2009高中数学联赛
A. 2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
直接从网络上搜 有详细解答
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
第一试
一、填空题（本题满分56分，每小题8分）
1. 已知数列 的前 项和 ，则 ．
2. 若集合 为空集，则实数 的取值范围是 ．
3. 设 、 为实数， ，则二元函数 的最小值是 ．
4. 设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆交双曲线左支于 、 两点，且 . 双曲线的离心率的值介于整数 与 之间，则 ．
5. 已知长方体 的体积为 ，则四面体 与四面体 的重叠部分的体积等于 ．
6. 设 表示不大于 的最大整数，则 ．
7. 设方程 的根都是正数，且 ，则
的最大值是 ．
8. 的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格．
二、 解答题（本题满分14分）
求函数 的值域．
三、解答题（本题满分15分）
如图，抛物线 及点 ，过点 的不重合的直线 、 与此抛物线分别交于点 ，
， ， ．证明： ， ， ， 四点共圆的充要条件是直线 与 的倾斜角互补．
四、解答题（本题满分15分）
设 ， 是正数，且 ， ，求证： ．
2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试题
一、（本题满分50分）
如图，在△ 中， ‖ ，△ 的内切圆与 切于点 ，△ 的 边上的旁切圆切 于点 ，点 是 与 的交点，求证 、 、 三点共线.
二、（本题满分50分）
设 ， 为给定的整数， . 对任意 元的数集 ，作 的所有 元子集的元素和，记这些和组成的集合为 ，集合 中元素个数是 ，求 的最大值.
三、（本题满分50分）
设 ， 是互不相同的正整数，求证：
.
四、（本题满分50分）
求满足下列条件的所有正整数 ， ：（1） 与 互素； （2） .
B. 2009年全国高中数学联赛分A、B卷吗
分，叫1试和2试
2009年总分300分 一试100分二式200分
与08年不同进行了改革
二式有4个大题
09年分别是平面几何 数列 数论 组合数学
希望对你有帮助
不是，二式只有4个题 没有A B卷
C. 2008,2009,2010年全国高中数学联赛河南省一等奖分数线是多少
2008全国高中数学联赛一等奖分数线
河南 206
2009年全国高中数学联赛一等奖分数线
171
D. 请问2009高中数学联赛（河南赛区）获奖名单
M084501 陈天珩 男 高二 郑州一中 M084502 李冰女 高三 郑州市外国语学校 M084503 韩欣彤 男 高三 郑州一中 M084504 许祎男 高三 河南省实验中学 M084505 刘彦麟 男 高三 河南省实验中学 M084506 谢瑜男 高三 河南省实验中学 M084507 陈楷男 高三 郑州市外国语学校 M084508 连颜博 男 高三 河南省实验中学 M084509 邓德重 男 高三 河南省实验中学 M084510 谢鹏宇 男 高三 河南省实验中学 M084511 马超男 高三 开封高中 M084512 李和意 男 高三 洛阳一高 M084513 钮绍基 男 高三 郑州一中 M084514 胡越男 高三 河南师大附中 M084515 高瞻男 高三 开封高中 M084516 王小毅 男 高三 河南省实验中学 M084517 宋燚男 高三 河南省实验中学 M084518 孙慧媛 女 高三 河南省实验中学 M084519 柴荣东 男 高三 郑州市外国语学校 M084520 任兵男 高三 河南师大附中 M084521 常得量 男 高三 河南省实验中学 M084522 张索迪 女 高三 郑州市外国语学校 M084523 崔汉琦 男 高三 郑州一中 M084524 吕慧洁 女 高三 河南省实验中学 M084525 方舟女 高三 河南大学附中 M084526 李伟男 高三 开封高中 M084527 李伟康 男 高三 河南省实验中学 M084528 李瀚男 高三 河南省实验中学 M084529 杨晓东 男 高三 郑州市外国语学校 M084530 郭雨嘉 女 高三 河南省实验中学 M084531 彭思怡 女 高三 郑州一中 M084532 杨秦枝 女 高三 郑州一中 M084533 邱宜欣 女 高三 郑州一中 M084534 马骁尧 男 高三 郑州一中 M084535 刘畅男 高三 郑州一中 M084536 陈天然 男 高三 郑州市外国语学校 M084537 马思远 男 高三 郑州一中 M084538 常丰祺 男 高三 河南师大附中 M084539 周嘉欢 男 高三 郑州一中 M084540 胡淼然 男 高三 河南省实验中学 M084541 段希蕾 女 高三 河南省实验中学 M084542 方欣女 高三 河南省实验中学 M084543 杜嘉茗 女 高三 新密人大附中 M084544 贺源男 高三 河南师大附中 M084545 韩菁慧 女 高三 开封高中
