数学竞赛题库

① 历届高中数学竞赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛江西省预赛
试 题

一、填空题（每小题10分，共 分）
、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．
、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ．
、以抛物线 上的一点 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为 ．
、设 ，则函数 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么， 周长的最小值是 ．
、满足 的一组正整数 ．
、用 表示正整数 的各位数字之和，则 ．
二、解答题（共 题，合计 分）
、（20分）、设 ，且满足： ，求 的值．

、（ 分）如图， 的内心为 ， 分别是
的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明： 三线共点．

、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；
、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
、当 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．

解 答

、 ．提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满足条件 ， 的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个，即总共有 个这样的四位数．（注：也可直接列举．）
、 ． 提示：由条件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
于是
；
由此得
.

、 ．提示：设 ，则

，
直线 方程为
，
即 ，因为 ，则
，
即
，
代人方程得
，
于是点 在直线 上；
同理，若设 ，则 方程为
，
即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
当 ，即 时取得等号．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱锥侧面展开图，易知 ∥ ，且由周长最小，得 共线，于是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，则
．
、 ．提示：由于 是 形状的数，所以 必为奇数，而 为偶数， 设 ， ，代人得
，
即
. ①
而 为偶数，则 为奇数，设 ，则
，
由①得，
， ②
则 为奇数，且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为
，
即 ，于是 ；
若 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为 ，即 ，它无整解；
于是 是唯一解： ．
（另外，也可由 为偶数出发，使

为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 形状的偶数，依次取 ，检验相应的六个数即可．）

、 ．提示：添加自然数 ，这样并不改变问题性质；先考虑由 到 这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 ，首位为 的“三位数”恰有 个： ，
这样，所有三位数的首位数字和为
.
再将 中的每个数 的前两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ，
又将 中的每个数 的首末两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合也是 ，由此知
．
今考虑四位数：在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千个 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如图，设 交于点 ，连 ，由于中位线 ∥ ，以及 平分 ，则 ，所以 ，因 ，得 共圆．所以 ；又注意 是 的内心，则
.
连 ，在 中，由于切线 ，所以
，
因此 三点共线，即有 三线共点．
、 证明：由于 为质数，而 ，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ，使
, ①
于是当 为奇数时，则①中的 一奇一偶．
如果 为偶数， 为奇数，则将①改写成：
，
令 ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数．
总之存在奇数 和偶数 ，使①式成立；据①，
, ②
现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态，其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．
、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：
如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；
为此，采用赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以 ，而改变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） ，由于 ；
因此当多边形所有顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．
但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 ，则①②中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余所有 个顶点都改变了奇数次（ 次）状态，即都改变了颜色；再自点 开始，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变，其余所有 个顶点都改变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有 个点的颜色不变．
现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；
于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．
同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“ ”，白点赋值为“ ”，证法便完全相同）．

② 60道数学竞赛题

1.在凸4n+2边形A1A2A3 …… A[sub]4n+2 中,每一个内角都是30度的整数倍，且A1 =A2 =A3 =90度，则n=?

2.不等边三角形ABC的两条高的长度分别是4和12，若第三条高及三边均为整数，求当第三条高取得最大值时，三角形ABC的周长的最小值

3.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角度数的1/4，求满足此条件的所有锐角三角形

4.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个？（注明每个三角形的各边长）

5.用正方形的地砖不重叠，无缝隙地铺满一块地，选用边长为x cm规格的地砖，恰需n块；若选用边长为y cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x、y、n都是整数，且x、y互质，试问这块地有多少平方米？

参考答案
1、在凸多边形，其每个内角小于180度，由于它是30度的整数倍，所以其内角最大为150度。
题中要求的4n+2边形，其内角和就小于：90*3+(4n+2-3)*150
而4n+2边形的内角和等于：（4n+2-2)*180度，所以有：
(4n+2-2)*180≤90*3+(4n+2-3)*150
解得n≤1.
而n<1时，4n+2边不成为凸多边形，所以n=1.

2、设三角形三条边分别是a、b、c，第三个高是h。
三角形的面积S=1/2*4*a=1/2*12*b=1/2*c*h
由：1/2*4*a=1/2*12*b,得a=3b
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a-b<c<a+b,得2b<c<4b
再由1/2*12*b=1/2*c*h，得3<h<6。当h为整数时，其最大值是5。
再由：S=4a=12b=5c，由于a、b、c都是整数，4、5、12的最小公倍数是60，所以，面积S的最小值是60。这时，a=15,b=5,c=12,这时的周长就是周长的最小值，等于32。

3、设三个角的度数分别是x、y、z，且x≤y≤z<90度。
由题意，z=4x<90，所以x≤22度。
而x+y+z=180,得5x+y=180.所以y=180-5x≤z=4x,得x≥20度。
所以，满足此条件的所有锐角三角形的度数是：（20，80，80），（21，75，84），（22，70，88）三种。

4、
（3，13，14），
（4，12，14），
（5，12，13），（5，11，14），
（6，11，13），（6，10，14），
（7，11，12），（7，10，13），（7，9，14），
（8，10，12），（8，9，13）
（9，10，11）
共12种。

