数学解题研究
探究高中数学学习
摘要：高中数学与初中数学特点的变化：一是数学语言在抽象程度上突变；二是思维方法向理性层次跃迁；三是知识内容的整体数量剧增。文章阐述了针对这些变化所采取的学习方法：培养自信、方法的提炼和升级、听课的方法，如何解题；如何思维，如何实现解题。
关键词：高中数学；变化；方法；思维
“科学技术是第一生产力”，而科学技术的基础是数学，数学不是知识的汇集，而是一个开放性的文化体系，是人类智慧和创造力的结晶，其深刻的文化价值主要表现在数学可以帮助人们更好地理解和认识人文科学、自然科学、人的所有创造和人类世界，更好地适应社会生活；数学可以促进人们有条理地思考，有效地进行表达和交流，提高迅速地获取，筛选和处理各种信息的能力；通过数学学习可以发展人的主动性，责任感和自信心，丰富人的精神世界，培养人实事求是的科学态度和勇于探索的创新精神。在以知识经济为基础的21世纪，数学将更广泛普遍地渗透到科学技术、经济生活以及现实世界的各个领域之中。
一、 高中数学与初中数学特点的变化
（一）数学语言在抽象程度上突变
高一新生共同的感受是：集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何、向量等。
（二）思维方法向理性层次跃迁
高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生对各种题型建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的事，这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致失去了学习兴趣，成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证性思维。
（三）知识内容的整体数量剧增
高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上的急剧增加，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了，这就要求：（1）要做好课后的复习工作，记牢大量的知识；（2）要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中；（3）因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好。因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法；（4）要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
二、学习方法
（一）培养自信
人需要以不断的成功来鼓舞自己。如何最快、最有效地取得进步，是每个人在学习中首先要考虑的事情。感受到进步就能够有学习的动力和热情。学习同样具有80/20原则，也就是80%的内容在20%的文字里面，最有用的信息集中在极少数的内容。
学习只要求用心，或者你可以理解成为自信和自觉。如果不用心，仅仅是拿着一本书装样，心都飞到九霄云外，是不可能得到效果的。如果没有信心，仍然一味地否定自己，就不会有热情和激情，不会有接纳新知识的活跃的思维，不会有快速浏览、自我提问的积极性和动力。心态决定一切，积极与消极的效果截然不同。
（二）学习方法的提炼和升级
学习方法是需要不断地提炼和升级的。升级的结果，就是效率的进一步提高。我认为学习（包括知识和技能）中的境界和领悟最为重要。先提高境界，在层次上有所感悟，然后从整体感应那种境界和规律，去寻求和掌握各种方法技巧。有了感应，就能够抓住方向，一日千里。同时境界的提高包括心境、通达和反应能力、视角、感受性、领悟力的提高，这在后来的学习中，往往比单纯的知识更重要，更有助于人的整体提高。
学习是有方法的。这些方法被人称为捷径，在这些方法的指导下，或者对这些方法的实践，往往能够让人学得更快、更轻松、更容易看到进步、成绩，人们也会越来越不厌倦学习。
（三）听课的方法
同学们感觉最深的就是“一听就懂，一看就会，一做就错”。表现在课堂上都听得懂，作业不会做，或即使做出来，教师批改后才知道有多处错误。
首先应做好课前的物质准备和精神准备，使得上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动或看小书、下棋、打牌、激烈争论等，以免上课后还喘嘘嘘的，或不能平静下来。
其次就是听课要全神贯注。全神贯注就是全身心地投入课堂学习，做到五到：耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。若能做到上述“五到”，精力便会高度集中，课堂所学的一切重要内容便会在自己头脑中留下深刻的印象。
再次，特别注意老师讲课的开头和结尾。老师讲课开头，一般是概括前节课的要点指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。
然后要认真把握好思维逻辑，分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要特别注意老师讲课中的提示。老师讲课中常常对一些重点难点会做出某些语言、语气甚至是某种动作的提示。
最后一点就是做好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等做出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。
三、如何解题
（一）如何思维
学习数学的本质就是学解题。每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya，1887～1985）热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本总旨就“教会年轻人思考”。他致力于解题的研究，回答了“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他在《怎样解题》这本书中分解解题的思维过程，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表。
第一，必须弄清问题。未知数是什么？已知数学是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分?或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号，把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来?
