高一數學集合練習題

① 高一數學集合練習題

1.已知全集U={X<=5,且x∈N*}，則U={小於等於5的正整數}，A={x2-5x+q=0} （CuA）={除了A中的解剩下的小於等於5的正整數}
（CuA)U B={1,4,3,5}，少了一個2.所以2為A中的一個解 代入得q=6由q=6 可算出A={2，3} 所以（CuA)={1，4，5} 但是（CuA)U B={1,4,3,5}可知B中定有1元素為3 代入3 得p=-7
所以q=6 p=-7

2.你打錯了 因該是A交B不等於空集，因為 集合B就可以算出無數個元素 那麼他們並起來也是無數個 肯定不是空集

② 急！！！高一數學，集合的運算—交集（例題和練習）跪求學霸幫忙！！！

A組1:

集合A的元素是0， 1，2和4. 集合B的元素是1，2，4和8. 集合A和集合B的公共元素是1，2和4.

A組2:
不等式的解是 1<x<4.

你問的問題有點多，讓其他人也回答一部分吧。 ：）

③ 高一數學必修1 習題

高一數學必修1各章知識點總結
第一章 集合與函數概念
一、集合有關概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。
? 注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集） 記作：N
正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

1） 列舉法：{a,b,c……}
2） 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括弧內表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合間的基本關系
1.「包含」關系—子集
注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2．「相等」關系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 「元素相同則兩集合相等」
即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那麼 A?C
④ 如果A?B 同時 B?A 那麼A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 並 集 補 集
定 義 由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A B（讀作『A交B』），即A B=｛x|x A，且x B｝．
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集．記作：A B（讀作『A並B』），即A B ={x|x A，或x B})．
設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）
記作 ，即
CSA=

韋
恩
圖
示

性

質 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．

例題：
1.下列四組對象，能構成集合的是 （ ）
A某班所有高個子的學生 B著名的藝術家 C一切很大的書 D 倒數等於它自身的實數
2.集合{a，b，c }的真子集共有 個
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，則M與N的關系是 .
4.設集合A= ，B= ，若A B，則 的取值范圍是
5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，
兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有 人。
6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數的有關概念
1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變數，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．
注意：
1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。
求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零；
(2)偶次方根的被開方數不小於零；
(3)對數式的真數必須大於零；
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零，
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
? 相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變數和函數值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
2．值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 .
(2) 畫法
A、 描點法：
B、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
（2）無窮區間
（3）區間的數軸表示．
5．映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作「f（對應關系）：A（原象） B（象）」
對於映射f：A→B來說，則應滿足：
(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；
(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
6.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變數的取值情況．
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集．
補充：復合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復合函數。

二．函數的性質
1.函數的單調性(局部性質)
（1）增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那麼就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.
如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)＞f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：函數的單調性是函數的局部性質；
（2） 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那麼說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
○2 作差f(x1)－f(x2)；
○3 變形（通常是因式分解和配方）；
○4 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
○5 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：「同增異減」
注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
8．函數的奇偶性（整體性質）
（1）偶函數
一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函數．
（2）．奇函數
一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函數．
（3）具有奇偶性的函數的圖象的特徵
偶函數的圖象關於y軸對稱；奇函數的圖象關於原點對稱．
利用定義判斷函數奇偶性的步驟：
○1首先確定函數的定義域，並判斷其是否關於原點對稱；
○2確定f(－x)與f(x)的關系；
○3作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數．
注意：函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或藉助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變數之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.
（2）求函數的解析式的主要方法有：
1) 湊配法
2) 待定系數法
3) 換元法
4) 消參法
10．函數最大（小）值（定義見課本p36頁）
○1 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值
○2 利用圖象求函數的最大（小）值
○3 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
例題：
1.求下列函數的定義域：
⑴ ⑵
2.設函數 的定義域為 ，則函數 的定義域為_ _
3.若函數 的定義域為 ，則函數 的定義域是
4.函數 ，若 ，則 =
5.求下列函數的值域：
⑴ ⑵
(3) (4)
6.已知函數 ，求函數 ， 的解析式
7.已知函數 滿足 ，則 = 。
8.設 是R上的奇函數，且當 時, ,則當 時 =
在R上的解析式為
9.求下列函數的單調區間：
⑴ ⑵ ⑶
10.判斷函數 的單調性並證明你的結論．
11.設函數 判斷它的奇偶性並且求證： ．

