高一必修4數學三角函數

㈠ 高一數學必修4三角函數

三角函數圖像平移變換

由
y
＝
sin
x
的圖象變換出
y
＝
sin(
ω
x
＋

)
的圖象一般有兩個途徑，
只有區別開這兩個
途徑，才能靈活進行圖象變換。

利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移後伸縮，但先伸縮後平移也經常出現
無論哪種
變形，請切記每一個變換總是對字母
x
而言，即圖象變換要看
「變數」起多大變化，而不是
「角變化」多少。

途徑一：先平移變換再周期變換
(
伸縮變換
)
先將
y
＝
sin
x
的圖象向左
(

＞
0)
或向右
(

＜
0
＝平移｜

｜個單位，再將圖象上各點
的橫坐標變為原來的

1
倍
(
ω
＞
0)
，便得
y
＝
sin(
ω
x
＋

)
的圖象。

途徑二：先周期變換
(
伸縮變換
)
再平移變換。

先將
y
＝
sin
x
的圖象上各點的橫坐標變為原來的

1
倍
(
ω
＞
0)
，再沿
x
軸向左
(

＞
0)
或向右
(

＜
0
＝平移


|
|
個單位，便得
y
＝
sin(
ω
x
＋

)
的圖象。

㈡ 高一數學必修4三角函數例題

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．函數f(x)＝3sin(x2－π4)，x∈R的最小正周期為()
A.π2 B．π
C．2π D．4π
【解析】T＝2πω＝2π12＝4π.
【答案】D
2．化簡sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝()
A．2sin α B．2cos α
C．sin α＋cos α D．0
【解析】sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝sin(π－α)＋cos(π2＋α)＝sin α－sin α＝0.
【答案】D
3．函數f(x)＝tan ωx(ω＞0)圖像的相鄰的兩支截直線y＝π4所得線段長為π4，則f(π4)的值是()
A．0 B．1
C．－1 D.π4
【解析】由題意知截得線段長為一周期，∴T＝π4，
∴ω＝ππ4＝4，
∴f(π4)＝tan (4×π4)＝0.
【答案】A
4．已知角α的終邊上一點的坐標為(sin 2π3，cos 2π3)，則角α的最小正值為
()
A.5π6 B.2π3
C.5π3 D.11π6
【解析】∵sin 2π3>0，cos 2π3<0，
∴點(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．
又∵tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33，
∴α的最小正值為2π－16π＝116π.
【答案】D
5．要得到函數y＝sin(4x－π3)的圖像，只需把函數y＝sin 4x的圖像()
A．向左平移π3個單位長度
B．向右平移π3個單位長度
C．向左平移π12個單位長度
D．向右平移π12個單位長度
【解析】由於y＝sin(4x－π3)＝sin[4(x－π12)]，所以只需把y＝sin 4x的圖像向右平移π12個單位長度，故選D.
【答案】D
6．設函數f(x)＝sin(2x＋π3)，則下列結論正確的是()
A．f(x)的圖像關於直線x＝π3對稱
B．f(x)的圖像關於點(π4，0)對稱
C．把f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，得到一個偶函數的圖像
D．f(x)的最小正周期為π，且在[0，π6]上為增函數
【解析】f(π3)＝sin(2×π3＋π3)＝sin π＝0，故A錯；
f(π4)＝sin(2×π4＋π3)＝sin(π2＋π3)＝cos π3＝12≠0，故B錯；把f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，得到y＝cos 2x的圖像，故C正確．
【答案】C
7．(2012•福建高考)函數f(x)＝sin(x－π4)的圖像的一條對稱軸是()
A．x＝π4 B．x＝π2
C．x＝－π4 D．x＝－π2
【解析】法一∵正弦函數圖像的對稱軸過圖像的最高點或最低點，
故令x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋3π4，k∈Z.
取k＝－1，則x＝－π4.
法二x＝π4時，y＝sin(π4－π4)＝0，不合題意，排除A；x＝π2時，y＝sin(π2－π4)＝22，不合題意，排除B；x＝－π4時，y＝sin(－π4－π4)＝－1，符合題意，C項正確；而x＝－π2時，y＝sin(－π2－π4)＝－22，不合題意，故D項也不正確．
【答案】C
8．(2013•西安高一檢測)下列函數中，以π為周期且在區間(0，π2)上為增函數的函數是()
A．y＝sinx2 B．y＝sin x
C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x
【解析】C、D中周期為π，A、B不滿足T＝π.
又y＝－tan x在(0，π2)為減函數，C錯．
y＝－cos 2x在(0，π2)為增函數．
∴y＝－cos 2x滿足條件．
【答案】D
9．已知函數y＝sin πx3在區間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數t的最小值為()
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】T＝6，則5T4≤t，如圖：
∴t≥152，∴tmin＝8.

