模糊數學法

A. 什麼是模糊數學法計算過程

設單因素評判方程為矩陣R（根據實驗數據對各方案、各行單因素評判），各因素權重A（根據各因素重要程度設置相應權數）
B1=A·R → 將B1歸一化為B → 將B中元素由0→1基礎離散
C為列向量，則最佳方案為Y=B·C*100%

B. 模糊數學法隸屬函數公式e-b(x-a)2怎麼算，怎麼將數據代入隸屬函數

不明白你說的。
隸屬度函數的建立是分為定性和定量來確定的。
其中，定性隸屬度大多是根據剖分面積元或者專家試打分
定量隸屬度根據標准，參照模糊隸屬度公式計算

C. 請問模糊數學隸屬函數法中的X、Xmax、Xmin分別指的是什麼呢文獻里寫的都十分模糊。

X是代數
Xmax是值域裡面的最大值
Xmin是值域裡面的最小值

D. 模糊數學理論分詞 扎德假言推理法！！

(⊙o⊙)…這個……佩服~自己想

E. 模糊數學模型的方法

在實際應用中，用來確定模糊集的隸屬函數的方法示多種多樣的，主要根據問題專的
實際意義屬來確定。譬如，在經濟管理、社會管理中，可以藉助於已有的「客觀尺度」作
為模糊集的隸屬度。下面舉例說明。
如果設論域X 表示機器設備，在X 上定義模糊集A =「設備完好」，則可以用「設
備完好率」作為A 的隸屬度。如果X 表示產品，在X 上定義模糊集A =「質量穩定」，
則可以用產品的「正品率」作為A 的隸屬度。如果X 表示家庭，在X 上定義模糊集A
=「家庭貧困」，則可以用「Engel 系數=食品消費/總消費」作為A 的隸屬度。
另外，對於有些模糊集而言，直接給出隸屬度有時是很困難的，但可以利用所謂的
「二元對比排序法」來確定，即首先通過兩兩比較確定兩個元素相應隸屬度的大小排出
順序，然後用數學方法加工處理得到所需的隸屬函數。

F. 模糊數學法

模糊數學是用數學方法研究和處理具有「模糊性」現象的一門科學，它是由美國控制論專家查德（Zadeh L.A.）在1965年創立的。模糊數學的理論和方法雖然還不很完善，但是已顯示出強大的生命力。

模糊數學的方法彌補了「綜合指數法」忽略水質分級界線的模糊性的缺陷。因為地下水環境系統存在如下特徵。

1）水環境系統中污染物質之間存在著復雜的、難以明確的相關關系。水污染是由各污染因子共同作用的結果，它是一個連續、漸變、邊界模糊的復雜過程，在評價時客觀上存在模糊性。

2）根據水的用途和環境指標來確定水質分級標准時，若用單一的每個因素的數值來表徵其特徵和用途，在標准選取上，人為因素極大，在客觀上人們對水質的要求而制定的標准也存在模糊性。

3）經過各種單項及綜合運算後，對水質量給出一個結論，由於水質量是一個連續的變化的事件，因此給出的結論也存在模糊性（孫幼平等，1988）。

根據上述特徵，為了真實地刻畫這個過程，針對其模糊性，運用模糊數學理論進行處理，對地下水水質的評價會給出比較客觀的結果。

（一）模糊綜合評判法

所謂模糊評判，就是根據給出的評價標准和實測值，經過模糊變換，對事物的全體作出總的評價的一種方法。

模糊綜合評判問題，實際上就是模糊變換問題，它的原理可用模式（4-27）表示：

B=A·R （4-27）

式中：A為因子權重。

為了突出地下水水質成分的主要因子，對各種樣品、各因子視其在模糊分級標准中不同情況，分別賦權，得權重A。A是由各評價因子的權重處理後所構成的1×m階行矩陣，稱為輸入。

權重A與評價的方法和目的有關。賦權應以各評價因子對地下水質量影響的貢獻為主要考慮因素。若多種因子對地下水質量影響時，應能反映出多因子之間的協同、頡頏作用狀況。在實際評價中，由於化學組分在地下水系統介質中遷移轉化的機制不易認清，所以合理賦權是比較困難的。一般採用環境質量分指數法求出權重A。