第二章 基本初等函數
一、指數函數
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那麼 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．
? 負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。
當 是奇數時， ，當 是偶數時，
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
，
? 0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
3．實數指數冪的運算性質
（1） ? ；
（2） ；
（3） ．
（二）指數函數及其性質
1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數，其中x是自變數，函數的定義域為R．
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．
2、指數函數的圖象和性質
a>1 0<a<1

定義域 R 定義域 R
值域y＞0 值域y＞0
在R上單調遞增 在R上單調遞減
非奇非偶函數 非奇非偶函數
函數圖象都過定點（0，1） 函數圖象都過定點（0，1）

注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；
（3）對於指數函數 ，總有 ；
二、對數函數
（一）對數
1．對數的概念：一般地，如果 ，那麼數 叫做以 為底 的對數，記作： （ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明：○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書寫格式．
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 ．
? 指數式與對數式的互化

冪值 真數

＝ N ＝ b

底數
指數 對數
（二）對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那麼：
○1 ? ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：換底公式
（ ，且 ； ，且 ； ）．
利用換底公式推導下面的結論
（1） ；（2） ．
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變數，函數的定義域是（0，+∞）．
注意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
○2 對數函數對底數的限制： ，且 ．
2、對數函數的性質：
a>1 0<a<1

定義域x＞0 定義域x＞0
值域為R 值域為R
在R上遞增 在R上遞減
函數圖象都過定點（1，0） 函數圖象都過定點（1，0）

（三）冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數．
2、冪函數性質歸納．
（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義並且圖象都過點（1，1）；
（2） 時，冪函數的圖象通過原點，並且在區間 上是增函數．特別地，當 時，冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸；
（3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨於 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．
例題：
1. 已知a>0，a 0，函數y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是 ( )

2.計算： ① ;② = ； = ;
③ =
3.函數y=log (2x2-3x+1)的遞減區間為
4.若函數 在區間 上的最大值是最小值的3倍，則a=
5.已知 ，（1）求 的定義域（2）求使 的 的取值范圍

第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對於函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。
2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。
即：方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點．
3、函數零點的求法：
○1 （代數法）求方程 的實數根；
○2 （幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，並利用函數的性質找出零點．
4、二次函數的零點：
二次函數 ．
（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．
（2）△＝0，方程 有兩相等實根，二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．
（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．
5.函數的模型

④ 高中數學必修一，集合內容的練習題。請問：0是最小的自然數，N則表示自然數的集合。那麼此時，如果當K

可以看成是
1÷5=0······1

⑤ 高中B版人教教材 數學必修一 集合1.1，有關課後練習及習題的問題

1.因為N,R,Q,Z是沒有具體數量的，你無法確定它們具體包含多少個元素。所以為無限集。
2.兩個都是錯誤的。
4.兩個數相乘，其中這兩個數都叫做積的因數。我們就說a能被b整除，或b能整除a。a叫b的倍數，b叫a的約數（或因數）。
5.{x | 1 = |x| }
6.對邊相等且平行
如果對你有用的話，剩下的以後再回答。

⑥ 高一數學集合練習題

由已知：方程至少有一個負根
①當a-2=0時，原方程為-4=0，等式不成立，捨去。
②當a-2≠0時：
∵方程有實數解
∴△=[2(a-2)]² - 4•(a-2)•(-4)
=4(a-2)² + 16(a-2)
=4a² - 16a + 16 + 16a - 32
=4a² - 16
=4(a+2)(a-2)>0
則a>2或a<-2
根據韋達定理：x1 + x2=-2，
x1x2=-4/(a-2)
1)當方程只有一個負根時：-4/(a-2)<0
則a>2
2)當方程兩個根都是負值時：-4/(a-2)>0
則a<2
∴a>2或a<-2

