高二数学竞赛试题

1. 今天的创新杯数学竞赛高二试题

创新杯数学竞赛试题
一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。明阳教育
1．与30以内的奇质数的平均数
最接近的数是
A．12 B．13 C．14 D．15

2．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有

若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，

这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比

A．不增不减 B．减少1个

C．减少2个 n．减少3个

3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排

播出的方法共有________种。

A．21 B．22 C．23 D．24

4．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是________元．

A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.8

5．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007

A．201 B．203 C．204 D．205

6．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有_________盏．

A．1004 B．1002 C．1000 D．998

7．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为

A．1032 B，1132 C．1232 D．1332

8．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是

A．29 B．31 C．33 D．35

9．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是

A．62 B．92 C．512 D．1024

10．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是

二、填空题(5’×12二60’)

11．观察5*2＝5十55二60，7*4＝7+77+777+7777＝8638，推知9* 5的值是_111105_____•

12．如图，将宽2米的一些汽车停在长度为30米的未划停

车格的路边，最好的情况下可停___15____部车，最差的情况下可停____8_____部车．

13.如图，一个圆被四条半径分成四个扇形，每个扇形的周长为7.14cm，那么该圆的面积为______12.56_____cm2(圆周率π取3.14)．

14．按以下模式确定，在第n个正方形内应填人的数是(n+1)( n+2)( n+3)-3n-7_________________，其中，n是非零的自然数．

15．篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地取出来，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次七个地取出，那么没有苹果剩下，篮子中共有苹果_____301_____个．

16．一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎．我们遇到该国居民A，B，C，A说：“如果C是骑士，那么B是无赖．”C说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖．”那么这三个人中____B______是骑士，____AC____是无赖．

17．甲、乙两人对同一个数做带余数除法，甲将它除以8，乙将它除以9，现知甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，那么甲所得的余数是___4______•

明阳

18．如图，以△ABC的两条边为边长作两个正方形BDEC和ACFG，已知S△ABC:S四边形BDEC＝2:7，正方形BDEC和正方形 ACFG的边长之比为3：5，那么△CEF与整个图形面积的最简整数比是_____9：137______•

19．一个口袋中装有3个一样的球，3个球上分别写有数字2，3和4．若第一次从袋子中取出一个球，记下球上的数字a，并将球放回袋中．第二次又从袋子中取出一个球，记下球上的数字b．然后算出它们的积．

则所有不同取球情况所得到的积的和是____53____

20．如图，A，B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点， 同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点相遇．在D点第二次相遇．已知C点离A点80米，D点离B点60米．则这个圆的周长是____360_____米．明阳教育

21．九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有___4___个．

22．把从1开始的奇数1，3，5，…，排成一行并分组，使得第n组有n个数，即

(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…

那么2007位于第___45____组，是这一组的第___27___个数．

三、解答题(共40分)

23．(20分)如图，A，B两地相距1500米，实线表示甲上午8时由A地出发往B地行走，到达B地后稍作休息，又从B地出发返回A地的步行情况；又虚线表示乙上午8时从B地出发向A地行走，到了A地，立即返回B地的步行情况．

(1)观察此图，解下列问题：

①甲在B地休息了多长时间?算一算，休息前、后步行的速度各是多少?15分，75、75

②乙从B地到A地，又从A地到B地的步行速度各是多少?50、50

(2)甲、乙二人在途中相遇两次，结合图形、算一算，第一次，第二次相遇的时刻各是几点几分?8：12，8：45
24．(20分)
如上图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移动这枚棋子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．

(1)按每人每次移动的格子数分类，有哪4类走法?

共以下4类走法：1、两人移动的棋子格数为即不是质数，也不是合数的数字：1

2、个位数字为2的质数：2

3、个位数字为5的质数：5

4、个位数字为1、3、7、9的质数。

也有老师认为这样分：奇奇、奇偶，偶偶，偶奇。即指两人拿的奇偶性来分。但是我认为这样分的话，和下面“对于乙的四类走法”这句问话想矛盾。

请大家发表自己的看法，你们是怎么分的呢？

(2)如果甲第1次走了3格，对于乙的四类走法，甲应分别采取怎样的对策才能保证自己(甲)一定获胜?并简单说明，为什么采取这样的对策，甲一定获胜?

