競賽數學題
1. 高中數學競賽題
我曾經參加過全國高中數學競賽。初賽的題目比任何學校公開的數學考試的最後一題都難。建議你買一本高中數學競賽題看一下，上面有很多例子。初賽的題目目標是讓百分之五十的人題目意思都看不懂，讓百分之九十九的人根本無從下手如何解題。只讓百分之一的人能做出來。
2. 歷屆高中數學競賽試題及答案
2011年全國高中數學聯賽江西省預賽
試 題
一、填空題（每小題10分，共 分）
、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個．
、設數列 滿足: ,且對於其中任三個連續項 ,都有: .則通項 ．
、以拋物線 上的一點 為直角頂點，作拋物線的兩個內接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點 的坐標為 ．
、設 ，則函數 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱錐 的底面邊長為 ，側棱長為 ，過點 作與側棱 都相交的截面 ，那麼， 周長的最小值是 ．
、滿足 的一組正整數 ．
、用 表示正整數 的各位數字之和，則 ．
二、解答題（共 題，合計 分）
、（20分）、設 ，且滿足： ，求 的值．
、（ 分）如圖， 的內心為 ， 分別是
的中點， ，內切圓 分別與邊 相切於 ；證明： 三線共點．
、（ 分）在電腦屏幕上給出一個正 邊形，它的頂點分別被塗成黑、白兩色；某程序執行這樣的操作：每次可選中多邊形連續的 個頂點（其中 是小於 的一個固定的正整數），一按滑鼠鍵，將會使這 個頂點「黑白顛倒」，即黑點變白，而白點變黑；
、證明：如果 為奇數，則可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色；
、當 為偶數時，是否也能經過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結論．
解 答
、 ．提示：這種四位數 的個數，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個數；即 的非負整解個數，其中 ，易知這種解有 個，即總共有 個這樣的四位數．（註：也可直接列舉．）
、 ． 提示：由條件得，
，
所以
，
故 ，而 ；
；
於是
；
由此得
.
、 ．提示：設 ，則
，
直線 方程為
，
即 ，因為 ，則
，
即
，
代人方程得
，
於是點 在直線 上；
同理，若設 ，則 方程為
，
即點 也在直線 上，因此交點 的坐標為 ．
、 ．提示：由
所以，
，
即
，
當 ，即 時取得等號．
、 ．提示：
．
、 ．提示：作三棱錐側面展開圖，易知 ∥ ，且由周長最小，得 共線，於是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，則
．
、 ．提示：由於 是 形狀的數，所以 必為奇數，而 為偶數， 設 ， ，代人得
，
即
. ①
而 為偶數，則 為奇數，設 ，則
，
由①得，
， ②
則 為奇數，且 中恰有一個是 的倍數，當 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為
，
即 ，於是 ；
若 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無整解；
於是 是唯一解： ．
（另外，也可由 為偶數出發，使
為 的倍數，那麼 是 的倍數，故 是 形狀的偶數，依次取 ，檢驗相應的六個數即可．）
、 ．提示：添加自然數 ，這樣並不改變問題性質；先考慮由 到 這一千個數，將它們全部用三位數表示，得到集 ，易知對於每個 ，首位為 的「三位數」恰有 個： ，
這樣，所有三位數的首位數字和為
.
再將 中的每個數 的前兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合仍是 ，
又將 中的每個數 的首末兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合也是 ，由此知
．
今考慮四位數：在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千個 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得
所以
，
即
，
所以
．
、如圖，設 交於點 ，連 ，由於中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內心，則
.
