八年級數學北師大版下冊

A. 八年級數學下冊北師大版概念歸納

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

不等式：用不等號連接的式子叫做不等式

不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解

解不等式：求不等式解集的過程

一元一次不等式；只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是一定不等式

一元一次不等式組：關於同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組

一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分

解不等式組：球不等式組解集的過程

第二章 分解因式

分解因式;把一個多項式化成幾個整式的積的形式

提公因式法：把一個多項式的公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法

運用公式法：把乘法公示反過來把某些多項式分解因式的方法

第三章 分式

分式：整式A除以整式B，如果除式B中含有字母，那麼稱A/B為整式

分式的約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去

分式的通分：根據分式的基本性質，異分母分式可以化為同分母分式，這一過程稱為分式的通分

分式方程：分母中含有未知數的方程

第四章 相似圖形

線段的比：如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB，CD的長度分別是m，n，那麼就說這兩條線段的比 AB:CD=m:n

比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等於c與d的比，即a/b=c/d，那麼這四條線段a，b， c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段

黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那麼稱線段AB被點C黃金分割

相似多邊形：各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形

相似三角形：三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形

第五章 數據的收集與處理

普查：對考察對象進行的全面調查

總體：所要考察對象的全體

個體：組成總體的每一個考察對象

抽樣調查：從總體中抽取部分個體進行調查

頻數：每個對象出現的次數

頻率：每個對象出現的次數與總次數的比值

第六章 證明（一）

命題：判斷一件事情的句子

公理：公認的真命題

定理：經過證明的真命題

推論：由一個公理或定理直接推出的定理

B. 八年級數學下冊北師大版概念歸納有哪些

北師大版初中數學定理知識點匯總八年級(上冊)
第一章 勾股定理
※直角三角形兩直角邊的平和等於斜邊的平方。即：
（由直角三角形得到邊的關系）
如果三角形的三邊長a，b，c滿足 ，那麼這個三角形是直角三角形。
滿足條件 的三個正整數，稱為勾股數。常見的勾股數組有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（這些勾股數組的倍數仍是勾股數）
第二章 實數
※算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等於a，即x2=a，那麼正數x叫做a的算術平方根，記作 。0的算術平方根為0；從定義可知，只有當a≥0時,a才有算術平方根。
※平方根：一般地，如果一個數x的平方根等於a，即x2=a，那麼數x就叫做a的平方根。
※正數有兩個平方根（一正一負）；0隻有一個平方根，就是它本身；負數沒有平方根。
※正數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數。