為了進行模糊變換，W_i應滿足歸一化要求：

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

進行歸一化，計算公式為

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

式中：W_i為經歸一化i因子的權重。

由此構成（1×m）權重矩陣：A=（W₁，W₂，…，W_m）

R為模糊轉換器，是由若干個單因子評價行向量構成的，它表示從被考查要素到評定最高等級的一種模糊轉化關系，其模糊關系矩陣為

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

B為綜合評判結果，稱為輸出。

B是要求的評價結果，它是評價集上一個模糊子集，用一個1×n行向量的形式表示。

B=（μ（x₁），μ（x₂），…，μ（x_i））

上式中各個元是各因子對於評價等級的隸屬度。

μ_mn的計算採用降半梯形法，換算公式如表4-4所示（韓銀富等，2000）。

表4-4 隸屬度μ_mn計算公式一覽表

續表

概括地說，已知輸入和模糊轉換器求輸出，就是模糊綜合評判（付雁鵬等，1987）。

綜合評判，即A與R兩個模糊矩陣的復合運算，採用（∧，∨）型綜合評判計演算法，類似於普通矩陣乘法，只是將矩陣乘法運算中的「×」號改為「∧」號，將「+」號改為「∨」號，「∧」意為兩數中取小值，「∨」意為兩數中取大值。復合運算的結果，表示某水樣相對於各個質量類別的綜合評判隸屬度。

根據所評價的綜合隸屬度，比較各級隸屬度的大小。其中，隸屬度最大者所在等級，即為水樣點的分類等級。

若B_i=max｛B₁，B₂，…，B_n｝，則該樣品水質等級定為第i級。

多樣品水質按從優到劣排序的原則；同級別水質，比較各樣品其鄰級較優級別的隸屬度，大的先排；不同級別水質，較劣的後排。

將模糊綜合評判法應用到地下水質量評價中，可得出一個客觀的綜合評價結論，以及各種組分影響程度的順序。

模糊綜合判別法的局限性：

1）B=A·R是通過「∨」，「∧」得到的，這種運算形式過分強調了極值的作用，這就勢必丟掉一些數據所提供的信息，使判斷結果顯得「粗糙」，如評價函數呈現b₁=b₂=…=b_m的情況時，就給最後的判別造成困難。

2）由於強調「取小，取大」，如果A中各分量小於R中各量，復合結果R中各量將全部被篩選掉，使單因素判別失去作用，結果形成以權數作為評判函數的現象。

以上情況會影響評價的精度。為了得到更好的評價結果，可根據實際情況，將「∨」，「∧」換成其他形式的運算元進行評判，表4-5列出了幾種常見的運算元形式（付雁鵬等，1987）。

表4-5 其他幾種常見的運算元形式

註：a，b分別表示μ_a（x），μ_b（x）；a·b表示普通實數乘法；⊕表示有界和運算。

如果採用一種運算元評判把握不準，可以同時採用多種運算元分別評判，最後進行評判結果比較，確定客觀的較優的結論。

（二）相似優先比法

相似優先比法是模糊數學中的一種計算方法，是在被選擇對象所組成的集合上，根據一些因素建立一個模糊相似關系，然後由表現這個模糊關系的模糊矩陣來決定元素的優劣。藉助這種方法，可以對集合中元素按優劣程度排序。

模糊相似矩陣是以海明距離比為基礎構建的，使用λ截矩陣概念計算各分區與環境目標值相似程度的次序。

1.海明距離

d_ki=x_k-x_i （4-29）

d_kj=x_k-x_j （4-30）

式中：x_k為某級水質（環境目標值）標准值；x_i，x_j為被比較的兩個區的實測平均值。

2.模糊相似優先比

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

r_ji=1-r_ij （4-32）

若r_ij在（0.5，1）之間，表示x_i比x_j優先；若r_ij在（0，0.5）之間，表示x_j比x_i優先。

理想情況有3種：若r_ij=1，表示x_i顯然比x_j優先；若r_ij=0，表示x_j顯然比x_i優先；若r_ij=0.5，無法確定優先比，兩個選擇等價。

3.模糊相似優先比矩陣

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

4.相似程度

根據實際情況，在［0，1］之間由大到小選定一系列λ值（λ為評價樣品與標准值相似程序的界限），作出相似的矩陣R_λ，得出各因子與目標之間的相似程度，並按求λ截矩陣的次序將元素排序。

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

5.綜合排序

綜合排序，即將各元素的多種排序的序號求和，序號和越小，則該元素越優，反之，則差。

應用相似優先比法對地下水質量進行優劣排序，效果較好。但是建立模糊相似關系矩陣和求λ截矩陣的工作比較繁瑣，為避免較大的計算量，建議當樣品少時，應用此方法（胡志榮等，1996）。

