数学小研究

『壹』 数学小课题研究报告

一、选题的目的与意义

我们原有的数学课堂教学在新一轮课程改革大潮的冲击下，逐渐显露出它对促进学生可持续发展的无耐和乏力。在这种形势下，我们教育工作者渴求有力的支撑。无论从何种角度讲，我们都呼唤并迫切的想找到一把能解开这种困惑的钥匙。随着新课程的纵深推进，我们开始了基础教育新课程教学策略的研究，我们经历了艰难的摸索，在各种形式、各个层面的推敲和论证下，最终将研究的目标锁定在数学“小课题”研究

二组织形式的封闭性呼唤“小课题”研究来打破。我们的组织形式采用的是“班级授课制”

三数学学习的价值需要“小课题”研究来体现。学生学习数学最为重要的价值莫过于“认识数学与生活的联系”和“思考”。

二、课题的研究内容

小课题研究生成问题的途径有：途径一：教师开发教材资源而设定的。在我们的教材中就蕴藏着大量的小课题研究内容。因此，在小课题研究开展的初期阶段，为了保证所选课题有可研究的价值，实施时切实可行，由老师结合教材内容开发资源、设定选题是一个较为便捷的途径。途径二：学生从生活中提炼出来的。由学生提炼的前提必须是学生在进行了一段小课题的研究后，渐渐地养成了“学数学看生活，生活中想数学”思维习惯才能进行的。学生观察生活的角度与成人不尽相同，来自他们的灵感更鲜活，他们在生活中引发的思考都有可能成为他们小课题研究的目标。小课题学习是一种研究性学习，它具有以下几个特点：

⑴专题性。

⑵开放性。

⑶主体性

⑷实践性。

三、课题的价值

一培养信息收集和处理的能力。从认知心理的角度看，学生开展学习的过程，实质上就是信息处理的过程。“小课题研究”是围绕一个需要解决的问题展开，以解决问题结束，在整个过程中，如何多渠道收集资料、整理资料，尤其是在一个开放的环境中如何自主收集和处理加工信息是个关键。

二提高应用知识的能力。“小课题研究”中学生围绕某个感兴趣的主题展开学习活动，需要学生去应用、分析、综合、评价知识，每个主题所包含的知识并不是唯一的、确定的，而是一种动态性的知识，所以学生尽可以发挥自己的聪明才智，从多种角度进行发散性、批判性思考，从而增强学生自身的创造性，提高综合运用知识的能力。

三获得亲身参与探究的积极体验。“小课题研究”的过程也是情感活动的过程，一般来说，学生在课题学习中的成果往往是个人或同伴知识基础上的创新，达不到原始创新。因此，重要的是通过让学生自主参与类似于科学家探索的活动来获得体验，逐步形成一种日常学习与生活中喜爱质疑、乐于探索、努力求知的心理倾向。

四学会沟通与合作。“小课题研究”的过程是一个人际沟通与作用的过程，要完成一个课题，不仅需要自身的积极探索，更需要小组成员的共同努力，相互帮助，培养学生乐于合作的团队精神和交往能力至关重要。

四、研究基础

课题组成员曾经参与小学生数学综合实践活动教材的编写工作，对数学活动课程有着较深的研究。数学实践活动虽不同于“小课题”研究，但长期的研究积累，为研究小学数学中高年级学生“小课题”研究提供了许多可以值得参考的理论基础和依据。

课题组成员多年来一直从事小学数学中高年级教学工作，积极指导学生参加数学兴趣小组活动，对数学“小课题”进行过长期的实践与探索。所辅导的学生曾经连续五年在省数学“探索”与“应用”技能大赛中荣获团体奖桂冠，辅导的学生有多篇数学小论文在省级报刊发表，这些教学实践都为“小课题”研究工作积累了丰富的经验基础。

『贰』 数学小论文1500字

魅力无比的定理证明
——勾股定理的证明

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，
△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，
即 a2+b2=c2。
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。
如图，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。

【附录】
一、【《周髀算经》简介】
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。

二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

转引自：http://tw.ntu.e.cn/ecation/yanjiu/中“数学的发现”栏目。图无法转贴，请查看原文。

魅力无比的定理证明
——勾股定理的证明

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，
△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，
即 a2+b2=c2。
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。
如图，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。

