數學傳播

A. 什麼是勾股定理

定義
在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的長的平方和等於斜邊長的平方。
勾股定理(6張)簡介
勾股定理是餘弦定理的一個特例。這個定理在中國又稱為「商高定理」，在外國稱為「畢達哥拉斯定理」或者「百牛定理「。（畢達哥拉斯發現了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」），法國、比利時人又稱這個定理為「驢橋定理」。他們發現勾股定理的時間都比我國晚，我國是最早發現這一幾何寶藏的國家。 目前初二學生學，教材的證明方法採用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。 勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。 直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麼a^2+b^2=c^2。
勾股定理指出
直角三角形兩直角邊（即「勾」「股」短的為勾，長的為股）邊長平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。 也就是說設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼 a的平方+b的平方=c的平方a^2+b^2=c^2 勾股定理現發現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。 我國古代著名數學家商高說：「若勾三，股四，則弦五。」它被記錄在了《九章算術》中。
勾股數組
滿足勾股定理方程 a^2+b^2=c^2;的正整數組(a，b，c)。例如(3，4，5)就是一組勾股數組。 由於方程中含有3個未知數，故勾股數組有無數多組。 勾股數組的通式： a=M^2-N^2 b=2MNc=M^2+N^2 (M>N,M,N為正整數）
推廣
1、如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩直角邊看作在平面直角坐標系坐標軸上的投影，則可以從另一個角度考察勾股定理的意義。即，向量長度的平方等於它在其所在空間一組正交基上投影長度的平方之和。 2．勾股定理是餘弦定理的特殊情況。 勾股定理
曲安京： 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明。 刊於《數學傳播》20卷， 台灣， 1996年9月第3期， 20-27頁。 周髀算經， 文物出版社，1980年3月， 據宋代嘉定六年本影印，1-5頁。 陳良佐： 周髀算經勾股定理的證明與出入相補原理的關系。 刊於《漢學研究》, 1989年第7卷第1期， 255-281頁。 李國偉： 論「周髀算經」「商高曰數之法出於圓方」章。 刊於《第二屆科學史研討會匯刊》, 台灣， 1991年7月， 227-234頁。 李繼閔： 商高定理辨證。 刊於《自然科學史研究》,1993年第12卷第1期，29-41頁 。
編輯本段勾股定理
定理
如果直角三角形兩直角邊分別為A，B，斜邊為C，那麼 A^2+B^2=C^2 ； 即直角三角形兩直角邊長的平方和等於斜邊長的平方。 古埃及人用這樣的方法畫直角
如果三角形的三條邊A，B，C滿足A^2+B^2=C^2;，還有變形公式：AB=根號（AC^2+BC^2），如：一條直角邊是a，另一條直角邊是b，如果a的平方與b的平方和等於斜邊c的平方那麼這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）
勾股定理的來源
畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。 畢達哥拉斯
在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明[1]。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。 常用勾股數組(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25) 有關勾股定理書籍 《數學原理》人民教育出版社 《探究勾股定理》同濟大學出版社 《優因培教數學》北京大學出版社 《勾股書籍》 新世紀出版社 《九章算術一書》 《優因培揭秘勾股定理》江西教育出版社 《幾何原本》 （原著：歐幾里得）人民日報出版社
畢達哥拉斯樹
畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次後 的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。 直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。 兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。 利用不等式A^2+B^2≥2AB可以證明下面的結論： 三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於一個小正方形面積的二分之一。 畢達哥拉斯樹
常見的勾股數
勾 股 弦
3K 4K 5K
6K 8K 10K
5K 12K 13K
7K 24K 25K
8K 15K 17K
9K 40K 41K
...... ...... ......
註：3K,4K,5K即3,4,5的同一倍數 勾股數 A=s^2-t^2 B=2st C=s^2+t^2 其中s>t,且s，t為正整數。
勾、股、弦的比例
1：√3：2 (一個銳角為30°的直角三角形) 1：1：√2（等腰直角三角形）
編輯本段最早的勾股定理應用