故選C.
【答案】C
10．(2012•天津高考)將函數f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的圖像向右平移π4個單位長度，所得圖像經過點(3π4，0)，則ω的最小值是()
A.13 B．1
C.53 D．2
【解析】根據題意平移後函數的解析式為y＝sin ω(x－π4)，將(3π4，0)代入得sin ωπ2＝0，則ω＝2k，k∈Z，且ω>0，故ω的最小值為2.
【答案】D
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填在題中的橫線上)
11．已知圓的半徑是6 cm，則15°的圓心角與圓弧圍成的扇形的面積是________cm2.
【解析】15°＝π12，∴扇形的面積為S＝12r2•α＝12×62×π12＝3π2.
【答案】3π2
12．sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.
【解析】原式＝－sin(180°－60°)•cos(3•360°＋210°)＋cos(－1 080°＋60°)•sin(－3×360°＋30°)
＝－sin 60°cos(180°＋30°)＋cos 60°•sin 30°
＝－32×(－32)＋12×12＝1.
【答案】1
13．(2013•江蘇高考)函數y＝3sin(2x＋π4)的最小正周期為________．
【解析】函數y＝3sin(2x＋π4)的最小正周期T＝2π2＝π.
【答案】π

圖1
14．已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖像如圖所示，則ω＝________.
【解析】由圖像可知，
T＝4×(2π3－π3)＝4π3，
∴ω＝2πT＝32.
【答案】32
15．關於x的函數f(x)＝sin(x＋φ)有以下命題：
①對於任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數；②不存在φ，使f(x)既是奇函數又是偶函數；③存在φ，使f(x)是奇函數；④對任意的φ，f(x)都不是偶函數．
其中假命題的序號是________．
【解析】當φ＝2kπ，k∈Z時，f(x)＝sin x是奇函數；
當φ＝(2k＋1)π，k∈Z時，f(x)＝－sin x仍是奇函數；
當φ＝2kπ＋π2，k∈Z時，f(x)＝cos x或φ＝2kπ－π2，k∈Z時，f(x)＝－cos x都是偶函數．
所以①和④是錯誤的，③是正確的．
又因為φ無論取何值都不能使f(x)恆為零，故②正確．所以填①④.
【答案】①④
三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16．(本小題滿分12分)已知角x的終邊過點P(1，3)．
(1)求：sin(π－x)－sin(π2＋x)的值；
(2)寫出角x的集合S.
【解】∵x的終邊過點P(1，3)，
∴r＝|OP|＝12＋32＝2.
∴sin x＝32，cos x＝12.
(1)原式＝sin x－cos x＝3－12.
(2)由sin x＝32，cos x＝12.
若x∈[0,2π]，則x＝π3，
由終邊相同角定義，∴S＝{x|x＝2kπ＋π3，k∈Z}.
17．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)圖像上的一個最高點的坐標為(π8，22)，則此點到相鄰最低點間的曲線與直線y＝2交於點(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．
(1)試求這條曲線的函數表達式；
(2)求函數的對稱中心．
【解】(1)由題意得A＝22－2＝2.
由T4＝3π8－π8＝π4，
∴周期為T＝π.
∴ω＝2πT＝2ππ＝2，
此時解析式為y＝2sin(2x＋φ)＋2.
以點(π8，22)為「五點法」作圖的第二關鍵點，則有
2×π8＋φ＝π2，
∴φ＝π4，
∴y＝2sin(2x＋π4)＋2.
(2)由2x＋π4＝kπ(k∈Z)得x＝kπ2－π8(k∈Z)．
∴函數的對稱中心為(kπ2－π8，2)(k∈Z)．
18．(本小題滿分12分)(2012•陝西高考)函數f(x)＝Asin(ωx－π6)＋1(A>0，ω>0)的最大值為3，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)設α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．
【解】(1)∵函數f(x)的最大值為3，∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函數f(x)的解析式為y＝2sin(2x－π6)＋1.
(2)∵f(α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，
∴sin(α－π6)＝12.
∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，
∴α－π6＝π6，∴α＝π3.
19．(本小題滿分13分)已知y＝a－bcos 3x(b>0)的最大值為32，最小值為－12.
(1)求函數y＝－4asin(3bx)的周期、最值，並求取得最值時的x的值；
(2)判斷(1)問中函數的奇偶性．
【解】(1)∵y＝a－bcos 3x，b>0，
∴ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12，解得a＝12，b＝1.
∴函數y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x，
∴此函數的周期T＝2π3.
當x＝2kπ3＋π6(k∈Z)時，函數取得最小值－2；
當x＝2kπ3－π6(k∈Z)時，函數取得最大值2.
(2)∵函數解析式為y＝－2sin 3x，x∈R，
∴－2sin(－3x)＝2sin 3x，即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)為奇函數．
20．(本小題滿分13分)函數f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的一段圖像過點(0,1)，如圖所示．