（三）Fuzzy距離定序法

Fuzzy距離定序法是在相似優先比法的基礎上，將繁瑣的建立模糊相似關系矩陣和求λ截矩陣的工作，通過變換待定序樣品的序列，分析利用Fuzzy距離確定的Fuzzy優先矩陣的性質給出Fuzzy優先關系定序的簡化方法。

Fuzzy距離定序法簡介：

設已知給定一標准樣品為

B=（b₁，b₂，…，b_i） （4-35）

式中：i=1，2，…，m。

給定待序樣品序列為A′：

A′₁，A′₂，…，A′_i，…，A′_n （4-36）

式中：A′_i=（a_i1，a_i2，…，a_ij），1≤i≤n，1≤j≤m，即每一個樣品由m個指標構成。

由於樣品的各項指標單位各異，同一指標可能相差較大，為充分發揮樣品各項指標在綜合評比中的作用，首先對樣品序列A′中每一樣品的各項指標進行標准化處理。然後計算待定序樣與標准樣品之間的Fuzzy距離，具體計算時採用下述公式：

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

式中：d（A_i，B）為樣品A_i與標准樣品B的Fuzzy距離；x_ik為待定序樣品A_i的第k項指標；d_k為樣品第k項指標的權重，且

；p為選定的常數，p=1時，式（4-37）為加權海明距離；p=2時，為加權歐氏距離。

用式（4-35）通過計算得到待定序樣品A′與標准樣品B之間Fuzzy距離序列D′：

d（A₁，B），d（A₂，B），…，d（A_i，B），…，d（A_n，B） （4-38）

對序列（4-36）按從小到大的次序排列，得到新的Fuzzy距離序列d：

d₁，d₂，…，d_i，…，d_n （4-39）

其中：d₁＜d₂，…＜d_i…＜d_n

對樣品序列式（4-36），按樣品在序列式（4-39）中相應出現的先後次序進行重新排列，得到新的樣品序列A：

A₁，A₂，…，A_i，…，A_n （4-40）

若在序列式（4-39）中，存在d_i=d_j，則相應把序列式（4-40）寫成：

A₁，…，A₂，…，A_i，A_j，…，A_n

把Fuzzy距離按從小到大的順序排列，待定序樣品在距離序列中相應出現的先後次序即為所求的排列結果。對地下水質量優劣排序而言，Fuzzy距離由小到大代表地下水質量由優到劣。

利用Fuzzy距離定序法進行地下水質量優劣排序，比相似優先比法簡便，計算量小，評別易行，尤其當樣品多時，更體現出此方法的有效性。但是此方法存在許多問題需進一步研究和探討，如Fuzzy距離公式的選用、樣品指標權數的確定等。因為Fuzzy距離定序法，定序的結果與Fuzzy距離有關，因此，應根據實際問題選用適當的計算公式，並結合研究區的水文地質條件及監測數據進行優劣排序；樣品指標權數的選取是人為根據諸指標對地下水質量貢獻大小來進行的，需要對各因素的影響有比較清楚的認識，才能夠把握權重值。

G. 模糊數學方法成礦遠景預測

模糊（fuzzy）集合論或者模糊數學是由Zadeh L A在1965年提出的一種數學理論。

首先我們介紹一下模糊集合、隸屬度的概念。

一個集合或集，通常是指滿足某種性質的一批元素的總體。例如，在成礦預測中，所謂含礦點集指：

D＝｛X∶X處是已知礦點和遠景礦點｝

再設Ω＝｛X｝是被研究的全體地點之集，那麼按照傳統的觀點，對於Ω中的每個元素X，在X∈D或X∈D兩種可能中，必是有一種發生（「為真」），也只能有一種為真。換句話說，X或者是含礦點，或者不是，二者必居其一。

在事實上，對任一個地點要做出這樣確切的判斷是困難的。我們也許只能說，X點一定含礦，可能含礦或者只有礦化現象。

為了解決上面的不確定問題，扎德提出了模糊集和隸屬度的概念。假設Ω＝｛X｝是一個任意的普通集合。對於Ω中的每個元素X定義一個實函數μ_D（X）滿足：

0≤μ_D（X）≤1

並用μ_D（X）描述X屬於D的「程度」。若μ_D（X）＝1，則X完全屬於D；若μ_D（X）＝0，則X完全不屬於D；μ_D（X）＝0.7，則X屬於D的「程度」是70%，等等。這時我們說D是Ω的一個「模糊子集」，由函數μ_D（X）決定。μ_D（X）稱為D的「隸屬度」。

