勢函數的物理意義
流函數的等值線是流線，勢函數的等值線與流線垂直，共同形成流網，兩點間流函數的值差就是流量
『貳』 簡述位勢、力函數和勢函數之間的關系
1.同角三角函數關系
平方關系sin2α+cos2α=1
倒數關系tanα?cotα=1
商數關系=tanα
2.變形及應用
sin2α+cos2α=1
①化簡為1 (1的代換)
②sin2α=1-cos2α(餘弦表示正弦)
③cos2α=1- sin2α(正弦表示餘弦)
tanα?cotα=1
①化簡為1 (1的代換)
②正餘切互換
=tanα
①由弦求切
②sinα=tanα?cosα
③cosα=
『叄』 什麼叫勢函數
勢函數的構造是人工勢場方法中的關鍵問題。勢函數其值為物理上向量勢或是標量勢的數學函數，又稱調和函數，是數學上位勢論的研究主題，同時在平攤分析（amortized analysis）的勢能法中，用來描述過去資源的投入可在後來操作中使用程度的函數。
定義
定義 ：
滿 足 以 下 條 件 的連 續 函數 稱 為 勢 函數 ：
(1 ).
(2 ) 存 在 , 使得 在上單調遞增，在上單調遞減，並稱 為此勢函數的中心點，為此勢函數的高度[1] 。
典型的勢函數構造方法：P(θ)=f{d(θ,θ0),[dR(θ),O],dT}(1)，式中 θ，θ0——機器人當前位姿與目標位姿矢量；d(θ,θ0)——θ與θ0間的某種廣義距離函數；dR(θ)，O——當前位姿下機器人與障礙物間的最小距離；dT——給定的門限值；P(θ)分別為變數d(θ,θ0)和dR(θ)，O的單調遞增函數和單調遞減函數。
對勢模型
在 20 世紀 80 年代以前 ,分子動力學模擬一般都採用對勢模型。對勢可以比較好地描述除金屬和半導體以外的幾乎所有無機化合物。有些對勢是經過一定的理論分析而得到的，但其中一些參數則需要根據宏觀實驗參數用經驗方法來確定，這些宏觀實驗參數主要有彈性常數、平衡點陣常數以及內聚能、空位形成能和層錯能等，這些稱為半經驗勢。後來，為了擬合的方便，人們在選擇勢函數的形式時，並不一定要求有確切的理論依據，而是出於經驗的估計和擬合方便的需要，相對自由地選擇勢函數形式 ，這樣確定的勢函數被稱為經驗勢 [1] 。.
幾種典型的的半經驗勢
1、Lennard-Jones勢
Lennard-Jones [2] 勢函數的解析表達式可寫為 ：
。
其中 ， 反映了相互作用的強度；反映了原子的大小。根據量子力學二次微擾論的偶極子-偶極子相互作用可導出 n =12 ，這一項描述了范德瓦耳斯力 .後一項是排斥力 ，其來源之一是原子核之間的庫侖斥力，來源之二是電子之間由於泡利不相容原理產生的交疊能。
2、Morse 勢
1929 年，Morse 注意到雙原子分子的振動譜的量子力學問題可用指數形式的勢函數解析地解決 ，並發現計算結果與實驗一致[2] 。於是他提出如下形式的勢函數 ：
。
Mo rse 勢和 Lennard-Jones 勢的曲線形式非常相似。M orse 勢常常用來構造各種多體勢的對勢部分。
3、Born —Mayer 勢
Born 和 M ayer [2] 估計鹼金屬離子之間的排斥項可用指數形式表示，於是提出如下形式的勢函數：
。
參考資料
[1] 王青,華煒,秦學英,鮑虎軍. 基於勢函數的廣義有理參數曲線[J]. 自然科學進展,2004,02:91-97.
[2] 黃海波.L10-TiAl 中角度相關勢和 Ni3Al 中點缺陷的分子 動力學研究[ D] .北京:北京航空航天大學, 2003 .