圖2
(1)求函數f1(x)的表達式；
(2)將函數y＝f1(x)的圖像向右平移π4個單位，得函數y＝f2(x)的圖像，求y＝f2(x)的最大值，並求出此時自變數x的集合，並寫出該函數的增區間．
【解】(1)由題意知T＝π＝2πω，∴ω＝2.
將y＝Asin 2x的圖像向左平移π12，得y＝Asin(2x＋φ)的圖像，於是φ＝2×π12＝π6.
將(0,1)代入y＝Asin(2x＋π6)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋π6)．
(2)依題意，f2(x)＝2sin[2(x－π4)＋π6]
＝－2cos(2x＋π6)，xKb 1. Com
∴y＝f2(x)的最大值為2.
當2x＋π6＝2kπ＋π(k∈Z)，
即x＝kπ＋5π12(k∈Z)時，ymax＝2，
x的集合為{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}．
∵y＝cos x的減區間為x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，
∴f2(x)＝－2cos (2x＋π6)的增區間為{x|2kπ≤2x＋π6≤2kπ＋π，k∈Z}，解得{x|kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z}，
∴f2(x)＝－2cos(2x＋π6)的增區間為x∈[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.

圖3
21．(本小題滿分13分)已知定義在區間[－π，2π3]上的函數y＝f(x)的圖像關於直線x＝－π6對稱，當x∈[－π6，2π3]時，函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)，其圖像如圖所示．
(1)求函數y＝f(x)在[－π，2π3]上的表達式；
(2)求方程f(x)＝22的解．
【解】(1)由圖像可知，A＝1，T4＝2π3－π6＝π2，
∴T＝2π.
∴ω＝2πT＝2π2π＝1.
∵f(x)＝sin(x＋φ)過點(2π3，0)，
∴2π3＋φ＝π.
∴φ＝π3.
∴f(x)＝sin(x＋π3)，x∈[－π6，2π3]．
∵當－π≤x<－π6時，－π6≤－x－π3≤2π3，
又∵函數y＝f(x)在區間[－π，2π3]上的圖像關於直線x＝－π6對稱，
∴f(x)＝f(－x－π3)＝sin[(－x－π3)＋π3]＝sin(－x)＝－sin x，x∈[－π，－π6]．
∴f(x)＝sinx＋π3，x∈[－π6，2π3]，－sin x，x∈[－π，－π6.
(2)當－π6≤x≤2π3時，π6≤x＋π3≤π.
由f(x)＝sin(x＋π3)＝22，得x＋π3＝π4或x＋π3＝3π4，
∴x＝－π12或x＝5π12.
當－π≤x<－π6時，由f(x)＝－sin x＝22，即sin x＝－22得x＝－π4或x＝－3π4.
∴方程f(x)＝22的解為x＝－π12或5π12或－π4或－3π4.