⑦ 求上海高一數學練習冊上1到21頁的題目

）||看看是不是這個已知集合A=｛（X，Y）|Y=-X+1｝，集合B=｛（X,Y）|Y=X平方-1｝，求版A交B 已知集合權A=｛X|X是銳角三角形｝，集合B=｛X|X是鈍角3三角形｝，求A交B，A並B 已知結婚A=｛X|X平方+PX+15=0｝，集合B=｛X|X平方-5X+q=0｝，且A交B=｛3｝，求P,q的值和AUB 已知集合A=｛X|X小於等於1｝，集合B=｛X|X大於等於a}且，AUB=R，求a的取值范圍已知結合A=｛X|4-X大於2X+1｝，R為實數集，求CRA 已知集合A=｛1，4，X｝，集合B=｛1，X平方｝，且AUB=A，求X的值及集合A,B 已知集合A=｛X|-2小於等於X小於等於4｝，集合B=｛X|-3小於X小於2｝，集合C=｛X|-3小於等於X小於0｝，求AUB，（A交B）並C，（A並C）交（B並C）已知集合U=｛X|X大於等於2｝，結合A=｛Y|3小於等於Y小魚4｝，集合B=｛Z|2小於等於Z小於5｝，求CUA交B、CUB並B並A

⑧ 高一數學集合入門練習題(要答案） 多多益善！！！

集合元素的「三性」及其應用
集合的特徵是學好集合的基礎，是解集合題的關鍵，它主要指集合元素的確定性、互異性和無序性，這些性質為我們提供了解題的依據，特別是元素的互異性，稍有不慎，就易出錯．
下面就集合元素的這三個性質及應用加以說明．
一、注意正確理解其意義
1．確定性：
即對任意給定的對象，相對於某個集合來說，要麼屬於這個集合，要麼不屬於這個集合，二者必居其一，關鍵是理解「確定」的含義．
2．互異性：
對於一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說是互異的），即同一個集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入任一個集合時，只能作為這個集合的一個元素．
3．無序性：
由於集合中元素是確定且是互異的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素與順序無關．
二、注意正確利用三性解題
例1下列命題正確的有哪幾個？
⑴很小的實數可以構成集合；
⑵集合｛1，5｝與集合｛5，1｝是不同的集合；
⑶集合｛（1，5）｝與集合｛（5，1）｝是同一個集合；
⑷由1，，，∣－∣，0.5 這些數組成的集合有5個元素．
分析：這類題目主要考查對集合概念的理解，解決這類問題的關鍵是以集合中元素的確定性、互異性、無序性為標准作出判斷．
解：⑴很小是一個模糊概念，沒有明確的標准，故我們很難確定某一個對象是否在其中，不符合集合元素的確定性，因此，「很小的實數」不能構成集合，故⑴錯．
⑵｛1，5｝是由兩個數1，5組成的集合，根據集合元素的無序性，它與｛5，1｝是同一個集合，故⑵錯．
⑶｛（1，5）｝是由一個點（1，5）組成的單元素集合，由於（1，5）與（5，1）表示兩個不同的點，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的兩個集合，故⑶錯．
⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5 這些數組成的集合為｛1，，0.5｝，共有3個元素．因此，⑷也錯．
例2已知集合A＝｛，＋，＋2｝，B＝｛，，｝，其中，A＝B，求的值．
分析：本題最常見的錯誤是認為這兩個集合的對應項相同，列出相應的關系式，然後求出的值，這顯然違背了集合的無序性．
解：∵A＝B，及集合元素的無序性，
∴有以下兩種情形：
①
消去，解得＝1，此時＝＝，與集合中元素的互異性矛盾，∴1．
②消去，解得＝－，或＝1（捨去），故的值為－．
評註：本題中，利用集合元素的無序性和兩集合相等時的元素特徵，得出兩個方程組，打開了解題的大門，求出值後，又利用了集合元素的互異性進行檢驗，保證了所求的結果的准確性．
例3設A＝｛x∣＋（b＋2）x＋b＋1＝0，bR｝，求A中所有元素之和．
錯解：由＋（b＋2）x＋b＋1＝0得（x＋1）（x＋b＋1）＝0
（1）當b＝0時，x1 ＝x2－1，此時A中的元素之和為－2．
（2）當b0時，x1 ＋x2＝－b－2．
分析
上述解法錯在（1）上，當b＝0時，方程有二重根－1，集合A＝｛－1｝，故元素之和為－1，犯錯誤的原因是忽視了集合中元素的「互異性」．因此，在列舉法表示集合時，要特別注意元素的「互異性」．
例4已知集合 {2，3,+4+2}， B＝{0,7, +4-2,2-}，且AB={3,7},求值．
分析：
∵ AB={3,7}
∴ +4+2=7．即 =1，或=－5．
至此不少學生認為大功告成，事實上，這只求出了集合A，集合B中的元素是什麼,它是否滿足元素的互異性,有待於進一步檢查．當=－5時,2－=7， 在B中重復出現,這與元素的互異性相矛盾，故應捨去=－5．當=1時, B={0,7,3,1} 且AB={3,7}
∴ =1
評註：集合元素的確定性，互異性，無序性在解題中有重要的指導作用，忽視這一點差之毫釐則失之千里．

