高数的历史

㈠ 高等数学的发展历程分为哪三个

数学史可以分为四大阶段.
但是没有高等数学一说,advance math国外和国内要求不一样

㈡ 高等数学的历史发展

一般认为，16世纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于初等数学的范畴，因而，17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。由此可见，高等数学的范畴无法用简单的几句话或列举其所含分支学科来说明。
19世纪以前确立的几何、代数、分析三大数学分支中，前两个都原是初等数学的分支，其后又发展了属于高等数学的部分，而只有分析从一开始就属于高等数学。分析的基础——微积分被认为是“变量的数学”的开始，因此，研究变量是高等数学的特征之一。原始的变量概念是物质世界变化的诸量的直接抽象，现代数学中变量的概念包含了更高层次的抽象。如数学分析中研究的限于实变量，而其他数学分支所研究的还有取复数值的复变量和向量、张量形式的，以及各种几何量、代数量，还有取值具有偶然性的随机变量、模糊变量和变化的（概率）空间——范畴和随机过程。描述变量间依赖关系的概念由函数发展到泛函、变换以至于函子。与初等数学一样，高等数学也研究空间形式，只不过它具有更高层次的抽象性，并反映变化的特征，或者说是在变化中研究它。例如，曲线、曲面的概念已发展成一般的流形。按照埃尔朗根纲领，几何是关于图形在某种变换群下不变性质的理论，这也就是说，几何是将各种空间形式置于变换之下来来研究的。
无穷进入数学，这是高等数学的又一特征。现实世界的各种事物都以有限的形式出现，无穷是对他们的共同本质的一种概括。所以，无穷进入数学是数学高度理论化、抽象化的反映。数学中的无穷以潜无穷和实无穷两种形式出现。在极限过程中，变量的变化是无止境的，属于潜无穷的形式。而极限值的存在又反映了实无穷过程。最基本的极限过程是数列和函数的极限。数学分析以它为基础，建立了刻画函数局部和总体特征的各种概念和有关理论，初步成功地描述了现实世界中的非均匀变化和运动。另外一些形式上更为抽象的极限过程，在别的数学学科中也都起着基本的作用。还有许多学科的研究对象本身就是无穷多的个体，也就说是无穷集合，例如群、环、域之类及各种抽象空间。这是数学中的实无穷。能够处理这类无穷集合，是数学水平与能力提高的表现。为了处理这类无穷集合，数学中引进了各种结构，如代数结构、序结构和拓扑结构。另外还有一种度量结构，如抽象空间中的范数、距离和测度等，它使得个体之间的关系定量化、数字化，成为数学的定性描述和定量计算两方面的桥梁。上述结构使得这些无穷集合具有丰富的内涵，能够彼此区分，并由此形成了众多的数学学科。
数学的计算性方面。在初等数学中甚至占了主导的地位。它在高等数学中的地位也是明显的，高等数学除了有很多理论性很强的学科之外，也有一大批计算性很强的学科，如微分方程、计算数学、统计学等。在高度抽象的理论装备下，这些学科才有可能处理现代科学技术中的复杂计算问题。
除了数学基础、集合论、数理逻辑这样一些基础性学科之外，数学分为初等数学与高等数学两大部分。它们有共同的基础，而彼此之间并没有严格的界限。它们都是人类文明在不同发展阶段的产物，但并不像某些事物那样，后发展起来的可以代替古老的，随着人类文明的进步，数学中某些局部的、繁琐的成果或工作可能被淘汰，而其总体仍然是有用的，并必将向着更加综合和抽象、结构更多样化的方向发展下去。

㈢ 数学的历史有哪些

第一时期复
数学形成时期，这是制人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。

第二时期
初等数学，即常量数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数。

第三时期
变量数学时期。变量数学产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分（Calculus），即高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

第四时期
现代数学。现代数学时期，大致从19世纪上半叶开始。数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础--------代数、几何、分析中的深刻变化为特征。

㈣ 数学的发展史

数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μαθηματικ；英语：Mathematics或Maths），源自于古希腊语的μθημα（máthēma），其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分．其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见．从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展。

现时数学已包括多个分支．创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为：数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。

(4)高数的历史扩展阅读：

数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展．而东西方文化也采用了不同的角度，欧洲文明发展出来几何学，而中国则发展出算术。

第一个被抽象化的概念大概是数字（中国的算筹），其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象概念的数量，如时间—日、季节和年．算术（加减乘除）也自然而然地产生了。

