模糊數學

A. 模糊數學的在中國

在美國，日本，法國等世界數學強國相繼研究模糊數學，並取得一些階段性的進展的同時，1976年中國開始注意模糊數學的研究，世界著名模糊學家考夫曼（A.kaufman,法國）、山澤（E.SanchZ.法國）、營野（日本）和美籍華人P.P.Z等先後來華講學，推動了我國模糊數學的高速發展，很快就擁有一支較強的研究隊伍。1980年成立了中國模糊集與系統協會。1981年，創辦《模糊數學》雜志，1987年，創辦了《模糊系統與數學》雜志。還出版過大量的頗有價值的論著。例如：汪培庄教授所著《模糊集與隨機集落影》，《模糊集合論及其應用》，張文修教授編著的《模糊數學基礎》等。1988年我國汪培庄教授指導幾位博士生研製成功了一台模糊推理機-----分立元件樣機。它的推理速度為1500萬次/秒，這表明中國在突破模糊信息處理難關方面邁出重要一步。中國科研人員在Fuzzy領域中取得了卓越成就。何新貴院士將Fuzzy方面的論文在國內外權威雜志上發表。這標志著中國研究已經達到國內外先進水平。至此，中國已成為全球四大模糊數學研究中心之一。（美國，西歐，中國，日本）
著名語言學家伍鐵平教授發表了經典論文《模糊語言初探》，引起了人文與社會科學界對模糊語言現象的關注和研究。伍鐵平教授是中國首先提出「模糊語言學」這一概念並從事具體的模糊語言現象研究的學者；模糊語言學是所有與模糊性有關的學科中最令人關注的學科之一。他撰寫的專著《模糊語言學》在業內影響很大，評價很高，多次獲獎。
2005年，是一個值得中國所有模糊研究人員和學者慶祝的一個豐收年，在這個豐收年裡有兩件值得慶祝的大事。一，經國際模糊系統協會（IFSA）專家評審，最終確定授予中國四川大學副校長劉應明院士「FuzzyFellow獎」。「FuzzyFellow獎」是模糊數學領域的最高獎項，專門授予得到國際公認的，在模糊數學領域做出傑出貢獻的科學家。
二，2005年8月20日，中國運籌會Fuzzy信息與工程分會正式成立。Fuzzy信息與工程分會成立，是隸屬於全國兩大數學方向的一級學會之一------中國運籌會，表明Fuzzy數學在中國已取得了應有的地位，尤其是Fuzzy數學的創始人扎德教授的出席會議，中國運籌學會理事長，中國科學院數學與系統科學研究院副院長袁亞湘教授和廣州大學校長廖建設教授為學會揭牌，這給成立大會增添的極大的光彩。也極大的鼓舞了全國Fuzzy研究工作者。Fuzzy信息與工程分會的宗旨：在完善和加強Fuzzy集理論研究的同時，更側重於Fuzzy技術的應用和Fuzzy產品的開發研究。
註：1、廣州大學校長為庾建設。
2、中國運籌會Fuzzy信息與工程分會首任理事長為廣州大學曹炳元教授。

B. 什麼是模糊數學

模糊數學又稱Fuzzy 數學，是研究和處理模糊性現象的一種數學理論和方法。
模糊性數學發展的主流是在它的應用方面。由於模糊性概念已經找到了模糊集的描述方式，人們運用概念進行判斷、評價、推理、決策和控制的過程也可以用模糊性數學的方法來描述。

C. 什麼是模糊數學

模糊數學是對模糊現象求得精確數學解的一門數學模糊數學就是用精確數學方法解決模糊事物專的一種方法有人認屬為，數學已經進入到模糊數學階段科學工作者在理解模糊數學的基礎上，取得了許多成績但是，在研究中我們也發現，如果將各個病害的專家，對他所研究的病害的症狀和所做的描述，完完全全地繼承下來，就形成了在相同症狀面前，病病不相等的分值事實上，這樣做有時會發生錯誤的因此，我們提出，「在症狀面前，病病平等」的主張，實踐證明是切實可行的我們給症狀評分的理論根據就是模糊數學的隸屬度;我們相信外行能診病的根據，也是基於模糊數學是處理模糊事物的最好辦法沒有模糊數學的指導，就不會有數學診斷學

D. 什麼是模糊數學.ppt

1、模糊數學作為一個新興的數學分支，使過去那些與數學毫不相關或關系不大的回學科（如生物學、心理答學、語言學、社會科學等）都有可能用定量化和數學化加以描述和處理，從而顯示了強大的生命力和滲透力，使數學的應用范圍大大擴展

2、模糊數學的研究內容主要有以下三個方面：
第一，研究模糊數學的理論，以及它和精確數學、隨機數學的關系
第二，研究模糊語言學和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經常接受模糊語言與模糊信息，並能做出正確的識別和判斷。
第三，研究模糊數學的應用。

3、模糊數學的應用
模糊數學是一門新興學科，它已初步應用於模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統理論、信息檢索、醫學、生物學等各個方面。在氣象、結構力學、控制、心理學等方面已有具體的研究成果。然而模糊數學最重要的應用領域是計算機職能，不少人認為它與新一代計算機的研製有密切的聯系。

E. 模糊數學法

模糊數學是用數學方法研究和處理具有「模糊性」現象的一門科學，它是由美國控制論專家查德（Zadeh L.A.）在1965年創立的。模糊數學的理論和方法雖然還不很完善，但是已顯示出強大的生命力。

模糊數學的方法彌補了「綜合指數法」忽略水質分級界線的模糊性的缺陷。因為地下水環境系統存在如下特徵。

1）水環境系統中污染物質之間存在著復雜的、難以明確的相關關系。水污染是由各污染因子共同作用的結果，它是一個連續、漸變、邊界模糊的復雜過程，在評價時客觀上存在模糊性。