『叁』 一篇数学小论文

数学小论文今天，在我们数学俱乐部里，老师给我们研究了一道有趣的题目，其实是一道有些复杂的找规律题目，题目是这样的：“有一列数：1，2，3，2，1，2，3，4，3，2，3，4，5，4，3，4，5，……。这列数字中前240个数字的和是多少？”我一拿到题目，心里想到，这题目肯定要按照规律来做。开始我便先试着先3个一组来求和，6，5，10，9，12，15，14……。这样一看，这些数字各有特征，关键就是找不出合适的规律。于是，我又找4个一组来求和，8，10，12，16，20……。仔细一看，好像也没什么规律，我只好再试着找5个一组来求和，9，14，19，24……，这样一来就非常明显的看出它们是等数列，我非常高兴，再把240÷5=48（组），5个一组，（1、2、3、2、1），（2、3、4、3、2），（3、4、5、4、3），（4、5、6、5、4）……那么就可以求出末项的和，9+47×5=244，把首项加末项的和乘项数除以2，（9+244）×48÷2=6072。这样就完成了！ 然后，我又发现每组开头第一个数字恰好分别是1，2，3，4……48，那么另一种方法就产生了，（1+48）×48÷2×2+（2+49）×48÷2×2+（3+50）×48÷2×2=6072。这样想也合乎情理，也是一个理得清楚而且又实用的方法！ 后来，我又发现有N组时，他的和也是把（1+2+3+4+……+N）×5+4N=你要求那N组数的和，比如（1+2+3+4+……+48）×5+4×48=6072。这个规律也是要通过不断来细心观察与研究得来的，这个规律虽然有些抽象，但如果是自己弄明白了，那还要比其他两种方法更容易些。 我做的只是其中的三种解法，其实方法还有很多，但是只要靠自己来寻找其中的规律，解其中的奥秘，你会发现乐趣无穷。 生活中的数学“对我来说什么都可以变成数学。”数学家笛卡儿曾这样说过。“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”我国家喻户晓的数学家华罗庚也曾下过这样的结论。的确，正如两位前辈所说，数学与我们的生活息息相关，数学的脚步无处不在。 2006年已经接近尾声了，迎面而来的是新的一年——2007年。行走在繁华的大街上，随处可见商家打出的“满400送400”，“满300送300”的促销招牌。“这真实惠！”消费者们蜂拥而至，商场里人山人海，抢购成风。此情此景，真让人以为回到了物资短缺的年代。实际上商家心里早打好了如意算盘。俗话说：只有买亏，没有卖亏，“满400送400元券”只是商家的一种促销手段，其中暗藏着数学问题，暗藏着商业机密，暗藏着许多玄机。 去年，我们一家三口，也在新年之际在商场里“血拼”，当时是满400送400元券。我们先用980元买了一件苹果牌的皮夹克给爸爸，送来了800元购物券。我们并没有过分浪费，花了300元券买了一件298元藏青色的李宁牌棉袄，又用剩下的500元券中的488买了一件太子龙男装（由于是购物券，不设找零）。到底便宜了多少？298+488+980=1766（元）——这是原来不打折时需要花的钱。980/1776，所打的折扣大约是五五折。 我的姑姑和姑夫从前也做过服装生意，我对服装的进货成本与销售价的关系也有些了解。服装的进价一般只占建议零售价的20%~30%。随着竞争的加剧和商场促销力度越来越大，为了保持利润，商家或厂家还不断地把衣服的建议零售价标高。就如前几天在电视中看见的一位消费者所说，某一品牌同一款式的一条尼料的裤子，三年前建议零售价还只是299元，今年标价变成了999元。这么一算，进价大概只有商场里售价的10%~20%。就算打了五五折，商家还稳赚三至五成的毛利。 广告，广告，便是广而告之。许多人一窝蜂似的赶来抢购、血拼，商场的人流量多了，商品销售量也快速增长。就按人流量是平时的三倍算，这里又出现了一个数学问题。假设平时人流量少时，一件商品按8折销售。8折减去进价2折，标价部分的6成就成了毛利。虽然现在“满400送400元券”时同一件商品可能只赚三至五成，但销量起码是平时的三倍以上。就按三成毛利和三倍销量来计算，3×3=9，与平时的6成毛利相比，一天能多赚50%。虽说这样卖每件单位毛利率有所下降，毛利额却因销售量的增加而增长，更因大量销售而加快了资金周转，带来额外的收益。 商品标价和促销中有数学，购物消费中有数学，装修房子有数学，织毛衣中有数学……总而言之，数学在现实生活中无处不在！黄金分割 对于“黄金分割”大家应该都不陌生吧!由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。也许，0.618在科学艺术上的表现我们已了解了很多，但是，你有没有听说过，0.618还与炮火连天、硝烟弥漫、血肉横飞的惨烈、残酷的战场也有着不解之缘，在军事上也显示出它巨大而神秘的力量？一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与0.618紧紧地联系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇满志、不可一世。他并未意识到，天才和运气此时也正从他身上一点点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。古希腊帕提侬神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是0.618。建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、漂亮．连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目．有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。黄金分割与人的关系相当密切。地球表面的纬度范围是0——90°，对其进行黄金分割，则34.38°——55.62°正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。多去观察生活,你就会发现生活中奇妙的数学!

『肆』 求高中数学研究性小课题一篇

高中数学研究性学习课题集锦 一、课本知识延伸型 1、空集是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的 各类问题。 2、整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型） 。 3、求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出 现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如 配方法、带余除法等） 。 4、 总结求函数值域的有关方法， 探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。 5、利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。 6、回顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的外层 函数的符号） ，我们称之为“给函数更衣” ，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行 演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。 7、探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所有这 种方程的类型。 8、在原点有定义的奇函数，其隐含条件是 f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。 9、把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一 事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？ 10、对于含参数的方程（不等式） ，若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数 思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。 11、 改变含参数的方程 （不等式） 的主元与参数的地位进行命题的演变。 探索换主元的功能。 12、数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘， 试探它在解决三角问题中的数形结合功能。 13、整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。 14、一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。 15、三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化， 即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。 16、一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑 其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法” ，试整 理常见的类型的补集法。 17、概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆项、添项的技巧。 18、观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。 19、探求一些著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深 对不等式的理解。 20、整理常用的一些代换（三角代换、均值代换等） ，探索它在命题转化中的功能。 21、考虑均值不等式的变换，及改变之后的不等式的背景意义。 22、分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换， 将分母为多项式的转化为单项式。 23、关于数学知识在物理上的应用探索 24、对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两 点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题， 试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。 25、我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的 行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。 26、 整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材， 如用点斜式而忽视斜 率存在，截距式而忽视截距为零等。 27、 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变， 达到以点带面， 触类旁通的目的。 28、研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。 29、关于斜率为 1 的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题 策略。 30、解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲 线（包括其退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。 31、整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化” ，进而研究其“纯代数解法” ，从中探索 新方法。 32、把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦”问题。 33、在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想” ， 扩大这思想在解几中的地位或功能。 34、与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种 方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。 35、平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简 单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问 题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。 36、用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立几中 的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。 37、 作为降维处理的一个例子： 可考虑异面直线距离的几种转化， 如转化为线面距、 点线距、 面面距等。 38、异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观 点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。 39、立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。 于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。 40、等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们 所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的 相应方法探索之。 二、生活应用型（需要学生自己动手去有关部门搜集和整理原始资料） 1、银行存款利息和利税的调查 2、购房贷款决策问题 3、有关房子粉刷的预算 4、关于数学知识在物理上的应用探索 5、投资人寿保险和投资银行的分析比较 6、编程中的优化算法问题 7、余弦定理在日常生活中的应用 8、证券投资中的数学 9、环境规划与数学 10、如何计算一份试卷的难度与区分度 11、中国体育彩票中的数学问题 12、 “开放型题”及其思维对策 13、中国电脑福利彩票中的数学问题 14、城镇/农村饮食构成及优化设计 15、如何安置军事侦察卫星 16、如何存款最合算 17、哪家超市最便宜 18、数学中的黄金分割 29、通讯网络收费调查统计 20、数学中的最优化问题 21、水库的来水量如何计算 22、计算器对运算能力影响 23、统计铜陵市月降水量 24、出租车车费的合理定价 25、购房贷款决策问题 26、设计未来的中学数学课堂 27、电视机荧屏曲线的拟合函数的分析 28、用计算机软件编制数学游戏 29、制作一个数学的练习与检查反馈软件 30、制作较为复杂的数据统计表格与分析软件 31、制作一个中学生数学网站 32、如何计算一份试卷的难度与区分度 33、多媒体辅助教学在数学教学中的作用调查 34、零件供应站(最省问题) 35、拍照取景角最大问题 36、当地耕地而积的变化情况，预测今后的耕地而积 37、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？ 38、如何提高数学课堂效率 39、数学的发展历史 40、“开放型题”及其思维对策 