從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發現「勾股定理」的，這里只舉一例。例如公元前1700年的一塊泥板（編號為BM85196）上第九題，大意為「有一根長為5米的木樑（AB）豎直靠在牆上，上端（A）下滑一米至D。問下端（C）離牆根（B）多遠？」他們解此題就是用了勾股定理，如圖 設AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米 ∵a=√[l^2-（l-h)^2]=√[5^2-(5-1)^2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股三角形。
編輯本段《周髀算經》中勾股定理的公式與證明
《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。 首先，《周髀算經》中明確記載了勾股定理的公式：「若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日」（《周髀算經》上卷二） 而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經》上卷一[2] —— 昔者周公問於商高曰：「竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」 商高曰：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。」 周公對古代伏羲（包犧）構造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請教商高數學知識從何而來。於是商高以勾股定理的證明為例，解釋數學知識的由來。 《周髀算經》證明步驟
「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。」：解釋發展脈絡——數之法出於圓（圓周率三）方（四方），圓出於方（圓形面積=外接正方形*圓周率/4），方出於矩（正方形源自兩邊相等的矩），矩出於九九八十一（長乘寬面積計算依自九九乘法表）。 「故折矩①，以為句廣三，股修四，徑隅五。」：開始做圖——選擇一個 勾三（圓周率三）、股四（四方） 的矩，矩的兩條邊終點的連線應為5（徑隅五）。 「②既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。」：這就是關鍵的證明過程——以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據矩的弦外面再畫一個矩（曲尺，實際上用作直角三角），將「外半其一矩」得到的三角形剪下環繞復制形成一個大正方形，可看到其中有 邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方 三個正方形。 「兩矩共長③二十有五，是謂積矩。」：此為驗算——勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積後為弦方，再是 大正方形 減去 右上、左下兩個長方形面積後為 勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出 四個三角形面積 等於 右上、左下兩個長方形面積，所以 勾方+股方=弦方。 注意： ① 矩，又稱曲尺，L型的木匠工具，由長短兩根木條組成的直角。古代「矩」指L型曲尺，「矩形」才是「矩」衍生的長方形。 ② 「既方之，外半其一矩」此句有爭議。清代四庫全書版定為「既方其外半之一矩」，而之前版本多為「既方之外半其一矩」。經陳良佐[3]、李國偉[4]、李繼閔[5]、曲安京[1]等學者研究，「既方之，外半其一矩」更符合邏輯。 ③ 長指的是面積。古代對不同維度的量綱比較，並沒有發明新的術語，而統稱「長」。趙爽注稱：「兩矩者， 句股各自乘之實。共長者, 並實之數。 由於年代久遠，周公弦圖失傳，傳世版本只印了趙爽弦圖（造紙術在漢代才發明）。所以某些學者誤以為商高沒有證明（只是說了一段莫名其妙的話），後來趙爽才給出證明。 其實不然，摘錄趙爽注釋《周髀算經》時所做的《句股圓方圖》[2]——「句股各自乘， 並之為弦實, 開方除之即弦。案：弦圖又可以句股相乘為朱實二， 倍之為朱實四, 以句股之差自相乘為中黃實， 加差實亦成弦實。」 趙爽弦圖
注意「案」中的「弦圖又可以」、「亦成弦實」，「又」「亦」二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明，於是他給出了新的證明。 下為趙爽證明—— 青朱出入圖
三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青方並成弦方。依其面積關系有A^2+B^2=C^2.由於朱方、青方各有一部分在玄方內，那一部分就不動了。 以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以盈補虛，只要把圖中朱方（A2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（C……2 ）．由此便可證得a^2+b^2=c^2.
編輯本段加菲爾德證明勾股定理的故事
1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，加菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什麼。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是加菲爾德 便問他們在干什麼？那個小男孩頭也不抬地說：「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」加菲爾德答道：「是5呀。」小男孩又問道：「如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」加菲爾德不加思索地回答到：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方．」小男孩說：「先生，你能說出其中的道理嗎？」加菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。加菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。 如下： 解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等於以斜邊為邊長的正方形面積。 勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方， a^2+b^2=c^2; 說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為「勾」，較長直角邊為「股」，斜邊稱為「弦」，所以把這個定理稱為「勾股定理」。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。 舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 則說明斜邊為5。

