高中數學二次函數

1. 二次函數對以後高中數學有多大的影響

二次函數是高考必考，說難也不難。
記牢公式、熟悉圖像、能夠根據圖像熟悉運用公式，掌握二次函數和一元二次方程的關系（如韋達定理、方程的根和圖像與x軸的交點等等）這些能做到，那麼純二次函數的題目基本是沒問題了
綜合題裡面就需要將題目轉化為二次函數的能力，有點類似應用題，只要找到等量關系或不等關系提煉出二次函數，然後再按純二次函數的題目解答基本OK了， 不過這個時候要注意定義域的范圍。綜合題里往往會有不等式，一次函數，一元二次方程，平面幾何、三角函數等知識點和二次函數的綜合運用。
最後多做練習，答題的時候仔細點不要算錯。

2. 高中數學二次函數的概念

http://wenku..com/search?word=%B6%FE%B4%CE%BA%AF%CA%FD%B5%C4%B8%C5%C4%EE&lm=0&od=0

3. 高一數學 二次函數

同學你抄好，第一問算襲出來是f（x）=ax^2+1/2x+1/2-a，這道題由於a的正負號不確定，所以要分類討論，f（x）-x=ax^2-1/2x+1/2-a≥0，a＞0時，由於開口向上，△≤0即保證函數與f(x)-x與x軸頂多隻有一個交點，這時候解出來是a≥（根號2-1）/4（有可能答案會算錯，但是方法就是這個）；a＜0時，開口向下，這時無論如何都不會滿足題意的，所以最後的答案就是a≥（根號2-1）/4。不懂歡迎繼續追問，祝你學業有成！！

4. 高中數學二次函數如何判斷符號及其Δ

這樣

5. 高一數學二次函數問題講解

加油~~
CHEER YOU UP ~~
一、理解二次函數的內涵及本質 .

二次函數 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常數）中含有兩個變數 x 、 y ，我們只要先確定其中一個變數，就可利用解析式求出另一個變數，即得到一組解；而一組解就是一個點的坐標，實際上二次函數的圖象就是由無數個這樣的點構成的圖形 .

二、熟悉幾個特殊型二次函數的圖象及性質 .

1 、通過描點，觀察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 圖象的形狀及位置，熟悉各自圖象的基本特徵，反之根據拋物線的特徵能迅速確定它是哪一種解析式 .

2 、理解圖象的平移口訣「加上減下，加左減右」 .

y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k 「加上減下」是針對 k 而言的，「加左減右」是針對 h 而言的 .

總之，如果兩個二次函數的二次項系數相同，則它們的拋物線形狀相同，由於頂點坐標不同，所以位置不同，而拋物線的平移實質上是頂點的平移，如果拋物線是一般形式，應先化為頂點式再平移 .

3 、通過描點畫圖、圖象平移，理解並明確解析式的特徵與圖象的特徵是完全相對應的，我們在解題時要做到胸中有圖，看到函數就能在頭腦中反映出它的圖象的基本特徵；

4 、在熟悉函數圖象的基礎上，通過觀察、分析拋物線的特徵，來理解二次函數的增減性、極值等性質；利用圖象來判別二次函數的系數 a 、 b 、 c 、△以及由系數組成的代數式的符號等問題 .

三、要充分利用拋物線「頂點」的作用 .

1 、要能准確靈活地求出「頂點」 . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →頂點（－ h,k ），對於其它形式的二次函數，我們可化為頂點式而求出頂點 .

2 、理解頂點、對稱軸、函數最值三者的關系 . 若頂點為（－ h ， k ），則對稱軸為 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若對稱軸為 x=m ， y 最值 =n ，則頂點為（ m ， n ）；理解它們之間的關系，在分析、解決問題時，可達到舉一反三的效果 .

3 、利用頂點畫草圖 . 在大多數情況下，我們只需要畫出草圖能幫助我們分析、解決問題就行了，這時可根據拋物線頂點，結合開口方向，畫出拋物線的大致圖象 .

四、理解掌握拋物線與坐標軸交點的求法 .

一般地，點的坐標由橫坐標和縱坐標組成，我們在求拋物線與坐標軸的交點時，可優先確定其中一個坐標，再利用解析式求出另一個坐標 . 如果方程無實數根，則說明拋物線與 x 軸無交點 .