更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加人使用的奇普．历史上曾有过许多各异的记数系统。

古时，数学内的主要原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算．数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的．这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。

参考资料来源：网络-数学

㈤ 高等数学发展历程啊，拜托了！

高等数学是一门古老的自然学科，它以微积分为主要研究对象，文艺复兴的十七世纪，是微积分得以创造和发展的时期。无论是从笛卡尔的直角坐标系的建立，到牛顿的自然哲学的数学原理，还是从费尔马的最少时间原理，到莱布尼兹的微积分规则，都浸透着科学家们的不懈努力与执着的追求，加之十八世纪贝努利，欧拉，傅里叶等科学家研究的应用数学问题，使这门学科近乎完善；形成了以微积分为主要研究内容的高等数学。

http://slxy.zjnu.net.cn/maths/study/left.htm
里面有详细的发展历程介绍,不过是ppt的

㈥ 数学的发展历史

数学的发展史大致可以分为四个时期。第一时期是数学形成时期，第二时期是常量数学时期等。其研究成果有李氏恒定式、华氏定理、苏氏锥面。

第一时期

数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。

第二时期

初等数学，即常量数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数。

第三时期

变量数学时期。变量数学产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分，即高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学、方程及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

第四时期

现代数学。现代数学时期，大致从19世纪初开始。数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础--------代数、几何、分析中的深刻变化为特征。

拓展资料：

华罗庚

中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界数学发展史中也同样具有许多耀眼的光环。中国古代算数的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才设计的先进思想方法，近代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的。

李氏恒定式

数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为【李氏恒定式】

华氏定理

“华氏定理”是我国著名数学家华罗庚的研究成果。华氏定理为：体的半自同构必是自同构自同体或反同体。数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。

苏氏锥面

数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。

苏步青院士对仿射微分几何的一个极其美妙的发现是：他对一般的曲面，构做出一个访射不变的4次代数锥面。在访射的曲面理论中为人们许多协变几何对象，包括2条主切曲线，3条达布切线，3条塞格雷切线和仿射法线等等，都可以由这个锥面和它的3根尖点直线以美妙的方式体现出来。

这个锥面被命名为苏氏锥面。

㈦ 数学的历史

数学是怎样发展起来的？在辉煌的数学成就背后，蕴含着数学家们何等的艰辛努力？在人类社会的发展和变革中，数学产生了怎样的影响？我们对宇宙的认识是怎样根据数学的知识而形成的？这些问题在数学的题海中是找不到答案的。当我们把目光从课本里拾起来，向历史望去的时候，就会惊讶地发现，数学并不是枯燥定义的累积，也不是繁琐公式的堆砌。数学有自己的灵魂，“它赋予它所发现的真理以生命；它唤起心神，澄清智慧；它给我们的内心思想增添光辉；它涤尽我们有生以来的蒙昧与无知”。（普罗克鲁斯）
本书通过大量珍贵的图；引领读者去抚摸巴比伦泥板上的神秘刻画，揣摩埃及纸草书中的象形数字，赞叹古希腊数学中的理性精神，感触中国古代数学的算法神韵；看一看阿拉伯的驼队如何把东方数学文明传入意大利，寻访文艺复兴的狂飙如何推动欧洲数学从解析几何发展到微积分，进而到现代数学的巨大变化。在本书中，读者还会看到解方程导致了群论的创造，证明第五公设催生了非欧几何，寻求超复数激发了“四元数”的灵感……新千年到来之际，“-费sA：定理”的获证，展示出当代数学的无比荣耀！
现在，就让我们翻开书页，循着一幅幅珍贵的图片，探寻数学发展的轨迹，共享重温数学历史的愉悦吧！ [编辑本段]目录第一章 数学的起源
1.原始的记数法
2.尼罗河的赠礼
3.巴比伦的智慧
4.中国古代的算筹记数
5.印度一阿拉伯数字
6.阿拉伯数字在欧洲的传播
第二章 希腊数学的荣耀
1.几何学的诞生
2.毕达哥拉斯
3.欧几里得与《几何原本》
4.阿基米德的故事
第三章 中国数学的神韵
1.大哉言数
2.“九章勾股弦”
3.刘徽、祖冲之与圆周率
4.“盈不足”术的故事
5.负数是怎样进入数学的？
6.天元术与四元术
第四章 阿拉伯数学：永恒的金带
1.百年翻译运动
2.花拉子米与《代数学》
3.阿拉伯的三角学
4.奥马尔·海亚姆：诗人数学家
……
第五章 数学在欧洲的复兴
第六章 从解析几何到微积分
第七章 代数学的华彩篇章
第八章 非欧几何革命
第九章 分析的严密化
第十间 数学的新时代