第二，找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。拟定计划：你应该最终得出一个求解的计划。你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？ 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？
第三，实行你的计划。实现计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
第四，验算所得到的解。回顾：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？他提出解题时，联想什么？怎样联想什么？事实上，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。
（二）如何实现解题
“数学是思维的体操”只要肯学，肯下功夫，从都可以达到一定的水平。解题要立足于基础，切忌好高骛远，要多做基础题，多做一些中档题，适当做一点难题，不做则已，要做就要用心地去做，要高度地做，做了一批题一定要有收获，不搞机械的简单的重复。解题的技巧来说，有特值法、图象法、换元法，俗称解数学题的三大法宝，当然基本知识，基本技能是必不可少的了。解题还要善于积累，积累包括两个方面：一是成功经验，二是失败教训。把平练习和考试中做错的题目积累成集，并且经常翻阅复习，既有针对性，又节省时间，可大大提高学习效率。
参考文献
[1]波利亚著，阎育苏译.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.
[2]罗增儒，罗新兵.波利亚的怎样解题表[M].陕西师范大学出版社.
[3]韦忠平.高中数学学法指导.
⑵ 数学解题能力的研究现状是什么
1.学生基础性知识掌握是解题能否成功的基础。
2.学生思维方式也是影响解题能力的关键因素。
3.学生的主观能动性与心向。
⑶ 对数学解题与研究这门课的建议
题目毕竟是人编好的，每道题都是考察你学过的知识点，所以要学会对号入座，看清题型以及编题的意图
⑷ 数学解题能力的实践研究的案例分析怎么写
学生解题能力主要存在哪些方面的问题呢？
在实际教学中，我们发现相当一部分学生存在着数学解题能力缺失，严重影响着学生进一步学习数学的兴趣和解决问题能力的提升。只有找准学生解题能力存在的基本问题，我们才能准确制定其排解对策，那么学生解题能力主要存在哪些方面的问题呢？1. 观察你的学生一、解题时存在哪方面的问题比较明显？
1.基础知识不牢固，不能融会贯通
《国务院关于基础教育改革与发展的决定》中指出：“重视基础知识、基本技能的教学并关注情感、态度的培养。”在三维目标中，知识与技能目标是首要目标，它具有奠基作用。学生的数学解题能力和数学素养是在知识的掌握、建构、内化、运用的过程中形成的。由于小学生存在心理不稳定、急躁、好动等心理倾向，导致在学习的过程中基础知识落实不到位，例如对于各种数学概念、定律、公式、技能等不能正确理解和掌握，时常处于一种似懂非懂的状态，解决问题时没有扎实的基础知识作铺垫，找不到解决数学问题的有效路径，从而严重地影响了解决问题的效果。
2.审题不细，产生定势思维
心理学研究表明，人在学习过程中使用某一认知方式进行思维，重复的次数越多，越有效，那么在新的相似情境中就会优先运用这一方式。学生往往在做大量的练习或重复的练习时不会仔细审题，只看到题目的表象就开始运用已有经验进行解题，这就是一种思维惯性的现象。虽然说思维定势有助于人们进行类比思维，从而更加顺利和快捷地解决部分问题，但容易使学生盲目运用特定经验和习惯的方法去对待一些貌似而神异的问题，结果造成错误的解题。
3.缺乏学习主动性，依赖心理严重
数学学习应是学生主动建构知识的过程。而在实际生活中，家长对学生的学习管得过细，容易使孩子产生依赖心理，如每次的家庭作业，家长给孩子仔细检查，圈出错误的地方让孩子订正，而不是教给孩子检查的方法，让孩子学会检查、学会纠错等。有时教师的教法单一也会让学生产生依赖心理，例如教师过于注重解题方法的传授，而不让学生去主动地尝试学习、尝试解题，忽略了对学生的“扶放教学”，使大批学生面对新的问题不敢去大胆尝试，依赖于听教师的正确答案。由于学生没有经历观察操作、比较分析、交流反思等逐步内化概念的过程，解题能力和思维能力则无法得到提升，从而使学生产生依赖心理，让学生丧失了数学学习的主动性和独立性，丧失了问题解决和推理能力。
