高等数学函数的极限

A. 高数中的函数的极限是什么

极限是高等数学的基础，要学清楚。

设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.如果对于任意给定的ε>0，存在正数X，使得对于适合不等式x>X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式. │f(x)-A│<ε , 则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作 f(x)→A(x→+∞). 例y=1/x，x→+∞时极限为y=0 函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。 极限符号可记为lim。

函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。 问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若极限 存在，则在该点的极限是唯一的）

有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 （2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A 不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。 2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。 在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。 3.柯西准则 数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

B. 高等数学函数极限

（5）当x>1时，右极限=(x-1)/(x-1)=1

当x<1时，左极限=(1-x)/(x-1)=-1
因为左右极限不相等，所以原极限不存在
2、当x>0时，右极限=arctan(+∞)=π/2
当x<0时，左极限=arctan(-∞)=-π/2
因为左右极限不相等，所以原极限不存在

C. 高等数学 函数极限的定义

函数极限中来的δ重在存在性，并自且δ是随着ε变化的，而ε是任意小的一个正数，所以δ本身就具有常量与变量的双重性。变量性是指它随任意小的正数ε发生变化，常量性是ε一旦给定了一个值，那么相应的一定会存在我们所需要的一个δ（当然δ是有无穷多个，因为一旦找到了一个，所有比它小的正数也完全符合要求）
所以
1、“函数的极限中，左极限右极限的定义域的δ必须相等吗”，答案是：没有必要一定相等，“存在”即可，管它具体等于多少呢
2、不需要考核δ>6的情况，因为δ已经找到

D. 高等数学，函数极限

😁

E. 高等数学 函数极限

分式的极限存在，而分母的极限是零，所以分子的极限也是零。否则分式的极限不存在。

F. 高等数学的函数极限

分子提出√(x+1)，原极限=lim (-√(x+1))=-1

G. 高等数学 极限函数

这里就是用到两个因式分解的公式呀，列岀如下：
①a^3一b^3
=（a一b）（a^2十ab十b^2）；
②（a^4一b^4）=（a^2一b^2）（a^2十b^2）
=（Q一b）（a+b）（a^2十b^2）。

H. 高数题：求函数的极限

方法一:0/0型，直接运用洛必达法则
lim(x→0) arctan3x/sin2x
=lim(x→0) 3/(1＋9x²)/(2cos2x)
=3/2
方法二:等价无穷小代换
x→0时，arctan3x∽3x；sin2x∽2x
所以lim(x→0) arctan3x/(sin2x)
=lim(x→0) 3x/(2x)
=3/2

I. 高等数学函数极限题

①。你作的答案是对的，但过程有暇疵。x=1/t，前面小括号里的第二项 x/2=1/(2t)，
不是1/(2t²)；
②。按极限四则运算规则：有限个具有极限的函数之和的极限必存在，并且这个极限等于它们
的极限之和。在x→+∞lim[x³+x/2-tan(1/x)]e^(1/x)中，(x³+x/2)e^(1/x)和[tan(1/x)]e^(1/x)
的极限都存在，故x→+∞lim[x³+x/2-tan(1/x)]e^(1/x)【x→+∞limtan(1/x)]e^(1/x)=0•1】
=[x→+∞lim(x³+x/2)e^(1/x)]-[x→+∞lim[tan(1/x)e^(1/x)]=x→+∞lim(x³+x/2)e^(1/x)-0;
但(x³+x/2)e^(1/x)和√(1+x^6)的极限都不存在，故不能单独取极限，必需组合起来，即
[(x³+x/2)e^(1/x)-√(1+x^6)]【属∞-∞】合在一起极限才存在。

J. 高等数学函数求极限

函数求极限问题一般都是用书中给的几种公式和方法的不断套用，提问时可以加想要求解的题图片，便于给出更详细的回答。