集合與函數、導數部分易錯題分析
1．進行集合的交、並、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了藉助數軸和文氏圖進行求解.
2．你會用補集的思想解決有關問題嗎？
3．求不等式（方程）的解集，或求定義域（值域）時，你按要求寫成集合的形式了嗎？
[問題]:、 、 的區別是什麼？
4．絕對值不等式的解法及其幾何意義是什麼？
5．解一元一次不等式（組）的基本步驟是什麼？
[問題]:如何解不等式：？
6．三個二次（哪三個二次？）的關系及應用掌握了嗎？如何利用二次函數求最值？注意到對二次項系數及對稱軸進行討論了嗎？
7．簡單命題與復合命題有什麼區別？四種命題之間的相互關系是什麼？如何判斷充分與必要條件？
[問題]：請舉例說明「否命題」與「命題的否定形式」的區別.
什麼是映射、什麼是一一映射？
[問題]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那麼可以作個A到B上的映射，那麼可以作 個A到B上的一一映射.
9．函數的表示方法有哪一些？如何判斷函數的單調性、周期性、奇偶性？單調性、周期性、奇偶性在函數的圖象上如何反應？什麼樣的函數有反函數？如何求反函數？互為反函數的圖象間有什麼關系？求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，你註明函數的定義域了嗎？
[問題]：已知函數求函數的單調遞增區間.（你處理函數問題是是否將定義域放在首位）
[問題]：已知函數圖象與的圖象關於直線.
10、如何正確表示分數指數冪？指數、對數的運算性質是什麼？
11、你熟練地掌握了指數函數和對數函數的圖象與性質嗎?
[問題]：已知函數上，恆有，則實數取值范圍是： 。
12．你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎？（定義法、導數法）
13．如何應用函數的單調性與奇偶性解題?①比較函數值的大小；②解抽象函數不等式；③求參數的范圍（恆成立問題）.這幾種基本應用你掌握了嗎？
[問題]：寫出函數的圖象及單調區間.時,求函數的最值.這種求函數的最值的方法與利用均值不等式求函數的最值的聯系是什麼？
[問題]：證明「函數的圖象關於直線對稱」與證明「函數與函數的圖象關於直線對稱」有什麼不同嗎？
例題講解
1、忽略的存在：
例題1、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求實數m的取值范圍．
【錯解】AB，解得：
【分析】忽略A=的情況.
【正解】（1）A≠時，AB，解得：；
（2）A= 時，，得.
綜上所述，m的取值范圍是（,
2、分不清四種集合：、、、的區別.
例題2、已知函數，，那麼集合中元素的個數為…………………………………………………………………………（ ）
（A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2
【錯解】：不知題意，無從下手,蒙出答案D.
【分析】：集合的代表元，決定集合的意義，這是集合語言的特徵.事實上，、、、分別表示函數定義域，值域，圖象上的點的坐標，和不等式的解集.
【正解】：本題中集合的含義是兩個圖象的交點的個數.從函數值的唯一性可知，兩個集合的交中至多有一個交點.即本題選C.
3、搞不清楚是否能取得邊界值：
例題3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范圍.
【錯解】因為BA，所以：.
【分析】兩個不等式中是否有等號，常常搞不清楚.
【正解】因為BA，所以：.
4、不理解有關邏輯語言：
例題4、「非空集合M的元素都是集合P的元素」是假命題，則以下四個命題：⑴M的元素都不是P的元素；⑵M中有不屬於P元素；⑶M中有P的元素；⑷M的元素不都是P的元素，其中真命題的個數有……………………………………………………………（ ）
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
【錯解】常見錯誤是認為第（4）個命題不對.
【分析】實際上，由「非空集合M的元素都是集合P的元素」是假命題知非空集合M不是集合P的子集，故「M的元素不都是P的元素」（M的元素有的是、有的不是集合P的元素，或M的元素都不是P的元素）是正確的.
【正解】正確答案是B（2、4兩個命題正確）.
5、解集錯誤地寫成不等式或不注意用字母表示的兩個數的大小：
例題5、若a<0, 則關於x的不等式的解集是 .
【錯解】x<－a或x >5 a
【分析】把解集寫成了不等式的形式；沒搞清5 a和－a的大小.
【正解】{x|x<5 a或x >－a }
6、不能嚴謹地掌握充要條件的概念：
例題6、題甲「a，b，c成等比數列」，命題乙「」，那麼甲是乙的………………（ ）
（A） 充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分又非必要條件
【錯解】選C
【分析】若a，b，c成等比數列，則；若，則有可能.
【正解】正確答案為：D
7、考慮充要條件時，忽略了前提條件：
例題7、△ABC中，「A=B」是「sinA=sinB」的…………………………………（ ）條件
（A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D） 非充分非必要
【錯解】錯選A
【分析】實際上，由「A=B」能推出「sinA=sinB」；在△ABC中，由正弦定理及「sinA=sinB」，可知，從而有「A=B」成立.
【正解】正確答案為C.
8、不能正確地理解有關概念，導致推理錯誤：
例題8、已知直線m、n和平面、，其中m、n，則∥的一個充分不必要條件是：……………………………………………………………………………………（ ）
（A）⊥,⊥ （B） m∥, n∥
（C） ∥,∥ （D）內不共線的三點到的距離相等
【錯解】錯選A.
【分析】注意：尋找的是一個充分不必要條件.
學生往往錯誤地認為：∥某條件，且某條件不能推出∥.
而實際上，應該是：某條件∥，且∥不能推出某條件.
【正解】正確答案為C.
9、邏輯推理混亂：
例題9、使不等式成立的充分而不必要的條件是…………………（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【錯解】搞不清所要求的條件和不等式的關系.
【分析】所要求的「某條件」滿足：（1）「某條件」不等式成立；
（2）「某條件」不等式成立；
【正解】正確答案為：B
10、不會用「等價命題」推理：
例題10、設命題p：|4x－3|≤1，命題q：，若p是q的必要而不充分條件，則實數a的取值范圍是 .【錯解】常見錯誤解答是：.
【分析】解答此題比較好的思路是：由p是q的必要而不充分條件得知p是q的充分而不必要條件，然後再解兩個不等式，求a的取值范圍.【正解】正確答案是.
11、不注意數形結合，導致解題錯誤.
例題11、曲線與直線有兩個不同交點的充要條件是
【錯解】誤將半圓認為是圓.【分析】利用「數形結合」易於找到正確的解題思路.
【正解】可得正確答案為：
透過偽裝抓本質—集合思想及集合語言在解題中的應用
集合是高中數學的基礎，也是高考常考的內容之一。集合思想及集合語言可以滲透到高中數學的各個分支，它可與函數、方程和不等式等許多知識綜合起來進行考查。在解題時首先需要我們能讀懂集合語言，將集合語言轉換為數學語言，再用相關的知識解決問題。本文將通過幾個典型例題的剖析，與大家談談集合思想與集合語言與其它知識的綜合應用。
一、集合與函數
例1、已知集合，，那麼等於 （ ）
A.（0,2）,(1,1) B.{(0,2),(1,1)} C. {1,2} D.
解析：由代表元素可知兩集合均為數集，又P集合中y是函數中的y的取值范圍，故P集合的實質是函數的值域。而Q集合則為函數的定義域，從而易知，選D.
評註：認識一個集合，首先要看其代表元素，再看該元素的屬性，從而確定其實質。
例2、已知A=，B=，若，求k的取值范圍。
分析：A集合是函數的定義域，而B集合中的方程可簡化為：
，故本題的題意是使方程有解的k的取值范圍，顯然即求函數的值域。
解：由，得A=，當
時，可得：，
∴ ∴A=[-3,0]
二、集合與方程
例3、已知，求實數p的取值范圍。
剖析：集合A是方程x2+(p+2)x+1=0的解集，則由，可得兩種情況：
A=φ，則由，得：
方程x2+(p+2)x+1=0無正實根。則或（x1x2=1>0）
於是
例4、已知集合,集合，其中x、t均為實數，求。
剖析：集合A是使方程x2+2tx-4t-3=0的解集為φ的t的取值范圍，集合B是使方程x2+2tx-2t=0有解的t的取值范圍，於是由，得.
三、集合與不等式
例5、已知集合A={a|ax2+4x-1≥-2x2-a恆成立}，B={x| x2-(2m+1)x+m(m+1)<0},
若A∩B≠Φ，求實數m的取值范圍。
分析：集合A是使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a恆成立的a的取值范圍，集合B是不等式x2-(2m+1)x+m(m+1)<0的解集，下面即可用相關知識解決。
解：由不等式ax2+4x-1≥-2x2-a恆成立，可得：(a＋2)x2+4x＋(a-1)≥0(★),
(1)當a+2=0時，即a=-2時,(★)式可化為x>3/4，顯然不符合題意。
(2) 當a+2≠0時，欲使(★)式對任意x均成立，必需滿足
，解之得A=。
又可求得B={x|m<x<m+1},結合數軸，可得：m>1.