4.畏难情绪较严重
要让学生成功地解决数学问题，需要学生具备良好的解决数学问题的能力，而在教师的教学中不难发现，很多学生面对数学问题都具有畏难情绪。畏难情绪是指学生对学习活动中存在的困难不敢正确地面对，没有理性的认识和思考，害
怕困难，甚至逃避困难，在较难的数学问题面前显得束手无策。畏难情绪的产生主要是由家庭教育和学校教育的不当产生的。家庭教育方面有的家长过分溺爱孩子，什么都是包办代替，孩子没有经受挫折，也就不知道怎样去面对困难。学校教育中教师缺乏良好的组织教学的能力，没有把握好“收放”的尺度，没有给够学生独立思考和解决数学问题的空间和时间，也导致学生无法独立面对困难。因此，畏难情绪的影响、制约、阻碍了学生的学习积极性和主动性，较严重地影响了学生解决数学问题的效率。
5.思维灵活性不够，缺乏求异思维
求异思维是一种创造性思维，它是培养创造性思维的核心。它要求学生凭借自己的知识水平与能力，对某一问题从不同的角度，不同的方位去思考，创造性地解决问题。而小学生的思维是以具体形象思维为主，容易产生消极的思维定势，造成一些机械思维模式，干扰解题的准确性和灵活性。面对一个数学问题，能从不同角度表述和思考，就能全面而深刻地理解这个问题。为了排除学生这种消极思维定势的干扰，在解题中，要努力创造条件，引导学生从各个角度去分析思考问题，发展学生的求异思维，使其创造性地解决问题。通常运用的方法有“一题多问”、“一题多解”和“一题多变”。在解题时，要经常注意引导学生从不同的方面，探求解题途径，以求最佳解法。例如，笔者在教学“工程问题”新课时采用了不同方法探索进行分析讲解。“修一条村级公路。甲队单独修10周完成，乙队单独修15周完成。两队同时从公路两端修，几周可以完成？”当学生提出用假设法进行解决时，我鼓励学生大胆假设出这条公路的长度，并用自己不同的假设去进行计算，从而验证出不管这条公路的长度是600、300、60、1还是x，所得的结果都相同，这样打破思维定势，启迪学生新的思维，并得出算法的最优化，充分显示出学生思维的灵活性。
6.数学学习习惯欠佳导致解题能力低下
良好的学习习惯的培养是课标对目前教学提出的重要任务之一，好的学习习惯让学生终身受用，能够避免解决数学问题中产生不必要的错误。在日常教学中，学生往往容易犯这样或那样的错误，如果让学生再次仔细审题，则多数能独立解决问题，这说明学生在学习中很多是数学学习习惯不良而导致解题错误，如缺乏反思检验的习惯、仔细审题的习惯、善于动手的习惯、自主探索的习惯等。
7.教师的教法不当
教师在日常教学中，有时由于对教科书的理解不够充分，传授知识采用一味灌输，让学生形成被动式的接受学习，这样就会导致学生虽然将知识记住了，但没有真正理解和掌握，不会融会贯通，在解决实际问题时，就不知道怎样综合运用知识去解决。如果教师在教学中对学生的实际情况把握不准确，教学活动设计与学生的知识把握产生偏差，也会影响学生解题能力。在教学过程中，很多教师总担心完不成教学任务，或担心教学内容不完整，常常对审题过程包办代替，学生只是读一遍题目，蜻蜓点水走过场，学生失去了这种锻炼的机会，也造成了这
方面能力的欠缺。这样，学生失去了审视题目、思考问题的机会，久而久之，解题能力的形成和发展便受到了严重的影响
课程从“解题的意义”、“解题的方法与技巧”、“解题方法与技巧教学的建议”等三个角度阐述了初中数学解题方法与技巧教学的研究及教学调控建议。课程内容中充分结合实际教学案例来分析讲解，以期与老师们分享有效的教学调控后对初中生数学学习有效性地帮助，从而促进学生的有效性学习，更好的理解和掌握初中数学知识，培养学生对数学的学习兴趣和创新能力。
2. 学生解题过程中哪些解法和技巧引起你的共鸣？
中学数学新题型解题方法和技巧
1. 数学探索题
所谓探索题就是从问题给定的题设条件中探究其相应的结论并加以证
明，或从给定的题目要求中探究相应的必需具备的条件、解决问题的途径。 条件探索题：解答策略之一是将题设和结论视为已知，同时推理，在演 绎的过程中寻找出相应所需的条件。
结论探索题：通常指结论不确定不唯一，或结论需通过类比、引申、推广，或给出特例需通过归纳得出一般结论。可以先猜测再去证明；也可以寻求具体情况下的结论再证明；或直接演绎推证。
规律探索题：实际就是探索多种解决问题的途径，制定多种解题的策略。 活动型探索题：让学生参与一定的社会实践，在课内和课外的活动中， 通过探究完成问题解决。
推广型探索题，将一个简单的问题，加以推广，可产生新的结论，在初 中教学中常见。