㈧ 历史上谁发明了高数

自古以来,多数人把数学看成是一种知识体系,是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和,它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系（恩格斯）”的认识（恩格斯）,又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识.数学既可以来自现实世界的直接抽象,也可以来自人类思维的劳动创造.
从人类社会的发展史看,人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化.“数学的根源在于普通的常识,最显著的例子是非负整数."欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数,而且直到19世纪中叶,对于数的科学探索还停留在普通的常识,”另一个例子是几何中的相似性,“在个体发展中几何学甚至先于算术”,其“最早的征兆之一是相似性的知识,”相似性知识被发现得如此之早,“就象是大生的.”因此,19世纪以前,人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学,因为那时的数学与现实之间的联系非常密切,随着数学研究的不断深入,从19世纪中叶以后,数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位,这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展,他们认为数学是研究结构的科学,一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上.与这种观点相对应,从古希腊的柏拉图开始,许多人认为数学是研究模式的学问,数学家怀特海（A.
N.
Whiiehead,186----1947）在《数学与善》中说,“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究,”数学对于理解模式和分析模式之间的关系,是最强有力的技术.”1931年,歌德尔（K,G0de1,1978）不完全性定理的证明,宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾,这样,人们又想到了数学是经验科学的观点,著名数学家冯·诺伊曼就认为,数学兼有演绎科学和经验科学两种特性.
对于上述关于数学本质特征的看法,我们应当以历史的眼光来分析,实际上,对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的.由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践,因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的,人们能够很容易地找到数学概念的现实原型,这样,人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入,非欧几何、抽象代数和集合论等的产生,特别是现代数学向抽象、多元、高维发展,人们的注意力集中在这些抽象对象上,数学与现实之间的距离越来越远,而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位,因此,出现了认为数学是人类思维的自由创造物,是研究量的关系的科学,是研究抽象结构的理论,是关于模式的学问,等等观点.这些认识,既反映了人们对数学理解的深化,也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果.正如有人所说的,“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的,前者反映了数学的来源,后者反映了现代数学的水平,现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦.”而关于数学是研究模式的学问的说法,则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释,另外,从思想根源上来看,人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学,是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念,是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现,因此人们认为,发展数学理论的这套方法,即从不证自明的公理出发进行演绎推理,是绝对可靠的,也即如果公理是真的,那么由它演绎出来的结论也一定是真的,通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑,数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的.
事实上,上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的,并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的.显然,结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌,组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程,而且从总体上来说,数学是一个动态的过程,是一个“思维的实验过程”,是数学真理的抽象概括过程.逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果.在数学研究的过程中,数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示.波利亚（G.

Poliva,1888一1985）认为,“数学有两个侧面,它是欧几里德式的严谨科学,但也是别的什么东西.由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学.”弗赖登塔尔说,“数学是一种相当特殊的活动,这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭,记在脑子里的东西.”他认为,数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态,”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说,他们是把数学当成一种工具,他们不能没有数学是因为他们需要应用数学,这就是,对于大众来说,是要通过数学的形式来学习数学的内容,从而学会相应的（应用数学的）活动.这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义.菲茨拜因（Efraim

Fischbein）说,“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体,这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动,数学是由人类发明的,”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成.库朗和罗宾逊（Courani

Robbins）也说,“数学是人类意志的表达,反映积极的意愿、深思熟虑的推理,以及精美而完善的愿望,它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性.虽然不同的传统可能强调不同的侧面,但只有这些对立势力的相互作用,以及为它们的综合所作的奋斗,才构成数学科学的生命、效用与高度的价值.”
另外,对数学还有一些更加广义的理解.如,有人认为,“数学是一种文化体系”,“数学是一种语言”,数学活动是社会性的,它是在人类文明发展的历史进程中,人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶.数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为,数学是一门艺术,“和把数学看作一门学科相比,我几乎更喜欢把它看作一门艺术,因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动,具有和艺术家的,例如画家的活动相似之处,这是真实的而并非臆造的.数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧.就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样,不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家,这些品质是最基本的,它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质,其中最主要的一条在两种情况下都是想象力.”“数学是推理的音乐,”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质,还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法,一种精神和观念,即数学精神、数学观念和态度.尼斯（Mogens