E. 09年全国高中数学竞赛的时间
2009年10月11日
F. 现将10个参加2009年全国高中数学联赛决赛的名额分配给某区四个不同的学校，要求一个学校1名、一个学校2名
根据题意，分2步进行，先把10个名额分为1，2，3，4的四组，
因10个名额之间完全相同，将其分为1-2-3-4的四组只有1种情况，
再将4个学校全排列，对应4组，有A44=24种对应方法，
则分配方案的数目有1×24=24种；
故选C．
G. 2009全国高中数学联赛答案
1. 试求满足方程 的所有整数对 ．
（张鹏程供题）
解： 设整数对 满足方程 …（1），将其看作
关于 的一元二次方程，其判别式 的值
应为一完全平方数；
若 ，则 ；
若 ，则 可取 ，相应的 值分别为 和 ，它们皆不为平方数；
因此，仅当 时， 为完全平方数．
若 ，方程（1）化为 ， 解得 或 ；
若 ，方程（1）化为 ，解得 或 ．
综上可知，满足原方程的全部整数对为： ．
2. 在凸五边形 中，已知 ，且
四点共圆．
证明： 四点共圆的充分必要条件是 ．
（熊斌供题）
证明：必要性：若 共圆，则由
，得 ， ，所以 ，故得 ；
充分性：记 所共的圆为 ，若 ，则圆心 在 的中垂线 上，设点 关于 的对称点为 ，则 在 上，且因 ，即 ，所以 不共点，且 ≌ ，又由 ，知 ≌ ，因此，
≌ ，故由 ，得 共圆，即点 在 上，也即点 在 上，从而 共圆．
3. 设 ， ；
求证： ．
（唐立华供题）
证明：先证 不能构成三角形的三边．因为
，
．
所以 ( )( )( )
,
于是
( )( )( ) ,
故 ．
4. 在一个圆周上给定十二个红点；求 的最小值，使得存在以红点为顶点的 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．
（陶平生供题）
解：设红点集为： ，过点 的弦有 条，而任一个含顶点 的三角形，恰含两条过点 的弦，故这 条过点 的弦，至少要分布于 个含顶点 的三角形中；
同理知，过点 的弦，也各要分布于 个含顶点 的三角形中，这样就需要 个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要 个三角形．
再说明，下界 可以被取到．不失一般性，考虑周长为 的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共有 条．若某弦所对的劣弧长为 ，就称该弦的刻度为 ；于是红端点的弦只有 种刻度，其中，刻度为 的弦各 条，刻度为 的弦共 条；
如果刻度为 （ ）的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一：
或者 ；或者 ；
于是红点三角形边长的刻度组 只有如下 种可能：
；
下面是刻度组的一种搭配：取 型各六个， 型四个；这时恰好得到 条弦，且其中含刻度为 的弦各 条，刻度为 的弦共 条；
今构造如下：先作 型的三角形各六个， 型的三角形
三个，再用三个 型的三角形来补充．
型六个：其顶点标号为： ；
型六个：其顶点标号为： ；
型六个：其顶点标号为： ；
型三个：其顶点标号为： ；
型三个：其顶点标号为： ．
（每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）．
这样共得到 个三角形，且满足本题条件，因此， 的最小值为 ．
第六届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
第二天
5．设 的所有排列 的集合为 ； ，记
， ；求 ．
（其中 表示集合 的元素个数）．
（熊斌供题）
解：我们一般地证明，若 ，对于前 个正整数 的所有排列 构成的集合 ，若 ， ，
则 ．
下面用数学归纳法证明：
．
当 时，由排序不等式知，集合 中的最小元素是 ，最大元素是 ．又， ，
，
，
所以， = 共有11= 个元素．因此， 时命题成立．
假设命题在 （ ）时成立；考虑命题在 时的情况．对于 的任一排列 ，恒取 ，得到 的一个排列 ，
则 ．由归纳假设知，此时 取遍区间
上所有整数．
再令 ，则
，
再由归纳假设知， 取遍区间
上的所有整数．
因为 ，所以， 取遍区间
上的所有整数．即命题对 也成立．由数学归纳法知，命题成立．
由于 ，从而，集合
的元素个数为 ．特别是，当 时， ．
6．已知 、 分别是 的外接圆和内切圆；证明：过 上的任意一点 ，都可作一个三角形 ，使得 、 分别是 的外接圆和内切圆．
（陶平生供题）
证：如图，设 ， 分别是 的外接圆和内切圆半径，延长 交 于 ，则 ， ，延长 交 于 ；则 ，即 ；
过 分别作 的切线 ， 在 上，连 ，则 平分 ，只要证， 也与 相切；
设 ，则 是 的中点，连 ，则
， ，
，
所以 ，
由于 在角 的平分线上，因此点 是 的内心，
（这是由于， ，而
，所以 ，点 是 的内心）．
即弦 与 相切．
7．设 ， 其中 ，且
． 求 的最大值和最小值．
（李胜宏供题）
解：先证 当且仅当 时等号成立.