連 ，在 中，由於切線 ，所以
，
因此 三點共線，即有 三線共點．
、 證明：由於 為質數，而 ，則 ，據裴蜀定理，存在正整數 ，使
, ①
於是當 為奇數時，則①中的 一奇一偶．
如果 為偶數， 為奇數，則將①改寫成：
，
令 ，上式成為 ，其中 為奇數， 為偶數．
總之存在奇數 和偶數 ，使①式成立；據①，
, ②
現進行這樣的操作：選取一個點 ，自 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了奇數次（ 次），從而改變了顏色，而其餘所有頂點都改變了偶數次（ 次）狀態，其顏色不變；稱這樣的 次操作為「一輪操作」，由於每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色．
、當 為偶數時，也可以經過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結論：
如果給定的正多邊形開初有奇數個黑點、偶數個白點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數個白點、偶數個黑點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；
為此，採用賦值法：將白點改記為「 」，而黑點記為「 」，改變一次顏色，相當於將其賦值乘以 ，而改變 個點的顏色，即相當於乘了 個（偶數個） ，由於 ；
因此當多邊形所有頂點賦值之積為 ，即總共有奇數個黑點，偶數個白點時，每次操作後，其賦值之積仍為 ，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白．
但此時可以變成全黑，這是由於，對於偶數 ，則①②中的 為奇數，設 是多邊形的兩個相鄰頂點，自點 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了偶數次（ 次），從而顏色不變，而其餘所有 個頂點都改變了奇數次（ 次）狀態，即都改變了顏色；再自點 開始，按同樣的方法操作 次後，點 的顏色不變，其餘所有 個頂點都改變了顏色；於是，經過上述 次操作後，多邊形恰有 兩個相鄰頂點都改變了顏色，其餘所有 個點的顏色不變．
現將這樣的 次操作合並，稱為「一輪操作」；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續頂點；
於是當多邊形開初總共有偶數個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作後，多邊形所有頂點都成為黑色．
同理得，如果給定的正多邊形開初總共有奇數個白點、偶數個黑點，經過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為「 」，白點賦值為「 」，證法便完全相同）．
3. 初中數學競賽題庫
由圖結合等式關系x^2+y^2+z^2=2xyz得知：x、y與z有關系x^2+y^2=xyz
z^2=xyz，故x^2+y^2=z^2。正整數解為x=1，y=1，z=1。
4. 數學知識競賽題
—— 蔡勒（Zeller）公式
歷史上的某一天是星期幾？未來的某一天是星期幾？關於這個問題，有很多計算公式（兩個通用計算公式和一些分段計算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
公式中的符號含義如下，w：星期；c：世紀-1；y：年（兩位數）；m：月（m大於等於3，小於等於14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月來計算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日來計算）；d：日；[ ]代表取整，即只要整數部分。(C是世紀數減一，y是年份後兩位，M是月份，d是日數。1月和2月要按上一年的13月和 14月來算，這時C和y均按上一年取值。)
算出來的W除以7，余數是幾就是星期幾。如果余數是0，則為星期日。
以2049年10月1日（100周年國慶）為例，用蔡勒（Zeller）公式進行計算，過程如下：
蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1
=49+[12.25]+5-40+[28.6]
=49+12+5-40+28
=54 (除以7餘5)
即2049年10月1日（100周年國慶）是星期5。1956年
最多的吧！
5. 在一次數學知識競賽中，競賽題共30題．規定：答對一道題得4分，不答或答錯一道題倒扣2分，得分不低於60分
設得獎者答對X道題，競賽題共30題，則不答或答錯30-X道題。
答對一道題得4分，則得4X分。
不答或答錯一道題倒扣2分，則倒扣2(30-X)分。
得分不低於60分者得獎，則4X-2(30-X)>=60。
