數學公理化

① 幾何原本是公理化數學名著,啥是公理化

公理化是一種數學方法。最早出現在二千多年前的歐幾里德幾何學中，當時認為「公理』(如兩點之間可連一直線)是一種不需要證明的自明之理，而其他所謂「定理」 (如三對應邊相等的陌個三角形壘等)則是需要由公理出發來證明的,18世紀德國哲學家康德認為，歐幾里德幾何的公理是人們生來就有的先驗知識，19世紀末，德國數學家希爾伯特(David Hilbert)在他的幾何基礎研究中系統地挺出r數學的公理化方法。

② 公理化思想的內涵是什麼

公理化方法是自然科學, 特別是數學的重要邏輯演繹工具。長期以來人們對公理化方法研究不止,存在不同的看法和爭議,並由此而不斷產生新的科學分支。因此, 公理化方法研究總是充滿生機的。
數學公理化思想的內涵
數學公理化的目的, 就是把一門數學表述為一個演繹系統, 這個系統的出發點則是一組基本概念和若干基本命題, 基本概念必須是對數學實體的高度純化和抽象, 而基本命題則是對基本概念相互關系的制約和規定。顯然, 公理學也並非神學, 因為公理系統乃是數學家的自由創造, 是大量數學知識的理論概括, 是數學科學推理論證的出發點, 並非象神學那樣極力排斥理性, 把一切依據統統歸諸於《聖經》和神的意志。
對於公理學的結構, 可以分為三種, 即含內容的公理學、半形式化公理學和形式化公理學。這三種形式結構, 也就是它形式化發展的三個階段, 即產生階段, 完善階段、形式化階段。含內容的公理學的代表作《原本》, 它流傳甚廣, 以至於今天在「新數」 運動的尾聲中, 世界各國的中學課本中的多數仍然受著它的傳統影響。半形式化公理學的代表作是《幾何學基礎》, 正是因為如此, 才使得希爾伯特成為 現代數學中的公理方法的奠基人」 。 然而, 一個數學分支公理化的完成, 也並不意味著是它的最後終結, 而是促使這一分支進一步地向前發展, 自希爾伯特以後, 公理化方法己滲透到幾乎所有的純數學的領域。形式化公理學的代表作是希爾伯特1 9 0 4 年在海德堡召開的第三屆國際數學會議上所提交的一篇關於大致描畫證明論的論文, 其基本思想就是採用符號語言把一個數學理論的全部命題變成公式的集合, 然後證明這個公式的集合是無矛盾的。由於公理方法的進一步形式化, 不僅推動著數學基礎的研究, 而且還推動著現代演算法論的研究, 並為數學應用於電子計算機等現代科學技術開辟了新的前景。 公理體系是由
（1） 基本概念（基本對象及基本關系）
（2）公理組
（3）定理及證明
構成的。基本概念和公理組構成的公理系統是公理體系的基礎部份。一個公理體系是否「嚴格」 、「科學」,要看它是杏滿足以下三個條件。
（1）相容性：即一個公理體系中不能既推出命題P, 又推出它的否定(非P)。
（2）獨立性：在一個公理體系中被選作邏輯出發點的一組公理中任何一個,不能由其餘公理推出, 即不能有多餘的公理。
（3）完備性：即一個公理體系所含的全部真命題, 應毫無例外地在本體系中得到證明。 只有滿足以上三條件的公理體系在邏輯上才是好的, 希爾伯特公理體系滿足以上三條件。

③ 現代數學的特點，什麼是公理化方法並說公理化方法體現了現代數學的什麼特點

古希臘時候的數學採用的就是公理化方法，就是你學的平面幾何和立體幾何，通過一些明顯「正確」的公理推導出各種定理。體現出現代數學什麼特點？首先沒有一個公認的說法，從什麼年代或者什麼事件後算現代數學（不像物理裡面相對論和量子力學建立後可以算現代物理）。其次數學哲學和數學基礎一直都有爭論，現在比較通用的是採取希爾伯特的形式主義，以zfc作為數學基礎。哲學上佔主導地位的是數學柏拉圖主義

④ 數學的形式化包括"符號化、邏輯化和公理化」三個層面

題目不夠准確。

《普通高中數學課程標准》指出：「形式化是數學的基本特徵之一。在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限於形式化的表述，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里。數學的現代發展也表明，全盤形式化是不可能的。因此，高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程的本質。」

所謂「數學形式」，就是用特定的數學語言,包括數學的符號語言、圖象語言和文字語言,表達自然現象和社會現象的空間結構和數量關系，即具有相對固定樣式的數學概念、法則、結論，它具有如下特徵：

（1）穩定性。數學概念、法則、結論等內容一旦成為「形式」，就有相對穩定的特徵，決不會因環境、條件的變更而發生變化。

（2）概括性。數學形式是無數具體事物經抽象概括的結果，應該是研究數量關系或圖形本質屬性的反應。

（3）簡潔性。最簡單的往往是最深刻的，越簡潔的東西就越具有生命力，越具使用價值。數學形式就以其表述方式的簡潔而稱道。

（4）廣泛性。數學形式的概括性決定了它具有廣泛性，可真正達到華羅庚教授所說的「數學是一個原則，無數內容，一個方法，到處有用。」

（5）可操作性。按照相關數學形式進行的程式化操作可稱為行為模式。人的行為模式有兩種，一種是需要智力投入、思維參與的行為模式；一種是較少需要智力投入、思維參與的行為模式。在數學學習和解決數學問題的所有活動中，創造性思維的含量只佔少部分，運用更多的是程式化的操作。這種操作講究的是熟練、准確、快速、高效。學生大多數解題是按既定法則進行模式化操作。即使是難度較大的需要一定的創造思維，但創造的「根」仍然扎在堅實的基本數學形式的土壤中。基本數學形式是創造的源泉與原型。當然，即便進行的是簡單化、機械化、程序化的操作，也要在其中努力加大智力與思維的含量。