從以上求交點的過程可以看出，求交點的實質就是解方程，而且與方程的根的判別式聯系起來，利用根的判別式判定拋物線與 x 軸的交點個數 .

五、靈活應用待定系數法求二次函數的解析式 .

用待定系數法求二次函數的解析式是我們求解析式時最常規有效的方法，求解析式時往往可選擇多種方法，如能綜合利用二次函數的圖象與性質，靈活應用數形結合的思想，不僅可以簡化計算，而且對進一步理解二次函數的本質及數與形的關系大有裨益 .
二次函數y=ax2
學習要求:

1．知道二次函數的意義．

2．會用描點法畫出函數y＝ax2的圖象，知道拋物線的有關概念．

重點難點解析

1.本節重點是二次函數的概念和二次函數y＝ax2的圖象與性質；難點是根據圖象概括二次函數y＝ax2的性質.

2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常數，a≠0)的函數都是二次函數.解析式中只能含有兩

個變數x、y，且x的二次項的系數不能為0，自變數x的取值范圍通常是全體實數，但在實際問題中應使實際量有意義。如圓面積S與圓半徑R的關系式S＝πR2中，半徑R只能取非負數。

3.拋物線y＝ax2的形狀是由a決定的。a的符號決定拋物線的開口方向，當a＞0時，開口向上，拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上)，並向上無限延伸；當a＜0時，開口向下，拋物線在x軸下方(頂點在x軸上)，並向下無限延伸。｜a｜越大，開口越小；｜a｜越小，開口越大.

4.畫拋物線y＝ax2時，應先列表，再描點，最後連線。列表選取自變數x值時常以0為中心，選取便於計算、描點的整數值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，並注意變化趨勢。

本節命題主要是考查二次函數的概念，二次函數y＝ax2的圖象與性質的應用。

核心知識

規則1

二次函數的概念:

一般地，如果是常數，那麼，y叫做x的二次函數．

規則2

拋物線的有關概念:

圖13-14

如圖13-14，函數y=x2的圖象是一條關於y軸對稱的曲線，這條曲線叫拋物線．實際上，二次函數的圖象都是拋物線．拋物線y=x2是開口向上的,y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點．

規則3

拋物線y=ax2的性質:

一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a＞0時，拋物線y=ax2的開口向上，當a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下．

規則4

1.二次函數的概念

(1)定義：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那麼，y叫做x的的二次函數. (2)二次函數y＝ax2+bx+c的結構特徵是：等號左邊是函數y，右邊是自變數x的二次式，x的最高次數是2.其中一次項系數b和常數項c可以是任意實數，而二次項系數a必須是非零實數，即a≠0.

2.二次函數y＝ax2的圖像

圖13-1

用描點法畫出二次函數y＝x2的圖像，如圖13-1，它是一條關於y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.

因為拋物線y＝x2關於y軸對稱，所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線y＝x2的頂點是圖象的最低點.因為拋物線y＝x2有最低點.所以函數y＝x2有最小值，它的最小值就是最低點的縱坐標.

3.二次函數y＝ax2的性質

函數
圖像

開口方向
頂點坐標
對稱軸
函數變化
最大(小)值

y=ax2
a＞0

向上
(0,0)
Y軸
x＞0時，y隨x增大而增大；

x＜0時，y隨x增大而減小.
當x＝0時，y最小＝0.

y=ax2
a＜0

向下
(0,0)
Y軸
x＞0時，y隨x增大而減小；

x＜0時，y隨x增大而增大.
當x＝0時，y最大＝0.

4.二次函數y＝ax2的圖像的畫法

用描點法畫二次函數y＝ax2的圖像時，應在頂點的左、右兩側對稱地選取自變數x的值，然後計算出對應的y值，這樣的對應值選取越密集，描出的圖像越准確.
二次函數y=ax2+bx+c
學習要求：

1．會用描點法畫出二次函數的圖象．

2．能利用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點、的位置．

*3．會由已知圖象上三個點的坐標求出二次函數的解析式．

重點難點

1.本節重點是二次函數y＝ax2+bx+c的圖象和性質的理解及靈活運用，難點是二次函數y＝ax2+bx+c的性質和通過配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式。

2.學習本小節需要仔細觀察歸納圖象的特點以及不同圖象之間的關系。把不同的圖象聯系起來，找出其共性。

一般地幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小(即形狀)完全相同，只是位置不同.