四、集合與解幾
例6、已知集合，如果,求實數a的取值范圍。
剖析：從代表元素(x,y)看,這兩個集合均為點集，又x2+mx-y+2=0及x-y+1=0是兩個方程，故A∩B≠φ的實質為兩個曲線有交點的問題，我們將其譯成數學語言即為：「拋物線x2+mx-y+2=0與線段x-y+1=0（0≤x≤2）有公共點，求實數m的取值范圍。」
解：由，得 ①
，方程①在區間[0,2]上至少有一個實數解.
首先，由.
當時，由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知，方程①只有負根，不符合要求；
當時，由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知, 方程①有兩個互為倒數的正根，故必有一根在區間內，從而方程①至少有一個根在區間[0,2]內。
綜上，所求m的取值范圍是。
例7、已知集合，若，求實數a的值。
解：（1）當a=1時，集合B=Φ，符合題意。
（2）當a≠1時，易知A、B兩集合均為點集，其中A集合為直線y=(a+1)(x-2)+3(x≠2)上的點集，B集合為直線上的點集，由，知兩直線無公共點，故又有以下兩種情況：
①若兩直線平行，則-(a+1)=a+1 ∴a=-1
②若直線經過點（2,3），則，解之得：。
綜上：
五、集合與導數
例7、已知，
A=，則B中的元素個數為
A.有3個 B.有2個 C.有且僅有1個 D.不存在
解：由導數的知識可知：A={x|x2-12x+20≤0}＝{x|2≤x≤10},
又，∴
當x∈A時，易知： ∴f(x)在區間[2,10]上為增函數
而可求得f(2)<0,f(10)>0, ∴方程f(x)＝0在區間[2,10]上有且僅有一解。
即集合B中僅有一個元素。
練習：
已知， , 求
已知， , 求
已知， , 求B
（4）已知，，求M

