模糊数学法

A. 什么是模糊数学法计算过程

设单因素评判方程为矩阵R（根据实验数据对各方案、各行单因素评判），各因素权重A（根据各因素重要程度设置相应权数）
B1=A·R → 将B1归一化为B → 将B中元素由0→1基础离散
C为列向量，则最佳方案为Y=B·C*100%

B. 模糊数学法隶属函数公式e-b(x-a)2怎么算，怎么将数据代入隶属函数

不明白你说的。
隶属度函数的建立是分为定性和定量来确定的。
其中，定性隶属度大多是根据剖分面积元或者专家试打分
定量隶属度根据标准，参照模糊隶属度公式计算

C. 请问模糊数学隶属函数法中的X、Xmax、Xmin分别指的是什么呢文献里写的都十分模糊。

X是代数
Xmax是值域里面的最大值
Xmin是值域里面的最小值

D. 模糊数学理论分词 扎德假言推理法！！

(⊙o⊙)…这个……佩服~自己想

E. 模糊数学模型的方法

在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题专的
实际意义属来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作
为模糊集的隶属度。下面举例说明。
如果设论域X 表示机器设备，在X 上定义模糊集A =“设备完好”，则可以用“设
备完好率”作为A 的隶属度。如果X 表示产品，在X 上定义模糊集A =“质量稳定”，
则可以用产品的“正品率”作为A 的隶属度。如果X 表示家庭，在X 上定义模糊集A
=“家庭贫困”，则可以用“Engel 系数=食品消费/总消费”作为A 的隶属度。
另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的
“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出
顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。

F. 模糊数学法

模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一门科学，它是由美国控制论专家查德（Zadeh L.A.）在1965年创立的。模糊数学的理论和方法虽然还不很完善，但是已显示出强大的生命力。

模糊数学的方法弥补了“综合指数法”忽略水质分级界线的模糊性的缺陷。因为地下水环境系统存在如下特征。

1）水环境系统中污染物质之间存在着复杂的、难以明确的相关关系。水污染是由各污染因子共同作用的结果，它是一个连续、渐变、边界模糊的复杂过程，在评价时客观上存在模糊性。

2）根据水的用途和环境指标来确定水质分级标准时，若用单一的每个因素的数值来表征其特征和用途，在标准选取上，人为因素极大，在客观上人们对水质的要求而制定的标准也存在模糊性。

3）经过各种单项及综合运算后，对水质量给出一个结论，由于水质量是一个连续的变化的事件，因此给出的结论也存在模糊性（孙幼平等，1988）。

根据上述特征，为了真实地刻画这个过程，针对其模糊性，运用模糊数学理论进行处理，对地下水水质的评价会给出比较客观的结果。

（一）模糊综合评判法

所谓模糊评判，就是根据给出的评价标准和实测值，经过模糊变换，对事物的全体作出总的评价的一种方法。

模糊综合评判问题，实际上就是模糊变换问题，它的原理可用模式（4-27）表示：

B=A·R （4-27）

式中：A为因子权重。

为了突出地下水水质成分的主要因子，对各种样品、各因子视其在模糊分级标准中不同情况，分别赋权，得权重A。A是由各评价因子的权重处理后所构成的1×m阶行矩阵，称为输入。

权重A与评价的方法和目的有关。赋权应以各评价因子对地下水质量影响的贡献为主要考虑因素。若多种因子对地下水质量影响时，应能反映出多因子之间的协同、颉颃作用状况。在实际评价中，由于化学组分在地下水系统介质中迁移转化的机制不易认清，所以合理赋权是比较困难的。一般采用环境质量分指数法求出权重A。