任意拋物線y＝a(x-h)2+k可以由拋物線y＝ax2經過適當地平移得到，具體平移方法如下圖所示：

注意：上述平移的規律是：「h值正、負，右、左移；k值正、負，上、下移」實際上有關拋物線的平移問題，不能死記硬背平移規律，只要先將其解析式化為頂點式，然後根據它們的頂點的位置關系，確定平移方向和平移的距離非常簡便.

圖13-11

例如，要研究拋物線L1∶y＝x2-2x+3與拋物線L2∶y＝x2的位置關系，可將y＝x2-2x+3通過配方變成頂點式y＝(x-1)2+2，求出其頂點M1(1，2)，因為L2的頂點為M2(0，0)，根據它們的頂點的位置，容易看出：由L2向右平移1個單位，再向上平移2個單位，即得L1；反之，由L1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，即得L2.

二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與y＝ax2的圖象形狀完全一樣，它們的性質也有相似之處。當a＞0時，兩條拋物線的開口都向上，並向上無限延伸，拋物線有最低點，y有最小值，當a＜0時，開口都向下，並向下無限延伸，拋物線有最高點，y有最大值.

3.畫拋物線時一定要先確定開口方向和對稱軸、頂點位置，再利用函數對稱性列表，這樣描點連線後得到的才是完整的，比較准確的圖象。否則畫出的圖象，往往只是其中一部分。例如畫y＝- (x+1)2-1的圖象。

列表：

x
-3
-2
-1
0
1
2
3

y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9

描點，連線成如圖13-11所示不能反映其全貌的圖象。

正解：由解析式可知，圖象開口向下，對稱軸是x＝-1,頂點坐標是(-1，-1)

列表：

x
-4
-3
-2
-1
0
1
2

y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5

描點連線：如圖13-12

圖13-12

4.用配方法將二次函數y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次項系數a。常犯的錯誤只提第一項，後面漏提。如y＝- x2+6x-21 寫成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符號弄錯，主要原因是沒有掌握添括弧的規則。

本節命題主要考查二次函數y＝ax2+bx+c的圖象和性質及其在實際生活中的運用。既有填空題、選擇題，又有解答題，與方程、幾何、一次函數的綜合題常作為中考壓軸題。

核心知識

規則1

拋物線 y=a(x-h)2+k 的性質:

一般地，拋物線 y=a(x-h)2+k 與 y=ax2 形狀相同，位置不同．拋物線 y=a(x-h)2+k 有如下特點：

(l) a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下；

(2) 對稱軸是直線x＝h；

(3) 頂點坐標是(h，k)．

規則2

二次函數 y=ax2+bx+c 的性質:

y=ax2+bx+c （ a，b，c 是常數，a≠0）是二次函數，圖象是拋物線．利用配方，可以把二次函數表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以確定這條拋物線的對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ，當a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

規則3

1.二次函數解析式的幾種形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).

(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).

(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.

說明：(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點.

(2)當拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應二次方程ax2+bx+c＝0有實數根x1和

x2存在時，根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數y＝ax2+bx+c可轉化為兩根式y＝a(x-x1)(x-x2).

2.二次函數解析式的確定

確定二次函數解析式，一般仍用待定系數法.由於二次函數解析式有三個待定系數a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而確定二次函數解析式需要已知三個獨立的條件.當已知拋物線上任意三個點的坐標時，選用一般式比較方便；當已知拋物線的頂點坐標時，選用頂點式比較方便；當已知拋物線與x軸兩個點的坐標(或橫坐標x1,x2)時，選用兩根式較為方便.

注意：當選用頂點式或兩根式求二次函數解析式時，最後一般都要化一般式.

3.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像

二次函數y＝ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行於(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數的性質

根據二次函數y＝ax2+bx+c的圖像可歸納其性質如下表：

函數
二次函數y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)

圖

像
a＞0
a＜0

(1)拋物線開口向上，並向上無限延伸.

(2)對稱軸是x＝- ，頂點坐標是(- , ).

(3)當x＜- 時，y隨x的增大而減小；當x＞- 時，y隨x的增大而增大.

(4)拋物線有最低點，當x＝- 時，y有最小值，y最小值＝ .
(1) )拋物線開口向下，並向下無限延伸.

(2)對稱軸是x＝- ，頂點坐標是(- , ).

