數學競賽數論

1. 數學競賽 數論

答案是肯定的
c是多餘的，只需考慮a+根號b，a、b是整數的情況，因為即使有c，將二項式展開還是a+根號b的形式
問題即轉化為是否存在整數b，使根號b的小數部分是0.1016？
實際上根號b的小數部分可以接近任意給定的值（處處稠密的），因為如果b取的充分大，根號(b+1)-根號b=1/(根號(b+1)+根號b)可以取到任意小的值，也就是根號b，根號(b+1)，根號(b+2)...可以以非常小的步幅增大。於是可以考慮對於充分大的t，根號(t^2+1)、根號(t^2+2)、根號(t^2+3)...，一定會有一個小數部分是給定值。

思路都有了，嚴格證明樓主自己補一下吧。畢竟是學競賽的

2. 高中數學競賽數論

(b,p)=1
p|(a-b)
所以(a,p)=1
且有x, (x,p)=1使bx=M*p^k+1
p^k||(a-b)
所以p^k||(a-b)x=ax-bx=ax-M*p^k-1
p^k|ax-1令ax=N*p^k+1, 顯然p不|(N-M)
x^n(a^n-b^n)=(ax)^n-(bx)^n=(Np^k+1)^n-(Mp^k+1)^n
=..............[Cni(N^i-M^i)p^(ik)]......................i=1~n
分析每項中p的指數最小值，應該就是i＝1時Cn1(N-M)p^k, 顯然p^(k+l)||Cn1(N-M)p^k
下面只需要證明i>1的每項中p的指數大於l+k
i>1時Cni(N^i-M^i)p^(ik)中Cni=n!/i!(n-i)!,
設n!中p的指數為A，i!中為B, (n-i)!中為C則
A＝求和{[n/p^j] j=1~max}
B＝求和{[i/p^j] j=1~max}
C＝求和{[(n-i)/p^j] j=1~max}
顯然各求和的分項無條件地有：A分項》＝B分項+C分項。
如果 (i,p)=1時
當j=1~l,[n/p^j]=[i/p^j]+[(n-i)/p^j] +1-----------整數被拆分為兩個非整數，整數部分減少1
則A-B-C>＝lp^(l+k)<p^(l+ik)|Cni(N^i-M^i)p^(ik)
如果i=Q*p^r r<l, 則n-i=R*p^r (Q,p)=(R,p)=1
j<=r時，A分項＝B分項+C分項
l>=j>r, [n/p^j]=[i/p^j]+[(n-i)/p^j] +1
所以p^(l-r)*p^(ik)|Cni(N^i-M^i)p^(ik)
p^(l+k-k-r+ik)=p^(l+k)*p^(ik-k-r)
ik-k-r=Q*p^r *k -k -r=k(Qp^r-1)-r > k[Q(rp-1)-1]-r >= k[2Qr-1]-r >=kQr-r >=0

如果i=Q*p^r r>=l 顯然r<i 則p^(l+k)<=p^(r+k)<p^(i+k)<p^(ik)|Cni(N^i-M^i)p^(ik)

3. 數學競賽題 （數論）

首先證明五邊形內部至少有一個整點s
然後任取4個頂點作四邊形，有五個可選的四邊形，證明它們聯合起來覆蓋了整個五邊形
從而至少有一個四邊形包括整點s.

