大學數學難題

㈠ 一道難倒大學教授的數學難題！

老闆拿去25元+服務員2元+三人的3元，

而你後面說
：三個人乘於九塊等於二十七塊，再加上服務員兩塊等於二十九塊

這句話的意思就是說：他們已經支付了的
：老闆拿去25元+服務員2元+(再加）服務員的2元=29元

試問
你到底要問哪一塊？是他們三人中的3元的任何一元嗎？
還是你把3元當做一個塊（即一個部分）來處理？
你的用意
是這個嗎

㈡ 大學數學問題

利用偏微分的基本公式就能做出來，見下圖，希望對你有所幫助

㈢ 世界上的四大數學難題是指哪四個

1、立方倍積問題

立方倍積就是利用尺規作圖作一個立方體，使其體積等於已知立方體的二倍，這個問題也叫倍立方問題，也稱之為德里安問題、Delos問題。

若已知立方體的棱長為1， 則立方倍積問題就可以轉化為方程x³-2=0解的尺規作圖問題。根據尺規作圖准則，該方程之解無法作出。

因此，立方倍積問題和三等分角問題、化圓為方問題一起，成為古希臘三大幾何難題。立方倍積問題不能用尺規作圖方法解決的嚴格證明是法國數學家萬采爾(P.-L. Wantzel,1814-1848)於1837年給出的。

2、三等分任意角問題

三等分角是古希臘三大幾何問題之一。三等分角是古希臘幾何尺規作圖當中的名題，和化圓為方、倍立方問題被並列為古代數學的三大難題之一，而如今數學上已證實了這個問題無解。該問題的完整敘述為：在只用圓規及一把沒有刻度的直尺將一個給定角三等分。

在尺規作圖（尺規作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖）的前提下，此題無解。若將條件放寬，例如允許使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲線使用，可以將一給定角分為三等分。

3、化圓為方

化圓為方是古希臘尺規作圖問題之一，即：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。由π為超越數可知，該問題僅用直尺和圓規是無法完成的。但若放寬限制，這一問題可以通過特殊的曲線來完成。如西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德的螺線等。

4、哥德巴赫猜想

哥德巴赫1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，於是就寫信請教赫赫有名的大數學家歐拉幫忙證明，但是一直到死，歐拉也無法證明。

因現今數學界已經不使用「1也是素數」這個約定，原初猜想的現代陳述為：

任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。(n>5：當n為偶數，n=2+(n-2)，n-2也是偶數，可以分解為兩個質數的和；當n為奇數，n=3+(n-3)，n-3也是偶數，可以分解為兩個質數的和)

歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。

今日常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"。

1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和"。

㈣ 當今數學界十大難題

美國麻州的克雷（Clay）數學研究所於2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個「千僖年數學難題」的每一個懸賞一百萬美元。以下是這七個難題的簡單介紹。 「千僖難題」之一：P（多項式演算法）問題對NP（非多項式演算法）問題 在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鍾，你就能向那裡掃視，並且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13，717，421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）於1971年陳述的。 「千僖難題」之二： 霍奇(Hodge)猜想 二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。 「千僖難題」之三： 龐加萊(Poincare)猜想 如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。 「千僖難題」之四： 黎曼(Riemann)假設 有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s$的性態。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。
「千僖難題」之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口 量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和築波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於 「誇克」的不可見性的解釋中應用的「質量缺口」假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。 「千僖難題」之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性 起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。 「千僖難題」之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想 數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點。 八：幾何尺規作圖問題 這里所說的「幾何尺規作圖問題」是指做圖限制只能用直尺、圓規，而這里的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。「幾何尺規作圖問題」包括以下四個問題 1.化圓為方－求作一正方形使其面積等於一已知圓； 2.三等分任意角； 3.倍立方－求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。 4.做正十七邊形。 以上四個問題一直困擾數學家二千多年都不得其解，而實際上這前三大問題都已證明不可能用直尺圓規經有限步驟可解決的。第四個問題是高斯用代數的方法解決的，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但後來他的墓碑上並沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。
九：哥德巴赫猜想 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數學家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一個>=6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。 (b) 任何一個>=9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。 從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的「明珠」。 十：四色猜想 1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。」 1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。 1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界