『伍』 数学小研究:如何把自己的书整理分类

这是一年级的数学分类题。
分类的标准自然是按照科目。比如数学，语文，故事，绘画。
还可以按照大小纸张分类。

『陆』 数学研究性小论文

数学学习兴趣及其培养
内容摘要：学习兴趣是学习动机的一种最重要的成分，它对学生的学习起着重要的作用。
学习兴趣促进学生智力的发展，获得较大的成功；同时，这种愉快的精神感受又促进学生对
数学学习产生更大的兴趣,二者之间相互促进，使数学学习活动更加活跃、有效,学生的心理
素质得到更加和谐的发展。本文讨论了兴趣的特点、形成、发展规律及在教师教学中的应用
等，给出了米切尔关于兴趣的结构模型研究。影响兴趣的形成与发展的因素有个体需要、年
龄、性格和能力、他人、集体与地区的影响等。在数学教学中，如何培养和激发学生的学习
兴趣，是广大数学教师必须重视的一个问题。教师应将对学生学习兴趣的培养渗透到每个教
学环节，贯穿于数学教学的全过程。
关键词：学习兴趣 兴趣 认知
学习兴趣对数学学习具有一定的影响。兴趣是学习活动中的重要动力,是学习获得良好效果的必要条件。数学学习是学生根据数学教学计划、目的要求进行的，由获得数学知识经
验而引起的比较持久的行为变化过程。由于数学有其突出的特点，所以学生在获得数学知识
经验时也有其特殊性的表现和要求,如数学学习中的再创造性比其它学科要高,数学学习需
要较强的抽象概括能力等。这样学生在学习数学时保持浓厚的兴趣就犹为必要。
学习数学的兴趣产生于教学过程的趣味性和艺术性情感中,产生于学习过程中的成功与
愉快体验之中。当学生的精神处于兴奋状态展开数学学习活动时,学生就会产生强烈的求知
欲望,就会在追求与探讨中发展数学的思维能力，促进智力的发展，获得较大的成功；同时，
这种愉快的精神感受又促进学生对数学学习产生更大的兴趣,二者之间相互促进，使数学学
习活动更加活跃、有效,学生的心理素质得到更加和谐的发展。
1.学习兴趣及特点
1.1 学习兴趣
兴趣是人们爱好某种活动或力求认识某种事物的倾向,这种倾向和一定的情感联系着，
兴趣是在需要的基础上产生的,是在生活实践的过程中形成与发展起来的。学习兴趣是学生
基于自己的学习需要而表现出来的一种认识倾向。从表现形式上讲，学习兴趣是学生学习需
要的动态表现形式，是社会和教育对学生的客观要求在学生头脑中的反映；从系统上讲，学
习兴趣是学习动机系统中的一个子系统，它是学习动机中最现实、最活跃的成分，是力求认
识世界、渴望获得科学文化知识的带有情绪色彩的认识倾向。
教育心理学的研究表明,如果大脑中有关学习的神经细胞处于高度的兴奋状态,而无关
部分处于高度的抑制状态，有关学习的神经纤维通道便能高度畅通,学习时信息传输就会处
于最佳状态。学生一旦对数学知识产生兴趣,就会产生巨大的认识能力,能集中注意力学习，
使信息的传导达到最佳状态；反之，如果学生的学习存在着被迫、苦恼、烦躁、紧张，就会
使神经细胞中应当抑制的部分变为兴奋，而应当兴奋的部分受到抑制，从而影响学习效果。
1.2 兴趣的特点
1.2.1 兴趣是后天形成的，是在需要的基础上发展起来的。人们在实践活动中，通过对
某种事物反复接触和了解，随着有关知识经验的不断积累，逐渐形成和发展了对某事物的兴
趣。学习的兴趣是可以诱发和培养的。
1.2.2 兴趣具有指向性。任何一种兴趣都对一定事件或活动，为实现某种目的而产生的。
人对他感兴趣的事物总是心驰神往，积极地把注意指向并集中于该种活动。兴趣的指向性是
建立在需要的基础之上的。
1.2.3 兴趣具有情绪性。在许多心理学教材和工具书中给兴趣下定义时都指出兴趣带有
情绪性。生活实践也表明，人们从事感兴趣的活动时，总会处在愉快、满意、兴致淋漓的情
绪状态；一个人做没有兴趣的工作时总觉得在做苦差事。
1.2.4 兴趣具有动力性。兴趣的动力作用可以概括为：（1）对一个人所从事的活动起支
持、推动和促进作用。（2）为未来活动做准备。
1.2.5 兴趣具有衍生性。人们对事物的认识一般是在旧有的认知结构的基础上进行扩
展，而事物之间往往相互联系，所以从旧有的兴趣中往往会产生出新的兴趣。
1.2.6 兴趣具有稳定性。兴趣的稳定性是指下躯持续时间而言，按兴趣维持时间长短可
分为持久兴趣与短暂兴趣。直观兴趣是一种短暂兴趣，数学内容的有趣性和实用性、数学美
感引起的自觉兴趣和潜在兴趣则是持久兴趣。
2 影响兴趣形成与发展的因素
2.1 兴趣与需要的关系
皮亚杰指出：“兴趣，实际上，就是需要的延伸，它表现出对象与需要之间的关系，因
为我们之所以对一个对象发生兴趣，是由于它能满足我们的需要。”人的需要是多种多样的，
兴趣也随需要而异。研究表明，一般具有高认知需要的人更喜欢复杂任务；而具有低认知需
要的人则更喜欢简单的任务。
2.2 兴趣与年龄的关系
不同年龄的人有不同的兴趣。年龄的增长直接影响到人的兴趣的数量和质量，对认识兴
趣中具有中心意义的读书倾向变化的研究表明，不同年龄阶段的儿童的读书兴趣是有其各自
的特点的。9—13 岁的儿童是读书最盛的，进入青年期读书活动的比率逐渐减少。但年龄越
增长，选择力越强，感受性和理解力越敏锐，读书兴趣的质量在提高。
2.3 兴趣与性格和能力的关系