5、由题意，有：
n*x^2=(n+124)*y^2
得：n=124*y^2/(x^2-y^2)
由于x、y互质,所以x^2、y^2也互质，同时y^2和(x^2-y^2)也互质。
所以，要y是整数，124必须能整除(x^2-y^2).
124只有124、62、31、4、2、1几个因素，分别来看：
1)x^2-y^2=124,（x+y)*(x-y)=124=2*2*31,x+y=62,x-y=2,x=32,y=30。这时xy不互质数，不和题意。
2）x^2-y^2=62，无整数解
3）x^2-y^2=4，无整数解
4）x^2-y^2=2，无整数解
5）x^2-y^2=1，无整数解

最后，只能是x^2-y^2=31，(x+y)(x-y)=1*31,x+y=31,x-y=1,x=16,y=15.
n=124*y^2/(x^2-y^2)=124*15^2/31=900

面积就是900*16*16=（900+124）*15*15=230400平方厘米=23.04平方米。

③ 全国大学生数学竞赛试题及答案（非数学专业）

请问首届全国大学生数学竞赛试题是哪年的
我知道一个网站
要年份才能查
这个问题全国大学生数学竞赛试题及答案（非数学专业）,好难啊，辛辛苦苦回答了，给我个满意答案把

④ 阜阳市数学竞赛试题及答案解析

由于时间问题，我想出来第二题的是：可以看出，“3，3”后隔着一个数，后面是“4，4”，那在隔着一个，后面有一个“5“，那所要填的就是“5”啦，总结一下就是，两个相同数字之后隔着一个数字，而这两个数字与后两个的规律就是自然数的顺序依次排列：“3，3 4,4 5,5,” 至于第一个，让我再想想啊

⑤ 数学竞赛题及答案

五年级数学竞赛试卷
1.一个正方形的边长增加3厘米，面积就增加39厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米？
2.已知A、B两个数的最小公倍数是1000；A、C两数的最小公倍数和B、C两个数的最小公倍数都是2000；满足这个要求的数C有四个，分别是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
3.已知1×2×3×4×5×6×……×n的末尾有连续100个0 ，那么n最小是多少？
4.有一列数：1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、4、5、4、3、4、5、6、5、4、5、……这列数中前240个数的和是（ ）
6.有9个连续的质数，它们的和偶数，则其中后5个数的平均数是( ）
7.数列1234，5678，9101112，……中，有一个十位数，这个十位数是（ ）
8.个位是5的五位数中，能被9整除的所有的数的和是（ ）

10.在一个正八边形的纸片内有100个点，以这100个点和八边形的8个顶点为顶点的三角形，最多能剪出多少个？最少可以剪多少个三角形？

11.分一堆苹果，每份3个，最后还剩一个；每份5个，最后还剩3个，每份7个最后还剩下5个，这堆苹果最少有多少个

12.从早晨7时到晚上7时，钟面上共有（ ）次时针与分针成500角

13.从一块正方形木板上锯下5厘米宽的一个木条后，剩下的面积是750平方厘米。问锯下的木条的面积是多少平方厘米？

14.甲乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面20米，如果甲乙两人的速度保持不变，要使甲乙两人同时到达终点，甲的起跑线要比原来向后移动多少米？

15.仓库里原有一批存货，以后陆续运货进仓，且每天运进货物同样多。现在用载重量相同的汽车将仓库里的货物运出，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完，如果用5辆汽车，则6天恰好运完。如果每天用一辆汽车运出仓库里原有的货物，则需要几天运完？

16.某市举行长跑活动，长跑队伍以每小时6千米的速度前进，长跑开始时，两名记者小张和小王分别从排头、排尾同时向队伍中间行进，进行报道采访活动。小张、小王都骑摩托车，每小时行10千米，他们在离队伍中点900米处相遇。长跑队伍有多少米长？

17.甲乙丙丁四人拿同样多的钱，合伙买同样规格的货物若干件，货物买回来之后，甲乙丙分别比丁多拿3，7，14件货物，最后结算时，乙付给丁14元，那么丙应该付给丁多少元？

18.甲乙两人卖鸡蛋，甲的鸡蛋比乙多10个，可是全部卖出后的收入都是15元，如果甲的鸡蛋按乙的价格出售可卖18元，那么甲、乙各有多少个鸡蛋？

19.爷爷和孙女沿着边长为100米的正方形池塘散步，走法如图。已知孙女每分走50米，爷爷每分走46米，至少经过多少分钟孙女才能看到爷爷？

20.黑板上写有一个数2003，甲乙两人用这个数做数字游戏。从2003开始将黑板上的数减去一个非零数位上的数，得到一个新数，擦去原来的数。两人轮流做，当谁得到的新数为0时，谁就获胜。现在让甲先做，他应该怎样做才能保证一定取得胜利？

21.对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121，当n为偶数时，除以2，这算一次操作。现在对三位数241连续进行操作，在操作过程中是否会出现100，为什么？