数学公理化

① 几何原本是公理化数学名著,啥是公理化

公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之间可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。

② 公理化思想的内涵是什么

公理化方法是自然科学, 特别是数学的重要逻辑演绎工具。长期以来人们对公理化方法研究不止,存在不同的看法和争议,并由此而不断产生新的科学分支。因此, 公理化方法研究总是充满生机的。
数学公理化思想的内涵
数学公理化的目的, 就是把一门数学表述为一个演绎系统, 这个系统的出发点则是一组基本概念和若干基本命题, 基本概念必须是对数学实体的高度纯化和抽象, 而基本命题则是对基本概念相互关系的制约和规定。显然, 公理学也并非神学, 因为公理系统乃是数学家的自由创造, 是大量数学知识的理论概括, 是数学科学推理论证的出发点, 并非象神学那样极力排斥理性, 把一切依据统统归诸于《圣经》和神的意志。
对于公理学的结构, 可以分为三种, 即含内容的公理学、半形式化公理学和形式化公理学。这三种形式结构, 也就是它形式化发展的三个阶段, 即产生阶段, 完善阶段、形式化阶段。含内容的公理学的代表作《原本》, 它流传甚广, 以至于今天在“新数” 运动的尾声中, 世界各国的中学课本中的多数仍然受着它的传统影响。半形式化公理学的代表作是《几何学基础》, 正是因为如此, 才使得希尔伯特成为 现代数学中的公理方法的奠基人” 。 然而, 一个数学分支公理化的完成, 也并不意味着是它的最后终结, 而是促使这一分支进一步地向前发展, 自希尔伯特以后, 公理化方法己渗透到几乎所有的纯数学的领域。形式化公理学的代表作是希尔伯特1 9 0 4 年在海德堡召开的第三届国际数学会议上所提交的一篇关于大致描画证明论的论文, 其基本思想就是采用符号语言把一个数学理论的全部命题变成公式的集合, 然后证明这个公式的集合是无矛盾的。由于公理方法的进一步形式化, 不仅推动着数学基础的研究, 而且还推动着现代算法论的研究, 并为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。 公理体系是由
（1） 基本概念（基本对象及基本关系）
（2）公理组
（3）定理及证明
构成的。基本概念和公理组构成的公理系统是公理体系的基础部份。一个公理体系是否“严格” 、“科学”,要看它是杏满足以下三个条件。
（1）相容性：即一个公理体系中不能既推出命题P, 又推出它的否定(非P)。
（2）独立性：在一个公理体系中被选作逻辑出发点的一组公理中任何一个,不能由其余公理推出, 即不能有多余的公理。
（3）完备性：即一个公理体系所含的全部真命题, 应毫无例外地在本体系中得到证明。 只有满足以上三条件的公理体系在逻辑上才是好的, 希尔伯特公理体系满足以上三条件。

③ 现代数学的特点，什么是公理化方法并说公理化方法体现了现代数学的什么特点

古希腊时候的数学采用的就是公理化方法，就是你学的平面几何和立体几何，通过一些明显“正确”的公理推导出各种定理。体现出现代数学什么特点？首先没有一个公认的说法，从什么年代或者什么事件后算现代数学（不像物理里面相对论和量子力学建立后可以算现代物理）。其次数学哲学和数学基础一直都有争论，现在比较通用的是采取希尔伯特的形式主义，以zfc作为数学基础。哲学上占主导地位的是数学柏拉图主义

④ 数学的形式化包括"符号化、逻辑化和公理化”三个层面

题目不够准确。

《普通高中数学课程标准》指出：“形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表述，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质。”

所谓“数学形式”，就是用特定的数学语言,包括数学的符号语言、图象语言和文字语言,表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系，即具有相对固定样式的数学概念、法则、结论，它具有如下特征：

（1）稳定性。数学概念、法则、结论等内容一旦成为“形式”，就有相对稳定的特征，决不会因环境、条件的变更而发生变化。

（2）概括性。数学形式是无数具体事物经抽象概括的结果，应该是研究数量关系或图形本质属性的反应。

（3）简洁性。最简单的往往是最深刻的，越简洁的东西就越具有生命力，越具使用价值。数学形式就以其表述方式的简洁而称道。

（4）广泛性。数学形式的概括性决定了它具有广泛性，可真正达到华罗庚教授所说的“数学是一个原则，无数内容，一个方法，到处有用。”

（5）可操作性。按照相关数学形式进行的程式化操作可称为行为模式。人的行为模式有两种，一种是需要智力投入、思维参与的行为模式；一种是较少需要智力投入、思维参与的行为模式。在数学学习和解决数学问题的所有活动中，创造性思维的含量只占少部分，运用更多的是程式化的操作。这种操作讲究的是熟练、准确、快速、高效。学生大多数解题是按既定法则进行模式化操作。即使是难度较大的需要一定的创造思维，但创造的“根”仍然扎在坚实的基本数学形式的土壤中。基本数学形式是创造的源泉与原型。当然，即便进行的是简单化、机械化、程序化的操作，也要在其中努力加大智力与思维的含量。

⑤ 什么是公理化方法

所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。 恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。 公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。

⑥ 公理化定义和形式化定义有何不同

公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．
亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．
公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．
公理化方法的发展

公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。
《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善

⑦ 公理化方法

公理化思想就是任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果。随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。

公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之间可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的两个三角形全等)则是需要由公理出发来证明的，18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地提出数学的公理化方法。

公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。

亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得。欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》。他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理。他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系。《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。

⑧ 数学公理化含义

格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
所谓数学公理化就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统

⑨ 公理化方法的介绍

公理化方法 公理化思想 任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而 导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。 公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之间可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。