集合學習中的錯誤種種
數學是一門嚴謹的學科，在集合學習中，由於對概念理解不清或考慮問題不全面等，稍不留心就會不知不覺地產生錯誤，本文歸納集合學習中的種種錯誤，認期幫助同學們避免此類錯誤的再次發生．
一、混淆集合中元素的形成
例1集合，，則．
錯解：解方程組得
剖析：產生錯誤的原因在於沒有弄清楚集合中元素的形式，混淆點集與數集．集合中的元素都是有序數對，即平面直角坐標系中的點，而不是數，因而是點集，而不是數集．

二、忽視空集的特殊性
例2已知，，若，則的值為．
錯解：由得
由得或

或3 或
剖析：由於忽視空集的特殊性――空集是任何集合的子集，產生丟解的錯誤，以上只討論了的情形，還應討論的情形，當時，．
的值為．
三、忽視集合中的元素的互異性這一特徵
例3已知集合，，且，求的值．
錯解：，必有
或
剖析：由於忽視集合中元素應互異這一特徵，產生增解的錯誤．求出的值後，還必須檢驗是否滿足集合中元素應互異這一特徵．
事實上，（1）當時，，不滿足中元素應互異這一特徵，故應捨去．
（2）當時，，滿足且集合中元素互異．
的值為1．
四、沒有弄清全集的含義
例4設全集，，求的值．
錯解：且
或
剖析：沒有正確理解全集的含義，產生增解的錯誤．全集中應含有討論集合中的一切元素，所以還須檢驗．
（1）當時，，此時滿足．
（2）當時，，應捨去，．
五、沒有弄清事物的本質
例5若，，試問是否相等．
錯解：
剖析：只看到兩集合的形式區別，沒有弄清事物的本質，事實上是偶數集，也是偶數集，兩集合應相等，盡管形式不同．