2）根據水的用途和環境指標來確定水質分級標准時，若用單一的每個因素的數值來表徵其特徵和用途，在標准選取上，人為因素極大，在客觀上人們對水質的要求而制定的標准也存在模糊性。

3）經過各種單項及綜合運算後，對水質量給出一個結論，由於水質量是一個連續的變化的事件，因此給出的結論也存在模糊性（孫幼平等，1988）。

根據上述特徵，為了真實地刻畫這個過程，針對其模糊性，運用模糊數學理論進行處理，對地下水水質的評價會給出比較客觀的結果。

（一）模糊綜合評判法

所謂模糊評判，就是根據給出的評價標准和實測值，經過模糊變換，對事物的全體作出總的評價的一種方法。

模糊綜合評判問題，實際上就是模糊變換問題，它的原理可用模式（4-27）表示：

B=A·R （4-27）

式中：A為因子權重。

為了突出地下水水質成分的主要因子，對各種樣品、各因子視其在模糊分級標准中不同情況，分別賦權，得權重A。A是由各評價因子的權重處理後所構成的1×m階行矩陣，稱為輸入。

權重A與評價的方法和目的有關。賦權應以各評價因子對地下水質量影響的貢獻為主要考慮因素。若多種因子對地下水質量影響時，應能反映出多因子之間的協同、頡頏作用狀況。在實際評價中，由於化學組分在地下水系統介質中遷移轉化的機制不易認清，所以合理賦權是比較困難的。一般採用環境質量分指數法求出權重A。

為了進行模糊變換，W_i應滿足歸一化要求：

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

進行歸一化，計算公式為

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

式中：W_i為經歸一化i因子的權重。

由此構成（1×m）權重矩陣：A=（W₁，W₂，…，W_m）

R為模糊轉換器，是由若干個單因子評價行向量構成的，它表示從被考查要素到評定最高等級的一種模糊轉化關系，其模糊關系矩陣為

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

B為綜合評判結果，稱為輸出。

B是要求的評價結果，它是評價集上一個模糊子集，用一個1×n行向量的形式表示。

B=（μ（x₁），μ（x₂），…，μ（x_i））

上式中各個元是各因子對於評價等級的隸屬度。

μ_mn的計算採用降半梯形法，換算公式如表4-4所示（韓銀富等，2000）。

表4-4 隸屬度μ_mn計算公式一覽表

續表

概括地說，已知輸入和模糊轉換器求輸出，就是模糊綜合評判（付雁鵬等，1987）。

綜合評判，即A與R兩個模糊矩陣的復合運算，採用（∧，∨）型綜合評判計演算法，類似於普通矩陣乘法，只是將矩陣乘法運算中的「×」號改為「∧」號，將「+」號改為「∨」號，「∧」意為兩數中取小值，「∨」意為兩數中取大值。復合運算的結果，表示某水樣相對於各個質量類別的綜合評判隸屬度。

根據所評價的綜合隸屬度，比較各級隸屬度的大小。其中，隸屬度最大者所在等級，即為水樣點的分類等級。

若B_i=max｛B₁，B₂，…，B_n｝，則該樣品水質等級定為第i級。

多樣品水質按從優到劣排序的原則；同級別水質，比較各樣品其鄰級較優級別的隸屬度，大的先排；不同級別水質，較劣的後排。

將模糊綜合評判法應用到地下水質量評價中，可得出一個客觀的綜合評價結論，以及各種組分影響程度的順序。

模糊綜合判別法的局限性：

1）B=A·R是通過「∨」，「∧」得到的，這種運算形式過分強調了極值的作用，這就勢必丟掉一些數據所提供的信息，使判斷結果顯得「粗糙」，如評價函數呈現b₁=b₂=…=b_m的情況時，就給最後的判別造成困難。

2）由於強調「取小，取大」，如果A中各分量小於R中各量，復合結果R中各量將全部被篩選掉，使單因素判別失去作用，結果形成以權數作為評判函數的現象。

以上情況會影響評價的精度。為了得到更好的評價結果，可根據實際情況，將「∨」，「∧」換成其他形式的運算元進行評判，表4-5列出了幾種常見的運算元形式（付雁鵬等，1987）。

表4-5 其他幾種常見的運算元形式

註：a，b分別表示μ_a（x），μ_b（x）；a·b表示普通實數乘法；⊕表示有界和運算。

如果採用一種運算元評判把握不準，可以同時採用多種運算元分別評判，最後進行評判結果比較，確定客觀的較優的結論。

（二）相似優先比法

相似優先比法是模糊數學中的一種計算方法，是在被選擇對象所組成的集合上，根據一些因素建立一個模糊相似關系，然後由表現這個模糊關系的模糊矩陣來決定元素的優劣。藉助這種方法，可以對集合中元素按優劣程度排序。

模糊相似矩陣是以海明距離比為基礎構建的，使用λ截矩陣概念計算各分區與環境目標值相似程度的次序。

1.海明距離

d_ki=x_k-x_i （4-29）

d_kj=x_k-x_j （4-30）

式中：x_k為某級水質（環境目標值）標准值；x_i，x_j為被比較的兩個區的實測平均值。

2.模糊相似優先比

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

r_ji=1-r_ij （4-32）

若r_ij在（0.5，1）之間，表示x_i比x_j優先；若r_ij在（0，0.5）之間，表示x_j比x_i優先。

理想情況有3種：若r_ij=1，表示x_i顯然比x_j優先；若r_ij=0，表示x_j顯然比x_i優先；若r_ij=0.5，無法確定優先比，兩個選擇等價。

3.模糊相似優先比矩陣

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

4.相似程度

根據實際情況，在［0，1］之間由大到小選定一系列λ值（λ為評價樣品與標准值相似程序的界限），作出相似的矩陣R_λ，得出各因子與目標之間的相似程度，並按求λ截矩陣的次序將元素排序。