㈤ 誰知道7大數學難題的具體內容是什麼啊

1、NP 完全問題
數學上著名的NP問題，完整的叫法是NP完全問題，也即「NP COMPLETE」問題，簡單的寫法，是 NP=P？的問題。問題就在這個問號上，到底是NP等於P，還是NP不等於P。
NP問題到底是Polynomial，還是Non-Polynomial，尚無定論。
NP裡面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，P代表Polynomial倒是對的。NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式復雜程度的非確定性問題。
什麼是非確定性問題呢？有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式，你一套公式，就可以一步步推算出來，下一個質數應該是多少呢？這樣的公式是沒有的。再比如，大的合數分解質因數的問題，有沒有一個公式，把合數代進去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒有這樣的公式。
這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的「猜算」來得到結果。這也就是非確定性問題。而這些問題的通常有個演算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你「猜算」的答案正確與否的演算法，假如可以在多項式時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。而如果這個問題的所有可能答案，都是可以在多項式時間內進行正確與否的驗算的話，就叫完全多項式非確定問題。
完全多項式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗下去，最終便能得到結果。但是這樣演算法的復雜程度，是指數關系，因此計算的時間隨問題的復雜程度成指數的增長，很快便變得不可計算了。
人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性演算法，可以在指數
時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。
解決這個猜想，無非兩種可能，一種是找到一個這樣的演算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個演算法，所有這類問題都可以迎刃而解了，因為他們可以轉化為同一個問題。另外的一種可能，就是這樣的演算法是不存在的。那麼就要從數學理論上證明它為什麼不存在。
前段時間轟動世界的一個數學成果，是幾個印度人提出了一個新演算法，可以在多項式時間內，證明某個數是或者不是質數，而在這之前，人們認為質數的證明，是個非多項式問題。可見，有些看來好象是非多項式的問題，其實是多項式問題，只是人們一時還不知道它的多項式解而已。
如果判定問題π∈NP，並且對所有其他判定問題 π∈NP，都有π'多項式變換到π(記為π'∞π)，則稱判定問題π 是NP完全的。
對P類，NP類及NP完全問題的研究推動 了計算復雜性理論的發展，產生了許多新概念，提出了許多新方 法。但是還有許多難題至今沒有解決，P=?NP就是其中之一。許多學者猜想P≠NP，但無法證明。

2、郝治（Hodge） 猜想
也叫霍奇猜想(Hodge Conjecture)：在非奇異復射影代數簇上, 任一霍奇類是代數閉鏈類的有理線性組合。
二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。

3、龐加萊（Poincare） 猜想
在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發現提法中有錯誤，並對之進行了修改，被推廣為：「任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。」

如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想像：

我們想像這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想像一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。

4、黎曼（Rieman ）假設
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s)的性態。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。
在證明素數定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：Zeta函數的零點都在直線Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能證明後便放棄了，因為這對他證明素數定理影響不大。但這一問題至今仍然未能解決，甚至於比此假設簡單的猜想也未能獲證。而函數論和解析數論中的很多問題都依賴於黎曼假設。在代數數論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。

5、楊－米爾斯 (Yang-Mills) 理論
又稱規范場理論，是研究自然界四種相互作用（電磁、弱、強、引力）的基本理論，是由物理學家楊振寧和R.L.米爾斯在1954年首先提出來的。它起源於對電磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和電磁相互作用的統一理論，已經為實驗所證實，特別是這理論所預言的傳播弱相互作用的中間玻色子，已經在實驗中發現。楊－米爾斯理論又為研究強子（參與強相互作用的基本粒子）的結構提供了有力的工具。在某種意義上說，引力場也是一種規范場。所以這一理論在物理中的作用非常重要。數學家注意到楊－米爾斯場中的規范勢恰是數學家在20世紀30～40年代以來深入研究過的纖維叢上的聯絡。不僅如此，他們還發現，這一理論中出現的楊－米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。1975年以來數學家對楊－米爾斯方程進行了許多深入的研究，這些研究對於純粹數學的發展，也起了推動作用。

