这方面的历史书，但也只能限制在1970年以前，于是比如Alain Connes的非交换几何就没有涵盖。

中国几何学的发展也差不多，由于大数学家陈省身的影响，大概微分几何学还要好一些。

几何学是最早成熟的演绎数学分支，它的内容已经远远超过原始的限定了。不同时期有不同的重心，有些分支曾经很辉煌，但以后就默默无闻了，比如射影几何；同样也有的分支一开始没有得到足够的重视，后来声名鹊起，比如E. Cartan的工作；广义相对论使得已经不太受人重视的Riemann几何又焕发青春；代数几何仅在20世纪就引进了很多方法来阐述其基础。

『伍』 现代数学除了数论、拓扑学、近世代数、微分拓扑、泛函分析外还有哪些领域

顺着你说的这几个进一步，，算子理论，算子代数，非交换几何。各种表示论，量子群，李理论，代数K理论。代数拓扑。代数几何，算术代数几何，非交换代数几何。各种流形。复分析，复几何。等等等等，不胜枚举。