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

5.綜合排序

綜合排序，即將各元素的多種排序的序號求和，序號和越小，則該元素越優，反之，則差。

應用相似優先比法對地下水質量進行優劣排序，效果較好。但是建立模糊相似關系矩陣和求λ截矩陣的工作比較繁瑣，為避免較大的計算量，建議當樣品少時，應用此方法（胡志榮等，1996）。

（三）Fuzzy距離定序法

Fuzzy距離定序法是在相似優先比法的基礎上，將繁瑣的建立模糊相似關系矩陣和求λ截矩陣的工作，通過變換待定序樣品的序列，分析利用Fuzzy距離確定的Fuzzy優先矩陣的性質給出Fuzzy優先關系定序的簡化方法。

Fuzzy距離定序法簡介：

設已知給定一標准樣品為

B=（b₁，b₂，…，b_i） （4-35）

式中：i=1，2，…，m。

給定待序樣品序列為A′：

A′₁，A′₂，…，A′_i，…，A′_n （4-36）

式中：A′_i=（a_i1，a_i2，…，a_ij），1≤i≤n，1≤j≤m，即每一個樣品由m個指標構成。

由於樣品的各項指標單位各異，同一指標可能相差較大，為充分發揮樣品各項指標在綜合評比中的作用，首先對樣品序列A′中每一樣品的各項指標進行標准化處理。然後計算待定序樣與標准樣品之間的Fuzzy距離，具體計算時採用下述公式：

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

式中：d（A_i，B）為樣品A_i與標准樣品B的Fuzzy距離；x_ik為待定序樣品A_i的第k項指標；d_k為樣品第k項指標的權重，且

；p為選定的常數，p=1時，式（4-37）為加權海明距離；p=2時，為加權歐氏距離。

用式（4-35）通過計算得到待定序樣品A′與標准樣品B之間Fuzzy距離序列D′：

d（A₁，B），d（A₂，B），…，d（A_i，B），…，d（A_n，B） （4-38）

對序列（4-36）按從小到大的次序排列，得到新的Fuzzy距離序列d：

d₁，d₂，…，d_i，…，d_n （4-39）

其中：d₁＜d₂，…＜d_i…＜d_n

對樣品序列式（4-36），按樣品在序列式（4-39）中相應出現的先後次序進行重新排列，得到新的樣品序列A：

A₁，A₂，…，A_i，…，A_n （4-40）

若在序列式（4-39）中，存在d_i=d_j，則相應把序列式（4-40）寫成：

A₁，…，A₂，…，A_i，A_j，…，A_n

把Fuzzy距離按從小到大的順序排列，待定序樣品在距離序列中相應出現的先後次序即為所求的排列結果。對地下水質量優劣排序而言，Fuzzy距離由小到大代表地下水質量由優到劣。

利用Fuzzy距離定序法進行地下水質量優劣排序，比相似優先比法簡便，計算量小，評別易行，尤其當樣品多時，更體現出此方法的有效性。但是此方法存在許多問題需進一步研究和探討，如Fuzzy距離公式的選用、樣品指標權數的確定等。因為Fuzzy距離定序法，定序的結果與Fuzzy距離有關，因此，應根據實際問題選用適當的計算公式，並結合研究區的水文地質條件及監測數據進行優劣排序；樣品指標權數的選取是人為根據諸指標對地下水質量貢獻大小來進行的，需要對各因素的影響有比較清楚的認識，才能夠把握權重值。