⑤ 什麼是公理化方法

所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設）出發，按照邏輯規則推導出其他命題，建立起一個演繹系統的方法。 恩格斯曾說過：數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。 公理化方法能系統的總結數學知識、清楚地揭示數學的理論基礎，有利於比較各個數學分支的本質異同，促進新數學理論的建立和發展。 現代科學發展的基本特點之一，就是科學理論的數學化，而公理化是科學理論成熟和數學化的一個主要特徵。

⑥ 公理化定義和形式化定義有何不同

公理化方法發展的第一階段是由亞里斯多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世．大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里斯多德總結了幾何學與邏輯學的豐富資料，系統地研究了三段論，以數學及其它演繹的學科為例，把完全三段論作為公理，由此推導出其它所有三段論法，從而使整個三段論體系成為一個公理系統．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統．
亞里斯多德的思想方法深深地影響了當時的希臘數學家歐幾里得．歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應用於幾何學，從而完成了數學史上的重要著作《幾何原本》．他從古代的量地術和關於幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理．他總結概括出14個基本命題，其中有5個公設和9條公理，然後由此出發，運用演繹方法將當時所知的全部幾何學知識推演出來，整理成為演繹體系．《幾何原本》一書把亞里斯多德初步總結出來的公理化方法應用於數學，整理、總結和發展了希臘古典時期的大量數學知識，在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑．
公理學研究的對象、性質和關系稱為「論域」，這些對象、性質和關系，由初始概念表示．例如歐氏《幾何原本》中只需取「點」、「直線」、「平面」；「在……之上」、「在……之間」、「疊合」作為初始概念．前三個概念所表示的三類對象和後三個概念所表示的三種關系就是這種幾何的論域．按照「一個公理系統只有一個論域」的觀點建立起來的公理學，稱為實質公理學．這種公理學是對經驗知識的系統整理，公理一般具有自明性．因此，歐氏《幾何原本》就是實質公理學的典範．
公理化方法的發展

公理化方法的發展大致經歷了這樣三個階段：實質（或實體）公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段，用它們建構起來的理論體系典範分別是《幾何原本》、《幾何基礎》和ZFC公理系統。
《幾何原本》雖然開創了數學公理化方法的先河，然而它的公理系統還有許多不夠完善的地方，其主要表現在以下幾個方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多餘的；(3)有些定理的證明過程往往依賴於圖形的直觀；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來證明或代替．這些問題成為後來許多數學家研究的課題，並通過這些問題的研究，使公理化方法不斷完善

⑦ 公理化方法

公理化思想就是任何真正的科學都始於原理，以它們為基礎，並由之而導出一切結果。隨著假設演繹模型法的進一步發展，經濟學日益走向公理化方法。

公理化是一種數學方法。最早出現在二千多年前的歐幾里德幾何學中，當時認為「公理』(如兩點之間可連一直線)是一種不需要證明的自明之理，而其他所謂「定理」 (如三對應邊相等的兩個三角形全等)則是需要由公理出發來證明的，18世紀德國哲學家康德認為，歐幾里德幾何的公理是人們生來就有的先驗知識，19世紀末，德國數學家希爾伯特(David Hilbert)在他的幾何基礎研究中系統地提出數學的公理化方法。

公理化方法發展的第一階段是由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世．大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里斯多德總結了幾何學與邏輯學的豐富資料，系統地研究了三段論，以數學及其它演繹的學科為例，把完全三段論作為公理，由此推導出其它所有三段論法，從而使整個三段論體系成為一個公理系統．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統。

亞里斯多德的思想方法深深地影響了當時的希臘數學家歐幾里得。歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應用於幾何學，從而完成了數學史上的重要著作《幾何原本》。他從古代的量地術和關於幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理。他總結概括出10個基本命題，其中有5個公設和5條公理，然後由此出發，運用演繹方法將當時所知的全部幾何學知識推演出來，整理成為演繹體系。《幾何原本》一書把亞里斯多德初步總結出來的公理化方法應用於數學，整理、總結和發展了希臘古典時期的大量數學知識，在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。

⑧ 數學公理化含義

格斯曾說過：數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。
所謂數學公理化就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設）出發，按照邏輯規則推導出其他命題，建立起一個演繹系統

⑨ 公理化方法的介紹

公理化方法 公理化思想 任何真正的科學都始於原理，以它們為基礎，並由之而 導出一切結果來隨著假設演繹模型法的進一步發展，經濟學日益走向公理化方法。 公理化是一種數學方法。最早出現在二千多年前的歐幾里德幾何學中，當時認為「公理』(如兩點之間可連一直線)是一種不需要證明的自明之理，而其他所謂「定理」 (如三對應邊相等的陌個三角形壘等)則是需要由公理出發來證明的,18世紀德國哲學家康德認為，歐幾里德幾何的公理是人們生來就有的先驗知識，19世紀末，德國數學家希爾伯特(David Hilbert)在他的幾何基礎研究中系統地挺出r數學的公理化方法。