反演数学
⑴ 地球物理学中的反演计算
反演是地球物理中的重要领域。依据地球表面观测到的各种地球物理场资料，通过计算去推断地球内部的结构、物质组成和动力学过程。可以说地球物理学从诞生起便踏着反演的进步路径在发展。
1.地球物理反演理论的发展
地球物理学中的反演问题最早主要是针对地球内部结构的探索。1907年赫格罗斯（Herglotz）首先由地球物理资料的定量分析提出了地震波走时数据的反演；1909年莫霍洛维奇（MohorovicicA.）发现地壳与地幔之间的一级不连续面；1912年古登堡（Guten-berg）发现古登堡面；1923年康拉德（Conrad）发现地壳中间界面；1935年莱曼（Leh-mann）发现地球内核和外核的分界面。这些人在地球物理学发展史上均写下了不朽的篇章，对地球物理反演学术思想的形成和发展起到极大的推动作用。
20世纪50年代前后，随着观测技术的不断提高，人们对地球内部的认识不断深化，地球内部圈层有了基本模型。由于电子计算机的使用，使得已发展起来的试错法和拟合法可以通过计算机来实现。到了60年代地球物理工作者已可以利用电子计算机对地球模型参数进行自动的修正反演，即发展为自动拟合法或最优化法。
1970年以前地球物理反演研究的主要特点：
（1）采用均匀各向同性地球模型；
（2）反演问题在数学上仅涉及微积分或古典积分方程；
（3）观测数据与假定模型正演计算结果等同；
（4）对解的不唯一性未做深入分析，而是以观测数据与用推测模型求得结果进行类比；
（5）在计算技术上仅涉及了初等数值分析，如数值微积分、最小二乘法解超定方程组等。
20世纪60年代由于各类运用于计算的新算法不断涌现，快速傅里叶（Fourier）变换和高速褶积的广泛应用，基于二次曲面分割的地球模型已不能满足新的要求，而迫使地球物理反演计算必须提高分辨率。因此反演理论在70年代前后发展迅速，并做出了重要贡献（Backusetal.，1967，1968，1970）。
巴库斯和吉伯特（一位是地球物理学家，另一位是数学家）的地球物理反演理论（BG理论）是建立在模型为连续的情况下，故必导致方程组欠定，难于在快速电子计算机上实现。为此，维津斯（Wiggins，1972）和杰克逊（Jackson，1972）先后提出了与BG理论相应的广义反演方法。后经帕克（Parker，1976）等人的整理与推广，使BG理论在20世纪70年代后期得到广泛应用。
基于勘探地球物理学的快速发展，20世纪80年代以来的偏微分方程反演进一步得到发展。20世纪90年代以来，非线性理论在自然科学各个领域均得到极大重视，当然这要比线性反演复杂得多。
我国在地球物理反演理论和方法研究方面起步较晚。BG理论于20世纪70年代引入我国，并在解决某些地球物理数据分析中得以应用。
2.地球物理反演中解的不唯一性原因分析
地球物理学可以根据地面或者高空的观测资料（如来自深部的地震波、电磁场、热流、重力场等）来推断地下的结构、构造和物质属性等情况，即地球物理学中的反演或反问题（InversionProblem）。在各种地球物理场（重、磁、电、热）给出的数据中，虽然含有地下各种物性结构的信息，但在对数据进行计算与解释（即反演）的过程中，即便是使用同样的资料，所得的答案却不尽相同。这是反演的多解性，或解的非唯一性。
造成反演多解的原因，有数学上的问题，如解法不稳定、观测误差等，但其根本的原因是不可能得到地球深部直接的观测数据，而仅靠地面的观测资料，其“信息”量是不够的。地震波虽然可以穿透地球，带来深部的三维信息，但地震图震相识别仍有很大的不确定性。为此，不论是一维、二维还是三维或四维反演，减少多解性都需要对各种地质地球物理资料进行综合分析，加强对地震图记录的震相识别，需要依据丰富的资料，即在多因素约束下提出科学而又合理的初始模型，并对反演进行约束。反演问题是地球物理学中理论与方法核心问题之一。
⑵ 遥感中的反演是什么意思
按楼主的需求回答：一句话——遥感的本质是反演。
具体解释：
遥感的本质是反演，而从反演的数学来源讲，反演研究所针对的首先是数学模型。因此，遥感反演的基础是描述遥感信号或遥感数据与地表应用之间的关系模型，也就是说，遥感模型是遥感反演研究的对象。要进行遥感反演研究，首先要解决的问题是对地表遥感像元信息的地学描述。