模糊數學方法在自動化控制、信息處理、人工智慧、經濟學、社會學等方面有廣泛的應用。模糊聚類是一種無監督學習的識別方法，主要依據數據的內部結構進行模糊分類。模糊聚類又分為模糊聚類K均值法和模糊聚類協方差方法，我們以模糊聚類K均值法為例說明其聚類的原理。

假定已知樣品集為Ω＝｛x₁，x₂，…，x_N｝，每個樣品取n個特徵，首先確定要分成的類數，也就是凝聚點的個數。由於類數和凝聚點的位置是人為給定的，因此必須在聚類過程中對聚類中心的位置不斷調整，最後得出合理的分類。這種方法就是傳統聚類演算法中的聚類K均值法。模糊聚類K均值法由上述方法派生而來，它用模糊數學中隸屬度的概念代替聚類K均值法中距離的概念，用樣品對某一聚類中心的隸屬程度來衡量該樣品從屬某一類的程度，同樣要經過反復的迭代才能求出相應的聚類中心。其基本步驟如下。

（1）確定聚類的類數K，1＜K＜N。如把樣品集分為含礦和不含礦兩類，則K＝2。

（2）給出初始隸屬度矩陣

。一般的模糊聚類K均值法是根據經驗來設定每一點對各類的隸屬度，例如第j點我們認為含礦的可能性大，則可以把它歸為W₁類（不含礦的歸為W₂類）。如使u_1j＝0.9，u_2j＝0.1；或u_1j＝0.8，u_2j＝0.2，等等。注意到這里的每列元素之和等於1。顯然憑經驗來確定U^（0）並不容易，我們這里借鑒於誘導聚類K均值法來生成初始隸屬度矩陣。

（3）利用下式求各類的聚類中心

地球物理勘探概論

（4）由於聚類中心在計算中需要不斷調整，因此每得到一個新的聚類中心就必須重新計算新的隸屬度矩陣。計算新的隸屬度矩陣U^（l＋1），表達式為

地球物理勘探概論

式中：d_ij表示x_i與x_j的距離；d_pj為x_p與x_j的距離；m是權指數，通常取m＝2。

（5）重復步驟（3）、（4），直到收斂為止。結束迭代的標准可以取

。初始隸屬度矩陣是採用誘導的方法來產生的：

（1）確定類數K，1＜K＜N。

（2）輸入初始分類矩陣

，i＝1，2，…，K；j＝1，2，…，N。此處的U^*（0）是使用者根據自己意願簡單劃定的初始分類矩陣。通常把

取為0或1，例如定為不含礦取0，含礦取1，每列中必須有一個且僅有一個元素取1，然後通過計算對此矩陣進行調整。

（3）誘導產生隸屬度矩陣

，並有

地球物理勘探概論

把求得的U^（0）作為初始隸屬度矩陣U，其中

是x_j對第j類的隸屬度；N是總點數；N_i是「硬」分類中W_i類的點數（所謂「硬」分類是按常規方法分類的）；d_ij是x_i與x_j的距離；β是一個參數，其作用是保證

的值位於0～1范圍，通常取作max d_ij的某個倍數。

實例。某地矽卡岩銅礦區有14個已驗證的異常，其中見礦異常有葉花香1～4個，石頭殼等7個，未見礦異常有小劉勝、大劉勝等7個，每個異常的Cu、Ag、Bi的r值幾何平均值和對數值如表6-2-1所示。

我們用此實例來檢驗模糊聚類方法的聚類效果，模糊聚類方法的分類結果為（見表6-2-2）。

第一類：石頭殼、銅井、赤馬山、大劉勝

第二類：葉花香1～4、Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ、Ⅷ、小劉勝

不難看出，分類結果第1類多數為見礦異常，而第2類多數為未見礦異常。其中，葉花香1～4判為礦與非礦之間（結果為0.471356、0.484027、0.491749、0.475776，接近0.5），大劉勝也判為礦與非礦之間（結果為0.521641）。

表6-2-2是模糊K均值聚類結果，左列中數值大於0.5為同一類，數值小於0.5為同一類。

表6-2-1 某地矽卡岩型銅礦區異常表

表6-2-2 模糊K均值聚類結果

H. 模糊數學中合成運算元:M(∧,∨)運算元,M(.,∨)運算元,M(∧,⊙)運算元,M(.,⊙)運算元的計算方法

基本計算方式：

左邊的行和右邊的列依次進行計算。

然後運算元中，∧表示取小，∨表示取大，·表示相乘，圓圈中一個加號表示求和。第一個運算元是先取小再取大。

先看等號左邊，左邊的第一個數字0.3和右邊第一列的第一個數字0.5進行比較，取小者為結果，就是0.3；然後左邊的第二個數字0.3和右邊第一列的第二個數字0.3進行比較，取小者，為0.3；左邊第三個數字0.4和右邊第一列第三個數字0.2進行比較，取小為0.2；