不同性格的人兴趣有所区别。如情绪稳定的人兴趣也较稳定。此外，兴趣受能力制约。
当自己感到问题的难度太大或太小时，个人对它就难于发生兴趣。
2.4 兴趣与他人、集体及地区的影响有关
学生的兴趣常常受教师兴趣 的影响。个人的兴趣也受集体、地区、集团的影响。
2.5 兴趣与性别的关系
从调查中可知兴趣有受性别影响的倾向。田中在苏州、无锡、镇江3 地区6 县市9 所学
校的初三县市中进行调查显示，对数学表现兴趣的是男生多于女生，声明对数学不感兴趣甚
至讨厌数学的也是男生多于女生。
3 兴趣的形成过程
儿童的兴趣在最初主要是与刺激联系在一起的。首先，刺激本身固有的一些特性都先于
经验而有引起人注意和兴趣的功能。其次，使人觉得有趣的活动和经验本身也将引起人们的
注意和兴趣。
要引起或培养一个人的兴趣要按以下两个步骤进行：（1）发现个人或团体目前感兴趣的
具体领域和现有水平；（2）把希望其从事的活动直接或通过中间的步骤与其目前的兴趣领域
连接起来。
章凯和张必隐提出了兴趣的“信息—目标”理论。该理论认为，个体心理的发展是以不
断从环境获得信息为基础的；个体在与环境相互作用时希望从中获得信息，以消除原有的或
新产生的心理不确定性，实现心理目标的形成、演化和发展的心理过程即兴趣。
4 兴趣的作用
兴趣在学生的学习活动中起着重要的作用。俄国大教育家乌申斯基指出：“没有丝毫兴
趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。”教育实践证明，学生对学习本身、对学
习科目有兴趣，就可以激起他的学习积极性，推动他在学习中取得好成绩。
兴趣对未来活动具有准备作用，对正在进行的活动具有推动作用，对活动的创造性态度
具有促进作用。兴趣是推动认识活动的重要动力，是影响学习效果的重要因素。
兴趣作为人从事活动的内容或方向，并不是固定不变的。兴趣可以被培养，被“镶嵌”
于人的个性之中。由于兴趣—注意的指向性和集中性等特点，人的兴趣和认知的相互作用经
常会导致一种恒常而稳定的兴趣—认知倾向。当认知倾向在个体身上内化而恒常地表现出来
时，就表现为一种稳定的兴趣的个性倾向性。
5 兴趣的发展规律
5.1 兴趣发展逐步深化
人的兴趣的发展，一般要经过有趣—乐趣—志趣三个阶段。有趣是兴趣发展的低级水平，
它往往是由某些外在的新异现象所引起而产生的直接兴趣。它为时短暂，带有直观性、盲目
性和广泛性。
乐趣是兴趣发展的中级水平，它是在有趣的基础上逐步定向而形成的。在这个阶段，学
生的兴趣会向专一的、深入的方向发展，即对某一客体产生了特殊爱好。乐趣已具有专一性、
自发性和坚持性的特点。
志趣则是兴趣发展的最高水平。它与崇高的理想和远大的奋斗目标相结合，是在乐趣的
基础上发展起来的。其特点是具有社会性、自觉性、方向性和更强的坚持性，甚至终身不变。
5.2 直接兴趣与间接兴趣的相互转化
兴趣一般分为直接兴趣和间接兴趣两类。直接兴趣是对事物本身感到需要而引起的兴
趣，间接兴趣只是对这种事物或活动的将来结果感到重要，而对事物本身并没有兴趣。间接
兴趣在一定条件下可以转化为直接兴趣。学生遇到稍微简单、容易和生动有趣的知识时，便
会产生直接兴趣；但一旦遇到复杂的、困难的和枯燥的知识时，便需要有间接兴趣来维持学
习。当学生通过顽强学习，克服了学习中的困难时，便又会对这种知识产生直接兴趣。
5.3 中心兴趣与广泛兴趣的相互促进
中心兴趣是指对某一方面的事物或活动有着极浓厚又稳定的兴趣；广泛兴趣是指对多方
面的事物或活动具有的兴趣。广泛兴趣是中心兴趣的基础。
5.4 好奇心、求知欲、兴趣密切联系，逐步发展
从横的方面来看，好奇心、求知欲和兴趣是相互促进、彼此强化的；从纵的方面看，三
者又是沿着好奇心—求知欲—兴趣的方向发展的。
好奇心是人们对新奇事物积极探求的一种心理倾向，它可以说是一种本能。好奇心儿童
期最为强烈。求知欲是人们积极探求新知识的一种欲望，它带有一定的感情色彩。青少年时
期是求知欲最旺盛的时期。某一方面的求知欲如果反复地表现出来，就形成了某一个人对某
事物或活动的兴趣。
5.5 兴趣与努力不可分割
兴趣与努力是可以相互促进的，而不是两个对立面。学生的学习活动既离不开学习兴趣，
也离不开勤奋努力，兴趣与努力不断相互促进，方能使学习达到最佳境地。
6 激发和培养学生学习数学的兴趣
数学的特点是抽象、严谨、应用广泛。徐德雄对江山中学、武汉中学、金陵中学、浦城
一中的高三毕业班学生的调查显示45.4％的学生认为课业负担较重的科目是数学，32.8％
的学生认为考试次数最多的是数学。因此，在数学教学中，如何培养和激发学生的学习兴趣，
是广大数学教师必须十分重视的一个问题，对于学习兴趣的培养应当渗透到每个教学环节，
贯穿于数学教学的全过程。
6.1 要求学生建立积极的心理准备状态
教师要教会学生在学习中遇到不懂的地方有积极的心理暗示，鼓励学生创造性地使用一
些方法，增加学习的趣味性。兴趣是可以自己培养的，关键是有积极的态度。
6.2 帮助学生形成正确的学习价值观
学习价值观使学生形成明确的学习需要，为兴趣的生成奠定基础。在教学中，教师要充
分挖掘教学内容的功利和精神价值，并及时准确地传递给学生，帮助学生形成正确的学习目