㈢ 高中數學必修四的三角函數的所有公式。

這個東西給你也沒用。自己去推導。不然肯定全部不會用·
樓上的公式有什麼用。 還有其他的很多東西都沒有覆蓋到。

㈣ 高一數學必修四三角函數總結

同角三角函數的基本關系倒數關系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的關系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方關系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 一個特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 證明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ） =2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我們通常半坡面的鉛直高度h與水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示， 即 i=h / l, 坡度的一般形式寫成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作 a(叫做坡角），那麼 i=h/l=tan a. 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 餘弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 萬能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))^2;] cosα=[1-(tan(α/2))^2]/[1+(tan(α/2))^2] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))^2] 半形公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化積 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 兩角和公式 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ 積化和差 sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 誘導公式 公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式二： 設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系： sin（π+α）= -sinα cos（π+α）= -cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意角α與 -α的三角函數值之間的關系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z)

㈤ 高中數學必修4三角函數公式大全

公式一：
設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：
設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α與 -α的三角函數值之間的關系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

誘導公式記憶口訣

※規律總結※
上面這些誘導公式可以概括為：
對於k·π/2±α(k∈Z)的個三角函數值，
①當k是偶數時，得到α的同名函數值，即函數名不改變；
②當k是奇數時，得到α相應的余函數值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇變偶不變）
然後在前面加上把α看成銳角時原函數值的符號。
（符號看象限）

例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4為偶數，所以取sinα。
當α是銳角時，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符號為「－」。
所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的記憶口訣是：
奇變偶不變，符號看象限。
公式右邊的符號為把α視為銳角時，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函數值的符號可記憶
水平誘導名不變；符號看象限。
各種三角函數在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣「一全正；二正弦；三為切；四餘弦」．
這十二字口訣的意思就是說：
第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是「＋」；
第二象限內只有正弦是「＋」，其餘全部是「－」；
第三象限內切函數是「＋」，弦函數是「－」；
第四象限內只有餘弦是「＋」，其餘全部是「－」．

其他三角函數知識：

同角三角函數基本關系

⒈同角三角函數的基本關系式
倒數關系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的關系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方關系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函數關系六角形記憶法

六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）
構造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。
（1）倒數關系：對角線上兩個函數互為倒數；
（2）商數關系：六邊形任意一頂點上的函數值等於與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。
（主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積）。由此，可得商數關系式。
（3）平方關系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等於下面頂點上的三角函數值的平方。

兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、餘弦和正切公式（升冪縮角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)

半形公式

⒋半形的正弦、餘弦和正切公式（降冪擴角公式）

1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2

1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα

萬能公式

⒌萬能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)

萬能公式推導

附推導：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因為cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))
然後用α/2代替α即可。
同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比餘弦得到。

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、餘弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)

三倍角公式推導

附推導：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式聯想記憶

記憶方法：諧音、聯想
正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負數)，所以要「掙錢」(音似「正弦」)）
餘弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之後還有「余」）
☆☆注意函數名，即正弦的三倍角都用正弦表示，餘弦的三倍角都用餘弦表示。

和差化積公式

⒎三角函數的和差化積公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2

α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2

積化和差公式

⒏三角函數的積化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化積公式推導

附推導：
首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了積化和差的四個公式以後,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.
我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那麼a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

向量的運算
加法運算
AB＋BC＝AC，這種計演算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計演算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對於零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。

減法運算
與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

數乘運算
實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|＝|λ||a|，當λ > 0時，λa的方向和a的方向相同，當λ < 0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa = 0。
設λ、μ是實數，那麼：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

㈥ 高一數學必修四 三角函數

cos（π+A）= -cosA=-1/2
cosA=1/2
sin（ π/2 + A）= cosA=1/2

公式背出來就可以了