取小過程結束，然後再取大，就是這三個結果進行比較，取大者為最終結果：因為上邊算出的三個結果分別是0.3，0.3，0.2，取大者即為0.3。

這便是等號右邊第一個數字0.3的由來。同樣的，左邊矩陣與右邊矩陣的第二列依次比較取小後再取大，便得出了等號右邊第二個數字0.3.以此類推。

正確答案應該是（0.32 0.29 0.24 0.11）。

(8)模糊數學法擴展閱讀：

模糊數學的研究內容主要有以下三個方面：

第一，研究模糊數學的理論，以及它和精確數學、隨機數學的關系。

查德以精確數學集合論為基礎，並考慮到對數學的集合概念進行修改和推廣。他提出用「模糊集合」作為表現模糊事物的數學模型。

並在「模糊集合」上逐步建立運算、變換規律，開展有關的理論研究，就有可能構造出研究現實世界中的大量模糊的數學基礎，能夠對看來相當復雜的模糊系統進行定量的描述和處理的數學方法。

在模糊集合中，給定范圍內元素對它的隸屬關系不一定只有「是」或「否」兩種情況，而是用介於0和1之間的實數來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態。

比如「老人」是個模糊概念，70歲的肯定屬於老人，它的從屬程度是 1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為 0，按照查德給出的公式，55歲屬於「老」的程度為0.5，即「半老」，60歲屬於「老」的程度0.8。

指明各個元素的隸屬集合，就等於指定了一個集合。當隸屬於0和1之間值時，就是模糊集合。

第二，研究模糊語言學和模糊邏輯。

人類自然語言具有模糊性，人們經常接受模糊語言與模糊信息，並能做出正確的識別和判斷。

為了實現用自然語言跟計算機進行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數學模型，才能給計算機輸入指令，建立合適的模糊數學模型，這是運用數學方法的關鍵。查德採用模糊集合理論來建立模糊語言的數學模型，使人類語言數量化、形式化。

如果我們把合乎語法的標准句子的從屬函數值定為1，那麼，其他近義的，以及能表達相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續數來表徵它從屬於「正確句子」的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進行定量描述，並定出一套運算、變換規則。

現時，模糊語言還很不成熟，語言學家正在深入研究。

人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，採用形式邏輯的排中律，即：非真即假，然後進行判斷和推理，得出結論。

現有的計算機都是建立在二值邏輯基礎上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。

為了使計算機能夠模擬人腦高級智能的特點，就必須把計算機轉到多值邏輯基礎上，研究模糊邏輯。現時，模糊邏輯還很不成熟，尚需繼續研究。

第三，研究模糊數學的應用。

模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。

模糊集合的出現是數學適應描述復雜事物的需要，查德的功績在於用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數學與不確定性對象的數學溝通起來，過去精確數學、隨機數學描述感到不足之處，就能得到彌補。

在模糊數學中，現今已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學、模糊邏輯學等分支。

I. 模糊數學及其應用的目錄

前言
第一章模糊集合
1.1模糊子集及其表示法
1.2隸屬函數的確定方法
1.3模糊集合的其他運算
1.4模糊集合隸屬度分布列
習題1
實驗1利用Matlab軟體建立隸屬度函數
第二章判別分析方法
2.1距離判別分析
2.2模糊集合間的貼近度
2.3模糊識別原則
習題2
實驗2模糊判別分析
第三章模糊聚類分析
3.1模糊矩陣與模糊關系
3.2模糊相似矩陣與模糊等價矩陣
3.3模糊聚類的方法
3.4模糊C均值聚類
習題3
實驗3模糊C均值聚類
第四章模糊綜合評價
4.1評價指標權重的確定
4.2綜合評價方法
習題4
實驗4模糊綜合評價
第五章層次分析法
5.1層次分析法的基本原理和步驟
5.2群組決策與殘缺判斷
5.3FuzzyAHP方法
5.4層次分析法的操作過程
習題5
實驗5層次分析法應用
第六章模糊線性規劃
6.1普通線性規劃及其求解
6.2模糊線性規劃及其求解
6.3模糊線性規劃的經濟應用
習題6
實驗6模糊優化與應用