解不等式方程得X>=20，即得獎者至少應答對20道題。
(5)競賽數學題擴展閱讀：
一元一次不等式方程解法：
（1）去分母：根據不等式的性質2和3，把不等式的兩邊同時乘以各分母的最小公倍數，得到整數系數的小等式。
（2）去括弧：根據上括弧的法則，特別要注意括弧外面是負號時，去掉括弧和負號，括弧裡面的各項要改變符號。
（3）移項：根據不等式基本性質1，一般把含有未知數的項移到不等式的左邊，常數項移到不等式的右邊。
（4）合並同類項。
（5）將未知數的系數化為1：根據不等式基本性質2或3，特別要注意系數化為1時，系數是負數，不等號要改變方向。
（6）有些時候需要在數軸上表示不等式的解集。
6. 小學六年級數學競賽題（帶答案的）
一隻小船從甲港到乙港往返一次共用2小時，回來時順水，比去時每小時多行駛8千米，因此第2小時比第1小時多行駛了6千米。甲乙兩港的距離是多少千米？
解：設去的速度為X 回來則為X+8; 兩港的距離為Y千米（單邊）
有一元二次方程
y/x(去的時間)＋y/(x+8)(回來的時間)＝2
(y/x -1)*x=6/2=3（根據條件：第2小時比第1小時多行駛了6千米）
解的 y=15 x=12
則 兩港距離為15千米
7. 小學數學奧林匹克競賽試題與答案
1．一個三位數除以9餘7，除以5餘2，除以4餘3。這樣的三位數共有________個。
2．每千克價分別為2元、3元、2元4角、4元的桔子、蘋果、香蕉、柿子四種水果共買了83千克，用去228元。已知買桔子用去的前與買蘋果用去的錢一樣多，買柿子用去的錢是買香蕉所用的錢的2倍。那麼桔子買了________千克，蘋果買了________千克，香蕉買了________千克，柿子買了________千克。
3．稅法規定，一次性勞務收入若低於800原，免交所得稅。若超過800元，需教所得稅，具體標准為：800～2000的部分按10％計，2000～5000元部分按15％計，5000～10000元部分安20％計。某人一次勞務收入上稅1300元，他在這次勞務中稅後的凈收入為________元。
4．八進制加法是逢八進一，例如：13＋6＝21，77＋4＝103。在下面的八進制加法豎式中，a、b、c、d、e、f這六個數恰好由1、2、3、4、5、6這六個數組成，那麼滿足題中條件的加法式子共有________個。
5．下圖的正六邊形是由24個邊長為1的小等邊三角形組成的。在以格點為頂點、面積與陰影部分相同的三角形中，邊長都不是1的三角形共有________個。
6．1到2000這2000個數中，最大可取出________個數，使得這些數中任意三個數的和都不能被7整除。
7．某商品成本為每個80原，如果按每個100賣，可賣出1000個。當這種商品每個漲價1元，銷售量就減少20個。為了賺取最多的利潤，售價應定為每個________元。
8．一隻小蟲從A處爬到B處。如果它的速度每分增加1米，可提前15分到達。如果它的速度每分再增加2米，則又可提前15分到達。A處到B處之間的路程是________米。
9．甲瓶中酒精濃度為70％，乙瓶中酒精的濃度為60％，兩瓶酒精混合後的濃度為66％。如果兩瓶酒精各用去5升後再混合，則混合後的濃度為66.25％。問：原來甲、乙兩瓶酒精分別有________升與________升。
10．用1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個數字排成一個最小的能被11整除的九位數，這個九位數是________。
11．把1～625這625個自然數按順時針方向依次排列成一個圓圈。從1開始順時針方向擦去1，保留2，再擦去3、4，保留5，擦去6，保留7，再擦去8、9，保留10……這樣擦去一個數，保留一個數，擦去兩個數，保留一個數；再擦去一個數，保留下一個數，擦去兩個數，保留一個數……一直轉圈擦下去，最後剩下的數是________。
12、一根鋼條截下全長的1/8，再接上15米，結果比原來的長度多1/2，求鋼條原來的長度？（接頭不計算）
13、食堂有大小兩堆煤，一共重24噸。大堆煤中用去1/4後，還比小堆煤多4噸。這兩堆煤原來各有多少噸？
8. 有關圓的競賽數學題
證明：設D是FB延長線上的一點。
因為 直線L與三角形ABC的外接圓相切於點B，
所以 角DBA=角ACB，
因為 BE垂直於AC於E，CF垂直於直線L於F，
所以 角BEC+角BFC=90度+90度=180度，
所以 B，E，C，F四點共圓，
所以 角DBE=角ACF，
所以 角DBE--角DBA=角QCF--角ACB
即： 角ABE=角BCF，
又因為 B，E，C，F四點共圓，
所以 角BCF=角BEF，
所以 角ABE=角BEF，
所以 EF//AB。
9. 給我30道數學競賽題（初二）