如平行四边形的判定，就可以产生许多新的推广，一方面是自身的推广， 一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是数学的生命线，解探索题是一种富有创造性的思维活动，一种数 学形式的探索绝不是单一的思维方式的结果，而是多种思维方式的联系和渗透，这样可使学生在学习数学的过程中敢于质疑、提问、反思、推广。通过探索去经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，体会创造带来的快乐。
2. 数学情境题
情境题是以一段生活实际、故事、历史、游戏与数学问题、数学思想和方法于情境中。这类问题往往生动有趣，激发学生强烈的研究动机，但同时数学情景题又有信息量大，开放性强的特点，因此需要学生能从场景中提炼出数学问题，同时经历了借助数学知识研究实际问题的数学化过程。
如老师在讲有理数的混合运算时，
3. 数学开放题
数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种新题型，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，也正因为这样，所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。
（ 1 ）数学开放题一般具有下列特征：
①不确定性：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，因此需收集其他必要的信息，才能着手解的题目。
②探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
③非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中学生的认知结构的重建。
④发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更概括性的结论。
⑤层次性：常常通过实际问题提出，学生必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。
⑥发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程。 ⑦创新性：教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。
（ 2 ）对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。
从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料，设计成各种形式的数学开放性问题，意在开放学生的思路，开放学生潜在的学习能力，开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会，多种解题策略的应用，有力地发展了学生的创新思维，培养了学生的创新技能，提高了学生的创新能力。
（ 3 ）以数学开放题为载体的教学特征
①师生关系开放：教师与学生成为问题解决的共同合作者和研究者
②教学内容开放：开放题往往条件不完全、或结论不完全，需要收集信息加以分析和研究，给数学留下了创新的空间。
③教学过程的开放性：由于研究的内容的开放性可以激起学生的好奇心、同时由于问题的开放性，就没有现成的解题模式，因此就会留下想象的空间，使所有的学生都可参与想象和解答。
⑸ 中学数学解题研究的介绍
《中学数学解题研究》紧扣数学新课标和当前学生的解题实际，内容包括绪论、数学问题解决的基本策略、数学解题理论概述、数学问题解决的一般方法、数学解题能力的培养、高中新课程新增内容解题研究。书中理论与实践并重，各章含有例题和习题，先练后讲、边讲边练、及时反思、总结规律，以提高学生解题的意识、能力和修养。
⑹ 什么叫“数学研究模型”（请给具体解答，谢谢）
“数学研究模型”用在电脑编程上，用输入不同的数据获得不同的结果
“数学研究模型”如黑用人工计算，那么庞大的计算量是力不能及的
比如天上的云，其高度、厚度、范围，以及风向、温度、湿度、……，预报睛雨
先设计一个数学研究模型”，也就是一个编程，编程中用的是关系式，判断式
当输入不同的云的高度、厚度、风向、温度、湿度、……，获得睛雨的结果
⑺ 数学研究性学习课题
数学研究性学习课题
数学研究性学习课题
1、银行存款利息和利税的调查