F. 模糊數學是什麼能舉個例子嗎謝謝麻煩告訴我

再舉一個例子，我們現在要從一片西瓜地里找出一個最大的西瓜，那是件很麻煩的事。必須把西瓜地里所有的西瓜都找出來，再比較一下，才知道哪個西瓜最大。西瓜越多，工作量就越大。如果按通常說的，到西瓜地里去找一個較大的西瓜，這時精確的問題就轉化成模糊的問題，反而容易多了。由此可見，適當的模糊能使問題得到簡化。
確實，像上面的「一粒」與「一堆」，「最大的」與「較大的」都是有區別的兩個概念。但是它們的區別都是逐漸的，而不是突變的，兩者之間並不存在明確的界限，換句話說，這些概念帶有某種程度的模糊性。類的，我們說一個人很高或很胖，但是究竟多少厘米才算高，多少千克才算胖呢？像這里的高和胖都是很模糊了。
模糊數學模糊數學是研究現實中許多界限不分明問題的一種數學工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊數學和模糊邏輯，能很好地處理各種模糊問題。
模式識別是計算機應用的重要領域之一。人腦能在很低的准確性下有效地處理復雜問題。如計算機使用模糊數學，便能大大提高模式識別能力，可模擬人類神經系統的活動。在工業控制領域中，應用模糊數學，可使空調器的溫度控制更為合理，洗衣機可節電、節水、提高效率。在現代社會的大系統管理中，運用模糊數學的方法，有可能形成更加有效的決策。
模糊數學這種相當新的數學方法和思想方法，雖有待於不斷完善，但其應用前景卻非常廣闊。
模糊數學是運用數學方法研究和處理模糊性現象的一門數學新分支。它以「模糊集合」論為基礎。模糊數學提供了一種處理不肯定性和不精確性問題的新方法，是描述人腦思維處理模糊信息的有力工具。它既可用於「硬」科學方面，又可用於「軟」科學方面。
模糊數學由美國控制論專家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所創立。他於1965年發表了題為《模糊集合論》（《Fuzzy Sets》）的論文，從而宣告模糊數學的誕生。L.A.扎德教授多年來致力於「計算機」與「大系統」的矛盾研究，集中思考了計算機為什麼不能象人腦那樣進行靈活的思維與判斷問題。盡管計算機記憶超人，計算神速，然而當其面對外延不分明的模糊狀態時，卻「一籌莫展」。可是，人腦的思維，在其感知、辨識、推理、決策以及抽象的過程中，對於接受、貯存、處理模糊信息卻完全可能。計算機為什麼不能象人腦思維那樣處理模糊信息呢？其原因在於傳統的數學，例如康托爾集合論（Cantor′s Set）,不能描述「亦此亦彼」現象。集合是描述人腦思維對整體性客觀事物的識別和分類的數學方法。康托爾集合論要求其分類必須遵從形式邏輯的排中律，論域（即所考慮的對象的全體）中的任一元素要麼屬於集合A，要麼不屬於集合A，兩者必居其一，且僅居其一。這樣，康托爾集合就只能描述外延分明的「分明概念」，只能表現「非此即彼」，而對於外延不分明的「模糊概念」則不能反映。這就是目前計算機不能象人腦思維那樣靈活、敏捷地處理模糊信息的重要原因。為克服這一障礙，L.A.扎德教授提出了「模糊集合論」。在此基礎上，現在已形成一個模糊數學體系。
所謂模糊現象，是指客觀事物之間難以用分明的界限加以區分的狀態，它產生於人們對客觀事物的識別和分類之時，並反映在概念之中。外延分明的概念，稱為分明概念，它反映分明現象。外延不分明的概念，稱為模糊概念，它反映模糊現象。模糊現象是普遍存在的。在人類一般語言以及科學技術語言中，都大量地存在著模糊概念。例如，高與短、美與丑、清潔與污染、有礦與無礦、甚至象人與猿、脊椎動物與無脊椎動物、生物與非生物等等這樣一些對立的概念之間，都沒有絕對分明的界限。一般說來，分明概念是揚棄了概念的模糊性而抽象出來的，是把思維絕對化而達到的概念的精確和嚴格。然而模糊集合不是簡單地揚棄概念的模糊性，而是盡量如實地反映人們使用模糊概念時的本來含意。這是模糊數學與普通數學在方法論上的根本區別。恩格斯說：「辯證法不知道什麼絕對分明的和固定不變的界限，不知道什麼無條件的普遍有效的『非此即彼！』它使固定的形而上學的差異互相過渡，除了『非此即彼！』，並且使對立互為中介；辯證法是唯一的、最高度地適合於自然觀的這一發展階段的思維方法。
模糊數學產生的直接動力，與系統科學的發展有著密切的關系。在多變數、非線性、時變的大系統中，復雜性與精確性形成了尖銳的矛盾。L.A.扎德教授從實踐中總結出這樣一條互克性原理：「當系統的復雜性日趨增長時，我們作出系統特性的精確然而有意義的描述的能力將相應降低，直至達到這樣一個閾值，一旦超過它，精確性和有意義性將變成兩個幾乎互相排斥的特性。」這就是說，復雜程度越高，有意義的精確化能力便越低。復雜性意味著因素眾多，時變性大，其中某些因素及其變化是人們難以精確掌握的，而且人們又常常不可能對全部因素和過程都進行精確的考察，而只能抓住其中主要部分，忽略掉所謂的次要部分。這樣，在事實上就給對系統的描述帶來了模糊性。「常規數學方法的應用對於本質上是模糊系統的分析來說是不協調的，它將引起理論和實際之間的很大差距。」因此，必須尋找到一套研究和處理模糊性的數學方法。這就是模糊數學產生的歷史必然性。模糊數學用精確的數學語言去描述模糊性現象，「它代表了一種與基於概率論方法處理不確定性和不精確性的傳統不同的思想，……，不同於傳統的新的方法論」。它能夠更好地反映客觀存在的模糊性現象。因此，它給描述模糊系統提供了有力的工具。
L.A.扎德教授於1975年所發表的長篇連載論著《語言變數的概念及其在近似推理中的應用》（《The Concept of a Linguistic Variable &Its Application to Approximate Reasoning》），提出了語言變數的概念並探索了它的含義。模糊語言的概念是模糊集合理論中最重要的發展之一，語言變數的概念是模糊語言理論的重要方面。語言概率及其計算、模糊邏輯及近似推理則可以當作語言變數的應用來處理。人類語言表達主客觀模糊性的能力特別引人注目，或許從研究模糊語言入手就能把握住主客觀的模糊性、找出處理這些模糊性的方法。有人預言，這一理論和方法將對控制理論、人工智慧等作出重要貢獻。
模糊數學誕生至今僅有22年歷史，然而它發展迅速、應用廣泛。它涉及純粹數學、應用數學、自然科學、人文科學和管理科學等方面。在圖象識別、人工智慧、自動控制、信息處理、經濟學、心理學、社會學、生態學、語言學、管理科學、醫療診斷、哲學研究等領域中，都得到廣泛應用。把模糊數學理論應用於決策研究，形成了模糊決策技術。只要經過仔細深入研究就會發現，在多數情況下，決策目標與約束條件均帶有一定的模糊性，對復雜大系統的決策過程尤其是如此。在這種情況下，運用模糊決策技術，會顯得更加自然，也將會獲得更加良好的效果。
我國學者對模糊數學的研究始於70年代中期，然而發展甚速，已有了一支較強的研究隊伍，成立了中國模糊集與系統學會，出版了《模糊數學》雜志。出版了許多頗有價值的論著，例如，汪培庄教授所著《模糊集與隨機集落影》、《模糊集合論及其應用》，張文修教授編著的《模糊數學基礎》等等。我國學者把模糊數學理論應用於氣象預報，提高了預報質量，在1980年召開的國際氣象學術討論會上，我國所提交論文得到會議的好評。在中醫醫療診斷方面，還製成了《關幼波教授治療肝病計算機診斷程序》。實踐表明，該計算機的醫療效果良好，為繼承、發揚祖國醫學作出了貢獻。這一經驗也被推廣應用於治療急腹症等方面。我國學者應用模糊數學理論，在地質探礦、生態環境、企業管理、生物學、心理學等領域，也都分別取得了較好的應用成果。