遥感像元尺度上的地学描述是十分有意义的课题，由于地球表面是一个复杂的系统，对地观测得到的遥感像元从几米到几公里的空间分辨率，人类对地表真实性的了解需要用多种参数来描述。一般来说，遥感模型描述像元的观测量与地表实用参数之间的定量关系。这种描述模型的精度与参数量成正比。而精确的模型需要较多的参数。因此定量遥感面临的首要问题是对地表的精确、实用的地学描述。对这里所说的地学描述应该有两个方面的要求，第一是精确性，即对地学描述模型的精度要求，精确的模型具有科学性和定量性；第二是实用性，即地学描述模型参数的应用性，建立模型需要考虑遥感与应用的衔接，由于模型反演精度常受到数据源的限制，要注意发挥多种数据组合的优势。
定量遥感反演理论
定量遥感发展的一个主要障碍是反演理论的研究不足。陆地遥感反演长期局限于采用处理数据量多于未知量的成熟算法，最小二乘法是高斯以来从大量数据中反演少量未知参数的成熟方法。但陆地遥感反演的根本问题在于定量遥感往往需要用少量观测数据估计非常复杂的地表系统的当前状态，本质上是一个病态反演问题。因而必须在反演过程中尽可能地充分利用一切先验知识，把新观测的信息量有效地用于时空多变要素的估计上，使新观测中的信息有效分配给这一复杂系统中的时空多变参数。
相关介绍：
国际上对地遥感反演的主流尚未认识到这一点，以 Verstraete 等 (1996) 提出的反演 IO 个公设小第 3 公设为代表，仍将最小二乘法对数据量的要求作为必要条件。但反演不可能创造信息，不妥善利用先验知识就不可能很好地分配新观测的信息到感兴趣的时空多变参数中去。大气遥感界对此有比较清醒的认识，因而他们对在大气温度和水汽垂直廓线等的反演上如何利用先验知识有比陆地遥感界远为深入的研究，也更注重知识的积累。陆地遥感界必须迎头赶上。这一方面我国科学家有比国际陆地遥感界主流更为清醒的认识，如陈述彭、金亚秋等。我们在这方面已经作了系统性的努力，有可能在陆地遥感反演理论上形成中国特色的学派，领先世界水平。要充分利用先验知识，我们也必须研究遥感与非遥感数据的融合，先验知识的积累和在多维 GIS 中的表达。
定量遥感的又一个障碍是：我们能反演的不一定是用户所需要的。也就是遥感模型与农学模型、生态学模型的链接问题。这是 1996 年北京国际多角度遥感讨论会， 1997 年华盛顿多角度遥感讨论会和 1998 年旧金山 BRDF 讨论会的主要议题之一。但由于体制上的原因，国际上较难组织这样多学科交叉互补的项目，所以尽管连续三年作为主题，进展并不明显。国内在这方面已有一些较好的工作基础，如北京市农林科学院建立的农业智能网络，已与遥感界进行了密切合作，做了富有成果的工作，等等。
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⑶ 反演变换的数学反演变换（inversion)
正幂反演的性质：
1、反演中心不存在反演点。不共线的两对反演点共圆，且此圆与反演基圆正交。与反演基圆正交的圆，其反象为原圆。
2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。（直线→直线）
3、反演变换φ把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆，而且这个圆周在点O的切线平行于该直线。（直线→圆）
4、反演变换φ把任一个通过反演中心O的圆周变成一个不通过反演中心O的一条直线，而且这条直线平行于该圆的过点O的切线。（圆→直线）
注：性质3和4互为逆命题。
5、反演变换φ把任一个不通过反演中心O的圆周变成不能过反演中心O的圆周。（圆→圆）
由于可以把直线看成圆周，上述性质2—5可经综合为 反演变换把（广义）圆周变成（广义）圆周。这个定理常称为反演变换的保圆性。
6、任何两条直线在它们的交点A的夹角，等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。
7、两个相交圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。
