數學求和公式

㈠ 數列求和的幾種方法

1. 公式法：
等差數列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2.錯位相減法
適用題型：適用於通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式 { an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如： an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2

4.分組法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合並即可. 例如：an=2^n+n-1

5.裂項法
適用於分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加時抵消中間的許多項。 常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項）
則Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。 注意： 餘下的項具有如下的特點 1餘下的項前後的位置前後是對稱的。 2餘下的項前後的正負性是相反的。
6.數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

例：求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 證明： 當n=1時，有： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5 假設命題在n=k時成立，於是： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 則當n=k+1時有： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證

7.通項化歸
先將通項公式進行化簡，再進行求和。 如：求數列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
8.並項求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n （並項）
求出奇數項和偶數項的和，再相減。

㈡ 常用的數列求和公式

前n項和公式為：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

在等差數列中，若Sn為該數列的前n項和，S2n為該數列的前2n項和，S3n為該數列的前3n項和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也為等差數列。

(2)數學求和公式擴展閱讀：

高考對數列求和問題的考查主要有兩種形式：一種是直接利用等差、等比數列的前n項和公式考查等差、等比數列的前n項和的問題；另一種是利用錯位相減法、倒序相加法、裂項法、分組求和法考查非等差、等比數列的求和問題。

如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。

㈢ 幾個常用數列求和公式

等差數列，
和=（首項+末項）×項數÷2，
末項=首項+（項數-1）×公差，
項數=（末項-首項）÷公差+1，
等比數列，
和=首項×（1-公比^項數）÷（1-公比）

㈣ 數列求和公式

1、等差數列求和公式：（字母描述）

(4)數學求和公式擴展閱讀：

知識點：

等差數列基本公式：

末項=首項+(項數-1)×公差

項數＝（末項－首項）÷公差+1

首項=末項-(項數-1)×公差

和=(首項+末項)×項數÷2

末項:最後一位數

首項：第一位數

項數：一共有幾位數

和：求一共數的總和

㈤ 求和的數列公式

(1) 等比數列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通項公式：an=a1×q^(n-1)；
推廣式： an=am×q^(n-m)；
(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
(q為比值，n為項數）
(4)性質：
①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，則am*an=ap*aq；
②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列.
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am*an=aq^2
(5)"G是a、b的等比中項""G^2=ab（G ≠ 0）".
(6)在等比數列中，首項a1與公比q都不為零.
注意：上述公式中an表示等比數列的第n項。

㈥ 推薦幾個數列求和公式

數列求和常用公式:

1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2

2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6

3） 1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4

4） 1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3

5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4

6） 1+3+6+10+15+......
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6

7）1+2+4+7+11+......
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6

8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)

9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n)
=2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)

10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n

11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3

12）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30

14）1^5+2^5+3^5+..........+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12

15）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1

㈦ 數列求和公式是什麼

求和公式
設首項為,
末項為,
項數為,
公差為,
前項和為,
則有:
①;
②;
③;
④,
其中..
當d≠0時，Sn是n的二次函數，（n，Sn）是二次函數的圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。
注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等於一。
求和推導
證明：由題意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn==n（A1+An）/2
(a1，an，可以用a1+（n-1）d這種形式表示可以發現括弧裡面的數都是一個定值，即A1+An）
2其他結論
首項：
末項：
通項公式：
項數：
公差：
如：1+3+5+7+……99
公差就是3-1
將推廣到，則為：
3特殊性質
1.在數列中,若,則有:
①若,則am+an=ap+aq.
②若m+n=2q,則am+an=2aq.
2.在等差數列中，若Sn為該數列的前n項和，S2n為該數列的前2n項和，S3n為該數列的前3n項和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也為等差數列。求和公式設首項為,
末項為,
項數為,
公差為,
前項和為,
則有:①;②;③;④,
其中..當d≠0時，Sn是n的二次函數，（n，Sn）是二次函數的圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等於一。求和推導證明：由題意得：Sn=a1+a2+a3+。。。+an①Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。。。+a1②①+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2Sn==n（A1+An）/2
(a1，an，可以用a1+（n-1）d這種形式表示可以發現括弧裡面的數都是一個定值，即A1+An）2其他結論首項：末項：通項公式：項數：公差：如：1+3+5+7+……99
公差就是3-1將推廣到，則為：3特殊性質1.在數列中,若,則有:①若,則am+an=ap+aq.②若m+n=2q,則am+an=2aq.2.在等差數列中，若Sn為該數列的前n項和，S2n為該數列的前2n項和，S3n為該數列的前3n項和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也為等差數列。