G. 什麼是「模糊數學『

模糊數學又稱Fuzzy 數學，是研究和處理模糊性現象的一種數學理論和方法。模糊性專數學屬發展的主流是在它的應用方面。

由於模糊性概念已經找到了模糊集的描述方式，人們運用概念進行判斷、評價、推理、決策和控制的過程也可以用模糊性數學的方法來描述。例如模糊聚類分析、模糊模式識別、模糊綜合評判、模糊決策與模糊預測、模糊控制、模糊信息處理等。

(7)模糊數學擴展閱讀

模糊數學為現代數學的基礎，集合可以表現概念，把具有某種屬性的東西的全體稱為集合。現實生活中許多事物(或現象)的變化是過渡性的,沒有明確的界限，如人長得高、矮、胖瘦等,都是模糊性的語言。

正思通感圍像具有模物性的特徵，為了提高分類精度，在通感圖像識別中，引人模糊數學方法是很有前景的。應當指出，在目前的技術條件下，並算機自動識別方法還無法代特目視解譯方法。

H. 模糊數學

模糊數學產生於1965年。賀仲雄的《模糊數學及其應用》（1983年01月第1版）不錯。汪培庄，韓內立岩的《應用容模糊數學》（1989年08月第1版）也可以。還有肖位樞的《模糊數學基礎及應用》（1992年02月第1版）。

I. 模糊數學是什麼能舉個例子嗎謝謝

定義
在1965 年美國控制論學者L.A.扎德發表論文《模糊集合》，標志著這門新學科的誕生。現代數學建立在集合論的基礎上。一組對象確定一組屬性，人們可以通過指明屬性來說明概念，也可以通過指明對象來說明。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延實際上就是集合。一切現實的理論系統都有可能納入集合描述的數學框架。經典的集合論只把自己的表現力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地規定：每一個集合都必須由確定的元素所構成，元素對集合的隸屬關系必須是明確的。對模糊性的數學處理是以將經典的集合論擴展為模糊集合論為基礎的，乘積空間中的模糊子集就給出了一對元素間的模糊關系。對模糊現象的數學處理就是在這個基礎上展開的。從純數學角度看，集合概念的擴充使許多數學分支都增添了新的內容。例如模糊拓撲學、不分明線性空間、模糊代數學、模糊分析學、模糊測度與積分、模糊群、模糊范疇、模糊圖論、模糊概率統計、模糊邏輯學等。其中有些領域已有比較深入的研究。模糊性數學發展的主流是在它的應用方面。由於模糊性概念已經找到了模糊集的描述方式，人們運用概念進行判斷、評價、推理、決策和控制的過程也可以用模糊性數學的方法來描述。例如模糊聚類分析、模糊模式識別、模糊綜合評判、模糊決策與模糊預測、模糊控制、模糊信息處理等。這些方法構成了一種模糊性系統理論，構成了一種思辨數學的雛形，它已經在醫學、氣象、心理、經濟管理、石油、地質、環境、生物、農業、林業、化工、語言、控制、遙感、教育、體育等方面取得具體的研究成果。模糊性數學最重要的應用領域應是計算機智能。它已經被用於專家系統和知識工程等方面，在各個領域中發揮看非常重要的作用，並已獲得巨大的經濟效益。編輯本段產生現代數學是建立在集合論的基礎上。集合論的重要意義就一個側面看，在於它把數學的抽象能力延伸到人類認識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實就是集合。從這個意義上講，集合可以表現概念，而集合論中的關系和運算又可以表現判斷和推理，一切現實的理論系統都一可能納入集合描述的數學框架。但是，數學的發展也是階段性的。經典集合論只能把自己的表現力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構成，元素對集合的隸屬關系必須是明確的，決不能模稜兩可。對於那些外延不分明的概念和事物，經典集合論是暫時不去反映的，屬