甲第一次移了3格后，剩下2004。现在轮到乙移。乙移动后又该轮到甲。也就是说甲总是最后移。所以甲要想获胜，他倒数每二次拿后一定要留下至少4个，这样乙才不能拿完。这样甲就必胜。

当乙拿1个时，甲就拿3个，或者其他和1加起来是4的倍数的质数。这样就会留下4的倍数个格子。最后甲必胜。

当乙拿2个，甲也拿2个。保证甲留的是4的倍数。

当乙拿5个及和其他质数也同样的道理。只要甲每次在乙拿完后，再拿和乙加起来是4的倍数的数。这样，最后总是甲胜。

2. 奥林匹克高中数学竞赛历届二试题

《江雪》作者:柳宗元 千山鸟飞绝，万径人踪灭。

3. iap高二数学竞赛复赛的试题有没有 明天就考试了

试题都是保密的，找不到的。而且IAP竞赛以给学生出具学习评估报告见长，主要就是分析学生的各方面学习情况，就像医生给病人看病一样，如果提前真的找到了试题，那再去参加比赛还有什么意义呢

4. 求：高中数学竞赛试题及答案

人教论坛有

5. 历届高中数学竞赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛江西省预赛
试 题

一、填空题（每小题10分，共 分）
、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．
、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ．
、以抛物线 上的一点 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为 ．
、设 ，则函数 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么， 周长的最小值是 ．
、满足 的一组正整数 ．
、用 表示正整数 的各位数字之和，则 ．
二、解答题（共 题，合计 分）
、（20分）、设 ，且满足： ，求 的值．

、（ 分）如图， 的内心为 ， 分别是
的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明： 三线共点．

、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；
、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
、当 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．

解 答

、 ．提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满足条件 ， 的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个，即总共有 个这样的四位数．（注：也可直接列举．）
、 ． 提示：由条件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
于是
；
由此得
.

、 ．提示：设 ，则

，
直线 方程为
，
即 ，因为 ，则
，
即
，
代人方程得
，
于是点 在直线 上；
同理，若设 ，则 方程为
，
即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
当 ，即 时取得等号．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱锥侧面展开图，易知 ∥ ，且由周长最小，得 共线，于是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，则
．
、 ．提示：由于 是 形状的数，所以 必为奇数，而 为偶数， 设 ， ，代人得
，
即
. ①
而 为偶数，则 为奇数，设 ，则
，
由①得，
， ②
则 为奇数，且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为
，
即 ，于是 ；
若 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为 ，即 ，它无整解；
于是 是唯一解： ．
（另外，也可由 为偶数出发，使

为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 形状的偶数，依次取 ，检验相应的六个数即可．）

、 ．提示：添加自然数 ，这样并不改变问题性质；先考虑由 到 这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 ，首位为 的“三位数”恰有 个： ，
这样，所有三位数的首位数字和为
.
再将 中的每个数 的前两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ，
又将 中的每个数 的首末两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合也是 ，由此知
．
今考虑四位数：在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千个 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如图，设 交于点 ，连 ，由于中位线 ∥ ，以及 平分 ，则 ，所以 ，因 ，得 共圆．所以 ；又注意 是 的内心，则
.
连 ，在 中，由于切线 ，所以
，
因此 三点共线，即有 三线共点．
、 证明：由于 为质数，而 ，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ，使
, ①
于是当 为奇数时，则①中的 一奇一偶．
如果 为偶数， 为奇数，则将①改写成：
，
令 ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数．
总之存在奇数 和偶数 ，使①式成立；据①，
, ②
现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态，其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．
、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：
如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；
为此，采用赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以 ，而改变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） ，由于 ；
因此当多边形所有顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．
但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 ，则①②中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余所有 个顶点都改变了奇数次（ 次）状态，即都改变了颜色；再自点 开始，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变，其余所有 个顶点都改变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有 个点的颜色不变．
现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；
于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．
同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“ ”，白点赋值为“ ”，证法便完全相同）．

6. 高中数学竞赛题

我曾经参加过全国高中数学竞赛。初赛的题目比任何学校公开的数学考试的最后一题都难。建议你买一本高中数学竞赛题看一下，上面有很多例子。初赛的题目目标是让百分之五十的人题目意思都看不懂，让百分之九十九的人根本无从下手如何解题。只让百分之一的人能做出来。

7. 高中数学竞赛题

这个不是很难，关键是我们只需考虑x大于0的情况，因为x小于零和x大于零是一样的。

8. 河北省高二数学竞赛试题

有数列的题，一些求通项公式的呀。有三角函数、集合、平面几何、解析几何、平面向量、空间几何、空间向量、初等数论、排列组合等