編輯本段多種證明方法
這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《畢達哥拉斯命題》）一書中總共提到367種證明方式。 有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。
證法1
作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上。 過點C作AC的延長線交DF於點P. ∵ D、E、F在一條直線上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一個邊長為c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一個邊長為a的正方形。 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S，則 A^2+B^2=C^2
證法2
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形。 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QP∥BC，交AC於點P. 過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點 F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A^2+B^2=C^2
證法3
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再作一個邊長為c的正方形。 把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直線上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直線上， A^2+B^2=C^2.
證法4
作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結 BF、CD. 過C作CL⊥DE， 交AB於點M，交DE於點L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面積等於， ΔGAD的面積等於矩形ADLM 的面積的一半， ∴ 矩形ADLM的面積 =. 同理可證，矩形MLEB的面積 =. ∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ∴ 即A^2+B^2=C^2
證法5(歐幾里得的證法)
《幾何原本》中的證明 在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下： 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。 其證明如下： 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB²。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2;。 把這兩個結果相加， AB^2;+ AC^2;; = BD×BK + KL×KC 。由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB^2;+ AC^2;= BC^2;。 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
證法6（歐幾里德(Euclid)射影定理證法）
如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高 通過證明三角形相似則有射影定理如下： （1）（BD）^2;=AD·DC， （2）（AB）^2;=AD·AC ， （3）（BC）^2;=CD·AC 。 由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;， 圖1即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，這就是勾股定理的結論。 圖1
證法七（趙爽弦圖）
在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。於是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）^2;=c^2; 化簡後便可得：a^2;+b^2;=c^2; 亦即：c=(a^2;+b^2;)1/2 勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。 我國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰「故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。」因此，勾股定理在我國又稱「商高定理」。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即「以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得邪至日。 在法國和比利時，勾股定理又叫「驢橋定理」。還有的國家稱勾股定理為「平方定理」。 在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為「畢達哥拉斯」定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做「百牛定理」． 前任美國第二十屆總統伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。 1 周髀算經， 文物出版社,1980年3月， 據宋代嘉定六年本影印,1-5頁。 2. 陳良佐： 周髀算經勾股定理的證明與出入相補原理的關系。 刊於《漢學研究》， 1989年第7卷第1期, 255-281頁。 3. 李國偉: 論「周髀算經」「商高曰數之法出於圓方」章。 刊於《第二屆科學史研討會匯刊》， 台灣, 1991年7月， 227-234頁。 4. 李繼閔： 商高定理辨證。 刊於《自然科學史研究》，1993年第12卷第1期,29-41頁 。 5. 曲安京: 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明。 刊於《數學傳播》20卷， 台灣, 1996年9月第3期， 20-27頁
證法8（達芬奇的證法）
達芬奇的證法
三張紙片其實是同一張紙，把它撕開重新拼湊之後，中間那個「洞」的面積前後仍然是一樣的，但是面積的表達式卻不再相同，讓這兩個形式不同的表達式相等，就能得出一個新的關系式——勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個共同點。觀察紙片一，因為要證的事勾股定理，那麼容易知道EB⊥CF，又因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。然後需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結AD，因為對稱的緣故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那麼很明顯，圖三中角A'和角D'都是直角。 證明： 第一張中多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三張中多邊形A'B'C'D'E'F'的面積S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因為S1=S2 所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E' 又因為C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 所以OF2+OE2=E'F'2 因為E'F'=EF 所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得證。
證法9
從這張圖可以得到一個矩形和三個三角形，推導公式如下：
b ( a + b )= 1/2c^2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面積 =(中間三角形)+（下方）2個直角三角形+（上方）1個直 角三角形。 (簡化) 2ab + 2b^2;= c^2; + b^2;- a^2;+ 2ab 2b^2; - b^2;+ a^2;= c^2; a^2; + b^2;= c^2; 註：根據加菲爾德圖進一步得到的圖形。
編輯本段習題及答案
將直角三角形ABC繞直角頂點C旋轉，使點A落在BC邊上的A',利用陰影部分面積完成勾股定理的證明。∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c;求證：a^2+b^2=c^2. 答案 證明：作△A'B'C'≌△ABC使點A的對應點A'在BC上，連接AA' 、BB'， 延長B'A'交AB於點M 。 ∵△A'B'C是由△ABC旋轉所得 ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C ∴∠A'B'C=∠ABC 延長B'A'交AB於點M 則∠A'B'C+∠B'A'C=90° 而∠B'A'C=∠MA'B（對頂角相等） ∴∠MBA'+MA'B=90° ∴B'M⊥AB ∴Rt△ABC∽Rt△A'BM ∴A'B/AB=A'M/AC 即(a-b)/c=A'M/b ∴A'M=(a-b)·b/c ∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M] =(1/2)·c·[c+(a-b)·b/c] =(1/2)c^2+(1/2)(a-b)·b =(1/2)[c^2+ab-b^2] S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab) 而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B ∴(1/2)[c^2+ab-b^2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a^2-ab) 則c^2+ab-b^2=2ab+a^2-ab ∴a^2+b^2=c^2. 勾股數
定義
勾股數又名畢氏三元數 凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為勾股數。
介紹
①觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…發現這些勾股數都是奇數，且從3起就沒有間斷過。計算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），並根據你發現的規律寫出分別能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根據①的規律，用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關系，並對其中一種猜想加以說明。 ③繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用上述類似的探索方法，之間用m的代數式來表示它們的股合弦。
勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理 可以 判斷一個三角形的形狀詞條圖冊更多圖冊 勾股定理(6張)
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參考資料
1
曲安京： 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明。 刊於《數學傳播》20卷， 台灣， 1996年9月第3期， 20-27頁。