控制論模型
於待發展的范疇。在較長時間里，精確數學及隨機數學在描述自然界多種事物的運動規律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現象。以前人們迴避它，但是，由於現代科技所面對的系統日益復雜，模糊性總是伴隨著復雜性出現。各門學科，尤其是人文、社會學科及其它「軟科學」的數學化、定量化趨向把模糊性的數學處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計算機、控制論、系統科學的迅速發展，要使計算機能像人腦那樣對復雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。我們研究人類系統的行為，或者處理可與人類系統行為相比擬的復雜系統，如航天系統、人腦系統、社會系統等，參數和變數甚多，各種因素相互交錯，系統很復雜，它的模糊性也很明顯。從認識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。在日常生活中，經常遇到許多模糊事物，沒有分明的數量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠……。這些概念是不可以簡單地用是、非或數字來表示的。在人們的工作經驗中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計算數學之外，還需要模糊數學。人與計算機相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善於判斷和處理模糊現象。但計算機對模糊現象識別能力較差，為了提高計算機識別模糊現象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設計成機器能接受的指令和程序，以便機器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數學工具，這就推動數學家深入研究模糊數學。所以，模糊數學的產生是有其科學技術與數學發展的必然性。編輯本段研究內容現代計算機的計算速度及貯存能力幾乎達到了無與倫比的程度，它不僅可以解決復雜的數學問題，還可以參與控制太空梭等。既然計算機有如此威力，那麼為什麼在判斷和推理方面有時不如人腦呢？ 美國加利福尼亞大學Zadeh（扎德）教授仔細的研究了這個問題，以至於她在科研工作中 經常迴旋與「人腦思維」、「大系統」與「計算機」的矛盾之中。1965年，他發表了論文《模糊集合論》「隸屬函數」這個概念來描述現象差異中的中間過渡，從而突破了古典集合論中屬於或不屬於的絕對關系。Zadeh教授這一開創性的工作，標志著模糊數學這門學科的誕生。模糊數學的研究內容主要有以下三個方面：第一，研究模糊數學的理論，以及它和精確數學、隨機數學的關系。查德以精確數學集合論為基礎，並考慮到對數學的集合概念進行修改和推廣。他提出用「模糊集合」作為表現模糊事物的數學模型。並在「模糊集合」上逐步建立運算、變換規律，開展有關的理論研究，就有可能構造出研究現實世界中的大量模糊的數學基礎，能夠對看來相當復雜的模糊系統進行定量的描述和處理的數學方法。在模糊集合中，給定范圍內元素對它的隸屬關系不一定只有「是」或「否」兩種情況，而是用介於0和1之間的實數來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態。比如「老人」是個模糊概念，70歲的肯定屬於老人，它的從屬程度是 1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為 0，按照查德給出的公式，55歲屬於「老」的程度為0.5，即「半老」，60歲屬於「老」的程度0.8。查德認為，指明各個元素的隸屬集合，就等於指定了一個集合。當隸屬於0和1之間值時，就是模糊集合。第二，研究模糊語言學和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經常接受模糊語言與模糊信息，並能做出正確的識別和判斷。為了實現用自然語言跟計算機進行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數學模型，才能給計算機輸入指令，建立合適的模糊數學模型，這是運用數學方法的關鍵。查德採用模糊集合理論來建立模糊語言的數學模型，使人類語言數量化、形式化。如果我們把合乎語法的標准句子的從屬函數值定為1，那麼，其他近義的，以及能表達相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續數來表徵它從屬於「正確句子」的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進行定量描述，並定出一套運算、變換規則。目前，模糊語言還很不成熟，語言學家正在深入研究。人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，採用形式邏輯的排中律，即：非真即假，然後進行判斷和推理，得出結論。現有的計算機都是建立在二值邏輯基礎上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。為了使計算機能夠模擬人腦高級智能的特點，就必須把計算機轉到多值邏輯基礎上，研究模糊邏輯。目前，模糊邏輯還很不成熟，尚需繼續研究。第三，研究模糊數學的應用。模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現是數學適應描述復雜事物的需要，查德的功績在於用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數學與不確定性對象的數學溝通起來，過去精確數學、隨機數學描述感到不足之處，就能得到彌補。在模糊數學中，目前已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學、模糊邏輯學等分支。編輯本段應用模糊數學是一門新興學科，它已初步應用於模糊控制、模糊識別、模糊