『肆』 勢函數與流函數的定義
對於各向同性承壓含水層水流問題，可以定義水頭的分布函數H（x，y）為勢函數，即
地下水運動方程
對於底板水平的各向同性潛水含水層，取潛水面相對底板的高度為h（x，y），可以定義勢函數為
地下水運動方程
這樣的勢函數滿足穩定流的控制方程
地下水運動方程
即二維Laplace方程。飽和滲流的Darcy流速（vx，vy）和潛水含水層的單寬流量（qx，qy）與各自定義的勢函數之間存在以下關系：
地下水運動方程
對飽和帶滲流問題，定義流函數ψ（x，y）使其與Darcy流速的關系為
地下水運動方程
這種定義使流函數滿足飽和穩定滲流的連續性方程
地下水運動方程
對於潛水面的分布問題，則流函數的定義應使其與單寬流量的關系為
地下水運動方程
這種定義使流函數滿足穩定潛水面的連續性方程
地下水運動方程
根據勢函數與Darcy流速、單寬流量的關系式（2.117），可以得到
地下水運動方程
進一步有
地下水運動方程
這說明流函數也滿足二維Laplace方程。
『伍』 勢函數的定義
機器人與障礙物間的距離計算是構造勢函數的基礎，通常採用的距離函數是Euclidean距離。若採用凸多面體集合對機器人連桿和障礙物進行幾何模擬，則機器人與障礙物間的距離計算簡化成凸多面體間的距離計算。凸多面體間的Euclidean距離是二次規劃問題的解，計算比較復雜〔8～10〕。本文採用Euclidean距離的等價度量——L1距離，提出C-空間中人工勢場的一種構造策略，並給出相應的機器人無碰撞路徑規劃方法。
『陸』 勢函數的答案
勢函數
勢函數的構造是人工勢場方法中的關鍵問題，典型的勢函數構造方法如下
P(θ)=f{d(θ,θ0),d〔R(θ),O〕,dT} (1)
式中 θ，θ0——機器人當前位姿與目標位姿矢量
d(θ,θ0)——θ與θ0間的某種廣義距離函數
d〔R(θ)，O〕——當前位姿下機器人與障礙物間的最小距離
dT——給定的門限值
P(θ)分別為變數d(θ,θ0)和d〔R(θ)，O〕的單調遞增函數和單調遞減函數。從機器人的起始位姿開始沿著P(θ)的下降方向進行搜索可使機器人在避開障礙物的前提下向目標位姿運動。
機器人與障礙物間的距離計算是構造勢函數的基礎，通常採用的距離函數是Euclidean距離。若採用凸多面體集合對機器人連桿和障礙物進行幾何模擬，則機器人與障礙物間的距離計算簡化成凸多面體間的距離計算。凸多面體間的Euclidean距離是二次規劃問題的解，計算比較復雜〔8～10〕。本文採用Euclidean距離的等價度量——L1距離，提出C-空間中人工勢場的一種構造策略，並給出相應的機器人無碰撞路徑規劃方法。
考慮到機器人的實際操作空間為三維空間，因此有關討論限制在R3中。
1 凸多面體間的L1距離及其計算方法
凸多面體間的L1距離定義如下
(2)
式中 ‖a-b‖1—矢量a-b∈R3的L1范數
有界閉(後面均作此假設)凸多面體A，B�R3間的L1距離具有以下性質〔11〕。
(1) 由式(2)定義的d1(A，B)存在且唯一，式(2)可等價成
(3)
(2) (與Euclidean距離的等價性)記A，B間的Euclidean距離為dE(A，B)，則有
(4)
(3) 拓撲性質
(5)
(4) (Lipschitz性)以TA，TB∈SO(3)分別表示多面體A和B的旋轉矩陣，rA，rB∈R3分別表示A和B平移矢量，記A′=TAA+rA，B′=TBB+rB，則有
(6)
式中 I∈R3×3——單位矩陣
‖T‖1——與矢量的L1范數相容的矩陣譜范
SO(3)——3階特殊正交群
(5) d1(A，B)和dE(A，B)對於A和B的旋轉和平移變數均不存在Frechet意義下的梯度。
上述結論表明，凸多面體間的L1距離和Euclidean距離具有相似的性質。
若A，B�R3的頂點集為VA={υAi;i=1,…,nA}，VB={υBj;j=1,…,nB}，則A，B可分別表示成VA和VB的凸包，即
(7)
(8)
d1(A，B)可通過求解如下線性規劃問題計算
(9)
上述問題可由單純形方法求解。盡管理論上單純形法為非多項式演算法，但經驗表明，即使對於多約束線性規劃問題，單純形法也具有很高的計算效率。因此採用L1距離替代Euclidean距離構造勢函數，可以簡化無碰撞路徑規劃問題的計算復雜性。
2 基於L1距離的人工勢函數構造與無碰撞路徑規劃方法
以R(θ)，O分別表示機器人及其操作空間中的障礙物，其中R(θ)決定於機器人的C-空間位姿矢量θ。所謂無碰撞路徑規劃，就是確定一條連接C-空間中起始位姿θi和目標位姿θO的連續路徑S(θi，θO)，使得機器人沿該路徑運動時，在其所有的中間位姿θ∈S(θi，θO)滿足如下幾何約束條件
(10)
為了將上述約束條件表示成便於計算機判別的形式，通常採用如下形式的凸多面體集合對機器人及其操作空間中的障礙物進行幾何逼近