4. 高中數學競賽學習數論組合要看哪一本

數論部分推薦書目

（1）《初等數論》潘承洞潘承彪

（2）《華章數學譯叢·數論概論》約瑟夫H.西爾弗曼

（3）《整數與多項式》馮克勤、余紅兵

（4）《初等數論難題集》（共兩卷）劉培傑

（5）《數學奧賽輔導叢書（第二輯）·初等數論》王慧興

（6）《高中數學競賽課程講座·初等數論》中等數學編輯部

（7）《高中數學競賽解題策略·數論分冊》楊樟松

（8）《高中數學競賽專題講座·初等數論》邊紅平

（9）《命題人講座·初等數論》馮志剛

（10）《奧賽經典·奧林匹克數學中的數論問題》沈文選張垚冷崗松

（11）《數學奧賽輔導叢書（第二輯）·不定方程》單墫、余紅兵

（12）《基礎數論典型題解300例》曾榮、王玉

（13）《數論導引》華羅庚

（14）《算術探索》高斯

組合部分推薦書目

（1）《命題人講座·組合幾何》田廷彥

（2）《命題人講座·圖論》任韓

（3）《命題人講座·集合與對應》單墫

（4）《命題人講座·組合問題》劉培傑、張永芹

（5）《數學奧賽輔導叢書（第二輯）·趣味的圖論問題》單墫

（6）《高中數學競賽課程講座·組合數學》中等數學編輯部

（7）《高中數學競賽解題策略·組合分冊》

（8）中數學競賽專題講座·組合構造》馮躍峰

（9）《高中數學競賽專題講座·組合問題》王建中

（10）《高中數學競賽專題講座·染色與染色方法》王慧興

（11）《奧賽經典·奧林匹克數學中的組合問題》沈文選張垚冷崗松

（12）《數學奧賽輔導叢書（第二輯）·組合幾何》單墫

（13）《數學奧林匹克小叢書·高中卷1、13》劉詩雄等

（14）《中學生數學思維方法叢書》（全套12本）馮躍峰

（15）《數學奧賽輔導叢書（第一輯）·1、13》

（16）數林外傳系列大量代數方面的專題科普書籍，其中如巧用抽屜原理等是比較不錯的

5. 高中數學競賽的數論問題

設a為任一整數，則式：
(a+1)(a+2)...(a+n)
=(a+n)!/a!
=n!*[(a+n)!/(a!n!)]
而式中[(a+n)!/(a!n!)]恰為C(a+n,a),也即是從a+n中取出a的組合數，當然為整數。
所以(a+1)(a+2)...(a+n)一定能被n!整除

6. 高中數學競賽數論范圍

一試
全國高中數學聯賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學《數學教學大綱》中所規定的教學要求和內容，即高考所規定的知識范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。
二試
1、平面幾何
基本要求：掌握初中數學競賽大綱所確定的所有內容。
補充要求：面積和面積方法。
幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點--費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點--重心。三角形內到三邊距離之積最大的點--重心。
幾何不等式。
簡單的等周問題。了解下述定理：
在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。
在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。
在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。
在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。
幾何中的運動：反射、平移、旋轉。
復數方法、向量方法。
平面凸集、凸包及應用。
2、代數
在一試大綱的基礎上另外要求的內容：
周期函數與周期，帶絕對值的函數的圖像。
三倍角公式，三角形的一些簡單的恆等式，三角不等式。
第二數學歸納法。
遞歸，一階、二階遞歸，特徵方程法。
函數迭代，求n次迭代，簡單的函數方程。
n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應用。
復數的指數形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的應用。
圓排列，有重復的排列與組合，簡單的組合恆等式。
一元n次方程（多項式）根的個數，根與系數的關系，實系數方程虛根成對定理。
簡單的初等數論問題，除初中大綱中所包括的內容外，還應包括無窮遞降法，同餘，歐幾里得除法，非負最小完全剩餘類，高斯函數，費馬小定理，歐拉函數，孫子定理，格點及其性質。
3、立體幾何
多面角，多面角的性質。三面角、直三面角的基本性質。
正多面體，歐拉定理。
體積證法。
截面，會作截面、表面展開圖。
4、平面解析幾何
直線的法線式，直線的極坐標方程，直線束及其應用。
二元一次不等式表示的區域。
三角形的面積公式。
圓錐曲線的切線和法線。
圓的冪和根軸。
5、其它
抽屜原理。
容斤原理。
極端原理。
集合的劃分。
覆蓋。

7. 高中數學競賽數論做什麼書比較好

贊同樓上所答，但那本書過於深入，我認為就競賽而言，不必主修數論，可選華東師大出的全國數學聯賽備考手冊

8. 一道數學競賽題（數論）

解：記這個數集為G。且稱2,3,5為小素數。題設條件總結為

S1(存在性): G中大於1的整數必有小素因數.
S2(消去律): G中的整數除去一個小因子仍屬於G.
S3(置換律): G中的整數, 將它的1個小素因子置換為其它小素數仍屬於G.

先簡單說明幾條引理

〖引理1〗G中的數不含大於5的素因數。
這是因為G中的任意數按S2除盡其小素因子後必剩下1，否則與S1相矛盾。

〖引理2〗有限集G中的最大數必為5的冪。
最大數若含有因數2或3，則按S3置換為5後變得更大，這與最大數前提相矛盾。

〖引理3〗設最大數為5^n，那麼G={g|g=2^x∙3^y∙5^z,x+y+z≤n}
如果x+y+z＞n，那麼按置換律將2和3全部換成5後將得到大於5^n的冪。這與5^n為最大數相矛盾.
按消去律和置換律，2^x∙3^y∙5^z,(x+y+z≤n)都是G的元素。

最後，x+y+z≤n的非負整數解數為C(n+2,3)=(n+2)(n+1)n/6,
300<(n+2)(n+1)n/6<400
解得n=12, |G|=C(n+2,3)=364.

9. 求助一個數學競賽題，數論方面的

設非負整數x，
被17除餘1，這個數可以是(17x+1)；
(17x+1)被10除餘3，所以(7x)除以10餘2，x最小為6，17×6+1=103，10和17最小公倍數170，這個數可以為(170x+103)；
(170x+103)被13除餘5，(x+7)被13整除，x最小為6，170×6+103=1123。
這個數最小為1123。