http://ke..com/view/551497.htm
2
周髀算經， 文物出版社，1980年3月， 據宋代嘉定六年本影印，1-5頁。
3
陳良佐： 周髀算經勾股定理的證明與出入相補原理的關系。 刊於《漢學研究》, 1989年第7卷第1期， 255-281頁。
4
李國偉： 論「周髀算經」「商高曰數之法出於圓方」章。 刊於《第二屆科學史研討會匯刊》, 台灣， 1991年7月， 227-234頁。
5
李繼閔： 商高定理辨證。 刊於《自然科學史研究》,1993年第12卷第1期，29-41頁 。
擴展閱讀：
1
幾何原本（又名《原本（element）》） 人民日報出版社 原著
3
http://ke..com/view/823719.htm
開放分類：
數學，定理，幾何，勾股定理證明，勾股定理/畢氏定理/商高定理

「勾股定理」在漢英詞典中的解釋(來源：網路詞典)：
1.[Mathematics] the Pythagorean theorem; the Pythagorean proposition
我來完善 「勾股定理」相關詞條：
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歐拉定理 素數定理 費馬大定理 正弦定理 四色定理 幾何 反比例函數 因式分解 餘弦定理 四邊形 直角三角形 NP完全問題 溝三股四玄五 射影定理 比例 畢達哥拉斯 切線長定理 勾股數 三角形定則 NP-Complete

B. 一和1有什麼區別呢

「一」是中文漢字對數字的表達方式，更多地出現在非數學類、經濟類的文章中，「1」是阿拉伯數字，原先是阿拉伯人對數字的表達方法，現在已經世界通用了，因為受西方先進數學傳播的影響和其簡潔的表達方式，在數學和經濟學文章中使用較多。

C. 十六階幻方

方法就是兩句話：順序填數，以中心點對稱互換數字。

方法一；將左上區域i+j為偶數的與幻方內以中心點為對稱點的右下角對角數字進行交換；將右上區域i+j為奇數的與幻方內以中心點為對稱點的左下角對角數字進行交換。（保證不同時為奇或偶即可。）

方法二；將幻方等分成m*m個4階幻方，將各4階幻方中對角線上（或非對角線上）的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換。

D. 怎樣才能學好數學

數學研究固然經常需要整套整套艱深的理論，但是也有一些短小精乾的片段，只要你抓到了要領，想得夠機巧，一下就能把看起來難如登天的問題解決掉。在這種地方，是最能見到數學神妙動人的本質了。我現在想舉幾個這樣的小例子。