2、气象学中的数学应用问题
3、如何开发解题智慧
4、多面体欧拉定理的发现
5、购房贷款决策问题
6、有关房子粉刷的预算
7、日常生活中的悖论问题
8、关于数学知识在物理上的应用探索
9、投资人寿保险和投资银行的分析比较
10、黄金数的广泛应用
11、编程中的优化算法问题
12、余弦定理在日常生活中的应用
13、证券投资中的数学
14、环境规划与数学
15、如何计算一份试卷的难度与区分度
16、数学的发展历史
17、以“养老金”问题谈起
18、中国体育彩票中的数学问题
19、“开放型题”及其思维对策
20、解答应用题的思维方法
21、高中数学的学习活动——解题分析 A）从尝试到严谨、B）从一个到一类
22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧
23、中国电脑福利彩票中的数学问题
24、各镇中学生生活情况
25、城镇/农村饮食构成及优化设计
26、如何安置军事侦察卫星
27、给人与人的关系（友情）评分
28、丈量成功大厦
29、寻找人的情绪变化规律
30、如何存款最合算
31、哪家超市最便宜
32、数学中的黄金分割
33、通讯网络收费调查统计
34、数学中的最优化问题
35、水库的来水量如何计算
36、计算器对运算能力影响
37、数学灵感的培养
38、如何提高数学课堂效率
39、二次函数图象特点应用
40、D中线段计算
41、统计溪美月降水量
42、如何合理抽税
43、南安市区车辆构成
44、出租车车费的合理定价
45、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？
46、购房贷款决策问题
⑻ 如何有效进行数学解题教学
1、正方体展开图
正方体有6个面，12条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有11种，11种展开图形又可以分为4种类型：
1141型中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图。
（2）追及问题
【口诀】：
慢鸟要先飞，快的随后追。
先走的路程，除以速度差，时间就求对。
例：姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为3千米/小时，先走2小时后，弟弟骑自行车出发速度6千米/小时，几时追上？
先走的路程，为3X2=6（千米）
速度的差，为6-3=3（千米/小时）。所以追上的时间为：6/3=2（小时）。
6、和比问题
已知整体求部分。
【口诀】：
家要众人合，分家有原则。
分母比数和，分子自己的。
和乘以比例，就是该得的。
例：甲乙丙三数和为27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三数。
分母比数和，即分母为：2+3+4=9；
分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9，3/9，4/9。和乘以比例，所以甲数为27X2/9=6，乙数为：27X3/9=9，丙数为：27X4/9=12。
7、差比问题（差倍问题）
【口诀】：
我的比你多，倍数是因果。
分子实际差，分母倍数差。
商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。
例：甲数比乙数大12，甲:乙=7：4，求两数。
先求一倍的量，12/（7-4）=4，
所以甲数为：4X7=28，乙数为：4X4=16。
8、工程问题
【口诀】：
工程总量设为1，1除以时间就是工作效率。
单独做时工作效率是自己的，一齐做时工作效率是众人的效率和。
1减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。
例：一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲乙同时做2天后，由乙单独做，几天完成？
[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）
9、植树问题
【口诀】：
植树多少棵，要问路如何？
直的加上1，圆的是结果。
例1：在一条长为120米的马路上植树，间距为4米，植树多少棵？
路是直的。所以植树120/4+1=31（棵）。
例2：在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少棵？