的，明确学习的价值和意义，以唤醒学生学习的内在冲动和激情，促进学习兴趣的生成。 学
习价值观激发学习动机和求知欲，为兴趣的深入发展注入动力。教师应善于从帮助学生确立
科学合理的学习价值观入手，以培养学生正确的学习理念和优秀的学习品质为切入点，将兴
趣根植于崇高的理想信仰和正确的价值观基础之上。只有这样，学生才能形成真实的、稳定
的、深入的、持久的学习兴趣，才能真正达到兴趣促进学习的目的。
6.3 提高教学水平引发学生学习兴趣
6.3.1 设悬激趣
创设悬念，是教师根据教材的数学内容，设置问题情境，使学生产生强烈的求知欲望，激发学习兴趣。如教学“正比例”知识时，教师向学生提出一个实际问题：谁能有办法测量
我们校内操场枫树的高度呢？同学们顿时兴趣大发，争论不休，却又想不出什么好办法。这
时教师对同学们说：“我倒有一个且很简单的测量办法，不用爬树也不用砍树便可以测出树
的高度”。同学们哗然，产生悬念：老师是用什么办法测量树高的呢？很自然地产生了求知
欲望，由此学生主动学习，兴趣盎然，从而达到了预期的教学目的。收到良好效果，悬念也
得到解决。
6.3.2 实践激趣
数学教学中，给学生设置创造思考问题的机会和条件，指导学生在实践中，观察的基础
上，动脑筋思考获得新知识。《数学课程标准》中指出：“学生能够认识到数学存在于现实生
活中，并被广泛应用于现实世界，才能切实体会到数学的应用价值。”学好数学知识，是为
了更好地为生活服务。把知识应用于生活，做到学以致用，让学生充分体验数学的应用价值，
同时让学生在解决实际生活中的数学问题时，体验到探索数学的无穷乐趣，从而形成长久的
兴趣。
6.3.3 竞争激趣
课堂教学中，教师要注重学生争胜好强的特点，发挥他们的学习积极性，给他们提供足
够的机会，鼓励他们竞争。
6.3.4 操作激趣
感知－表象—概念是儿童认识数学的过程，从具体到抽象，从感性到理性的过程。教学
时要注重学生的操作训练，激发学习兴趣，发展学生思维，把抽象的知识转变为具体的内容，
使学生的认识由感性的基础上升到理性知识。
6.3.5 评价激趣
教学中不管学生对知识的接受理解能力如何。教师都要以亲切的语言给予评价和诱导，
忌用简单、粗糙的语言挫伤学生的学习知识性：
第一、利用成功评价激趣。如学生通过自己学习实践得出圆周率时，教师评价学生说：
“圆周率是我国古代数学家花了很长的时间，反复实验才计算出来，而今你们通过自己的实
践也成功地算出来了，真了不起。希望同学们从小就要这样认真学习，事业一定能成功。”
从而激发学生的学习兴趣。
第二、利用诱导语言激趣。个别同学在学习过程中遇到困难时，要及时给予点拨诱导，
让他们跳一下也能摘到果子。给予“试试看”、“再想想”等亲切的语言鼓励他们学习成功，
产生兴趣。
6.3.6 加强直观，引导动手操作
在课堂教学中，采用直观教具、投影仪等生动形象的教学手段，能使静态的数学知识动
态化，不但能激发学生学习的积极性，而且学生学到的知识也能印象深刻，永久不忘。动手
操作能有效地引发学生的学习兴趣。
6.4 建立平等和谐的师生关系
教育是心灵的艺术，应该体现出民主与平等的现代意识。学生对堂课的兴趣与积极性的
高低，常依赖于对教师的情感。由此可见，高尚纯洁的爱则是师生心灵的通道，是启发学生
心扉的钥匙，是引导学生前进的路标。教师除了要有人格魅力外，在教学中，要以一颗火热
的心爱护学生，真诚地对待学生。对学生要一视同仁，才能赢得学生的信赖。在生活上关心
他们，在学习上帮助他们，在课堂上注重多表扬少批评，经常走到他们中间，找他们谈心，
参加他们的活动，为他们服务，这样才能成为他们的知心朋友，尤其是对学习困难的学生更
应多给他们关爱，多找出其闪光点培养他们的自信心，只有这样，建立了平等和谐的师生关
系，学生才会亲其师、信其道、学其知，产生兴趣。
6.5 应用现代化教学手段培养学习兴趣
学生的认识能力是否会有长足的进步，常常取决于我们能否提供一个良好的外界条件。
在过去教学中，多数是填鸭式教学，教师只是讲讲、写写，学生只是听听、记记，对知识的
理解、认识的提高，很多都是抽象的、模糊的，很难真正搞清楚，而现代教学手段的应用恰
好弥补了这一不足。
随着科学技术的发展，现代媒介也逐渐走入课堂，广泛用于教学中。应用现代化教学手
段，诸如电影，电视，尤其是多媒体计算机辅助教学，代替了过去把黑板、粉笔作为教具的
教学模式，既可以提高学生的认识能力，还可以培养学生的学习兴趣，让学生把动画、图象、
立体声融合起来，真正做到“图文并茂”，把学生带入一种心旷神怡的境界，有身临其境之
感，觉得生动有趣，这样就能激发起学生的学习热情，从而收到良好的效果。
参考文献：
[1]陈在瑞、路碧澄注。数学教育心理学。北京：中国人民大学出版社，1995。
[2]李洪玉，何一粟著。学习动力。武汉：湖北教育出版社，1999。
[3]李洪玉，何一粟著。学习能力发展心理学。合肥：安徽教育出版社，2004。
[4]刘显国。激发学习兴趣艺术。北京：中国林业出版社，2004。
[5]田中。初中学生性别与数学学习关系的问卷调查分析。数学通报，2000（6）。
[6]徐德雄。高中数学学业负担的调查及对策。中学数学教学参考，1997（3）。
另一篇：谈影响高中数学成绩的原因及解决方法