(3)當x＜- 時，y隨x的增大而增大；當x＞- 時，y隨x的增大而減小.

(4)拋物線有最高點，當x＝- 時，y有最大值，y最大值＝ .

5.求拋物線的頂點、對稱軸、最值的方法

①配方法：將解析式化為y＝a(x-h)2+k的形式，頂點坐標(h,k)，對稱軸為直線x＝h，若a＞0，y有最小值，當x＝h時，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，當x＝h時，y最大值＝k.

②公式法：直接利用頂點坐標公式(- , ),求其頂點；對稱軸是直線x＝- ,若a＞0，y有最小值，當x＝- 時，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，當x＝- 時，y最大值＝ .

6.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像的畫法

因為二次函數的圖像是拋物線，是軸對稱圖形，所以作圖時常用簡化的描點法和五點法，其步驟是：

(1)先找出頂點坐標，畫出對稱軸；

(2)找出拋物線上關於對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等)；

(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來.

7.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像的位置與a、b、c及Δ符號有密切的關系(見下表)：

項

目

字

母

字母的符號
圖像的位置

a
a＞0

a＜0
開口向上 開口向下

b
b=0 ab＞0 ab＜0
對稱軸為y軸 對稱軸在y軸左側 對稱軸在y軸右側

c
c=0 c＞0 c＜0
經過原點 與y軸正半軸相交 與y軸負半軸相交

8.二次函數與一元二次方程的關系

二次函數y＝ax2+bx+c的圖像(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

Δ＞0 拋物線與x軸有2個交點；

Δ＝0 拋物線與x軸有1個交點；

Δ＜0 物線與x軸有0個交點(沒有交點).

6. 高一數學二次函數

f（2+x）=f（2-x）表明對稱軸為x=2

所以設二次函數解析式為：y=a(x-2)²+h
f（0）=3，即：4a+h=0
f（1）=0，即：a+h=1

解得，a=-1/3，h=4/3
所以，y=(-1/3)(x-2)²+(4/3)
即：y=(-1/3)x²+(4/3)x

7. 高中數學知識（二次函數根的分布）

我畫個圖看看，等等啊
以③看當f(k1)=0就要有k1＜-(b/2a)（這個樓主應該明白），
那麼
1.如果-(b/2a)=(k1+k2)/2就是說K1，K2關於對稱軸對稱，但是f（k1)=0就是f（k2）=0情況如圖：有兩個根

2.如果-(b/2a)＞(k1+k2)/2，如圖看到（K1，k2）有兩個根（不符）

3.-(b/2a)＜(k1+k2)/2，不說如圖，有一個根留在（K1,K2）

④也一樣

其實，如果對二次函數對稱性熟悉也可直接判斷

8. 高一數學集合與二次函數基本常識

集合
集合具有某種特定性質的事物的總體。這里的「事物」可以是人，物品，也可以是數學元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：緊急～。2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素：有理數的～。3、口號等等。集合在數學概念中有好多概念，如集合論：集合是現代數學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德國數學家先驅，是集合論的創始者，目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的所有領域。
集合，在數學上是一個基礎概念。什麼叫基礎概念?基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下「定義」。集合
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起，使之成為一個整體(或稱為單體)，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。
元素與集合的關系
元素與集合的關系有「屬於」與「不屬於」兩種。
集合與集合之間的關系
某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。『說明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A?B。若A是B的子集，且A不等於B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A?B。中學教材課本里將?符號下加了一個≠符號(如右圖)，不要混淆，考試時還是要以課本為准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』
定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數。
頂點式：y=a(x-h)²+k或y=a(x+m)²+k (兩個式子實質一樣,但初中課本上都是第一個式子)
交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
二次函數表達式的右邊通常為二次。
x是自變數，y是x的二次函數
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二次函數圖像
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b²-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
Δ= b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b²－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)
7.定義域：R
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b²)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：偶函數
周期性：無
解析式：
①y=ax²+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；
⑷Δ=b²-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)²+t[配方式]
此時，對應極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式]
a≠0，此時，x1、x2即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。
二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax²+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax²+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)² +k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
y=ax²
y=ax²+K
y=a(x-h)²
y=a(x-h)²+k
y=ax²+bx+c

頂點坐標
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)

對 稱 軸
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²-k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x+h)²+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．
3．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b²-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax²+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．

9. 高中數學二次函數

供參考。