換句話說，

兩集合中所含元素完全相同，
六、誤用數學符號
例6用，填空

錯解：
錯誤的原因在於沒有弄清符號「」與「」之間的區別
「」表示元素與集合之間的關系，「」表示集合與集合之間的關系，表示集合，亦是集合，．

集合中的數學思想方法例析
數學思想和數學方法是數學的靈魂，是知識轉化為能力的橋梁，信息社會越來越多的要求人們自覺地運用數學思想提出問題和用數學方法解決問題．近幾年的高考數學試題，越來越注重對數學思想和數學方法的考查，這已成為高考熱點問題．為幫助同學們更好地理解和掌握最常用的基本數學思想和數學方法，特結合同學們已經學過的集合中有關的數學思想方法要點歸納如下，以擴大讀者的視野．
一、等價轉化思想
在解集合問題時，當一種集合的表達式不好入手時，可將其先轉化為另一種形式．比如：將= B或將= A轉化為，將轉化為，將轉化為等．
例1 已知M ={(x，y)| y = x＋a}，N ={(x，y)| x＋y= 2}，求使得=成立的實數a的取值范圍。
解：=等價於方程組無解。
把y = x＋a代入方程x＋y= 2中，消去y，得關於x的一元二次方程2x＋2ax＋a－2= 0。①
問題又轉化為一元二次方程①無實根，即△= (2a)－4×2×(a－2)＜0，由此解得a＞2或a＜－2。
故所求實數a的取值范圍是{a | a＞2或a＜－2。
評析：在理解集合符號的基礎上，准確地將集合語言轉化為初中已學過的數學問題，然後用所學的知識和方法把問題解決．這種轉化可以把抽象知識用簡潔、准確的數學語言表達出來，提高解題效率．
二、分類討論思想
解答集合問題時常常遇到這樣的情況：解題過程中，解到某一步時，不能再以統一的方法、統一的形式繼續進行，因為這時被研究的數學對象已包含了多種可能的情形，必須選定一個標准，根據這個標准劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論的思想方法．
例2 設集合A = {x | x＋4x = 0，xR}，B = {x | x＋2(a＋1)x＋a－1= 0，aR，xR }，若，求實數a的取值范圍。
分析：BA可分為B =，BA，B = A三種情況討論。
解：∵A = {0，－4}，∴BA分以下三種情況：
⑴當B = A時，B= {0，－4}，由此知：0和－4是方程x＋2(a＋1)x＋a－1= 0的兩個根，由根與系數之間的關系，得：
a = 1。
⑵當BA時，又可分為：
①B =時，△= 4(a＋1)－4(a－1)＜0，解得a＜－1；
②B≠時，B = {0}或B = {－4}，並且△= 4(a＋1)－4(a－1) = 0，解得a=－1，此時B = {0}滿足題意。
綜合⑴、⑵知，所求實數a的值為a≤－1或a = 1。
評析：解分類討論問題的實質是將整體化為部分來解決。對於含參數的計劃問題，常需要對參數分類討論。在分類時要注意「不重不漏」。由於空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，B =φ時也滿足BA．所以BA中就應考慮B =與B≠兩種情況，就是說，正是空集引法的分類討論．
三、開放思想
開放型問題是相對於中學課本中有明確條件和結論的封閉型問題而言的．這類問題的知識覆蓋面大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當的深度和難度．集合中的開放型問題問題大多是結論不定性開放型問題．
例3 設集合A = {(x，y)|y－x－1= 0 }，集合B ={(x，y)| 4x＋2x－2y＋5 = 0 }，集合C ={(x，y)| y = kx＋b }，是否存在k，bN，使得？若存在，請求出k，b的值；若不存在，請說明理由．
解：因為，即，所以且．
將y = kx＋b代入y－x－1= 0，得kx＋(2kb－1)x＋b－1= 0，
因為，所以△= (2kb－1)－4k( b－1)＜0，即4k－4kb＋1＜0，若此不等式有解，應有16b－16＞0，即b＞1．①
又將y = kx＋b代入4x＋2x－2y＋5 = 0，得：4x＋(2－2k)x＋(5－2b) = 0，
因為，所以△= (2－2k)－4k(5－2b)＜0，即k－2k＋8b－19＜0，若此不等式有解，應有4－4(8b－19)＞0，解得b＜．②
由不等式①、②及bN，得b = 2．
將b = 2代入由△＜0和△＜0組成的不等式組，得，再注意到kN，求得k = 1．
故存在自然數k = 1，b = 2使得．
評析：在數學命題中，常以適合某種性質的結論「存在(肯定型)」、「不存在(否定型)」、「是否存在(討論型)」等形式出現．「存在」就是有適合某種條件或符合某種性質的對象，對於這類問題無論用什麼方法只要找出一個，就說明存在．「不存在」就是無論用什麼方法都找不出一個適合某種已知條件或性質的對象，這類問題一般需要推理論證．「是否存在」結論有兩種：一種是可能或存在；另一種是不存在，則需要說明理由．

