第一次數學危機的解決

1. 數學史上的第一次數學危機是

畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。 第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。 羅素悖論與第三次數學危機 十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」 康托爾 可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。 羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於 S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。 羅素 其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由於這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信後傷心地說：「一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過於是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置於這個境地。」戴德金也因此推遲了他的《什麼是數的本質和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。 危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」1908年，策梅羅在自已這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等

2. 第一次數學危機的影響

人類對數的認識經歷了一個不斷深化的過程，在這一過程中數的概念進行了多次擴充與發展。其中無理數的引入在數學上更具有特別重要的意義，它在西方數學史上曾導致了一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。

如果追溯這一危機的來龍去脈，那麼就需要我們把目光投向公元前6世紀的古希臘。那時，在數學界占統治地位的是畢達哥拉斯學派。這一學派的創立者畢達哥拉斯是著名的哲學家、數學家。他在哲學上提出「萬物皆數」的論斷，並認為宇宙的本質在於「數的和諧」。他所謂「數的和諧」是指：一切事物和現象都可以歸結為整數與整數的比。與此相對應，在數學中他提出任意兩條線段的比都可表為整數或整數的比，用他的話說就是：任意兩條線段都是可通約的。他在數學上最重要的功績是提出並證明了畢達哥拉斯定理，即我們所說的勾股定理。然而深具諷刺意味的是，正是他在數學上的這一最重要發現，卻把他推向了兩難的尷尬境地。

他的一個學生希帕索斯在擺弄老師的著名成果畢達哥拉斯定理時，提出了這樣一個問題：正方形的對角線與邊長這兩條線段是不是可通約的呢？換句話說，兩者的比是不是有理數呢？經過認真的思考，他發現這個數既不是整數，也不是一個分數，而是一個全新的數，我們現在知道這個數是 。這是人類歷史上誕生的第一個無理數。它的誕生是人類對數認識的一次重大飛躍，是數學史上的偉大發現。然而作為老師的畢達哥拉斯並沒有為這一重大發現而歡欣鼓舞，相反他陷入極度不安之中。如果不贊同它，理智上無法接受，學生的論斷畢竟是找不出毛病的呀！可是如果贊同，感情上更難接受。因為這一發現對他來說是致命的，它將完全推翻他自己的數學與哲學信條。於是這就導致了「畢達哥拉斯的兩難」。在這兩難處境下，他先是在學派內封鎖這一發現，不讓它傳到外界。後來當希帕索斯本人把發現泄漏後，他讓學派內的成員把希帕索斯拋入了大海。這就是聰明的學生從偉大的老師那裡獲得的「獎賞」！被後人尊為「智慧之神」的畢達哥拉斯不是有勇氣承認自己的錯誤，而是想通過暴力壓制真理，這一作法令他一生蒙羞，成為他一生中的最大污點。然而真理畢竟是撲不滅的，希帕索斯所提出的問題（史稱「希帕索斯悖論」或「畢達哥拉斯悖論」）也沒有隨同主人一起拋入大海，而是在社會上流傳開來。

其實，這一悖論的提出不但對畢達哥拉斯學派是致命的，它對當時所有人的觀念都是一個極大的沖擊。當時人們根據經驗完全確信：一切量都可以用有理數表示。即便是在現在測量技術已經高度發展後，任何量在任何精確度范圍內都可以表成有理數不仍是正確的嗎？然而這一完全符合常識的論斷居然被 的存在而推翻了！這是多麼違反常識、多麼荒謬的事呀！更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而產生了數學上的第一次危機。直到二百年後，數學家歐多克索斯建立了一套完整的比例論，使比例論不僅適用於可通約線段，也適用於不可通約線段，才用幾何方法把由於無理數的出現而引起的數學危機解決了。

這次數學危機對希臘數學產生了決定性的影響。首先，希臘人得出直覺、經驗都不是絕對可靠的，推理論明才是可靠的，因而希臘人此後更加重視邏輯，並在亞里士多德手中完成了古典邏輯學。其次，由於整數及其比不能包括一切幾何量，但幾何量卻可以表示一切數，因此希臘人認為幾何較之算術占著更重要的地位。在其後的希臘數學中，這種幾何對算術的優勢支配了希臘數學一千年。

希帕索斯的發現導致了第一次數學危機，然而為了解決這一危機，卻又導致了古希臘古典邏輯學與公理幾何學的誕生。這恐怕正是這一事件給予我們的一大啟示：提出似乎無法解答的問題並不可怕，相反，這種問題的提出往往會成為數學發展中的強大推動力，使數學在對問題的克服中向前大步邁進，這在數學發展史上實在是不鮮見的。