Niss）等在《社会中的数学》一文中认为,数学是一门学科,“在认识论的意义上它是一门科学,目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等.如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的,数学就扮演着纯粹科学的角色.在这种情况下,数学以内在的自我发展和自我理解为目标,独立于外部世界,另一方面,如果所考虑的领域存在于数学之外,数学就起着用科学的作用,数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题,而是人们所关注的焦点不同.无论是纯粹的还是应用的,作为科学的数学有助于产生知识和洞察力.数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统,它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动,数学是美学的一个领域,能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验,作为一门学科,数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握.数学的学习不会同时而自动地进行,需要靠人来传授,所以,数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出,人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）.数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的.它们都从一个侧面反映了数学的本质特征,为我们全面认识数学的性质提供了一个视角.
基于对数学本质特征的上述认识,人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点.比较普遍的观点是,数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点,其中最本质的特点是抽象性.A,.亚历山大洛夫说,“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性,第二是精确性,或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性,最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说,“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点,是数学特点的一个方面.另外,从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看,数学还有形象性、似真性、拟经验性.“可证伪性”的特点.对数学特点的认识也是有时代特征的,例如,关于数学的严谨性,在各个数学历史发展时期有不同的标准,从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系,关于严谨性的评价标准有很大差异,尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后,人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的.因此,数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的,具有相对性.关于数学的似真性,波利亚在他的《数学与猜想》中指出,“数学被人看作是一门论证科学.然而这仅仅是它的一个方面,以最后确定的形式出现的定型的数学,好像是仅含证明的纯论证性的材料,然而,数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的,在证明一个数学定理之前,你先得猜测这个定理的内容,在你完全作出详细证明之前,你先得推测证明的思路,你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试.数学家的创造性工作成果是论证推理,即证明；但是这个证明是通过合情推理,通过猜想而发现的.只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话,那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置.”正是从这个角度,我们说数学的确定性是相对的,有条件的,对数学的形象性、似真性、拟经验性.“可证伪性”特点的强调,实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析.比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性.数学,其英文是mathematics,这是一个复数名词,“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐,处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位.”
自古以来,多数人把数学看成是一种知识体系,是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和,它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系（恩格斯）”的认识（恩格斯）,又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识.数学既可以来自现实世界的直接抽象,也可以来自人类思维的劳动创造.
从人类社会的发展史看,人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化.“数学的根源在于普通的常识,最显著的例子是非负整数."欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数,而且直到19世纪中叶,对于数的科学探索还停留在普通的常识,”另一个例子是几何中的相似性,“在个体发展中几何学甚至先于算术”,其“最早的征兆之一是相似性的知识,”相似性知识被发现得如此之早,“就象是大生的.”因此,19世纪以前,人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学,因为那时的数学与现实之间的联系非常密切,随着数学研究的不断深入,从19世纪中叶以后,数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位,这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展,他们认为数学是研究结构的科学,一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上.与这种观点相对应,从古希腊的柏拉图开始,许多人认为数学是研究模式的学问,数学家怀特海（A.
N.
Whiiehead,186----1947）在《数学与善》中说,“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究,”数学对于理解模式和分析模式之间的关系,是最强有力的技术.”1931年,歌德尔（K,G0de1,1978）不完全性定理的证明,宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾,这样,人们又想到了数学是经验科学的观点,著名数学家冯·诺伊曼就认为,数学兼有演绎科学和经验科学两种特性.
对于上述关于数学本质特征的看法,我们应当以历史的眼光来分析,实际上,对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的.由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践,因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的,人们能够很容易地找到数学概念的现实原型,这样,人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入,非欧几何、抽象代数和集合论等的产生,特别是现代数学向抽象、多元、高维发展,人们的注意力集中在这些抽象对象上,数学与现实之间的距离越来越远,而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位,因此,出现了认为数学是人类思维的自由创造物,是研究量的关系的科学,是研究抽象结构的理论,是关于模式的学问,等等观点.这些认识,既反映了人们对数学理解的深化,也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果.正如有人所说的,“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的,前者反映了数学的来源,后者反映了现代数学的水平,现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦.”而关于数学是研究模式的学问的说法,则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释,另外,从思想根源上来看,人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学,是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念,是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现,因此人们认为,发展数学理论的这套方法,即从不证自明的公理出发进行演绎推理,是绝对可靠的,也即如果公理是真的,那么由它演绎出来的结论也一定是真的,通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑,数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的.
事实上,上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的,并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的.显然,结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌,组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程,而且从总体上来说,数学是一个动态的过程,是一个“思维的实验过程”,是数学真理的抽象概括过程.逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果.在数学研究的过程中,数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示.波利亚（G.

