全國大學生數學競賽數學類試題

❶ 你好，請問你有歷年全國大學生數學競賽（數學類）的試題嗎

沒有？？？

❷ 求近幾年的全國大學生數學競賽試題及答案

2010年全國大學生數學專業競賽試題及解答
（1）計算積分
解方法一 直接利用分部積分法得


；
方法二 不妨設 ，由於 ，
而積分 關於 在 上一致收斂，故可交換積分次序

；
方法三 將 固定，記 ， 可證 在 上收斂．
設 因為 ，而 收斂，
所以由Weierstrass判別法知道 對 一致收斂．所以可以交換微分運算和積分運算的次序，即
．
由 的任意性，上式在 上成立．
所以 ，由於 所以 ，
即 ．

(2)若關於 的方程 ， 在區間 內有唯一的實數解，求常數 .
解：設 ，則有 ，
當 時， ；當 時， .
由此 在 處達到最小值，
又 在 內有唯一的零點，
必有 ， ，
， ，
所以 .
（3）設函數 在區間 上連續，由積分中值公式，有 ， ，若導數 存在且非零，
求 .
解： ，
，
由條件，可知
，
，
故有 .
二、設函數 在 附近可微， ， ,
定義數列 .
證明： 有極限並求其值.
證明：由導數的定義，
對於任意 ,存在 ，當 時，有 .
於是 ，
從而，當 時，有 ，
，其中 .
對於上式求和，得到
，
即 ，
令 ，有
,
由 的任意性，得到 .
設 在 上有定義，在 處可導，且 .
證明： .

三、設函數 在 上一致連續，且對任何 ，有 ，
證明： 。
試舉例說明，僅有 在 上的連續性推不出上述結論。
證明 證法一
由 在 上一致連續，對 ， ，
當
且 時，
便有 ；
取定充分大的正整數 ，使得 。現把區間 等分，設其分點為 ，每個小區間的長度小於 。
對於任意 ， ；
從而必有 ，使得 ；
由條件對每個 ，有 ；
於是存在 ，當 時， ，對 都成立；
故當 時，便有
，
即得 ，結論得證。
證法二 設 ,由題設條件知
在 上等度一致連續,對每一 ,有 ;
利用Osgood定理得, 在 上一致收斂於0,
對 ,存在 ，當 時,
有 , ,
從而當 時,有 ,
即得 ，結論得證。

設 在 上的連續，且對任何 ，
有 ，但推不出 。
例如函數
滿足在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但不成立 。

四、設 ， 在 內連續， 在 內連續有界，且滿足條件：
當 時， ；
在 中 與 有二階偏導數，
， .
證明： 在 內處處成立.
證明：設 ，
則有
.
於是 ， ， ;
由已知條件，存在 ，當 時，
有 ， .
記 ，
設 ，我們斷言，必有 ，
假若 ，則必有 ，使得 ；
易知 ， .

這與 矛盾，
所以
從而 ， ；
由 的任意性，得
， .
故在 內處處成立 .
五、 設 .
考慮積分 ， ，定義 ，
(1)證明 ；
(2)利用變數替換： ，計算積分 的值，並由此推出 .
證明：（1）由 ，在 上一致收斂，可以進行逐項積分

，
又 ，
所以 關於 是一致收斂的，可以逐項求極限，
於是有 .
故有 ；
(2) ,
,

注意到區域 關於 軸對稱

;

;

;
或者利用分部積分,得

,
於是 ,
故 .
2010年全國大學生非數學專業競賽試題及解答

一、計算題
（1） 求極限
解法1 直接化為黎曼和的形式有困難.
注意到 ,
,
由於 ，
所以

.
解法2 利用 ，得
，
,
由於 ，
，
所以 .
（2）計算 ，
其中 為下半球 的上側， .
解法一. 先以 代入被積函數，
，
補一塊有向平面 ，其法向量與 軸正向相反，
利用高斯公式，從而得到

，
其中 為 圍成的空間區域， 為 上的平面區域 ，
於是

.
解法二. 直接分塊積分
，
其中 為 平面上的半圓 ， .
利用極坐標，得
，

，
其中 為 平面上的圓域， ，
用極坐標，得

，
因此 .
（3）現要設計一個容積為 的圓柱體的容積，已知上下兩低的材料費為單位面積 元，而側面的材料費為單位面積 元.試給出最節省的設計方案：即高與上下底面的直徑之比為何值時，所需費用最少？
解：設圓柱體的高為 ，底面直徑為 ，費用為 ，
根據題意，可知 ，

，
當且僅當 時，等號成立，
，
故當 時，所需要的費用最少.
（4）已知 在 內滿足 求 .
解：
，

，

所以， .
二、 求下列極限.
（1） ；
（2） ，其中 ， ， .
解：（1）

.
（2）
，

，
故 .
一般地，有 ，其中 ， ，

.
三．設 在 點附近有定義，且在 點可導， ， ，
求 .
解：

.

四、 設 在 上連續，無窮積分 收斂，求 .
解：設 ，由條件知， ，
，
利用分部積分，得
，
，
，
於是
.

五．設函數 在 上連續，在 內可微，且 ， .
證明：（1）存在 ，使得 ；
（2）對於每一 ，存在 ，使得 .
證明：（1）令 ，
由題設條件，可知 ，
；
利用連續函數的介值定理，得
存在 ，使得 ，即 .
（2）令 ，
由題設條件和（1）中的結果，可知，
， ；
利用羅爾中值定理，得
存在 ，使得 ，
由 ，
即得 .