为了进行模糊变换，W_i应满足归一化要求：

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

进行归一化，计算公式为

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

式中：W_i为经归一化i因子的权重。

由此构成（1×m）权重矩阵：A=（W₁，W₂，…，W_m）

R为模糊转换器，是由若干个单因子评价行向量构成的，它表示从被考查要素到评定最高等级的一种模糊转化关系，其模糊关系矩阵为

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

B为综合评判结果，称为输出。

B是要求的评价结果，它是评价集上一个模糊子集，用一个1×n行向量的形式表示。

B=（μ（x₁），μ（x₂），…，μ（x_i））

上式中各个元是各因子对于评价等级的隶属度。

μ_mn的计算采用降半梯形法，换算公式如表4-4所示（韩银富等，2000）。

表4-4 隶属度μ_mn计算公式一览表

续表

概括地说，已知输入和模糊转换器求输出，就是模糊综合评判（付雁鹏等，1987）。

综合评判，即A与R两个模糊矩阵的复合运算，采用（∧，∨）型综合评判计算法，类似于普通矩阵乘法，只是将矩阵乘法运算中的“×”号改为“∧”号，将“+”号改为“∨”号，“∧”意为两数中取小值，“∨”意为两数中取大值。复合运算的结果，表示某水样相对于各个质量类别的综合评判隶属度。

根据所评价的综合隶属度，比较各级隶属度的大小。其中，隶属度最大者所在等级，即为水样点的分类等级。

若B_i=max｛B₁，B₂，…，B_n｝，则该样品水质等级定为第i级。

多样品水质按从优到劣排序的原则；同级别水质，比较各样品其邻级较优级别的隶属度，大的先排；不同级别水质，较劣的后排。

将模糊综合评判法应用到地下水质量评价中，可得出一个客观的综合评价结论，以及各种组分影响程度的顺序。

模糊综合判别法的局限性：

1）B=A·R是通过“∨”，“∧”得到的，这种运算形式过分强调了极值的作用，这就势必丢掉一些数据所提供的信息，使判断结果显得“粗糙”，如评价函数呈现b₁=b₂=…=b_m的情况时，就给最后的判别造成困难。

2）由于强调“取小，取大”，如果A中各分量小于R中各量，复合结果R中各量将全部被筛选掉，使单因素判别失去作用，结果形成以权数作为评判函数的现象。

以上情况会影响评价的精度。为了得到更好的评价结果，可根据实际情况，将“∨”，“∧”换成其他形式的算子进行评判，表4-5列出了几种常见的算子形式（付雁鹏等，1987）。

表4-5 其他几种常见的算子形式

注：a，b分别表示μ_a（x），μ_b（x）；a·b表示普通实数乘法；⊕表示有界和运算。

如果采用一种算子评判把握不准，可以同时采用多种算子分别评判，最后进行评判结果比较，确定客观的较优的结论。

（二）相似优先比法

相似优先比法是模糊数学中的一种计算方法，是在被选择对象所组成的集合上，根据一些因素建立一个模糊相似关系，然后由表现这个模糊关系的模糊矩阵来决定元素的优劣。借助这种方法，可以对集合中元素按优劣程度排序。

模糊相似矩阵是以海明距离比为基础构建的，使用λ截矩阵概念计算各分区与环境目标值相似程度的次序。

1.海明距离

d_ki=x_k-x_i （4-29）

d_kj=x_k-x_j （4-30）

式中：x_k为某级水质（环境目标值）标准值；x_i，x_j为被比较的两个区的实测平均值。

2.模糊相似优先比

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

r_ji=1-r_ij （4-32）

若r_ij在（0.5，1）之间，表示x_i比x_j优先；若r_ij在（0，0.5）之间，表示x_j比x_i优先。

理想情况有3种：若r_ij=1，表示x_i显然比x_j优先；若r_ij=0，表示x_j显然比x_i优先；若r_ij=0.5，无法确定优先比，两个选择等价。

3.模糊相似优先比矩阵

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4.相似程度

根据实际情况，在［0，1］之间由大到小选定一系列λ值（λ为评价样品与标准值相似程序的界限），作出相似的矩阵R_λ，得出各因子与目标之间的相似程度，并按求λ截矩阵的次序将元素排序。

