幾何學科實踐

A. 什麼是幾何學

幾何」這個詞在漢語里是「多少？」的意思，但在數學里「幾何」的涵義就完全不同了。「幾何」這個詞的詞義來源於希臘文，原意是土地測量，或叫測地術。

幾何學和算術一樣產生於實踐，也可以說幾何產生的歷史和算術是相似的。在遠古時代，人們在實踐中積累了十分豐富的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概念，並且逐步認識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關系跟數量關系之間的關系，這些後來就成了幾何學的基本概念。

正是生產實踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數是經驗性的，但是幾何學就是建立在這些零散、經驗性的、粗淺的幾何知識之上的。

幾何學是數學中最古老的分支之一，也是在數學這個領域里最基礎的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學的重要發源地。

大量出土文物證明，在我國的史前時期，人們已經掌握了許多幾何的基本知識，看一看遠古時期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪制，一些簡單設計但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當時人們掌握的幾何知識是多麼豐富了。

幾何之所以能成為一門系統的學科，希臘學者的工作曾起了十分關鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業繁榮，生產比較發達，一批學者熱心追求科學知識，研究幾何就是最感興趣的內容，在這里應當提及的是哲學家、幾何學家柏拉圖和哲學家亞里士多德對發展幾何學的貢獻。

柏拉圖把邏輯學的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識受邏輯學的指導逐步趨向於系統和嚴密的方向發展。柏拉圖在雅典給他的學生講授幾何學，已經運用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。亞里士多德被公認是邏輯學的創始人，他所提出的「三段論」的演繹推理的方法，對於幾何學的發展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學中，仍是運用三段論的形式來進行推理。

但是，盡管那時候已經有了十分豐富的幾何知識，這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統的。真正把幾何總結成一門具有比較嚴密理論的學科的，是希臘傑出的數學家歐幾里得。

歐幾里得在公元前300年左右，曾經到亞歷山大城教學，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數學，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當時所能知道的一切幾何事實，按照柏拉圖和亞里士多德提出的關於邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴密系統的理論，寫成了數學史上早期的巨著——《幾何原本》。

《幾何原本》的偉大歷史意義在於，它是用公理法建立起演繹的數學體系的最早典範。在這部著作里，全部幾何知識都是從最初的幾個假設除法、運用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發表開始，幾何才真正成為了一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。

歐幾里得的《幾何原本》

歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術得里論；最後講述立體幾何的內容。

從這些內容可以看出，目前屬於中學課程里的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標准教科書。屬於《幾何原本》內容的幾何學，人們把它叫做歐幾里得幾何學，或簡稱為歐式幾何。

《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理）。《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設。（其中最後一條公設就是著名的平行公設，或者叫做第五公設。它引發了幾何史上最著名的長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論，並最終誕生了非歐幾何。）

這些定義、公理、公設就是《幾何原本》全書的基礎。全書以這些定義、公理、公設為依據邏輯地展開他的各個部分的。比如後面出現的每一個定理都寫明什麼是已知、什麼是求證。都要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔細證明。

關於幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。

歐幾里得《幾何原本》的誕生在幾何學發展的歷史中具有重要意義。它標志著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。

從歐幾里得發表《幾何原本》到現在，已經過去了兩千多年，盡管科學技術日新月異，但是歐幾里得幾何學仍舊是中學生學習數學基礎知識的好教材。

由於歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。

少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裡買了一本《幾何原本》，開始他認為這本書的內容沒有超出常識范圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的「坐標幾何」很感興趣而專心攻讀。後來，牛頓於1664年4月在參加特列台獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：「因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。」這席談話對牛頓的震動很大。於是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。

近代物理學的科學巨星愛因斯坦也是精通幾何學，並且應用幾何學的思想方法，開創自己研究工作的一位科學家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特別提到在十二歲的時候「幾何學的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象」。後來，幾何學的思想方法對他的研究工作確實有很大的啟示。他多次提出在物理學研究工作中也應當在邏輯上從少數幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理。

在幾何學發展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的「根據」和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學，這項工作，前人未曾作到。