路是圆的，所以植树120/4=30（棵）。
10、盈亏问题
【口诀】：
全盈全亏，大的减去小的；
一盈一亏，盈亏加在一起。
除以分配的差，结果就是分配的东西或者是人。
例1：小朋友分桃子，每人10个少9个；每人8个多7个。求有多少小朋友多少桃子？
一盈一亏，则公式为：（9+7）/（10-8）=8（人），相应桃子为8X10-9=71（个）
例2：士兵背子弹。每人45发则多680发；每人50发则多200发，多少士兵多少子弹？
全盈问题。大的减去小的，则公式为：（680-200）/（50-45）=96（人）则子弹为96X50+200=5000（发）。
例3：学生发书。每人10本则差90本；每人8 本则差8本，多少学生多少书？
全亏问题。大的减去小的。则公式为：（90-8）/（10-8）=41（人），相应书为41X10-90=320（本）
11、牛吃草问题
【口诀】：
每牛每天的吃草量假设是份数1，
A头B天的吃草量算出是几？
M头N天的吃草量又是几？
大的减去小的，除以二者对应的天数的差值，
结果就是草的生长速率。
原有的草量依此反推。
公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
将未知吃草量的牛分为两个部分：
一小部分先吃新草，个数就是草的比率；
有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。
例：整个牧场上草长得一样密，一样快。27头牛6天可以把草吃完；23头牛9天也可以把草吃完。问21头多少天把草吃完。
每牛每天的吃草量假设是1，则27头牛6天的吃草量是27X6=162，23头牛9天的吃草量是23X9=207；
大的减去小的，207-162=45；二者对应的天数的差值，是9-6=3（天）结果就是草的生长速率。所以草的生长速率是45/3=15（牛/天）；原有的草量依此反推。
公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。
将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；
这就是说将要求的21头牛分为两部分，一部分15头牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，所以所求的天数为：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）
12、年龄问题
【口诀】：
岁差不会变，同时相加减。
岁数一改变，倍数也改变。
抓住这三点，一切都简单。
例1：小军今年8 岁，爸爸今年34岁，几年后，爸爸的年龄的小军的3倍？
岁差不会变，今年的岁数差点34-8=26，到几年后仍然不会变。
已知差及倍数，转化为差比问题。26/（3-1）=13，几年后爸爸的年龄是13X3=39岁，小军的年龄是13X1=13岁，所以应该是5年后。
例2：姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数的和是40岁时，两人各应该是多少岁？
岁差不会变，今年的岁数差13-9=4几年后也不会改变。
几年后岁数和是40，岁数差是4，转化为和差问题。则几年后，姐姐的岁数：（40+4）/2=22，弟弟的岁数：（40-4）/2=18，所以答案是9年后。
13、余数问题
【口诀】：
余数有（N-1）个，最小的是1，最大的是（N-1）。
周期性变化时，不要看商，只要看余。
例：如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是几点钟？分针旋转一圈是1小时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。
1980/24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈，分针向前旋转22个圈相当于时针向前走22个小时，时针向前走22小时，也相当于向后24-22=2个小时，即相当于时针向后拔了2小时。即时针相当于是18-2=16（点）。
⑼ 中学数学解题研究的基本信息
作者：王林全，吴有昌主编
出 版 社：科学出版社
出版时间：2009-3-1
版次：1页数：267字数：337000 印刷时间：2009-3-1开本：16开纸张：胶版纸 印次：1I S B N：9787030235404包装：平装