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5.综合排序

综合排序，即将各元素的多种排序的序号求和，序号和越小，则该元素越优，反之，则差。

应用相似优先比法对地下水质量进行优劣排序，效果较好。但是建立模糊相似关系矩阵和求λ截矩阵的工作比较繁琐，为避免较大的计算量，建议当样品少时，应用此方法（胡志荣等，1996）。

（三）Fuzzy距离定序法

Fuzzy距离定序法是在相似优先比法的基础上，将繁琐的建立模糊相似关系矩阵和求λ截矩阵的工作，通过变换待定序样品的序列，分析利用Fuzzy距离确定的Fuzzy优先矩阵的性质给出Fuzzy优先关系定序的简化方法。

Fuzzy距离定序法简介：

设已知给定一标准样品为

B=（b₁，b₂，…，b_i） （4-35）

式中：i=1，2，…，m。

给定待序样品序列为A′：

A′₁，A′₂，…，A′_i，…，A′_n （4-36）

式中：A′_i=（a_i1，a_i2，…，a_ij），1≤i≤n，1≤j≤m，即每一个样品由m个指标构成。

由于样品的各项指标单位各异，同一指标可能相差较大，为充分发挥样品各项指标在综合评比中的作用，首先对样品序列A′中每一样品的各项指标进行标准化处理。然后计算待定序样与标准样品之间的Fuzzy距离，具体计算时采用下述公式：

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

式中：d（A_i，B）为样品A_i与标准样品B的Fuzzy距离；x_ik为待定序样品A_i的第k项指标；d_k为样品第k项指标的权重，且

；p为选定的常数，p=1时，式（4-37）为加权海明距离；p=2时，为加权欧氏距离。

用式（4-35）通过计算得到待定序样品A′与标准样品B之间Fuzzy距离序列D′：

d（A₁，B），d（A₂，B），…，d（A_i，B），…，d（A_n，B） （4-38）

对序列（4-36）按从小到大的次序排列，得到新的Fuzzy距离序列d：

d₁，d₂，…，d_i，…，d_n （4-39）

其中：d₁＜d₂，…＜d_i…＜d_n

对样品序列式（4-36），按样品在序列式（4-39）中相应出现的先后次序进行重新排列，得到新的样品序列A：

A₁，A₂，…，A_i，…，A_n （4-40）

若在序列式（4-39）中，存在d_i=d_j，则相应把序列式（4-40）写成：

A₁，…，A₂，…，A_i，A_j，…，A_n

把Fuzzy距离按从小到大的顺序排列，待定序样品在距离序列中相应出现的先后次序即为所求的排列结果。对地下水质量优劣排序而言，Fuzzy距离由小到大代表地下水质量由优到劣。

利用Fuzzy距离定序法进行地下水质量优劣排序，比相似优先比法简便，计算量小，评别易行，尤其当样品多时，更体现出此方法的有效性。但是此方法存在许多问题需进一步研究和探讨，如Fuzzy距离公式的选用、样品指标权数的确定等。因为Fuzzy距离定序法，定序的结果与Fuzzy距离有关，因此，应根据实际问题选用适当的计算公式，并结合研究区的水文地质条件及监测数据进行优劣排序；样品指标权数的选取是人为根据诸指标对地下水质量贡献大小来进行的，需要对各因素的影响有比较清楚的认识，才能够把握权重值。

G. 模糊数学方法成矿远景预测

模糊（fuzzy）集合论或者模糊数学是由Zadeh L A在1965年提出的一种数学理论。

首先我们介绍一下模糊集合、隶属度的概念。

一个集合或集，通常是指满足某种性质的一批元素的总体。例如，在成矿预测中，所谓含矿点集指：

D＝｛X∶X处是已知矿点和远景矿点｝

再设Ω＝｛X｝是被研究的全体地点之集，那么按照传统的观点，对于Ω中的每个元素X，在X∈D或X∈D两种可能中，必是有一种发生（“为真”），也只能有一种为真。换句话说，X或者是含矿点，或者不是，二者必居其一。