集合解題八項注意
解集合問題時，若對集合的基本概念理解不透徹，或思考不全面，常常致錯，為此，本文對集合解題時提出「八項」注意，希望引起同學們的重視。
1. 注意集合中元素的互異性
集合中任何兩個元素都是不同的，相同元素歸入同一集合時只能算作一個元素，因此集合中元素是沒有重復的，忽視互異性會引出錯解。
例1. ，求實數a的值。
錯解：由題意知：
即
分析：，這與集合元素的互異性相矛盾，捨去。
2. 注意集合元素的含義
集合中元素是有一定意義的，對此，稍有疏忽就會導致解題失誤。
例2. 設，，則_____。
錯解：由方程組解得：
故
分析：導致錯誤的原因是沒有正確理解集合元素的含義，A、B中的元素是有序數對，即表示平面直角坐標系中的點，故
3. 注意的特殊性
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，與任何集合的並集等於集合本身，忽視它的特殊性，同樣會造成解題錯誤。
例3. 已知集合，若，求由實數a組成的集合C。
錯解：因為所以
即，所以
分析：導致錯誤的原因是漏掉的情形，當時，亦滿足條件，可得：

4. 注意字母的取值范圍
當參數包含於多個元素的表達式時，運算過程中容易擴大參數的取值范圍，應注意檢驗，否則會發生錯解。
例4. 已知集合，且
，求實數a的值。
錯解：由，知

分析：當時，
此時矛盾，應捨去。
5. 注意取等的可能性
例5. 已知，，且，求實數a的取值范圍。
分析：由已知得：

註：不要忽略的情況。
6. 注意分類討論的重要性
例6. 已知集合，若，求實數a和b的值。
分析：因為，故，故B中含一個或兩個元素，通過討論，可求出：

7. 注意隱含條件
例7. 全集，求實數a的值。
錯解：因為
所以從而解得：
分析：導致錯誤的原因是沒有考慮到隱含條件，因為S是全集，所以。
當，符合題意；
當時，，不符合題意，故。
註：在解有關含參數的集合題時，需要進行驗證結果是否滿足題中的條件（包含隱含條件）。
8. 回到定義，也是一法
在遇到難入手的題目時，有時回到定義上來，反而變簡單了。
例8. 設，且則S為（ ）
分析：由題意，可求出集合M和N，從而求出p，q，r。
由故解得
由
故又由
例1、已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，求實數a的取值范圍。
分析：本題若直接去解，情形較復雜，也不容易求得正確結果，若我們先考慮其反面，再求其補集，同樣也可以求解。

解：易解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我們不妨先考慮當A∩B＝φ時a的
范圍。如圖
由，得
∴或.
即A∩B＝φ時a的范圍為或.而A∩B≠φ時a的范圍顯然是其補集,從而,易知所求范圍為.
評註：一般地，我們在解時，若正面情形較為復雜，我們就可以先考慮其反面，再利用其補集，求得其解，這就是「補集思想」。
例2、若下列三個方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，試求實數a的取值范圍。
分析：本題的正面有七種情形需要考慮，而其反面只有一種，即「三個方程均無實根」。故先考慮其反面是捷徑。
解：若三個方程均無實根，則有
。設A=
於是三個方程至少有一個方程有實根的實數a的取值范圍為

例3、若x、y、z均為實數，且，求證：a、b、c中至少有一個大於0.
分析：本題直接證明不僅情形較多，而且難於找到思路。若我們能夠證明其反面不能成立，則就能肯定其正面成立。
證明：假設a、b、c均小於等於0，則a＋b＋c≤0,
又a＋b＋c＝x2-2y+y2-2z+z2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恆成立∴假設錯誤，故原命題成立，即a、b、c中至少有一個大於0.