6、納衛爾－斯托可（Navier-Stokes）方程
納衛爾－斯托可（Navier-Stokes）方程也稱納威厄-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)：證明或否定3-維奈維爾－斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的邊界和初始條件下)。
納維葉－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

7、BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想
BSD猜想屬於數論中的內容，是關於方程的整數和有理數解的問題。
數學家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點

㈥ 數學界23大難題有哪些

一 數學基礎問題。
1、 數是什麼？
2、 四則運算是什麼？
3、 加法和乘法為什麼符合交換律，結合律，分配律？
4、 幾何圖形是什麼？

二 幾個未解的題。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=?
更一般地：
當k為奇數時 求
(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?
背景：
歐拉求出：
(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6

並且當k為偶數時的表達式。
2、e+π的超越性
背景
此題為希爾伯特第7問題中的一個特例。
已經證明了e^π的超越性，卻至今未有人證明e+π的超越性。

3、素數問題。
證明：
ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + …

(s屬於復數域)
所定義的函數ζ(s)的零點，除負整實數外，全都具有實部1/2。

背景：
此即黎曼猜想。也就是希爾伯特第8問題。
美國數學家用計算機算了ζ(s)函數前300萬個零點確實符合猜想。
希爾伯特認為黎曼猜想的解決能夠使我們嚴格地去解決歌德巴赫猜想（任一偶數可以分解為兩素數之和）和孿生素數猜想（存在無窮多相差為2的素數）。

引申的問題是：素數的表達公式？素數的本質是什麼？

4、 存在奇完全數嗎？

背景：
所謂完全數，就是等於其因子的和的數。
前三個完全數是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32個完全數全部是偶數。
1973年得到的結論是如果n為奇完全數，則：
n>10^50

5、 除了8=2^3,9=3^2外，再沒有兩個連續的整數可表為其他正整數的方冪了嗎？

背景：
這是卡塔蘭猜想（1842）。
1962年我國數學家柯召獨立證明了不存在連續三個整數可表為其它正整數的方冪。
1976年，荷蘭數學家證明了大於某個數的任何兩個正整數冪都不連續。因此只要檢查小於這個數的任意正整數冪是否有連續的就行了。
但是，由於這個數太大，有500多位，已超出計算機的計算范圍。
所以，這個猜想幾乎是正確的，但是至今無人能夠證實。

6、 任給一個正整數n，如果n為偶數，就將它變為n/2,如果除後變為奇數，則將它乘3加1（即3n+1）。不斷重復這樣的運算，經過有限步後，一定可以得到1嗎？

背景：
這角古猜想（1930）。
人們通過大量的驗算，從來沒有發現反例，但沒有人能證明。

三 希爾伯特23問題里尚未解決的問題。
1、問題1連續統假設。
全體正整數（被稱為可數集）的基數 和實數集合（被稱為連續統）的基數c之間沒有其它基數。
背景：1938年奧地利數學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統，即策莫羅-佛朗克爾公理系統里，不可證偽。
1963年美國數學家柯恩證明在該公理系統，不能證明此假設是對的。
所以，至今未有人知道，此假設到底是對還是錯。
2、問題2 算術公理相容性。
背景：哥德爾證明了算術系統的不完備，使希爾伯特的用元數學證明算術公理系統的無矛盾性的想法破滅。
3、 問題7 某些數的無理性和超越性。
見上面 二 的 2
5、 問題 8 素數問題。
見上面 二 的 3
6、 問題 11 系數為任意代數數的二次型。
背景：德國和法國數學家在60年代曾取得重大進展。
7、 問題 12 阿貝爾域上的克羅內克定理在任意代數有理域上的推廣。
背景：此問題只有些零散的結果，離徹底解決還十分遙遠。
8、 問題13 僅用二元函數解一般7次代數方程的不可能性。
背景：1957蘇聯數學家解決了連續函數情形。如要求是解析函數則此問題尚未完全解決。
9、 問題15 舒伯特計數演算的嚴格基礎。
背景： 代數簌交點的個數問題。和代數幾何學有關。
10、 問題 16 代數曲線和曲面的拓撲。
要求代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。和微分方程的極限環的最多個數和相對位置。
11、 問題 18 用全等多面體來構造空間。
無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題，現在仍未解決。
12、 問題 20 一般邊值問題。
偏微分方程的邊值問題，正在蓬勃發展。
13、 問題 23 變分法的進一步發展。