智能化聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統理論、信息檢索、醫學、生物學等各個方面。在氣象、結構力學、控制、心理學等方面已有具體的研究成果。然而模糊數學最重要的應用領域是計算機智能，不少人認為它與新一代計算機的研製有密切的聯系。目前，世界上發達國家正積極研究、試制具有智能化的模糊計算機，1986年日本山川烈博士首次試製成功模糊推理機，它的推理速度是1000萬次/秒。1988年，我國汪培庄教授指導的幾位博士也研製成功一台模糊推理機——分立元件樣機，它的推理速度為1500萬次/秒。這表明我國在突破模糊信息處理難關方面邁出了重要的一步。模糊數學還遠沒有成熟，對它也還存在著不同的意見和看法，有待實踐去檢驗。編輯本段產生歷史模糊數學是運用數學方法研究和處理模糊性現象的一門數學新分支。它以「模糊集合」論為基礎。模糊數學提供了一種處理不肯定性和不精確性問題的新方法，是描述人腦思維處理模糊信息的有力工具。它既可用於「硬」科學方面，又可用於「軟」科學方面。 模糊數學由美國控制論專家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所創立。他於1965年發表了題為《模糊集合論》（《FuzzySets》）的論文，從而宣告模糊數學的誕生。L.A.扎德教授多年來致力於「計算機」與「大系統」的矛盾研究，集中思考了計算機為什麼不能象人腦那樣進行靈活的思維與判斷問題。盡管計算機記憶超人，計算神速，然而當其面對外延不分明的模糊狀態時，卻「一籌莫展」。可是，人腦的思維，在其感知、辨識、推理、決策以及抽象的過程中，對於接受、貯存、處理模糊信息卻完全可能。計算機為什麼不能象人腦思維那樣處理模糊信息呢？其原因在於傳統的數學，例如康托爾集合論（Cantor′sSet）,不能描述「亦此亦彼」現象。集合是描述人腦思維對整體性客觀事物的識別和分類的數學方法。康托爾集合論要求其分類必須遵從形式邏輯的排中律，論域（即所考慮的對象的全體）中的任一元素要麼屬於集合A，要麼不屬於集合A，兩者必居其一，且僅居其一。這樣，康托爾集合就只能描述外延分明的「分明概念」，只能表現「非此即彼」，而對於外延不分明的「模糊概念」則不能反映。這就是目前計算機不能象人腦思維那樣靈活、敏捷地處理模糊信息的重要原因。為克服這一障礙，L.A.扎德教授提出了「模糊集合論」。在此基礎上，現在已形成一個模糊數學體系。模糊數學產生的直接動力，與系統科學的發展有著密切的關系。在多變數、非線性、時變的大系統中，復雜性與精確性形成了尖銳的矛盾。L.A.扎德教授從實踐中總結出這樣一條互克性原理：「當系統的復雜性日趨增長時，我們作出系統特性的精確然而有意義的描述的能力將相應降低，直至達到這樣一個閾值，一旦超過它，精確性和有意義性將變成兩個幾乎互相排斥的特性。」這就是說，復雜程度越高，有意義的精確化能力便越低。復雜性意味著因素眾多，時變性大，其中某些因素及其變化是人們難以精確掌握的，而且人們又常常不可能對全部因素和過程都進行精確的考察，而只能抓住其中主要部分，忽略掉所謂的次要部分。這樣，在事實上就給對系統的描述帶來了模糊性。「常規數學方法的應用對於本質上是模糊系統的分析來說是不協調的，它將引起理論和實際之間的很大差距。」因此，必須尋找到一套研究和處理模糊性的數學方法。這就是模糊數學產生的歷史必然性。模糊數學用精確的數學語言去描述模糊性現象，「它代表了一種與基於概率論方法處理不確定性和不精確性的傳統不同的思想，……，不同於傳統的新的方法論」。它能夠更好地反映客觀存在的模糊性現象。因此，它給描述模糊系統提供了有力的工具。L.A.扎德教授於1975年所發表的長篇連載論著《語言變數的概念及其在近似推理中的應用》（《&》），提出了語言變數的概念並探索了它的含義。模糊語言的概念是模糊集合理論中最重要的發展之一，語言變數的概念是模糊語言理論的重要方面。語言概率及其計算、模糊邏輯及近似推理則可以當作語言變數的應用來處理。人類語言表達主客觀模糊性的能力特別引人注目，或許從研究模糊語言入手就能把握住主客觀的模糊性、找出處理這些模糊性的方法。有人預言，這一理論和方法將對控制理論、人工智慧等作出重要貢獻。模糊數學誕生至今僅有22年歷史，然而它發展迅速、應用廣泛。它涉及純粹數學、應用數學、自然科學、人文科學和管理科學等方面。在圖象識別、人工智慧、自動控制、信息處理、經濟學、心理學、社會學、生態學、語言學、管理科學、醫療診斷、哲學研究等領域中，都得到廣泛應用。把模糊數學理論應用於決策研究，形成了模糊決策技術。只要經過仔細深入研究就會發現，在多數情況下，決策目標與約束條件均帶有一定的模糊性，對復雜大系統的決策過程尤其是如此。在這種情況下，運用模糊決策技術，會顯得更加自然，也將會獲得更加良好的效果。編輯本段應用前景模糊數學是研究現實中許多界限不分明問題的一種數學工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊數學和模糊邏輯，能很好地處理各種模糊問題。模式識別是計算機應用的重要領域之一。人腦能在很低的准確性下有效地處理復雜問題。如計算機使用模糊數學，便能大大提高模式識別能力，可模擬人類神經系統的活動。在工業控制領域中，應用模糊數學，可使空調器的溫度控制更為合理，洗衣機可節電、節水、提高效率。在現代社會的大系統管理中，運用模糊數學的方法，有可能形成更加有效的決策。模糊數學這種相當新的數學方法和思想方法，雖有待於不斷完善，但其應用前景卻非常廣闊。編輯本段模糊數學研究[1]模糊數學研究 是一本關注運籌學與模糊學領域最新進展的國際中文期刊，由漢斯出版社發行，主要刊登數學規劃、數學統籌、模糊信息與工程、模糊管理學相關內容的學術論文和成果評述。本刊支持思想創新、學術創新，倡導科學，繁榮學術，集學術性、思想性為一體，旨在為了給世界范圍內的科學家、學者、科研人員提供一個傳播、分享和討論運籌與模糊學領域內不同方向問題與發展的交流平台。運籌學研究研究領域： · 數學規劃· 圖論組合優化· 隨機模型· 決策與對策（博弈）· 金融數學· 統籌論· 軍事運籌· 計算機模擬· 數據挖掘· 統計與預測學· 模糊數學與系統· 啟發式演演算法· 模糊控制· 智能、軟計算· 可靠性· 管理與模糊管理學· 模糊信息與工程編輯本段模糊數學在中國在美國，日本，法國等世界數學強國相繼研究模糊數學，並取得一些階段性的進展的同時，1976年中國開始注意模糊數學的研究，世界著名模糊學家考夫曼（A.kaufman,法國）、山澤（E.SanchZ.法國）、營野（日本）和美籍華人P.P.Z等先後來華講學，推動了我國模糊數學的高速發展，很快就擁有一支較強的研究隊伍。1980年成立了中國模糊集與系統協會。1981年，創辦《模糊數學》雜志，1987年，創辦了《模糊系統與數學》雜志。還出版過大量的頗有價值的論著。例如：汪培庄教授所著《模糊集與隨機集落影》，《模糊集合論及其應用》，張文修教授編著的《模糊數學基礎》等。1988年我國汪培庄教授指導幾位博士生研製成功了一台模糊推理機-----分立元件樣機。它的推理速度為1500萬次/秒，這表明中國在突破模糊信息處理難關方面邁出重要一步。中國科研人員在Fuzzy領域中取得了卓越成就。何新貴院士將Fuzzy方面的論文在國內外權威雜志上發表。這標志著中國研究已經達到國內外先進水平。至此，中國已成為全球四大模糊數學研究中心之一。（美國，西歐，中國，日本）2005年，是一個值得中國所有模糊研究人員和學者慶祝的一個豐收年，在這個豐收年裡有兩件值得慶祝的大事。一，經國際模糊系統協會（IFSA）專家評審，最終確定授予中國四川大學副校長劉應明院士「FuzzyFellow獎」。「FuzzyFellow獎」是模糊數學領域的最高獎項，專門授予得到國際公認的，在模糊數學領域做出傑出貢獻的科學家。二，2005年8月20日，中國運籌會Fuzzy信息與工程分會正式成立。Fuzzy信息與工程分會成立，是隸屬於全國兩大數學方向的一級學會之一------中國運籌會，表明Fuzzy數學在中國已取得了應有的地位，尤其是Fuzzy數學的創始人扎德教授的出席會議，中國運籌學會理事長，中國科學院數學與系統科學研究院副院長袁亞湘教授和廣州大學校長廖建設教授為學會揭牌，這給成立大會增添的極大的光彩。也極大的鼓舞了全國Fuzzy研究工作者。Fuzzy信息與工程分會的宗旨：在完善和加強Fuzzy集理論研究的同時，更側重於Fuzzy技術的應用和Fuzzy產品的開發研究。註：1、廣州大學校長為庾建設。2、中國運籌會Fuzzy信息與工程分會首任理事長為廣州大學曹炳元教授。 http://ke..com/view/24364.htm