初二數學學科競賽試題一、選擇題：（每小題3分，共30分）1.下列各組數中，能構成直角三角形的是〖 〗A.4，5，6 B.1，1， C.6，8，11 D.5，12，232. 如下書寫的四個漢字，其中為軸對稱圖形的是〖 〗．A． B． C. D. 3. 下列說法中不正確的是〖 〗.A.9的算術平方根是3 B. 的平方根是 C.27的立方根是 D.立方根等於－1的實數是－14. 估算 的值〖 〗A．在1到2之間 B．在2到3之間 C．在3到4之間 D．在4到5之間5. 為了防控輸入性甲型H1N1流感，某市醫院成立隔離治療發熱流涕病人防控小組，決定從內科5位骨幹醫師中（含有甲）抽調3人組成，則甲一定抽調到防控小組的概率是〖 〗A． B． C． D． 6. 如圖的四個圖象中，不表示某一函數圖象的是〖 〗 A B C D7.已知 是二元一次方程組 的解，則 的值為〖 〗．A．1 B．－1 C． 2 D．38.所示圖形中，表示函數y=mx+n與正比例函數y=mnx（mn≠0）圖象的是〖 〗 A B C D9. 下列說法正確的是〖 〗A.連續拋擲一枚硬幣4次都是正面朝上，第五次一定是反面朝上； B.某種彩票中獎的概率是1%，因此買100張該種彩票一定會中獎； C.天氣預報說明天下雨的概率是50％．所以明天將有一半時間在下雨； D.拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等. 4003050x/時Oy/頃10. 為積極響應黨中央關於支援5·12汶川地震災區抗震救災的號召，某工廠日夜連續加班，計劃為災區生產m頂帳篷.生產過程中的剩餘生產任務y（頂）與已用生產時間x（時）之間的關系如圖所示.則m的值為〖 〗A. 600 B. 800 C. 1000 D.1200 二、填空題：（每小題3分，共30分）11.若x2=3，則x= .12.已知直線y1=2x－1和y2=－x－1的圖象如圖所示，根據圖象知方程組 的解是________.捐款（元）5102050人數6 713. 實驗中學組織愛心捐款支援災區活動，七年級一班55名同學共捐款1180元，捐款情況見下表．表中捐款10元和20元的人數沒填，請你幫助填上表中的數據．14. 在△ABC中，AB=12cm， BC=16cm， AC=20cm， 則△ABC的面積是 .15. 已知一次函數y=x+m和y=－x+n的圖象都經過點A（－2，0）且與y軸分別交於B、C兩點，那麼△ABC的面積是 .16.如果 的平方根是±3，則a＝________.17.如圖，是由四個直角邊分別是3和4的全等的直角三角形拼成的「趙爽弦圖」，小亮隨機的往大正方形區域內投針一次，則針扎在陰影部分的概率是 .18. 在 中， ， ，點 為 的中點， 於點 ，則 等於 19.在數據在實數 ， ， ， ，3.1415， 中無理數出現的頻率是 .20.如圖是某工程隊在「村村通」工程中，修築的公路長度 （米）與時間 （天）之間的關系圖象.根據圖象提供的信息，可知該公路的長度是______米. 28818048x（天）y（米）2
三、作圖題：（6分）21.如圖所示，要在街道旁修建一個牛奶站，向居民區A、B提供牛奶.⑴牛奶站應建在什麼地方，才能使A、B到它的距離之和最短？⑵牛奶站應建在什麼地方，才能使A、B到它的距離相等？街道居民區B ·居民區A ·
四、解答題：22.（6分）計算： － ＋ 23. （6分）解方程組： 24.（8分）已知 中， ， cm， cm．DE為AB的垂直平分線，求AE的長. 25.（8分）一隻口袋中放著若干只紅球和白球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區別，袋中的球已經攪勻，蒙上眼睛從口袋中取出一隻球，取出紅球的概率是 ． （1）取出白球的概率是多少？（2）如果袋中的白球有18隻，那麼袋中的紅球有多少只？ 26.（8分）鞋子的「鞋碼」和鞋長（cm）存在一種換算關系，下表是幾組「鞋碼」與鞋長換算的對應數值：［註：「鞋碼」是表示鞋子大小的一種號碼］鞋長（cm）16192124鞋碼（號）22283238（1）設鞋長為x，「鞋碼」為y，試判斷點（x，y）在你學過的哪種函數的圖象上？（2）求x、y之間的函數關系式；（3）如果某人穿44號「鞋碼」的鞋，那麼他的鞋長是多少？ 27.（8分）在「五一」期間，小明、小亮等同學隨家長一同到某公園遊玩，下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話（如圖），試根據圖中的信息，解答下列問題：⑴ 小明他們一共去了幾個成人，幾個學生？⑵請你幫助小明算一算，用哪種方式購票更省錢？說明理由。爸爸，等一下，讓我算一算，找一種方式是否可以省錢.票價成人：每張35元學生：按成人5折優惠團體票[16人以上含16人]：按成人6折優惠.大人門票是每張35元，學生門票是5折優惠.我們一共12人，共需350元.
O(天)y（米 ）40001000302028.（10分）某農戶種植一種經濟作物，總用水量 （米 ）與種植時間 （天）之間的函數關系式如圖10所示．⑴第 天的總用水量為多少米 ？⑵當 ≥ 時，求 與 之間的函數關系式． ⑶種植時間為多少天時，總用水量達到7000米 ？