首先讓我講一段匈牙利天才數學家波沙 (Louis Pósa) 的故事。一九五九年當波沙十一歲時，著名的匈牙利數學家艾爾地希 (Paul Erdös) 經人介紹認識了他，便請他一同去吃午飯。當波沙正在喝湯時，艾爾地希就出了個題目想考考他的真本領有多大，他說：「波沙啊，你能不能證明假如有 n+1 個小於或等於 2n 的正整數，則它們中間必有一對數是互質的？」顯然易見這個問題對 n 個數便不對，因為 2,4,6,…,2n 這 n 個數絕沒有一對是互質的，而當初艾爾地希發現如此小小的定理時，還花了十分鍾去找一個真正簡單的證明。但是波沙繼續喝著他的湯，還沒過半分鍾便答道：「如果你有 n+1 個小於或等於 2n 的正整數，總會有兩個是相鄰的，當然它們倆是互質的了。」這不是跟大數學家高斯七歲時便能一下算出 1 加到 100 相媲美嗎？事質上匈牙利這麼一個小小的國家，本世紀可真出了不少大數學家，主要是因為他們非常重視中小學的數學教育，不僅有數學天才的專門中學，校際以及電視上的數學競試，而且還有一份有八十多年歷史，專門給中學生看的數學雜志，希望我們的《數學傳播》也能發揮同樣的作用。

第二個例子是有關用邊長為 1 與 2 的矩形骨牌，覆蓋邊長為8的西洋棋棋盤。大家都知道如果你把棋盤的右上角與左下角截掉，就無法用 31 塊骨牌來蓋滿。（參看圖一）

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圖一

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圖二

因為截去的兩角均為黑色，而一塊骨牌必須同時蓋住一黑格一白格，現在有 30 個黑格，32 個白格，只好「沒法度」了。（這還是六十五年台大數學研究所博士班的考題呢！請參看《數學傳播》第一卷第二期144頁）但是如果我們任意割掉一黑格一白格，剩下的棋盤是不是一定可以用 31 塊骨牌蓋住呢？這個問題就不那麼容易回答了。當然你可以畫幾個例子看，然而試試給一個證明說它可以，或是給一個反例說它不可以！這個問題的解答其實是正面的，然而最初的證明建立在圖像的配對理論上，相當的艱深。幾年前美國 IBM 的一位數學家高莫瑞 (Ralph Gomoy) 想到了一個證明，簡直是不費吹灰之力便達到目的了。如圖二中，我們在棋盤上放一個向上的三叉戟，一個向下的四叉戟，那麼我們沿著「迷宮」走一圈，一定可以回到原來的出發點，也就是說這兩把戟一放，我們便給所有的方格一個循環性的次序。假設我們現在把 A 與 B 兩格割掉，就有兩條路從 A 走到 B，但是沿著任何一條路，總是黑白相間的走。這就證明了在這個「迷宮」中，對任何一對顏色相異的方格而言，它們之間的通道上有偶數個方格。因此骨牌便可一塊一塊的蓋上去，空間是一定夠了，就怕轉彎時轉不過來。但是因為骨牌可以直放，也可以橫放，所以轉彎的地方並不會發生麻煩，於是沿著從 A 到 B 的兩條通道一路蓋過去，終究是要把有洞的棋盤剛剛好蓋滿的。

在《數學傳播》第一卷第四期中，黃光明先生有一篇〈組合學漫談〉，曾經提到「漢彌爾頓圈」。原來在一八五○年代，愛爾蘭的著名數學家漢彌爾頓 (Sir William Rowan Hamilton) 發明了一個小游戲：假如我們手頭有一個正十二面立體，每個頂點當作世界上一個著名的城市，試試看從任一城市出發，沿著稜線經過所有城市再回到原地，不過除了出發點，每一個城只能經過一次。漢彌爾頓把這個游戲叫做「環游世界」，並且以二十五英鎊賣給了玩具商。

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圖三

如果我們在圖三中，把左邊的 ABCDE 正五邊形戳一個洞，將整個立體攤開成右邊的平面圖形，就不難看出如何畫漢彌頓圈的方法了。但是如果我們的十二面體的每一面不是一個正五邊形，而是一個菱形的話，還能不能找到漢彌爾頓圈呢？加拿大的著名的幾何學家科克斯特 (H.S.M. Coxeter) 很巧妙的證明了沒有這種圖存在。