J. 什麼叫"模糊數學"

二十世紀六十年代，產生了模糊數學這門新興學科。

模糊數學的產生

現代數學是建立在集合論的基礎上。集合論的重要意義就一個側面看，在與它把數學的抽象能力延伸到人類認識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實就是集合。從這個意義上講，集合可以表現概念，而集合論中的關系和運算又可以表現判斷和推理，一切現實的理論系統都一可能納入集合描述的數學框架。

但是，數學的發展也是階段性的。經典集合論只能把自己的表現力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構成，元素對集合的隸屬關系必須是明確的，決不能模稜兩可。對於那些外延不分明的概念和事物，經典集合論是暫時不去反映的，屬於待發展的范疇。

在較長時間里，精確數學及隨機數學在描述自然界多種事物的運動規律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現象。以前人們迴避它，但是，由於現代科技所面對的系統日益復雜，模糊性總是伴隨著復雜性出現。

各門學科，尤其是人文、社會學科及其它「軟科學」的數學化、定量化趨向把模糊性的數學處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計算機、控制論、系統科學的迅速發展，要使計算機能像人腦那樣對復雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。

我們研究人類系統的行為，或者處理可與人類系統行為相比擬的復雜系統，如航天系統、人腦系統、社會系統等，參數和變數甚多，各種因素相互交錯，系統很復雜，它的模糊性也很明顯。從認識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。

在日常生活中，經常遇到許多模糊事物，沒有分明的數量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠……。在人們的工作經驗中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計算數學之外，還需要模糊數學。

人與計算機相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善於判斷和處理模糊現象。但計算機對模糊現象識別能力較差，為了提高計算機識別模糊現象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設計成機器能接受的指令和程序，以便機器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數學工具，這就推動數學家深入研究模糊數學。所以，模糊數學的產生是有其科學技術與數學發展的必然性。

模糊數學的研究內容

1965年，美國控制論專家、數學家查德發表了論文《模糊集合》，標志著模糊數學這門學科的誕生。

模糊數學的研究內容主要有以下三個方面：

第一，研究模糊數學的理論，以及它和精確數學、隨機數學的關系。察德以精確數學集合論為基礎，並考慮到對數學的集合概念進行修改和推廣。他提出用「模糊集合」作為表現模糊事物的數學模型。並在「模糊集合」上逐步建立運算、變換規律，開展有關的理論研究，就有可能構造出研究現實世界中的大量模糊的數學基礎，能夠對看來相當復雜的模糊系統進行定量的描述和處理的數學方法。

在模糊集合中，給定范圍內元素對它的隸屬關系不一定只有「是」或「否」兩種情況，而是用介於0和1之間的實數來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態。比如「老人」是個模糊概念，70歲的肯定屬於老人，它的從屬程度是 1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為 0，按照查德給出的公式，55歲屬於「老」的程度為0.5，即「半老」，60歲屬於「老」的程度0.8。查德認為，指明各個元素的隸屬集合，就等於指定了一個集合。當隸屬於0和1之間值時，就是模糊集合。

第二，研究模糊語言學和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經常接受模糊語言與模糊信息，並能做出正確的識別和判斷。

為了實現用自然語言跟計算機進行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數學模型，才能給計算機輸入指令，建立和是的模糊數學模型，這是運用數學方法的關鍵。查德採用模糊集合理論來建立模糊語言的數學模型，使人類語言數量化、形式化。

如果我們把合乎語法的標准句子的從屬函數值定為1，那麼，其他文法稍有錯誤，但尚能表達相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續數來表徵它從屬於「正確句子」的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進行定量描述，並定出一套運算、變換規則。目前，模糊語言還很不成熟，語言學家正在深入研究。

人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，採用形式邏輯的排中律，既非真既假，然後進行判斷和推理，得出結論。現有的計算機都是建立在二值邏輯基礎上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。

為了使計算機能夠模擬人腦高級智能的特點，就必須把計算機轉到多值邏輯基礎上，研究模糊邏輯。目前，模糊羅基還很不成熟，尚需繼續研究。

第三，研究模糊數學的應用。模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現是數學適應描述復雜事物的需要，查德的功績在於用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數學與不確定性對象的數學溝通起來，過去精確數學、隨機數學描述感到不足之處，就能得到彌補。在模糊數學中，目前已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學、模糊邏輯學等分支。

模糊數學的應用

模糊數學是一門新興學科，它已初步應用於模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統理論、信息檢索、醫學、生物學等各個方面。在氣象、結構力學、控制、心理學等方面已有具體的研究成果。然而模糊數學最重要的應用領域是計算機職能，不少人認為它與新一代計算機的研製有密切的聯系。

目前，世界上發達國家正積極研究、試制具有智能化的模糊計算機，1986年日本山川烈博士首次試製成功模糊推理機，它的推理速度是1000萬次/秒。1988年，我國汪培庄教授指導的幾位博士也研製成功一台模糊推理機——分立元件樣機，它的推理速度為1500萬次/秒。這表明我國在突破模糊信息處理難關方面邁出了重要的一步。

模糊數學還遠沒有成熟，對它也還存在著不同的意見和看法，有待實踐去檢驗。