有人这样形容数学：“思维的体操，智慧的火花”。在当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动了社会生产力的发展。数学是人类文化的重要组成部分，已成为公民所必须具备的一种基本素质。数学在形成人类理性思维的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。作为衡量一个人能力的重要学科，从小学到高中绝大多数同学对它情有独钟，投入了大量的时间与精力。然而并非人人都是成功者，许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟头就栽在数学上。笔者在2002年暑假期间参加新疆高中数学骨干教师培训时，有几位给我们授课的文科专家学者，就谈到自己在上高中时虽然很想学好数学，可就是数学成绩提不高，最怕见高中数学老师。这种“惧怕”高中数学的现象目前是比较普遍的，应当引起重视。当然造成这种现象的原因是多方面的，本文仅就从学生的学习状态方面浅谈如下：

面对众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，笔者对他们的学习状态进行了研究、调查表明，造成成绩滑坡的主要原因有以下几个方面。

1.被动学习。许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。没有真正理解所学内容。

2.学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。

3.不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹜远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。

4.进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数在闭区间上的最值问题，函数值域的求法，实根分布与参变量方程，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际应用问题等。客观上这些观点就是分化点，有的内容还是高初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，分化是不可避免的。

高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。针对学生学习中出现的上述情况，教师应当采取以加强学法指导为主，化解分化点为辅的对策：

1.加强学法指导，培养良好学习习惯。

良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。

制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。

课前自学是学生上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲课的思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可略；什么地方该精雕细刻，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

及时复习是高效率学习的重要一环，通过反复阅读教材，多方查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

独立作业是学生通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程是对学生意志毅力的考验，通过运用使学生对所学知识由“会”到“熟”。

解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿出来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到“活”。

系统小结是学生通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与有关资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系。以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。

课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富学生的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能满足和发展他们的兴趣爱好，培养独立学习和工作能力，激发求知欲与学习热情。

2.循序渐进，防止急躁

由于学生年龄较小，阅历有限，为数不少的高中学生容易急躁，有的同学贪多求快，囫囵吞枣，有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就，有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。针对这些情况，教师要让学生懂得学习是一个长期的巩固旧知识、发现新知识的积累过程，决非一朝一夕可以完成，为什么高中要上三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

3.研究学科特点，寻找最佳学习方法

数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，埋头做题不总结积累不行，对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、整理、作业）和一个步骤（复习总结）是少不了的。

4.加强辅导，化解分化点

如前所述高中数学中易分化的地方多，这些地方一般都有方法新、难度大、灵活性强等特点。对易分化的地方教师应当采取多次反复，加强辅导，开辟专题讲座，指导阅读参考书等方法，将出现的错误提出来让学生议一议，充分展示他们的思维过程，通过变式练习，提高他们的鉴赏能力，以达到灵活掌握知识、运用知识的目的。