8、一条直线和一个圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。
上述性质6—8可经综合为 两相交（广义）圆周在交点A的夹角，等于它们的反演象（广义）圆周在相应点A′的夹角，但方向相反。定理二称为反演变换的反向保角性。
因反演变换具有保圆性和反向保角性而成为证题和作图中的重要工具。由定理一、二易得：
9、正交两圆其反象仍正交。
10、相切两圆的反象仍相切，若切点恰是反演中心，则其反象为两平行线。
负幂变换可以转化为一次正幂变换和一次关于反演极反射的积来代替。
⑷ 反演基本理论
高密度电法勘探反演是寻求一个接近于真实观测值的模型响应，该模型是一个理想化后的地质剖面的数学表达式，并对应一套模型参数，反演的目的就是从观测数据中估算物理参量，并通过给定模型参数的数学关系式来计算模型响应的合成数据。所有的反演方法本质上都是设法找到一个受某些因素约束的模型响应，且与观测数据相一致。正演所用的方法较多，目前应用较广泛、效果较好的方法是有限差分和有限元法。模型参数为模型单元的电阻率值，获取视电阻率值后，通过有限差分法（Dey et al.，1979）或有限元法（Silvester etal.，1990）建立模型参数和2-D或3-D电阻率响应。
在所有优化方法中，重复修改初始模型的方式来减少模型响应与观测数据之间的误差，观测数据可以用一个列向量y来表示:
高密度电法勘探方法与技术
式中:FR＝αxRmCx＋αyRmCy ＋αzRmCz；Rd和Rm为加权矩阵，其目的是避免在反演过程中，不合适数据和模型粗糙向量的不同元素赋予了相等的权重。
如果需要知道地下地质信息，式（2.125）提供了一种进一步修改的一般方法，例如，如果知道地下电阻率的变化可能限制在一个有限的区域，在该区域内，阻尼因子值允许作更大的修改（Ellis et al.，1994a）。
⑸ 逻辑代数中的反演规则和对偶规则
1、反演规则
若将逻辑函数f表达式中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，并保持原函数中的运算顺序不变 ，则所得到的新的函数为原函数f的反函数
(5)反演数学扩展阅读：
逻辑代数有与、或、非三种基本逻辑运算。它是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是用来分析和设计数字电路的数学工具。此外，逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式。
与逻辑和乘法：乘法原理中自变量是因变量成立的必要条件，与逻辑的定义正好和乘法原理的描述一致，所以与逻辑和乘法对应。
⑹ 数学中什么叫矩阵反演
应该是求矩阵的逆的过程
⑺ 数学中的仿射和反演变换
原理在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量
双仿射变换b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1.设在平面上给定了半径为r的圆O，若A′为过定点O的直线OA上一点，且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k^2(k为非零常数），则这种变换叫做关于⊙O（r）的反演变换，简称反演。称A′为A关于⊙O（r）的反演点，同样，A为A′关于⊙O（r）的反演点；圆心O称为反演中心或反演极；圆半径r称为反演半径；⊙O（r）称为反演（基）圆。
⑻ 反演的数学上
反演(inversion)
反演在数学(某些几何证明)上有很重要的作用.
把[1,+∞)放入(0,1],可以用取倒数的方法.这是一维上的反演.
二维上反演以一个特定的反演圆为基础:圆心O为反演中心,圆半径为常数k,把点P反演为点P'就是使得OP×OP'=k^2(即k为OP和OP'的几何平均).
如点P在圆外可这样作:过点P作圆的切线(两条),两个切点相连与OP连线交点就是点P'.
如点P在圆内就把这一过程反过来即可:连结OP,并且过点P作直线垂直于OP,直线与圆的交点处的切线的交点就是点P'.
如点P在圆上,反演后仍是它自身.按上述方法都可用尺规作图完成.