3. 第一次數學危機的危機解決

芝諾的四條悖論在後來被亞里士多德等人成功解釋完畢。
第一條悖論：伯內特解釋了芝諾的「二分法」：即不可能在有限的時間內通過無限多個點，在你走完全程之前必須先走過給定距離的一半，為此又必須走過一半的一半，等等，直至無窮。亞里士多德批評芝諾在這里犯了錯誤：「他主張一個事物不可能在有限的時間里通過無限的事物，或者分別地和無限的事物相接觸，須知長度和時間被說成是「無限的」有兩種涵義。一般地說，一切連續事物被說成是「無限的」都有兩種涵義：或分起來的無限，或延伸上的無限。因此，一方面，事物在有限的時間里不能和數量上無限的事物相接觸；另一方面，卻能和分起來無限的事物相接觸，因為時間本身分起來也是無限的。因此，通過一個無限的事物是在無限的時間里而不是在有限的時間里進行的，和無限的事物接觸是在無限數的而不是在有限數的范圍上進行的。
第二條悖論：亞里士多德指出這個論證和前面的二分法是一回事，這個論證得到的結論是：跑得慢的人不可能被趕上。因此，對這個論證的解決方法也必然是同一個方法，認為在運動中領先的東西不能被追上這個想法是錯誤的，因為在它領先的時間內是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規定的有限的距離的話，那麼它也是可以被趕上的。
第三條悖論：亞里士多德認為芝諾的這個說法是錯誤的，因為時間不是由不可分的『現在』組成的，正如別的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣。亞里士多德認為，這個結論是因為把時間當作是由『現在』組成的而引起的，如果不肯定這個前提，這個結論是不會出現的。
第四條悖論：亞里士多德認為，這里錯誤在於他把一個運動物體經過另一運動物體所花的時間，看做等同於以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間，事實上這兩者是不相等的。

4. 第一次數學危機是什麼

不可通約性的發現引起第一次數學危機。有人說，這種性質是希帕索斯約在公元前400年發現的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發現對古希臘的數學觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，於是幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。

5. 數學史上第一次危機的克服

無 理 數 的 發 現 —— 第 一 次 數 學 危 機

大約公元前5世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文、音樂稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的"危機"，從而產生了第一次數學危機。

到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數的權威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，並由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上的一次巨大革命！

6. 第一次數學危機最終如何解決了

無理數的問題由畢達哥拉斯學派成員的學生歐多克斯（Eudoxus）提出新的比例理論而暫時消除危機。

芝諾的四條悖論在後來被亞里士多德等人成功解釋完畢。
其中：1.伯內特解釋了芝諾的「二分法」
2.亞里士多德指出第二條悖論證法和前面的二分法相同
3.亞里士多德認為芝諾的這個說法是錯誤的，因為時間不是由不可分的『現在』組成的
4.亞里士多德認為，這里錯誤在於他把一個運動物體經過另一運動物體所花的時間，看做等同於以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間，事實上這兩者是不相等的。
第一次數學危機，是數學史上的一次重要事件，發生於大約公元前400年左右的古希臘時期，自根號二的發現起，到公元前370年左右，以無理數的定義出現為結束標志。這次危機的出現沖擊了一直以來在西方數學界占據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時標志著西方世界關於無理數的研究的開始。
危機爆發
無理數的發現
古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，大約在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了：等腰直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約。新發現的數由於和之前的所謂「合理存在的數」——即有理數在學派內部形成了對立，所以被稱作了無理數。希帕索斯正是因為這一數學發現，而被畢達哥拉斯學派的人投進了大海，處以「淹死」的懲罰。[2]
直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，這個簡單的數學事實的發現使畢達哥拉斯學派的人感到迷惑不解。它不僅違背了畢達哥拉斯派的信條，而且沖擊著當時希臘人持有的「一切量都可以用有理數表示」的信仰。所以，通常人們就把希帕索斯發現的這個矛盾，叫做希帕索斯悖論。[1]
不過存在另外一種說法稱，據說, 正五邊形的邊與對角線之比二分之根號五是最先被發現的無理數。[3]
芝諾悖論
古希臘著名哲學家芝諾（約公元前490年~前425年）曾提出四條著名的悖論，也被如今的數學史界認定為引發第一次數學危機的重要誘因之一。
第一，「二分法」。
運動著的東西在到達目的地之前須先完成行程的一半，而在完成行程的一半後，還須完成行程的一半的一半……如此分割，乃至無窮，因而它與目的地之間的距離是無限的，永遠也達不到目的地。
第二，「阿基里斯永遠追不上烏龜」。
阿基里斯是希臘跑得最快的英雄，而烏龜則爬得最慢。但是芝諾卻證明，在賽跑中最快的永遠趕不上最慢的，因為追趕者與被追趕者同時開始運動，而追趕者必須首先到達被追趕者起步的那一點，如此類推，他們之間存在著無限的距離，所以被追趕者必定永遠領先。
第三，「飛矢不動」。
任何物體都要佔有一定的空間，離開自己的空間就意味著失去了它的存在。飛矢通過一段路程的時間可被分成無數瞬間，在每一瞬間，飛矢都占據著一個與自己大小相同的空間，由於飛矢始終在自己的空間之中，因而它是靜止不動的。
第四，「運動場」。
有兩排物體，大小相同，數目相等，一排從終點排到中間點，另一排從中間點排到起點，當它們以相同的速度作方向相反的運動時，就會在時間上出現矛盾。芝諾認為這可以證明一半的時間等於一倍的時間。
以上四條悖論從根本上挑戰了畢達哥拉斯學派所一直貫徹的度量和計算方式。[4]