(11)
式中Ri(θ)(i=1,…，m)，Oj(j=1,…，l)為R3中的凸多面體。機器人與障礙物間的L1距離可按下式由各多面體對Ri(θ)，Oj間的L1距離確定
(12)
且根據L1距離的拓撲性質，幾何約束條件式(10)可等價地表示成
d1〔R(θ)，O〕>0 (13)
以θi，θO∈Rn分別表示n自由度機器人的起始位姿和目標位姿。定義機器人運動過程中任意中間位姿θ∈Rn與目標位姿之間的廣義距離為(W∈Rn×n為正定加權矩陣)
(14)
按如下方法構造C-空間中的勢函數
(15)
由式(15)所確定的勢函數p(θ)具有如下特點：
(1) 當機器人與障礙物間的L1距離大於門限值dT時，勢函數的值由當前位姿與目標位姿間的廣義距離d(θ，θO)確定，此時機器人只受到目標位姿引力場的作用。
(2) 當機器人與障礙物的L1距離小於門限值dT時，人工勢場由目標位姿的引力場和障礙物的斥力場兩部分組成，其中障礙物的斥力場所對應的勢函數分量反比於機器人與障礙物間的L1距離，因此當機器人與障礙物間的L1距離趨於零時，該分量的值趨於無窮大。
(3) 勢函數的值可由式(9)、(12)、(14)、(15)以及機器人正向運動學方程計算。
從機器人在C-空間中的起始位姿開始，沿著人工勢函數p(θ)的下降方向進行搜索，可以得到C-空間中滿足幾何約束條件式(10)的連續路徑。我們分d1〔R(θ)，O〕>dT和d1〔R(θ)，O〕�dT兩種情況討論無碰撞路徑搜索方法。
(1) 若d1〔R(θ)，O〕>dT，則勢函數p(θ)關於θ可微，並有
(16)
此時可按勢函數的最速下降方向，即其負梯度方向-�p(θ)搜索機器人的下一個位姿點。對於搜索得到的位姿點，判斷條件d1〔R(θ)，O〕>dT是否滿足，若是，則以該點作為起始點重復以上搜索過程，否則改用下面的方法進行搜索。
(2) 若d1〔R(θ)，O〕�dT，則勢函數p(θ)不存在Frechet意義下的梯度向量，此時由於得不到最速下降方向，因此採用如下的搜索策略；對於θ的各相鄰位姿θ+δθ(δθ∈Δ)，計算勢函數p(θ+δθ)的值，其中
(17)
為容許的搜索步長集合。按下式確定
(18)
若，則終止搜索。若，判斷條件�dT是否滿足，若是則以作為起始點重復上述搜索，否則改用最速下降方法進行搜索。
採用以上搜索方法可能產生兩種不同的結果：一是搜索過程終止於目標位姿，此時已經得到C-空間中的連接起始位姿和目標位姿的無碰撞路徑，規劃完成。另一種可能的結果是在到達目標位姿之前，搜索過程終止於人工勢函數的局部極小點，此時勢函數無下降方向，必須採用其他方法才能使搜索過程繼續下去。有關人工勢函數的局部極值處理目前已有許多研究，此處不再介紹。
一般說來，若搜索步長足夠小，則盡管規劃過程中只順序搜索C-空間中一些離散位姿點，但L1距離的Lipschitz性足以保證規劃出的路徑滿足幾何約束條件。但減小搜索步長是以增加演算法的計算復雜性為代價的，為簡化計算，搜索過程中可以根據當前位姿下機器人與障礙物間的L1距離大小對步長進行調整。對於由上述方法規劃出的C-空間位姿序列，採用適當的方法進行插補即可得到連續的無碰撞路徑。
3 平面移動機器人路徑規劃的圖形模擬
圖 平面3自由度機器人路徑
規劃模擬結果圖示平面移動機器人具有3自由度，選擇端點A的坐標以及AB與參考坐標系x軸的夾角構成C-空間位姿矢量〔xA，yA，φ〕T，記AB的長度為lAB，則端點B的坐標可由如下運動學方程計算
(19)
給定機器人的起始位姿和目標位姿(如圖示)，以及障礙物Oi(i=1，2，3，4)的頂點集，採用本文給出的無碰撞路徑規劃方法，得到圖示結果。
4 結論
無論是對於關節機器人還是移動機器人，只需建立機器人的正向運動學方程，則採用上述人工勢函數方法進行無碰撞路徑規劃時，其數學表示及其求解過程均不存在實現上的困難，且R3中凸多面體間L1距離的計算也十分簡單，因此上述方法適用於三維空間中各類機器人的無碰撞路徑規劃。
『柒』 勢函數的結論
無論是對於關節機器人還是移動機器人，只需建立機器人的正向運動學方程，則採用上述人工勢函數方法進行無碰撞路徑規劃時，其數學表示及其求解過程均不存在實現上的困難，且R3中凸多面體間L1距離的計算也十分簡單，因此上述方法適用於三維空間中各類機器人的無碰撞路徑規劃。
*國家自然科學基金資助項目。19960611收到初稿，19971017收到修改稿
『捌』 在物理上為什麼一個有勢力可以表示為一個勢函數的梯度
你都說了是有勢力了。。。
有勢力的意思是這個力沿任意閉合路徑的線積分為0（也就是沿著閉合路徑這個力並不做功），微觀上說就是這種力場的旋度為0，這種無旋場在數學上都可以表示為某一數量場的梯度（你可以查旋度公式 數量場的梯度的旋度恆為0），這個數量場就對應了這個力場的勢函數（勢能），因此這個力就是這個勢函數的梯度