⑼ 数学模型反演解法概述
数值模拟反问题常常转化为优化问题，函数优化就是求一个函数的最优值以及达到该最优值的最优点，而最优化算法本质上是一个最优值的搜索过程。经典的优化算法如牛顿法、单纯形法、共轭方向法、最速下降法和罚函数法等，一般对目标函数要求连续、可微甚至于高阶可微、单峰等；需要对函数求一阶、二阶导数；受初值影响较大，算法容易陷入局部最小值，对于多峰函数优化问题具有较大局限性。
20世纪80年代初期以来，地下水水流与溶质迁移模型和数值优化方法相结合越来越普遍，目前常用的主要有以下两种方法。
3.4.7.1 数学规划方法
主要包括线性规划（LP），该方法广泛应用于线性目标函数及流量约束的地下水管理问题，解线性规划的软件主要有AQMAN，MODMAN，MODOFC，MODFLIP；非线性规划（NLP）；混合整数线性规划（MILP）；混合整数非线性规划（MINLP）。其中线性规划法计算效率较高，但仅适用于承压含水层，通常不能有效地处理溶质运移问题。非线性规划与动态规划的应用较广泛，计算效率上有优势，但需要计算目标函数对决策变量的导数即梯度，因此，该方法又被称为梯度法，在目标函数很复杂，而且为非线性时，结果往往会陷于一个局部最优解而不能识别全局最优解。
3.4.7.2 全局优化方法
主要以启发式搜索技术为根据的一类优化方法，包括模拟退火法、遗传算法、禁忌搜索法、人工神经网络法、外围近似法等，这些方法有识别全局或接近全局范围内最优解的能力。全局优化法能够模仿一定的自然系统，通常计算量很大。本书主要介绍4种现阶段应用广泛发展较为迅速的优化算法。
遗传算法（Genetic Algorithms，GA）是一类借鉴生物界自然选择（Natural Selection）和自然遗传机制的随机搜索算法（Random Searching Algorithms），求解问题一般包括编码、计算适应度、选择、交叉、变异、循环回到计算适应度，反复进行直到满足终止条件。该算法是处理一般非线性数学模型优化的一类新的优化方法，对模型是否线性、连续、可微等不作限制，也较少受优化变量数目和约束条件的束缚，其本质是一种高效、并行、全局搜索的方法，能在搜索过程中自动获取和积累相关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解。目前已广泛用于函数优化、参数辨识、机器学习、神经网络训练、结构设计和模糊逻辑系统等方面。常用的GA计算程序有MGO（Molar Groundwater Optimizer），模块化地下水优化程序，该程序是地下水水质管理的通用优化模型。将水流和迁移模拟程序与遗传算法相结合，能适应非线性复杂目标函数，能够处理水头、梯度、水流以及浓度等约束条件。SOMOS程序，实现了包括遗传算法和人工神经网络的优化算法，能处理经济、环境以及地下水管理体积等问题，同时SOMOS可以将MODFLOW和MT3DMS作为模型的组成部分进行运算。但是目前遗传算法的应用还存在明显的不足，主要表现为以下几点：
1）GA的算法设计和关键控制参数选择对优化性能的影响明显，直接影响算法的搜索效率和优化性能，甚至导致“早熟”收敛；
2）参数识别研究中的编码方案以二进制编码为主，计算量和存储量大。
人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）是由大量神经元通过极其丰富和完善的联结而构成的自适应非线性动态系统，它使用大量简单的相连的人工神经元来模仿生物神经网络的能力，从外界环境或其他神经元获得资讯，同时加以简单的运算，将结果输出到外界或其他人工神经元。神经网络在输入资讯的影响下进入一定状态，由于神经元之间相互联系以及神经元本身的动力学特性，这种外界刺激的兴奋模式会自动地迅速演变成新的平衡状态。人工神经网络是一种计算系统，包括软件与硬件，它使用大量简单相连的人工神经元来模仿生物神经网络的能力。人工神经网络是生物神经元的简单模拟，它从外界环境或者其他神经元取得资讯，同时加以非常简单的运算，输出其结果到外界环境或者其他人工神经元。人工神经网络系统反映了人脑功能的许多基本特性，但它并不是人脑神经系统的真实写照，而只是对其作某种简化、抽象和模拟，这也是当前的现实情况。是目前对人脑神经及其智能机理的研究水平所能做到的，对人脑智能机理的简化、抽象和模拟是人工神经网络研究的基本出发点。
支持向量机是基于统计学理论的VC维理论和结构风险最小化原理而提出的一种新的机器学习方法。与传统的神经网络学习方法相比，支持向量机从结构风险最小化原则出发，求解的是一个二次规划问题而得到全局最优解，有效地解决了模型选择与过学习问题、非线性和维数灾难以及局部极小等问题，在解决小样本、非线性、高维模式识别问题中表现出许多特有的优势。
模拟退火算法是对固体退火过程的模拟。在金属热加工工艺中，将金属材料加热到某一高温状态后，让其慢慢冷却，随着温度的降低，物质的能量将逐渐趋近于一个较低的状态，并最终达到某种平衡。模拟退火算法是基于金属退火的机理而建立的一种全局最优化方法，它能够以随机搜索技术从概率的意义上找出目标函数的全局最小点。模拟退火算法的主要缺点是解的质量与求解时间之间存在矛盾，该算法对于多应力期模型和大量水文地质参数的反演，收敛缓慢，得不到满意的结果。