但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的「根據」問題並沒有得到徹底的解決，他的理論體系並不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了「連續」的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。

現代幾何公理體系

人們對《幾何原本》中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破綻的發現，正是推動幾何學不斷向前發展的契機。最後德國數學家希爾伯特在總結前人工作的基礎上，在他1899年發表的《幾何基礎》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。

希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體系，並且還提出了建立一個公理系統的原則。就是在一個幾何公理系統中，採取哪些公理，應該包含多少條公理，應當考慮如下三個方面的問題：

第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理系統中，各條公理應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統中。

第二，獨立性，公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。

第三，完備性，公理體系中所包含的公理應該是足夠能證明本學科的任何新命題。

這種用公理系統來定義幾何學中的基本對象和它的關系的研究方法，成了數學中所謂的「公理化方法」，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。

公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由於基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什麼，只專門研究抽象的對象之間的關系、性質。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結合關系、順序關系、合同關系等，使這些關系滿足公理系統中所規定的要求，這就構成了幾何學。

因此，凡是符合公理系統的元素都能構成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學的時候，並不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。

就此，幾何學研究的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學的發展帶來了深遠的影響。

B. 第五大題幾何小實踐怎麼做

這不是等邊三角形吧，這種情況下，一個三角形的有9個，還有一個有四個三角形組成的，最大的有九個小三角形組成的。如果是等邊三角形的話，就是他們說的三個，三個不同大小各一個，不過我看圖形中間畫的線不是直線

C. 求一道幾何實踐題。

先畫個長方體的圖，通過畫圖可以知道不管什麼樣的長方體，共有12條邊，其中有三組邊是相同長度的，每一組相同長度的邊有四條。所以長7厘米的邊有四條，6厘米的邊有四條，5厘米的邊有四條。又已知鋼絲正好做成這個長方體，所以鋼絲長（7+6+5）x4=72cm。然後做成正方體時，每條邊都是一樣長的，有12條邊，所以72除以12等於6，所以每條邊長6cm。所以正方體的體積是6x6x6=216立方厘米。ok啦！希望來得及幫上你

D. 通過你的教學實踐，談談圖形與幾何中三條研究線索的關系

原來課程標准實驗稿的幾何框架是按照圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標和圖形與證明四條主線來劃分的，新的課程標准修訂稿把四條主線變成三條主線，這三條主線分別是圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標。四條主線變成三條主線，首先是圖形的性質這條主線基本上涵蓋了原來圖形的認識和圖形與證明的內容，除了對一些基本圖形的認識之外，還包含著對圖形一些命題的證明，同時還發展了學生的空間觀念和推理能力。 第二條主線是圖形的變化，它的內容比較豐富，這裡麵包含了合同變換——圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉，以及圖形的相似（包括位似），由於和相似關系密切，因此直角三角形的邊角關系也包含其中，還有一類變換是仿射變換，在標准中呈現的就是投影。這部分主要研究圖形之間的關系，特別是從運動的觀點和變化的角度來研究圖形，這個方法本身也是十分重要的。 第三條主線叫做圖形與坐標，它包含坐標與圖形的位置，還有坐標與圖形的運動，用坐標的方法刻畫在圖形的變換中所熟知的軸對稱，圖形的平移，圖形的位似等等。 框架里有一條主線叫圖形與變化，原來叫圖形與變換或圖形的運動，不過新課改中用的是變化，這是因為在這部分內容里，不光是數學上變換的東西，後面還有一些投影與視圖的內容，另外解直角三角形也囊括在這裡面，所以在這個裡面叫變換顯得不那麼純粹，叫運動，像解直角三角形這樣的內容也有點牽強，用變化這個詞可能能夠比較好地把剛才那些問題給規避掉。
從具體的內容增減變化上，我們一線教師看了圖形與幾何這塊的變化。首先會發現增加了打星號的內容，如關於相似三角形判定的演繹證明，圓中的垂徑定理、切線長定理等。作為選取部分，反映了課程標准理念中的「不同的人在數學上得到不同的發展」，相當於給學生提供一個彈性的空間，對那些有餘力、有興趣的學生，給他進一步多學一點數學的機會，學生有選擇性的學或者教師有選擇性的教。