『柒』 如何开展"小学数学小课题研究

如何开展"小学数学小课题研究
我们原有的数学课堂教学在新一轮课程改革大潮的冲击下，逐渐显露出它对促进学生可持续发展的无耐和乏力。在这种形势下，我们迫切的想找到一把能解开这种困惑的钥匙。
以往的数学课堂更多的是关注书本知识的学习，教材内容、师者知识有限，学生将要被动接受的就是这有限的教学内容。殊不知我们完全忽略了学生、社会、生活中蕴涵的广阔教学内容。在我们运用新教材，并想着力解决这种现象时，把关注的目光锁定在“数学小课题研究”上。
我们的组织形式采用的是“班级授课制”。这种封闭性极强的组织形式，很容易使同在一个授课班学习的学生在经历了若干年的共同生活和学习后形成几近相似的学习习惯。这和“促进学生全面、持续、和谐的发展，实现不同人在数学上得到不同发展”的数学课程标准的基本出发点是相悖的。“小课题研究”正是由学生来完成的有关社会和生活中问题的研究。小课题研究组织形式的灵活性，正是我们迄今为止能够找到的可以弥补以上不足的有效方法之一。
学生学习数学最为重要的价值莫过于“认识数学与生活的联系”和“思考”。而学生进行小课题研究能为学生练就一双善于发现的眼睛。这双眼睛不仅能看出生活中存在的和数学相关的问题，还擅长发现研究中的问题，它使不断思考成为学生小课题研究过程中不可或缺的生命元素。这样的研究成就了数学双重价值的充分体现。
一、数学小课题研究的基本框架
小课题研究不是数学学科的专利，他同样存在于其它学科。因此，我们完全没有必要为数学小课题研究的模式另辟蹊径。我们在小课题研究的反复实践和不断改进的过程中，确定了它较为固定的基本框架。
其基本流程为：问题的生成——组建研究小组——制定活动方案——实施活动方案——汇报与交流。
二、数学小课题研究的具体实施
（一）问题的生成
选题的过程就是学生跨进研究性学习大门后，发现问题、提出问题并确立研究专题的第一步学习活动，是强化学生问题意识，培养创新精神的起点。
1 生成问题的途径
途径一：教师开发教材资源而设定的。
在我们的教材中就蕴藏着大量的小课题研究内容。因此，在小课题研究开展的初期阶段，为了保证所选课题有可研究的价值，实施时切实可行，由老师结合教材内容开发资源、设定选题是一个较为便捷的途径。比如说我们的教师就结合数学教材设计了许多富有创意的小课题。如：《你寄过贺卡吗》《一亿有多大》《我长高了》《营养午餐》等。
途径二：学生从生活中提炼出来的。
由学生提炼的前提必须是学生在进行了一段小课题的研究后，渐渐地养成了“学数学看生活，生活中想数学”思维习惯才能进行的。学生观察生活的角度与成人不尽相同，来自他们的灵感更鲜活，他们在生活中引发的思考都有可能成为他们小课题研究的目标。比如，大商场经常开展促销活动，学生随家长在购物中就会遇到这样的疑问：商场的促销活动，我们真能占到便宜吗？当学生提出这个疑问后，教师马上意识到这是一个值得研究的好问题，和学生经过推敲，形成专题：《买一百送一百——商家的秘密》，并以这个为主题开展了小课题研究。学生的兴趣浓厚，并且操作性强。还有的学生发现有一些大型的超市免费提供巴士，接送顾客，这样超市还能获利吗？学生把这个问题带来，经过大家的归纳，形成研究课题：《超市商品小调查》。在学生的慧眼观察下，小课题研究的范围开阔了，如：《运动与身高》《植物园里的数学问题》《副食品种消费比例》《乘车的学问》等成果显著的小课题涌现了出来。
途径三：困扰学生的经常性问题
和学生离得越近的，经常困扰学生的问题学生势必要想方设法解决它。这类问题也就自然而然地成了学生小课题研究的内容。学校经常开展体育竞赛，孩子们特别希望在活动中获胜。面对失败，他们迫切的希望找到原因，反败为胜，因此《必胜的拔河比赛》这个课题应运而生。作业怎么能有快又有质量的完成呢？《高效作业完成法》成了他们想追踪的难题。还有《练字时间与质量》《健美操中的学问》等小课题的研究，既使学生们体验了科研的快乐，也使他们排解了萦绕心头的愁云。
2 问题的生成过程
无论是哪种途径产生的问题，它由问题到作为课题被确立的过程基本都可以用下面的流程图表示：
不可操作 删除
多个问题 较容易的 马上解决
从属相关 合并立项
有价值的 保留
也就是说这部分经过梳理被合并的问题往往是最有研究价值的。它的可行性在于学生有能力参与课题的研究，但却会有一些难度。这是最适合学生研究能力和思维品质的培养的。
（二） 研究小组的组建
学生在进行小课题的研究过程中，许多内容是需要合作完成的。研究小组成员平时关系比较亲密，大家在做事时有一种默契，这对加快研究速度、促进研究工作的进程是很有好处的。当然，学生在研究的过程中，应当学会与人沟通和交流，并培养他们与任何人合作的精神。因此，这一组建研究小组的原则可以因人而异，适当放宽政策。
（三） 制定活动方案
活动方案的制定包括课题名称、研究目的、研究组成员名单及分工、研究方式方法、相关指导人员、实施步骤、展示汇报方式等部分组成。它的制定为下一阶段的实施工作做好了计划指南。
下面仍以《买一百送一百——商家的秘密》为例，重点介绍“研究目的”“研究方式方法”“实施步骤”这几个部分。
1、研究目的：
为了更有针对性地开展实践活动，确定活动的目的是尤为关键的，围绕这个选题，经过反复的思考，我们是这样确定为：
（1）、运用百分数的数学知识分析研究生活中的数学问题。
（2）、通过调查实践培养学生的实践能力、交往能力。培养合作意识。运用分析、比较等数学方法解决生活中的实际问题，认识数学知识的现实意义。
2、研究方式方法：依据本次活动的特点，以小组合作的形式，采取社会调查和访问相结合的方法收集数据，组内对数据进行分析形成研究成果。
3、具体实施步骤：
（1）、社会调查（在商场实际调查数据），搜集宣传海报（与实际调查相比较），
（2）、访问谈话（走访顾客、家长，了解消费心理）
（3）、汇总情况、分析数据（小组内对情况整理、分析）
（4）、研究汇报形式（形式新颖，富有说服力）
（5）、成果推介（以小组为单位，向全班展示研究成果，同时还要借鉴他组的经验，完善本小组的研究成果）
小组根据方法，进行分工，任务落实到每个人。
（四） 实施活动方案