在事实上，对任一个地点要做出这样确切的判断是困难的。我们也许只能说，X点一定含矿，可能含矿或者只有矿化现象。

为了解决上面的不确定问题，扎德提出了模糊集和隶属度的概念。假设Ω＝｛X｝是一个任意的普通集合。对于Ω中的每个元素X定义一个实函数μ_D（X）满足：

0≤μ_D（X）≤1

并用μ_D（X）描述X属于D的“程度”。若μ_D（X）＝1，则X完全属于D；若μ_D（X）＝0，则X完全不属于D；μ_D（X）＝0.7，则X属于D的“程度”是70%，等等。这时我们说D是Ω的一个“模糊子集”，由函数μ_D（X）决定。μ_D（X）称为D的“隶属度”。

模糊数学方法在自动化控制、信息处理、人工智能、经济学、社会学等方面有广泛的应用。模糊聚类是一种无监督学习的识别方法，主要依据数据的内部结构进行模糊分类。模糊聚类又分为模糊聚类K均值法和模糊聚类协方差方法，我们以模糊聚类K均值法为例说明其聚类的原理。

假定已知样品集为Ω＝｛x₁，x₂，…，x_N｝，每个样品取n个特征，首先确定要分成的类数，也就是凝聚点的个数。由于类数和凝聚点的位置是人为给定的，因此必须在聚类过程中对聚类中心的位置不断调整，最后得出合理的分类。这种方法就是传统聚类算法中的聚类K均值法。模糊聚类K均值法由上述方法派生而来，它用模糊数学中隶属度的概念代替聚类K均值法中距离的概念，用样品对某一聚类中心的隶属程度来衡量该样品从属某一类的程度，同样要经过反复的迭代才能求出相应的聚类中心。其基本步骤如下。

（1）确定聚类的类数K，1＜K＜N。如把样品集分为含矿和不含矿两类，则K＝2。

（2）给出初始隶属度矩阵

。一般的模糊聚类K均值法是根据经验来设定每一点对各类的隶属度，例如第j点我们认为含矿的可能性大，则可以把它归为W₁类（不含矿的归为W₂类）。如使u_1j＝0.9，u_2j＝0.1；或u_1j＝0.8，u_2j＝0.2，等等。注意到这里的每列元素之和等于1。显然凭经验来确定U^（0）并不容易，我们这里借鉴于诱导聚类K均值法来生成初始隶属度矩阵。

（3）利用下式求各类的聚类中心

地球物理勘探概论

（4）由于聚类中心在计算中需要不断调整，因此每得到一个新的聚类中心就必须重新计算新的隶属度矩阵。计算新的隶属度矩阵U^（l＋1），表达式为

地球物理勘探概论

式中：d_ij表示x_i与x_j的距离；d_pj为x_p与x_j的距离；m是权指数，通常取m＝2。

（5）重复步骤（3）、（4），直到收敛为止。结束迭代的标准可以取

。初始隶属度矩阵是采用诱导的方法来产生的：

（1）确定类数K，1＜K＜N。

（2）输入初始分类矩阵

，i＝1，2，…，K；j＝1，2，…，N。此处的U^*（0）是使用者根据自己意愿简单划定的初始分类矩阵。通常把

取为0或1，例如定为不含矿取0，含矿取1，每列中必须有一个且仅有一个元素取1，然后通过计算对此矩阵进行调整。

（3）诱导产生隶属度矩阵

，并有

地球物理勘探概论

把求得的U^（0）作为初始隶属度矩阵U，其中

是x_j对第j类的隶属度；N是总点数；N_i是“硬”分类中W_i类的点数（所谓“硬”分类是按常规方法分类的）；d_ij是x_i与x_j的距离；β是一个参数，其作用是保证