因 …
由哥西不等式: ，因为
从而 当且仅当 时等号成立.
再证 当 时等号成立.
事实上， =
故 ，当 时等号成立．
另证：设 ，若 ，则 ；
下设 ，由 式，要证 ，只要证， …①
注意到 ，于是①等价于
即 …②
而由柯西不等式，可得
即②成立，从而 ，故 ，当 时等号成立.
8．在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的 型五方连块？
（孙文先供题）
答：至少要如下图挖去14个小方格．
如右图，将8×8棋盘切为五个区域．
中央部份的区域至少要挖去2个小方格才能使T形的五方块放不进去。二个打叉的位置是不等同的位置，一个是在角落位置，另一个是内部位置，只挖去其中一个无法避免T置入．
对于在边界的四个全等的区域，每区域至少要挖去3个小方格才能使T形的五方块放不进去．
证明：以右上角的区域为例，下方T部份必需挖去1个小方格，上方部份必需挖去打叉的位置的1个小方格．
下方T部份挖去的1个小方格有五种情况，但无论如何均可再置入一片T形的五方块， 因此至少要挖去3个小方格．
综合所有区域，对于T型五方块至少要挖去3×4+2=14个小方格．
H. 求2009年全国高中数学联赛河南赛区预赛一 二 三等奖获奖名单
你好，请问2009年全国高中数学联赛河南赛区预赛一
二
三等奖获奖名单？
I. 2009年高中数学联赛 奥赛 天津赛区
2009年中国数抄学奥林匹克（第24届全国中学生数学冬令营）期间， 1月9日上午召开了普委会工作会议。会上大家就“全国高中数学联赛调整方案（讨论稿）”中一试和二试的时间分配、权重分配、试卷结构的调整问题展开了认真细致的讨论。
大家普遍认为，在现阶段进行调整是必要的，同意从2009年全国高中数学联赛（黑龙江省数学会承办）起执行新方案。具体安排如下：
一试考试时间为8：00—9：20，共80分钟，包括8道填空题（每题7分）和3道解答题（分别为14分、15分、15分），满分100分。
二试考试时间为9：40—12：10，共150分钟，包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题50分，满分200分。
初赛应该是在九月份，决赛应该在十月份，去年就是这样的。
J. 2009全国高中数学联赛分数线
2009年高中数学联赛上海赛区一等奖名单
姓名 性别 学校 年级 成绩
聂子佩 男 上海中学 高二 270
李弘毅 男 华东师大二附中 高三 264
唐志皓 男 上海中学 高三 253
阮 丰 男 上海中学 高三 248
何立博 男 华东师大二附中 高三 240
邓博文 男 华东师大二附中 高三 240
徐俊楠 男 复旦附中 高一 240
黄译旻 男 华东师大二附中 高三 240
戚文俊 男 上海中学 高三 235
叶佳琦 男 华东师大二附中 高三 230
张贻辰 男 华东师大二附中 高二 230
黄文涛 男 格致中学 高三 225
张雪逸 男 上海中学 高三 223
虞博雅 男 华东师大二附中 高二 223
毛毅翔 男 上海中学 高三 218
李 泱 男 上海中学 高三 216
封一帆 男 延安中学 高三 210
王瑞奇 男 南洋模范中学 高三 205
张硕平 男 华东师大二附中 高三 200
陆昕清 女 上海中学 高三 196
谢经岸 男 华东师大二附中 高三 195
梁 栋 男 上海中学 高一 195
朱元明 男 向阳中学 高三 188
张嘉容 男 华东师大二附中 高三 188
虞文华 男 华东师大二附中 高三 188
杨佼文 男 复旦附中 高三 186
顾 超 男 格致初级中学 初三 186
陆宇豪 男 复旦附中 高二 183
陆恺佶 男 格致初级中学 初三 180
朱纪乐 男 复旦附中 高二 179
王云占 男 上海中学 高三 178
张逸昊 男 上海中学 高一 176
周天佑 男 上海中学 高一 175
周士杰 男 延安中学 高三 173
陈卓东 男 华东师大二附中 高二 173
夏嘉程 男 上海中学 高三 170
何笑添 男 华东师大二附中 高三 170
刘怡坤 男 上海中学 高三 169
王文俊 男 格致中学 高三 169
唐 淳 男 华东师大二附中 高三 167
陆逸波 男 上海中学 高二 167
张达成 男 上海中学 高三 166
徐乾玮 男 上海中学 高三 165
张宸元 男 复旦附中 高三 165
葛黄一 男 复旦附中 高三 164
林经纬 男 华东师大二附中 高二 164
蔡意歆 男 延安中学 高二 163
陈逸伦 男 上海中学 高三 161
黄利致 男 复旦附中 高二 161
费嘉彦 男 华东师大二附中 高一 159
蔚亦然 男 市北初级中学 初三 159