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圖四

如圖四中所示，每一個頂點要麼有三條邊來相會，要麼有四條邊來相會，而且與三邊點相鄰的是四邊點，與四邊點相鄰的是三邊點。所以假如有一條彌爾頓圈。則它必須相間的經過三邊點與四邊點，因此要通過 14 個頂點，這種圈上必須有 7 個三邊點 7 個四邊點。但是不幸的是我們現在只有 6 個四邊點，所以「漢彌爾頓圈」是註定找不著了。

E. 我國著名的數學傳播、普及和數學競賽專家單墫教授在2011年「普林斯頓數學競賽」集訓營中，鼓勵北京地區參

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
故答案為：45．

F. 數學傳播理論為什麼被稱為線性傳播理論

傳播學誕生於美國，美國的學者分別從不同角度探索傳播理論，並提出了種類繁多的傳播模式，諸如以文字、圖形和數學公式等表述的各種模式。傳播學家運用不同的模式來解釋信息傳播的機制、傳播的本質，提示傳播過程與傳播效果，預測未來傳播的形勢和結構等。一般認為，傳播學的奠基人有五位：1、HaroldDwightLasswell，拉斯韋爾(1902-1980)是美國現代政治科學的創始人之一。提出了著名的傳播學5w模式。2、KurtLewin，盧因（1890-1947）德國猶太人。提出了信息傳播中的「把關人」的概念。3、CarlHovland，霍夫蘭（1921-1961）耶魯大學的實驗心理學教授。把心理學實驗方法引入了傳播學領域，並揭示了傳播效果形成的條件和復雜性，開展勸服研究。4、PaulF.Lazarsfeld，拉扎斯菲爾德（1901-1976）奧地利籍猶太人。羅傑斯指出，拉扎斯菲爾德比其他任何人都的把傳播學引向了經驗性研究的方向。5、WilburSchramm，施拉姆（1907-1988）美國人，設立了世界上第一個傳播學研究所，，主編了第一批德傳播學教材。開辟了如：電視對少年兒童的影響等幾個新的研究領域。他被認為是集大成者。之所以起源於美國，是因為20世紀上半葉，歐亞大陸連續遭受了兩次世界大戰的禍害，而美國由於其獨特的地理優勢，成為眾多科學家的避風港。而且，美國本身由於本土未遭破壞，技術的發明與應用一直持領先地位。比如：1920年匹茲堡無線電視台的開業，1926年，全美廣播公司NBC的成立等等。從社會狀況來說，美國的政治與社會生活中有著高度重視大眾傳媒的傳統，在政治機制中大眾媒介是與立法機構、政府機構互相制衡的力量之一，報紙曾被稱為第二國會。

G. 美國科普界叱吒風雲數十年的三位大師級人物分別是誰

20世紀下半葉，美國科普界叱吒風雲數十年的三位大師級人物是艾薩克•阿西莫夫、卡爾•薩根與馬丁•加德納，堪稱一時瑜亮，難分軒輊。時至今日，前面兩人均已逝世，惟有加德納先生依然健在，老當益壯，在數學傳播領域繼續發揮著他無可替代的作用。