四 千禧七大難題
2000年美國克雷數學促進研究所提出。為了紀念百年前希爾伯特提出的23問題。每一道題的賞金均為百萬美金。

1、 黎曼猜想。
見 二 的 3
透過此猜想，數學家認為可以解決素數分布之謎。
這個問題是希爾伯特23個問題中還沒有解決的問題。透過研究黎曼猜想數
學家們認為除了能解開質數分布之謎外，對於解析數論、函數理論、
橢圓函數論、群論、質數檢驗等都將會有實質的影響。

2、楊-密爾斯理論與質量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年楊振寧與密爾斯提出楊-密爾斯規范理論，楊振寧由
數學開始，提出一個具有規范性的理論架構，後來逐漸發展成為量子
物理之重要理論，也使得他成為近代物理奠基的重要人物。

楊振寧與密爾斯提出的理論中會產生傳送作用力的粒子，而他們
碰到的困難是這個粒子的質量的問題。他們從數學上所推導的結果
是，這個粒子具有電荷但沒有質量。然而，困難的是如果這一有電荷
的粒子是沒有質量的，那麼為什麼沒有任何實驗證據呢？而如果假定
該粒子有質量，規范對稱性就會被破壞。一般物理學家是相信有質
量，因此如何填補這個漏洞就是相當具挑戰性的數學問題。

3、P 問題對NP 問題(The P Versus NP Problems)
隨著計算尺寸的增大，計算時間會以多項式方式增加的型式的問題叫做「P 問題」。

P 問題的P 是Polynomial Time(多項式時間)的頭一個字母。已
知尺寸為n，如果能決定計算時間在cnd (c 、d 為正實數) 時間以下
就可以或不行時，我們就稱之為「多項式時間決定法」。而能用這個
演算法解的問題就是P 問題。反之若有其他因素，例如第六感參與進來
的演算法就叫做「非決定性演算法」，這類的問題就是「NP 問題」，NP 是
Non deterministic Polynomial time (非決定性多項式時間)的縮寫。

由定義來說，P 問題是NP 問題的一部份。但是否NP 問題裡面有
些不屬於P 問題等級的東西呢？或者NP 問題終究也成為P 問題？這
就是相當著名的PNP 問題。

4、.納維爾–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因為尤拉方程太過簡化所以尋求作修正，在修正的過程中產生了
新的結果。法國工程師納維爾及英國數學家史托克經過了嚴格的數學
推導，將黏性項也考慮進去得到的就是納維爾–史托克方程。

自從西元1943 年法國數學家勒雷（Leray）證明了納維爾–史托
克方程的全時間弱解(global weak solution)之後，人們一直想知道
的是此解是否唯一？得到的結果是：如果事先假設納維爾–史托克方
程的解是強解(strong solution)，則解是唯一。所以此問題變成:弱解與強解之間的差距有多大，有沒有可能弱解會等於強解？換句話說，是不是能得到納維爾–史托克方程的全時間平滑解？再者就是證
明其解在有限時間內會爆掉(blow up in finite time)。

解決此問題不僅對數學還有對物理與航太工程有貢獻，特別是亂
流(turbulence)都會有決定性的影響，另外納維爾–史托克方程與奧
地利偉大物理學家波茲曼的波茲曼方程也有密切的關系，研究納維
爾–史托克（尤拉）方程與波茲曼方程（Boltzmann Equations）兩
者之關系的學問叫做流體極限(hydrodynamics limit)，由此可見納
維爾–史托克方程本身有非常豐富之內涵。