六、 試證：對每一個整數 ，成立
.
分析：這是一個估計泰勒展開余項的問題，其技巧在於利用泰勒展開的積分余項.
證明：顯然 時，不等式成立；
下設 .
由於 ，
這樣問題等價於證明
，
即
，
令 上式化為
，
從而等價於 ，
只要證明 ，
設 ，則只要證明
， ，
就有 ，
，
則問題得證.
以下證明 ， ，成立
上式等價於 ，
即 ，
令 ，
則 ，並且對 ，有

，
從而當 時， ，
這樣問題得證.
註：利用這一結論，我們可以證明如下結論.
六、設 為整數， ，證明方程 ，在 上至少有一個根.
六、 證明：存在 ，使得 .
證明：令 ，
則有 ，

，
由連續函數的介值定理，得
存在 ，使得 ，
故問題得證.
這里是由於 ， ，
在 上嚴格單調遞減，
所以，當 時，有 .
七、 是否存在 上的可微函數 ，使得 ，若存在，請給出一個例子；若不存在，請給出證明。
證明 如果這樣的函數 存在，
我們來求 的不動點，即滿足 的 ，
，
，
由此得 ，這表明 有唯一的不動點 ，易知 也僅有唯一的不動點 ， ，在等式 ，兩邊對 求導，得
，
讓 ，即得 ，這是不可能的，故這樣的函數不存在。
八、設函數 在 上一致連續，且對任何 ，有 ，
證明： 。
試舉例說明，僅有 在 上的連續性推不出上述結論。
證明
由 在 上一致連續，對 ， ，
當
且 時，
便有 ；
取定充分大的正整數 ，使得 。現把區間 等分，設其分點為 ，每個小區間的長度小於 。
對於任意 ， ；
從而必有 ，使得 ；
由條件對每個 ，有 ；
於是存在 ，當 時， ，對 都成立；
故當 時，便有
，
即得 ，結論得證。

設 在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但推不出上述結論。
例如函數
滿足在 上的連續，且對任何 ，有 ，
但不成立 。
高等數學競賽試題7答案
一、求由方程 所確定的函數 在 內的極值，並判斷是極大值還是極小值.
解：對 兩邊求導得 ，
令 得 ，代入原方程解得 .
.
故當 時， 取極大值 .
二、設 ，求 , .
解： = ,
=
三、計算曲線積分 ，其中 是以點（1，0）為中心， 為半徑的圓周 ,取逆時針方向.
解： , , 當 時, ， 當 時 ,由格林公式知, .
當 時, ,作足夠小的橢圓曲線 , 從 到 .
當 充分小時, 取逆時針方向,使 ,於是由格林公式得 ，
因此 = =
四、設函數 在 內具有連續的導數，且滿足
，
其中 是由 所圍成的閉區域，求當 時 的表達式.
解：
= ,
兩邊對 求導得
，且 ，
這是一個一階線性微分方程，解得

五、設 ，求級數 的和.

解：令 , 則
= .

.
.

= = ,

六、設 在 上連續且單調增加，試證：對任意正數 ， ，恆有
.
解：令 ，
則 ,
=

= ,
於是 .
七、設 具有連續偏導數，由方程 =0確定隱函數 ，求 .
解：兩邊對 求偏導得 ,
兩邊對 求偏導得 ,
， , =1.
八、設 ，判別數列 的斂散性.
解：定義 ，令 ，則 ,
當 時， ,
= .
, 由 可知 收斂，從而 收斂.
九、設半徑為 的球面 的球心在球面 ： 上，問當 為何值時，球面 在球面 內部的那部分面積最大？
解：由對稱性可設 的方程為 ，球面 被球面 所割部分的方程為 ，
, ,
.
球面 與球面 的交線在 平面的投影曲線方程為 ，令
所求曲面面積為 ,
= .
令 得駐點 ,
容易判斷當 時，球面 在球面 內部的那部分面積最大.
十.計算 ，其中曲線弧 為： ， .
解： , (1) ,
， (2)
將(1)、(2)代入 得
= =4.
十一.計算曲面積分 ，其中 是曲面 被平面 所截出部分的上側.
解：記 為 平面上被園 所圍成的部分的下側， 為由 與 圍成的空間閉區域.由高斯公式知

=
=
=2 .
=3

❸ 全國大學生數學競賽數學類

大部分可以用高數的方法解答，畢竟這是全國性的！！
不一定，你對別的科目也很得手，可以參加另外的科目！！！

❹ 請問有往年全國大學生數學競賽真題嗎（數學類）

這種是全國統一出卷的,網路一下全國大學生數學競賽非數學類試題 就好了

❺ 全國大學生數學競賽預賽常考哪種類型的題

要看你是哪個省抄的襲，我去年參加湖北省的預賽，解析幾何考的就不是教材上的課，以前基本是的，不過憑著自己的思維去做還是做的出來一部分的，高代一般考的是矩陣的等價，相似，合同，數分考的比較多，可以分三塊，極限理論，級數理論和積分，題目一般都挺有思想的，平時肯定沒有見過，主要考察的是數學思維吧，題目的綜合性很強，說不出來具體的哪個點，每道題目都涉及到好幾個點，不過有一點經驗可以告訴你，就是題目的條件是解決問題的切入口，具體的自己慢慢體會吧

❻ 求2010全國大學生數學競賽（數學類）預賽試題及答案。

一樓啊。。你沒有就不要說廢話了。。。

❼ 全國大學生數學競賽試題及答案（非數學專業）

請問首屆全國大學生數學競賽試題是哪年的
我知道一個網站
要年份才能查
這個問題全國大學生數學競賽試題及答案（非數學專業）,好難啊，辛辛苦苦回答了，給我個滿意答案把