初三数学的圆

A. 初三数学圆的定义

（1）圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个顶点O旋转一周，另一个端点A随之

旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．

直径：经过圆心的弦叫做直径．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧：大于半圆的弧.

劣弧：小于半圆的弧.

等弧：能够互相重合的弧.
（4）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆．

等圆：能够重合的两个圆．
3、点与圆的位置关系
（1）点在圆外
点到圆心的距离大于半径.
（2）点在圆上
点到圆心的距离等于半径.
（3）点在圆内
点到圆心的距离小于半径.

B. 初三数学所有圆的定律

圆的直径连接两头（一端在圆上，一端在直径上）
这个角是直角

这叫垂径定理

圆周角定理 是
多少
——乘圆面积或周长=这个扇行的面积或那条弧
360
别的我就不知道了
．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．

2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．

圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）

切线长定理

垂径定理

圆周角定理

弦切角定理

四圆定理

3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．
7.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

9.圆的两条平行弦所夹的弧相等
10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.

(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.

(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.

12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.
14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.
15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.
16.同一个弧有无数个相对的圆周角.
17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.
18.圆的内接四边形的对角互补或相等.
19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.
20.直径是圆中最长的弦.
21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.

补充：九点共圆定理
三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这9点共圆.
九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.
4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.
5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO
九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。
事先定义的变量与垂心、外心一样：
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

C. 初三数学 圆

1. 连接OA、 OB,在四边形OAPB中，∠OAP=90°,∠OBP=90°,∠P=50°,所以∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.
设DE与⊙O的切点为G并连接OG, ∠DOG=1/2∠AOG, ∠EOG=1/2∠BOG,
得：∠DOE=∠DOG+∠EOG=1/2∠AOG+1/2∠BOG=1/2(∠AOG+∠BOG)=1/2∠AOB=1/2×130°=65°.
2.
（1）、由三角形外角定理知：∠AEF=∠PAB+∠APE, ∠AFE=∠ACB+∠FPC.
由弦切角定理知：∠PAB=∠ACB.
已知：∠APE=∠FPC，
所以：∠AEF=∠AFE，
得：AE=AF。
（2）、已证∠PAB=∠ACB，另有∠APC为共同角，所以△PAB∽△PCA,则AB/AC=PA/PC=PB/PA=1/2.
得PC=4AB,已知PD=DC,则知PC=2DC,所以DC=2BD,即BD/DC=1/2.
得：AB/AC=BD/DC,根据角平分线定理，AD为∠BAC的平分线，则知∠BAM=∠CAM.
故M为弧BC的中点。

D. 初三数学关于圆的问题

35°
∠APD=75°，则∠APC=105°。由三角形内角和为180°知，∠ACD=35°
又由于圆中圆周角对应的弧长相等则圆周角大小相等，故∠ABD=∠ACD=35°

E. 初三数学圆

（1）
因为点O在对角线AC上，所以点O到BC,DC的距离相等
过点O向BC作垂线，交于点M。过点O向DC作垂线，交于点N。OM=ON
又因为，园O与BC相切于点M，所以OM=r。
即ON=r，ON又垂直于DC
所以CD与圆O相切于点N
（2）
边长为1 所以对角线AC=根号2
AO=OM=r
OC=根号2-r
又角OCM=45° 所以 OC=根号2×OM 推出 根号2-r=根号2×r
得r=2-根号2

F. 初三数学（圆）

连接DO
∵AD平行OC
∴∠A=∠COB ∠ADO=∠DOC
∵AO=DO
∴∠ADO=∠A
∴∠DOC=∠BOC
∴圆弧BC=圆弧DC

G. 初三数学关于圆的公式

〖圆的定义〗

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S

1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr²
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2
5.圆锥侧面积S=πrl

〖圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，
值是3....，
通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：
无公共点为相离；
有两个公共点为相交；
圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：

AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

【圆的平面几何性质和定理】

[编辑本段]一有关圆的基本性质与定理

⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr^2;
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr^2;/360=rl/2
5.圆锥侧面积S=πrl

【圆的解析几何性质和定理】
[编辑本段]〖圆的解析几何方程〗

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；

半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实不用这样算 太麻烦了 只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为