5.龐加萊臆測(Poincare Conjecture)
龐加萊臆測是拓樸學的大問題。用數學界的行話來說：單連通的
三維閉流形與三維球面同胚。
從數學的意義上說這是一個看似簡單卻又非
常困難的問題，自龐加萊在西元1904 年提出之
後，吸引許多優秀的數學家投入這個研究主題。
龐加萊（圖4）臆測提出不久，數學們自然的將
之推廣到高維空間(n4)，我們稱之為廣義龐加萊臆測：單連通的

≥

n(n4)維閉流形，如果與n

≥ 維球面有相同的基本群(fundamental group)則必與n維球面同胚。

經過近60 年後，西元1961 年，美國數學家斯麥爾（Smale）以
巧妙的方法，他忽略三維、四維的困難，直接證明五維(n5)以上的

≥
廣義龐加萊臆測，他因此獲得西元1966 年的費爾茲獎。經過20年之
後，另一個美國數學家佛瑞曼（Freedman）則證明了四維的龐加萊臆
測，並於西元1986年因為這個成就獲得費爾茲獎。但是對於我們真
正居住的三維空間(n3)，在當時仍然是一個未解之謎。

=

一直到西元2003 年4 月，俄羅斯數學家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工學院做了三場演講，在會中他回答了許多數學家的疑問，許
多跡象顯示斐雷曼可能已經破解龐加萊臆測。數天後「紐約時報」首
次以「俄國人解決了著名的數學問題」為題向公眾披露此一消息。同
日深具影響力的數學網站MathWorld 刊出的頭條文章為「龐加萊臆測

被證明了，這次是真的！」[14]。

數學家們的審查將到2005年才能完成，到目前為止，尚未發現
斐雷曼無法領取克雷數學研究所之百萬美金的漏洞。

6.白之與斯溫納頓-戴爾臆測（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的橢圓曲線方程式 y^2=x^3+ax+b ，在計算橢圓之弧長時
就會遇見這種曲線。自50 年代以來，數學家便發現橢圓曲線與數論、

幾何、密碼學等有著密切的關系。例如：懷爾斯（Wiles）證明費馬
最後定理，其中一個關鍵步驟就是用到橢圓曲線與模形式(molarform)之關系－即谷山-志村猜想，白之與斯溫納頓-戴爾臆測就是與
橢圓曲線有關。

60年代英國劍橋大學的白之與斯溫納頓-戴爾利用電腦計算一些
多項式方程式的有理數解。通常會有無窮多解，然而要如何計算無限
呢？其解法是先分類，典型的數學方法是同餘(congruence)這個觀念
並藉此得同餘類(congruence class)即被一個數除之後的余數，無窮
多個數不可能每個都要。數學家自然的選擇了質數，所以這個問題與
黎曼猜想之Zeta 函數有關。經由長時間大量的計算與資料收集，他
們觀察出一些規律與模式，因而提出這個猜測。他們從電腦計算之結
果斷言：橢圓曲線會有無窮多個有理點，若且唯若附於曲線上面的

Zeta 函數ζ (s) = 時取值為0，即ζ (1)

；當s1= 0

7.霍奇臆測(Hodge Conjecture)
「任意在非奇異投影代數曲體上的調和微分形式，都是代數圓之
上同調類的有理組合。」
最後的這個難題，雖不是千禧七大難題中最困難的問題，但卻可
能是最不容易被一般人所了解的。因為其中有太多高深專業而且抽象
參考資料：《數學的100個基本問題》《數學與文化》《希爾伯特23個數學問題回顧》

㈦ 十大數學難題

1、幾何尺規作圖問題

這里所說的「幾何尺規作圖問題」是指做圖限制只能用直尺、圓規，而這里的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。「幾何尺規作圖問題」包括以下四個問題

1.化圓為方－求作一正方形使其面積等於一已知圓；

2.三等分任意角；

3.倍立方－求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。

4.做正十七邊形。

以上四個問題一直困擾數學家二千多年都不得其解，而實際上這前三大問題都已證明不可能用直尺圓規經有限步驟可解決的。第四個問題是高斯用代數的方法解決的，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但後來他的墓碑上並沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。