H. 家之間交流和數學傳播用什麼語言，數學家

當然是數學語言了，那可是全世界通用的。就是那些符號、公式、定理，公理，等等

I. 加德納的作品介紹

馬丁·加德納是世界著名科普作家，一生不遺餘力地宣傳數理科學，上至拓撲、群論，下到算術、代數，吸收了無數群眾進入數理科學的殿堂，他的功績是不可磨滅的。
「加德納趣味數學系列」包括《<科學美國人>趣味數學集錦之一——悖論、謬誤、多聯骨牌及其他》、《<科學美國人>趣味數學集錦之二——迷宮、幻方、趣味拓撲及其他》、《最後的消遣——九頭蛇、雞蛋與其他數學之謎》、《令人愉悅的智力趣題》、《矩陣博士的魔法數》、《數學的奇妙》、《坎特伯雷趣題》、《亨利·杜德尼的數學趣題》、《中彩那天》等。
在《<科學美國人>趣味數學集錦之一——悖論、謬誤、多聯骨牌及其他》的序言中，馬丁·加德納寫道：「本書是我在過去25年裡給《科學美國人》雜志「數學游戲」專欄撰寫的第一本文章合集的新版。其中第一章「變臉六邊形折紙」是發表在該刊1956年12月上 的一篇文章。該雜志的出版商皮爾（Gerard Piel）提議出一個趣味數學的定期專欄，本書第二章就是始於1957年1月的這個專欄的第一篇文章。自從本書1959年問世以來。其中涉及的題目已有很多新的發現和論述，不重新排版並修訂文字是不可能的了。因而，我寫了一個很長的後記.把最有意義的新成果作了簡要的總結。除了討論短小問題的那兩章沒有參考文獻外，其餘各章的參考文獻都已作了更新。」
《<科學美國人>趣味數學集錦之二——迷宮、幻方、趣味拓撲及其他》是馬丁·加德納在《科學美國人》雜志上發表的「數學游戲」專欄文章的第二本集子。作者引用大量翔實的資料，將知識性和趣味性融為一體，大多以娛樂和游戲為線索，以嚴密的科學思維和推理為基礎，引導、啟迪讀者去思考和重新思考。作者對傳統數學中那些似乎高深莫測的難題給予了簡單得令人難以置信的解答，對魔術戲法進行了深入淺出的分析，對賭場上的鬼把戲做了科學的剖析和透視……既有娛樂功能，又有教育功能。
在《矩陣博士的魔法數》中，馬丁·加德納借追蹤矩陣博士歐文·約書亞，為我們擺起了數字的魔幻方陣；美國總統選舉，奧斯卡金像獎提名，好萊塢紅星的預卜皆可由與其相關的基本數字預示其結果的必然性？加德納先生在這里用敘述結合注釋評注的方法為我們「抽絲撥繭」，將數字王國的數字奇妙組合一一展示在了讀者面前……本書的重點是反對與批判數字迷信的。數字迷信在世界各國都以不同的面貌出現，例如日本的「數秘術」，中國的「術數」等。
2010年5月22日，馬丁·加德納去世。為了紀念這位數學傳播領域的巨星，上海科技教育出版社特別推出「加德納趣味數學典藏版」，向大師致敬！
「加德納趣味數學典藏版」（第一輯）共6個品種，包括《趣題大師的才智挑戰》、《趣題大師的思維訓練》、《趣題大師的頭腦體操》、《趣題大師的智力游戲》、《趣題大師的邏輯訓練》及《趣題大師的推理問題》。這些書收錄的都是馬丁·加德納和喬治·J·薩默斯（另一位趣題大師）精心挑選的獨具特色又引人入勝的趣題，解這些題僅僅需要最初等的數學知識，而題目中又暗含著更高層次的數學思想。在賞玩這些趣題的過程中，你會發覺數學要比你想像的更加可愛。
加德納在《趣題大師的智力游戲》的序言中說：「在為這本集子挑選材料的過程中，我竭力尋求那些獨具特色而又引人入勝的趣題，它們僅僅要求最初等的數學知識，但同時又富有激勵性地閃現出更高層次的數學思想。這些趣題已被歸類成章，每章各針對數學中的一個領域。每章開頭的簡要評介，說明了為解決該章趣題所必須使用的數學門類的一些性質和重要性。在答案中，只要篇幅允許，我盡量詳細地解釋了每道題是如何解決的，並指出某些誘人的途徑，這些途徑從題目出發，蜿蜒曲折地通向數學叢林中更為枝葉繁盛的地區。的確，現在沒有人可以懷疑數學的巨大實用價值。沒有數學工具，就不可能有現代科學的發現和發明。但是，許多人並不理解，數學家事實上從數學中得到了愉悅。經過深思熟慮對症下葯地擺平了一道有趣的題目，其令人愉悅的程度，就如同經過反復瞄準用保齡球一下子擊倒了十個球瓶。」
「加德納趣味數學典藏版」（第二輯）共4個品種，包括《挑戰智力水平的100道趣題》、《培養幾何直覺的100道趣題》、《訓練邏輯思維的100道趣題》及《強調數字推算的100道趣題》。這些書是法國趣題大師皮埃爾·貝洛坎精心設計的絞腦汁難題集，一經推出立即風靡歐洲大陸，馬丁·加德納親自為這些書作序推薦。