E. 數學五年級幾何小實踐，急急急~

1、表面積=4*4*6+4*4*2=128 平方分米
2、原長方體表面積=2（10*8+10*6+8*6）=376 cm²
截面有三種情況，即10*8，10*6,6*8，其中：80為最大，48為最小
所以最大為：376+80*2=536 cm²
最小為：376+48*2=472 cm²

F. 通過你的教學實踐，談談你對圖形與幾何課程教育目標的認識

圖形是個工具，用來認識幾何很好。

G. 實例，說說怎樣在幾何教學中培養學生的空間觀念，幾

《數學課程標准》中指出，「空間觀念」指能由實物的形狀想像出幾何圖形；由幾何圖形想像實物形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化；能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，能描述實物或幾何圖形的運動變化；能採用適當的方式描述物體間的相互關系；能運用圖形形象地描述問題，利用直觀進行思考。 發展學生的空間觀念，除了七年級上冊第一章豐富的圖形世界和九年級上冊視圖投影外，還有位置的確定，圖形的變換，如軸對稱，中心對稱，平移，旋轉，位似圖形等變換的教學內容，都可以發展學生的空間觀念，在處理這些內容的時候，我們應該：
一、利用已有平台，讓學生從實際生活中積累空間觀念
利用學生已有的生活經驗，藉助於學生生活密切相關的現實事例，設計恰當的教學情境，激發學生的學習幾何的興趣。通過學生動眼看，動手做，動口說，動耳聽，動腦想，發展學生的合情推理能力。例如收集超市出售一種圓筒狀包裝的保鮮膜的相關數據，其規格為「20 cm × 60 cm」，經測量這筒保鮮膜的內徑、外徑的長分別為3。2 cm，4。0 cm，則該種保鮮膜的厚度約為多少？（π取3。14，結果保留兩位有效數字）解題時利用圓筒狀包裝的保鮮膜的體積不變列方程求解，圓筒狀包裝的保鮮膜的體積＝保鮮膜展開後的體積，設保鮮膜的厚度為ｘ ｃｍ，由題意得方程
，解得 .
二、積極發揮學生的主觀能動性，注重培養學生的空間觀念
空間觀念是空間想像力的基礎，是重要的數學素養。在幾何知識教學過程中，要培養學生按照一定目的，有順序、有重點地去觀察，在反復細致觀察的基礎上，讓學生展開豐富的空間想像。要充分體現學生的主體性，發揮學生的主觀能動性，鼓勵學生大膽操作。讓學生藉助視覺、觸覺等活動認識理解幾何圖形，並且動手製作相應的幾何圖形。這樣讓學生通過自己的親身體驗獲得對幾何圖形知識的深刻理解，從而形成穩固、清晰的空間觀念。例如在豐富多彩的圖形學習時，要求學生總結出正方體的展開圖有幾種情形時，我在教學時要求學生帶剪刀自己操作，小組探究合作完成任務。完成任務後進一步探究哪些圖形不可能是正方體的展開圖。
又如求截正方體截面形狀時，要求學生自己做模型，找結論。有的學生截用紙盒做的正方體只能得出簡單的截面形狀結論，有的學生截用橡皮泥或蘿卜做的正方體得出豐富的截面形狀結論，還有的學 生更絕，把水裝入用玻璃做的正方體中，晃動水面得出截面形狀結論。
三、加強學生合作交流和研究性學習，和幾何建模以及探究過程，以培養學生的交流能力和研究意識。
四、加強應用方面的要求，使學生能夠有意識地將學到的幾何知識用應到實踐中去。象求螞蟻沿四稜柱表面爬，求它爬行的最短路徑的長是多少？實際上，這是稜柱側面展開問題，學生都能熟練解決。