2、蜂窩猜想

四世紀古希臘數學家佩波斯提出,蜂窩的優美形狀,是自然界最有效勞動的代表。他猜想,人們所見到的、截面呈六邊形的蜂窩,是蜜蜂採用最少量的蜂蠟建造成的。他的這一猜想稱為蜂窩猜想,但這一猜想一直沒有人能證明。1943年,匈牙利數學家陶斯巧妙地證明,在所有首尾相連的正多邊形中,正多邊形的周長是最小的。1943年,匈牙利數學家陶斯巧妙地證明,在所有首尾相連的正多邊形中,正多邊形的周長是最小的。但如果多邊形的邊是曲線時,會發生什麼情況呢?陶斯認為,正六邊形與其他任何形狀的圖形相比,它的周長最小,但他不能證明這一點。而黑爾在考慮了周邊是曲線時,無論是曲線向外突,還是向內凹,都證明了由許多正六邊形組成的圖形周長最校他已將19頁的證明過程放在網際網路上,許多專家都已看到了這一證明,認為黑爾的證明是正確的。

3、孿生素數猜想

1849年，波林那克提出孿生素生猜想（the conjecture of twin primes），即猜測存在無窮多對孿生素數。孿生素數即相差2的一對素數。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孿生素數。1966年，中國數學家陳景潤在這方面得到最好的結果：存在無窮多個素數p，使p+2是不超過兩個素數之積。孿生素數猜想至今仍未解決，但一般人都認為是正確的。

4、費馬最後定理

在三百六十多年前的某一天，費馬突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內容是有關一個方程式 xn +yn = zn

的正整數解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦定理）。

費馬聲稱當n>2時，就找不到滿足

xn +yn = zn

的整數解，例如：方程式

x3 +y3 = z3

就無法找到整數解。

始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數的數學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最後定理也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。

不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，這個數學難題是由英國的數學家威利斯（Andrew Wiles）所解決。其實威利斯是利用二十世紀過去三十年來抽象數學發展的結果加以證明。

5、四色猜想

1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。」

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。

1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。

6、哥德巴赫猜想

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數學家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a) 任何一個>=6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。

(b) 任何一個>=9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。

從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的「明珠」。

㈧ 大學數學問題

求極限x→[(tanx-x)/(xsin²x)]
解：x→0lim[(sinx-xcosx)/(xcosxsin²x)]=x→0lim[(xsinx)/(cosxsin²x-xsin³x+2xcos²xsinx)]
=x→0lim[x/(cosxsinx-xsin²x+2xcos²x)]=x→0lim[x/(xcosx-x³+2x-2xsin²x)]
=x→0lim[1/(cosx-x²+2-2sin²x)]=1/2
【原題可能有誤！分母上的sinx²似乎應該是sin²x，不然求不出來】。
2。設y=ln(secx+tanx)，求y'，y''.
【(secx)'=secxtanx=sec²xsinx，secxcosx=1】
解：y'=(secxtanx+sec²x)/(secx+tanx)=(sec²xsinx+sec²x)/(secx+sinxsecx)=(secxsinx+secx)/(1+sinx)
y''=[(1+sinx)(sec²xsin²x+1+sec²xsinx)-(secxsinx+secx)(cosx)]/(1+sinx)²
=[(1+sinx)(sec²xsin²x+sec²xsinx+1)-(sinx+1)]/(1+sinx)²=(sec²xsin²x+sec²xsinx)/(1+sinx)

㈨ 最難的大學數學題目

難題是相對而言的嘛，想挑戰難題的話，你可以看看美國數學建模歷年題目，都很難，而且很有意思， ;可以看下2012年全國建模B題，好變態呀

㈩ 數學難題大學

(1)
A'(-4，-3)
B'(1，-2)
C'(-1，1)
(2)
P'(a-3,b-4)
此題無需過程，在坐標軸上描點即可，若不懂可追問