Poliva,1888一1985）认为,“数学有两个侧面,它是欧几里德式的严谨科学,但也是别的什么东西.由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学.”弗赖登塔尔说,“数学是一种相当特殊的活动,这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭,记在脑子里的东西.”他认为,数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态,”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说,他们是把数学当成一种工具,他们不能没有数学是因为他们需要应用数学,这就是,对于大众来说,是要通过数学的形式来学习数学的内容,从而学会相应的（应用数学的）活动.这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义.菲茨拜（Efraim

Fischbein）说,“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体,这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动,数学是由人类发明的,”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成.库朗和罗宾逊（Courani

Robbins）也说,“数学是人类意志的表达,反映积极的意愿、深思熟虑的推理,以及精美而完善的愿望,它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性.虽然不同的传统可能强调不同的侧面,但只有这些对立势力的相互作用,以及为它们的综合所作的奋斗,才构成数学科学的生命、效用与高度的价值.”
另外,对数学还有一些更加广义的理解.如,有人认为,“数学是一种文化体系”,“数学是一种语言”,数学活动是社会性的,它是在人类文明发展的历史进程中,人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶.数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为,数学是一门艺术,“和把数学看作一门学科相比,我几乎更喜欢把它看作一门艺术,因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动,具有和艺术家的,例如画家的活动相似之处,这是真实的而并非臆造的.数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧.就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样,不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家,这些品质是最基本的,它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质,其中最主要的一条在两种情况下都是想象力.”“数学是推理的音乐,”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质,还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法,一种精神和观念,即数学精神、数学观念和态度.尼斯（Mogens

Niss）等在《社会中的数学》一文中认为,数学是一门学科,“在认识论的意义上它是一门科学,目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等.如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的,数学就扮演着纯粹科学的角色.在这种情况下,数学以内在的自我发展和自我理解为目标,独立于外部世界,另一方面,如果所考虑的领域存在于数学之外,数学就起着用科学的作用,数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题,而是人们所关注的焦点不同.无论是纯粹的还是应用的,作为科学的数学有助于产生知识和洞察力.数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统,它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动,数学是美学的一个领域,能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验,作为一门学科,数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握.数学的学习不会同时而自动地进行,需要靠人来传授,所以,数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出,人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）.数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的.它们都从一个侧面反映了数学的本质特征,为我们全面认识数学的性质提供了一个视角.
基于对数学本质特征的上述认识,人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点.比较普遍的观点是,数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点,其中最本质的特点是抽象性.A,.亚历山大洛夫说,“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性,第二是精确性,或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性,最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说,“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点,是数学特点的一个方面.另外,从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看,数学还有形象性、似真性、拟经验性.“可证伪性”的特点.对数学特点的认识也是有时代特征的,例如,关于数学的严谨性,在各个数学历史发展时期有不同的标准,从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系,关于严谨性的评价标准有很大差异,尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后,人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的.因此,数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的,具有相对性.关于数学的似真性,波利亚在他的《数学与猜想》中指出,“数学被人看作是一门论证科学.然而这仅仅是它的一个方面,以最后确定的形式出现的定型的数学,好像是仅含证明的纯论证性的材料,然而,数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的,在证明一个数学定理之前,你先得猜测这个定理的内容,在你完全作出详细证明之前,你先得推测证明的思路,你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试.数学家的创造性工作成果是论证推理,即证明；但是这个证明是通过合情推理,通过猜想而发现的.只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话,那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置.”正是从这个角度,我们说数学的确定性是相对的,有条件的,对数学的形象性、似真性、拟经验性.“可证伪性”特点的强调,实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析.比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性.

㈨ 数学的历史。

第一时期
数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数回数开始逐渐建立了自答然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。
几何
第二时期
初等数学，即常量数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数。
第三时期
变量数学时期。变量数学产生于17世纪，历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分（Calculus），即高等数学中研究函数的微分。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学、方程及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
第四时期
现代数学。现代数学时期，大致从19世纪初开始。数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础--------代数、几何、分析中的深刻变化为特征。

㈩ 数学的历史

数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικ??（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μ?θημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。
数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。
除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。
更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多且分歧的记数系统。
从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。
到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中，微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。
数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。依据Mikhail
B.
Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存在于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明。”