H. 誰能把一到五年級的數學書中，幾何小實踐里的知識整理給我

重點搞好以下七大塊的分類復習。
1、數的認識（整數和小數、數的整除、分數百分數）
知識要點包括「數的意義」、「數的讀法與寫法」、「數的改寫」、「數的大小比較」、「數的整除」「小數、分數、百分數的互化」「約分和通分」等知識點。 重點確定在數的意義概念的理解，數的讀寫，數的整除。
本部分重點加強數學基本概念和基本性質的理解和掌握。具體通過一系列的練習，如填空題、選擇題、判斷題為主，適當穿插進行整數和小數的簡單計算、約分和通分練習。復習本部分知識教師應該根據學生的實際學習水平靈活處理，對於班級基礎較差的學生可適當放慢，萬事開頭難，本部分知識必須做到教一點使學生會一點，切忌貪多圖快。復習題可參考以前的專項復習題或專項復習試卷。
2、四則運算（四則運算的意義與法則、運算定律與簡便計算、四則混合運算、簡易方程）。
這節重點四則運算和簡便運算上。 全面概括四則運算和計算方法，提高計算水平和計算能力，包括「四則運算的意義和法則」、「四則混合運算」。 利用運算定律，掌握簡便運算，提高計算效率，包括「運算定律和簡便運算」。 結合教材按照先復習（整數、小數、分數）四則運算意義和運演算法則，要求教師結合教材必須搞好學生相關的口算訓練和基本的四則運算練習，然後再復習（整數、小數、分數）的四則混合運算，教師要加強四則混合運算中運算順序的教學，在此基礎上教師要精心設計練習，提高學生綜合計算能力。第三，要搞好運算定律與簡便計算復習，三種運算定律要求學生熟練掌握。最後，在簡易方程復習中，教師要重點規范學生的答題行為，解方程必須寫解。本部分練習題可參考以前下發的專項復習題。
3、量的計量
本節重點放在名數的改寫和實際觀念上。
（1）、整理量的計量知識結構，包括「長度、面積、體積單位」、「重量與時間單位」。
（2）、鞏固計量單位，強化實際觀念，包括「名數的改寫」。
（3）、綜合訓練與應用，練習題可刻印或參考試卷。
4、幾何初步知識（線和角、平面圖形、立體圖形）
本節重點放在對特徵的辨析和對公式的應用上。
（1）、強化概念理解和系統化，包括「平面圖形的特徵」、「立體圖形的特徵」。
（2）、准確把握圖形特徵，加強對比分析，揭示知識間的聯系與區別，包括「平面圖形的周長與面積」、「立體圖形的表面積和體積」。
（3）、加強對公式的應用，提高掌握計算方法。能讓學生對周長、面積、體積進行的正確計算。
（4）、整體感知、實際應用。
練習題可刻印或參考試卷。
5、比和比例（比的意義和性質、比例的意義和性質、正比例和反比例）
本部分要求學生掌握比和比例意義和性質的同時，必須做到使學生正確辨析概念，加深理解，包括「比和比例」、「正比例和反比例」，會判斷簡單的正、反比例。重點要求學生掌握求比值、化簡比，按比例分配，應用比例尺計算，解比例。在練習中很抓解題訓練，提高解方程和解比例的能力，包括「簡易方程」、「解比例」。
練習題可刻印或參考試卷。
6、簡單的統計
本節重點結合考綱要求應放在對圖表的認識和理解上，能回答一些簡單的問題。
（1）、求平均數的方法。
（2）、加深統計圖表的特點和作用的認識，包括「統計表」、「統計圖」。
（3）、進一步對圖表分析和回答問題，包括填圖和根據圖表回答問題。（本部分是復習的重點）
練習題可參考教材或試卷。
7、應用題解（整數和小數應用題、分數和百分數應用題、列方程解應用題、比和比例應用題）
這部分重點應放在應用題的分析和解題技能的發展上，難點內容是分數應用題。
（1）、簡單應用題的分析與整理。 （一步計算）
（2）、復合應用題的分析與整理。 （兩步以上）
（3）、列方程解應用題的分析與整理。
（4）、分數應用題的分析與整理。（重點）
（5）、用比例知識解答應用題的分析與整理。
（6）、應用題的綜合訓練。
另外推薦一本書：小學（五年級）教材（一般書店多有）