7. 第一次數學危機是怎麼回事

第一次數學危機：無理數的發現

大約公元前5世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文、音樂稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的"危機"，從而產生了第一次數學危機。

到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。 第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數的權威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，並由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上的一次巨大革命！

8. 數學的第一次危機是由於出現了什麼而造成的

三次數學危機第一次數學危機古希臘的畢達哥拉斯學派。他們認為「萬物皆數」，認為數學的知識是可靠的、准確的，而且可以應用於現實的世界。數學的知識是由於純粹的思維而獲得，並不需要觀察、直覺及日常經驗。
畢達哥拉斯的數是指整數，他們在數學上的一項重大發現是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發現了一些直角三角形的三邊比不能用整數來表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否定了畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。
不可通約性的發現引起第一次數學危機。第一次危機的產物—古典邏輯與歐氏幾何學第二次數學危機古希臘的數學中除了整數之外，並沒有無理數的概念，連有理數的運算也沒有，可是卻有量的比例。希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴格的逼近步驟，這就是所謂「窮竭法」。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難證的定理。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在於：1，把各種問題的解法統一成一種方法，微分法和積分法；2，有明確的計算微分法的步驟；3．微分法和積分法互為逆運算。由於運算的完整性和應用范圍的廣泛性，使微積分成為解決問題的重要工具。同時關於微積分基礎的問題也越來越嚴重。以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當Δt趨向於零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什麼東西，這個無窮小量究竟是不是零。這引起了極大的爭論，從而引發了第二次數學危機。波爾查諾不承認無窮小數和無窮大數的存在，而且給出了連續性的正確定義。柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變數開始，認識到函數不一定要有解析表達式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變數，並定義了導數和積分；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；狄里克萊給出了函數的現代定義。
在這些數學工作的基礎上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的ε
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δ的極限、連續定義，並把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上，從而克服了危機和矛盾。第三次數學危機經過第一、二次數學危機，人們把數學基礎理論的無矛盾性，歸結為集合論的無矛盾性，集合論已成為整個現代數學的邏輯基礎，數學這座富麗堂皇的大廈就算竣工了。看來集合論似乎是不會有矛盾的，數學的嚴格性的目標快要達到了，數學家們幾乎都為這一成就自鳴得意。英國著名數理邏輯學家和哲學家羅素（1872—1970）即宣布了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，並不存在什麼絕對的嚴密性！史稱「羅素悖論」。
羅素悖論的發現，無異於晴天劈靂，把人們從美夢中驚醒。羅素悖論以及集合論中其它一些悖論，深入到集合論的理論基礎之中，從而從根本上危及了整個數學體系的確定性和嚴密性。於是在數學和邏輯學界引起了一場軒然大波，形成了數學史上的第三次危機。第三次數學危機的產物——數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。由於他們解決問題的出發點不同，所遵循的途徑不同，所以在本世紀初就形成了不同的數學哲學流派，這就是以羅素為首的邏輯主義學派、以布勞威爾（1881—1966）為首的直覺主義學派和以希爾伯特為首的形式主義學派。這三大學派的形成與發展，把數學基礎理論研究推向了一個新的階段。三大學派的數學成果首先表現在數理邏輯學科的形成和它的現代分支——證明論等——的形成上。

9. 第一次數學危機怎樣解決的

解決過程：約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯(Eudoxus，約公元前408—前355)解決了關於無理數的問題。他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。

他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。並且和狄德金於1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。21世紀後的中國中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。

(9)第一次數學危機的解決擴展閱讀

第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的沖擊。於是，幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。

同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從「自明的」公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物。