有了明晰的行动指南，问题的实施阶段便有法可依。在活动方案的实施过程中，我们遵循的原则有：
1 随时监控的原则
方案制定后，它很可能不仅不是尽善尽美的，还可能会出现大方向的偏差。老师的指导必须跟进。对有问题的方案，教师和学生共同找到问题的症结并寻求合适的方式，反复研讨，预见得失，进行修缮。
比如在进行《走进网络》这一小课题时，学生们通过确定研究的几个方面，再进行分工，然后分组上网查阅资料等一系列的研究活动，搜集到了有关我们国家在经济、教育、军事、农业等方面的一些数据。但这个课题在行进的过程中却忽视了它的“数学特色”。学生仅仅对较大的数据进行了改写，数据的罗列却带不来数学的思考。这时我们就需要对活动方案进行修改。如何让活动体现数学的价值和意义呢？经过老师与学生的重新调整，最后重新修订为《走进网络看变化》。运用学习的相关数学知识（数的运算、统计）、数学思想方法（类比、综合、分析）以表格、对比数据等多种方式呈现出祖国近期的巨大变化。学生在汇报中有的选用不同的统计形式，有的用数据的前后对比，有的以列表的方式，把他们用数学的眼光，数学的思考发现的问题给大家呈现出来。这样的改变，学生们就要对所收集的数据进行了整理分析，在数学的知识、数学的方法中探讨更深层次的问题。
2 合作共识的原则
在制定活动方案时，我们将研究组成员进行了分工安排，比如在《美化校园》活动中，负责研究场地的学生，绝不是说他只要找到可以研究的场地后其他的事就什么也不用做了。而是要负责到底。另外，大家都在研究时各自提出了自己的观点，你同意不同意？为什么？自己的观点又是什么？都要有参与的意见。也就是说，分工只是你主要负责并由个人来完成的任务，而合作应当贯穿研究过程的始终。
我们的小课题研究不能只是为研究而研究，我们的研究应当具有它高远的研究价值。在“随时监控”、“合作共识”的原则下，我们的实践要让学生达到以下目的：
1 认识社会的目的
我们每一个人都在社会生活的大背景下实现着我们个人的生活目标和理想。因此，通过每一件小事、每一个活动点点滴滴地去认识社会，也就是使学生逐渐成熟、真正成长起来的累积过程。比如：学生在《小管家》的研究中，了解到作为社会最小的构成单位的“家庭“想要立足社会、生存下去的必要条件，初步在学生头脑中打下生存意识的烙印。
2 认识数学的目的
学习数学的重要性到底在哪里？学生在进行小课题研究的过程中自然就会认识到数学有多么重要。在任何一个数学小课题或部分非数学小课题的研究中，研究的手段和结论的得出都需要数学知识做支撑。因此，参与了数学小课题研究的学生不仅应用数学知识的能力强，而且对数学学习的主动性也照没参加过小课题研究的学生要积极。
3 认识自我的目的
在一项问卷调查中有这样一个问题“你学习的目的是什么？”答案中为了让老师表扬和为了让家长高兴的竟占到65%，为自己长大后当科学家的占22%，其他占13%。这个调查结果表明学生对自己的成长目标不明确。为什么会造成这样的结果呢？是因为学生根本不了解自己。只是处在被动状态。而在进行小课题研究之后，我们发现这种情况大大改观了。学生们在研究的过程中知道了我擅长做什么，哪方面知识是我急需掌握的，他们开始要求自己主动学习。在这个变化的过程中达到了认识自我的目的。
（五） 汇报与交流
在交流和汇报阶段，第一要做到有选择的汇报。因为学生在课题研究阶段，通过调查、访问、网络等多种渠道获得的资料数目一定是相当可观的。汇报时要以小组的形式，向全班交流研究成果，并且有侧重的介绍，不能面面俱到。第二要重视交流和汇报实验研究的过程。首先学生的小课题研究内容可能已经是前人研究过的，也可能是具有相当科技含量的而学生暂时还无法达到此高度的。既然是这样，那么此类课题是不是就不要研究了呢？不是的。因为学生的小课题研究是为达到体验科研过程，了解科研方法，学会研究问题和解决问题的目的而开展的。即便学生的研究成果不具有典型性，甚至根本未果都不是重要的。因此，交流时的重点是学生采取什么方法展开研究的，在研究中感悟到了什么，抑或是遇到的困惑，目前还有那些解决不了的问题。
还要说明的是，所有的小课题研究并不是在课上交流后就完全可以告以段落的。有些课题也许还有其他未被发现的研究价值，学生在课下仍可以继续研究。比如学生在进行《走进网络看变化》这一研究时，学生查阅到的资料中有这样一条：我国羊绒的产量为： 列世界第一。可是学生在调查到这一数据后，引发了新的思考：羊绒产量与环境保护存在怎样的关系？从这一数据中还有什么值得研究的课题？从而又引发了新的有价值的问题留待继续研究。这样将研究的行为始终贯穿在学生课上、课下的每一个时段，使小课题研究深入到学生学习生活的每一个角落，使研究氛围在学生中间弥漫。
三、 新的问题与思考
在小课题研究的过程中，我们感受到了学生的变化。首先学生观察生活的能力增强了，尤其是用数学的眼光看待生活的能力。从学生一篇篇数学日记中，从学生实践活动后的数学小报中，我们欣喜的看到学生在自觉地运用数学知识，更为可贵的时，学生能够有意识的加以记录和反思。其次学生的数学思想方法得以提升，但在欣喜的背后我们也看到了新的问题，这不得不让我们静下心来、停下脚步、认真思考。
（一） 问题的局限性
在我们研究的课题中，大多数是教材知识的延伸问题，学生生活中常见的问题，而对不经常涉及的，也对生活有价值的个别问题（如：各行业的应用数学）研究较少。
（二） 研究的表面化
在小课题研究中，由于学生现有知识经验的限制，指导教师的专业技能初浅，研究方法的单一，造成了部分课题的研究没有继续深入下去。
（三） 评价的不及时
学生小课题研究的实施阶段大多在课下进行，有时指导教师能伴随整个研究过程。但也会出现学生的研究时间与教师的工作时间相冲突，就出现了指导、评价不及时的情况，二次返工的情况时有发生。
我们在进行小课题研究的过程中，深深领悟到：学生在实践活动过程中是问题的发现者，深入研究的实践者，他们不仅是小课题研究实施的主体，更是思维的主体。因此说，小课题研究的过程便是无限能量生成的过程，研究给我们带来惊喜的改变，使我们不得不由衷地继续下去。

『捌』 数学小课题研究方案

将复杂方式转化为若干个简单方式加以研究。如将随机变量转化为连续变量、将连续变量转化为离散的变量加以研究。