的值位于0～1范围，通常取作max d_ij的某个倍数。

实例。某地矽卡岩铜矿区有14个已验证的异常，其中见矿异常有叶花香1～4个，石头壳等7个，未见矿异常有小刘胜、大刘胜等7个，每个异常的Cu、Ag、Bi的r值几何平均值和对数值如表6-2-1所示。

我们用此实例来检验模糊聚类方法的聚类效果，模糊聚类方法的分类结果为（见表6-2-2）。

第一类：石头壳、铜井、赤马山、大刘胜

第二类：叶花香1～4、Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ、Ⅷ、小刘胜

不难看出，分类结果第1类多数为见矿异常，而第2类多数为未见矿异常。其中，叶花香1～4判为矿与非矿之间（结果为0.471356、0.484027、0.491749、0.475776，接近0.5），大刘胜也判为矿与非矿之间（结果为0.521641）。

表6-2-2是模糊K均值聚类结果，左列中数值大于0.5为同一类，数值小于0.5为同一类。

表6-2-1 某地矽卡岩型铜矿区异常表

表6-2-2 模糊K均值聚类结果

H. 模糊数学中合成算子:M(∧,∨)算子,M(.,∨)算子,M(∧,⊙)算子,M(.,⊙)算子的计算方法

基本计算方式：

左边的行和右边的列依次进行计算。

然后算子中，∧表示取小，∨表示取大，·表示相乘，圆圈中一个加号表示求和。第一个算子是先取小再取大。

先看等号左边，左边的第一个数字0.3和右边第一列的第一个数字0.5进行比较，取小者为结果，就是0.3；然后左边的第二个数字0.3和右边第一列的第二个数字0.3进行比较，取小者，为0.3；左边第三个数字0.4和右边第一列第三个数字0.2进行比较，取小为0.2；

取小过程结束，然后再取大，就是这三个结果进行比较，取大者为最终结果：因为上边算出的三个结果分别是0.3，0.3，0.2，取大者即为0.3。

这便是等号右边第一个数字0.3的由来。同样的，左边矩阵与右边矩阵的第二列依次比较取小后再取大，便得出了等号右边第二个数字0.3.以此类推。

正确答案应该是（0.32 0.29 0.24 0.11）。

(8)模糊数学法扩展阅读：

模糊数学的研究内容主要有以下三个方面：

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。

查德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。

并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。

比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。

指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。

人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。

为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立合适的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他近义的，以及能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。

现时，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。

人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，即：非真即假，然后进行判断和推理，得出结论。

现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。现时，模糊逻辑还很不成熟，尚需继续研究。

第三，研究模糊数学的应用。

模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。

模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。

在模糊数学中，现今已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

I. 模糊数学及其应用的目录

前言
第一章模糊集合
1.1模糊子集及其表示法
1.2隶属函数的确定方法
1.3模糊集合的其他运算
1.4模糊集合隶属度分布列
习题1
实验1利用Matlab软件建立隶属度函数
第二章判别分析方法
2.1距离判别分析
2.2模糊集合间的贴近度
2.3模糊识别原则
习题2
实验2模糊判别分析
第三章模糊聚类分析
3.1模糊矩阵与模糊关系
3.2模糊相似矩阵与模糊等价矩阵
3.3模糊聚类的方法
3.4模糊C均值聚类
习题3
实验3模糊C均值聚类
第四章模糊综合评价
4.1评价指标权重的确定
4.2综合评价方法
习题4
实验4模糊综合评价
第五章层次分析法
5.1层次分析法的基本原理和步骤
5.2群组决策与残缺判断
5.3FuzzyAHP方法
5.4层次分析法的操作过程
习题5
实验5层次分析法应用
第六章模糊线性规划
6.1普通线性规划及其求解
6.2模糊线性规划及其求解
6.3模糊线性规划的经济应用
习题6
实验6模糊优化与应用