第三章 圖形的平移與旋轉
平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定距離，這樣的圖形運動稱為平移。
平移的基本性質：經過平移，對應線段、對應角分別相等；對應點所連的線段平行且相等。
旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。
這個定點叫旋轉中心，轉動的角度叫旋轉角。
旋轉的性質：旋轉後的圖形與原圖形的大小和形狀相同；
旋轉前後兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等；
對應點到旋轉中心的連線所成的角度彼此相等。
（例：如圖所示，點D、E、F分別為點A、B、C的對應點，經過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。）
第四章 四平邊形性質探索
※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。
※平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。
※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。
菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
※菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。
菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。
※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
四條邊都相等的四邊形是菱形。
※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。
※矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
※矩形的判定：有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。
對角線相等的平行四邊形是矩形。
四個角都相等的四邊形是矩形。
※推論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
※正方形常用的判定：
有一個內角是直角的菱形是正方形；
鄰邊相等的矩形是正方形；
對角線相等的菱形是正方形；
對角線互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖3所示)：
※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。
同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。
※多邊形內角和：n邊形的內角和等於（n－2）·180°
※多邊形的外角和都等於360°
※在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前後的圖形互相重合，那麼這個圖開叫做中心對稱圖形。
※中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段被對稱中心平分。
第五章 位置的確定
※平面直角坐標系概念：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系，水平的數軸叫x軸或橫軸；鉛垂的數軸叫y軸或縱軸，兩數軸的交點O稱為原點。
※點的坐標：在平面內一點P，過P向x軸、y軸分別作垂線，垂足在x軸、y軸上對應的數a、b分別叫P點的橫坐標和縱坐標，則有序實數對（a、b）叫做P點的坐標。
※在直角坐標系中如何根據點的坐標，找出這個點（如圖4所示），方法是由P（a、b），在x軸上找到坐標為a的點A，過A作x軸的垂線，再在y軸上找到坐標為b的點B，過B作y軸的垂線，兩垂線的交點即為所找的P點。
※如何根據已知條件建立適當的直角坐標系？
根據已知條件建立坐標系的要求是盡量使計算方便，一般地沒有明確的方法，但有以下幾條常用的方法：①以某已知點為原點，使它坐標為（0,0）；②以圖形中某線段所在直線為x軸（或y軸）；③以已知線段中點為原點；④以兩直線交點為原點；⑤利用圖形的軸對稱性以對稱軸為y軸等。
※圖形「縱橫向伸縮」的變化規律:
A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別變成原來的n倍時，所得的圖形比原來的圖形在橫向：①當n>1時，伸長為原來的n倍；②當0<n<1時，壓縮為原來的n倍。
B、將圖形上各個點的坐標的橫坐標不變，而縱坐標分別變成原來的n倍時，所得的圖形比原來的圖形在縱向：①當n>1時， 伸長為原來的n倍；②當0<n<1時，壓縮為原來的n倍。
※圖形「縱橫向位置」的變化規律:
A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別加上a，所得的圖形形狀、大小不變，而位置向右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|個單位。
B、將圖形上各個點的坐標的橫坐標不變，而縱坐標分別加上b，所得的圖形形狀、大小不變，而位置向上（b>0）或向下(b<0)平移了|b|個單位。
※圖形「倒轉與對稱」的變化規律:
A、將圖形上各個點的橫坐標不變，縱坐標分別乘以-1，所得的圖形與原來的圖形關於x軸對稱。
B、將圖形上各個點的縱坐標不變，橫坐標分別乘以-1，所得的圖形與原來的圖形關於y軸對稱。
※圖形「擴大與縮小」的變化規律:
將圖形上各個點的縱、橫坐標分別變原來的n倍（n>0），所得的圖形與原圖形相比，形狀不變；①當n>1時，對應線段大小擴大到原來的n倍；②當0<n<1時，對應線段大小縮小到原來的n倍。

第六章 一次函數
若兩個變數x,y間的關系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,則稱y是x的一次函數(x為自變數,y為因變數)。特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函數。

※正比例函數y=kx的圖象是經過原點(0,0)的一條直線。
※在一次函數y=kx+b中: 當k>0時,y隨x的增大而增大; 當k<0時,y隨x的增大而減小。

第七章 二元一次方程組
※含有兩個未知數,並且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。 兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組。
※解二元一次方程組：①代入消元法； ②加減消元法（無論是代入消元法還是加減消元法，其目的都是將「二元一次方程」變為「一元一次方程」，所謂之「消元」）
※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數（在設未知數時，大多數情況只要設問題為x或y；但也有時也須根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮）；②尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程）。
※處理問題的過程可以進一步概括為：

第八章 數據的代表
※加權平均數：一組數據 的權分加為 ，則稱 為這n個數的加權平均數。 （如：對某同學的數學、語文、科學三科的考查，成績分別為72，50，88，而三項成績的「權」分別為4、3、1，則加權平均數為： ）
※一般地，n個數據按大小順序排列，處於最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。
※一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。
※眾數著眼於對各數據出現次數的考察，中位數首先要將數據按大小順序排列，而且要注意當數據個數為奇數時，中間的那個數據就是中位數；當數據個數為偶數時，居於中間的兩個數據的平均數才是中位數，特別要注意一組數據的平均數和中位數是唯一的，但眾數則不一定是唯一的。

C. 北師大版八年級下冊數學具體內容

第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
一、一般地，用符號「＜」（或「≤」）,「＞」（或「≥」）連接的式子叫做不等式。
能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解. 不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一起，構成不等式的解集. 求不等式解集的過程叫解不等式.
由幾個一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組
不等式組的解集 :一元一次不等式組各個不等式的解集的公共部分。
等式基本性質1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的結果仍是等式. 基本性質2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數（除數不為0），所得的結果仍是等式.
二、不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變. （註：移項要變號，但不等號不變。）性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.不等式的基本性質<1>、 若a>b, 則a+c>b+c；<2>、若a>b, c>0 則ac>bc若c<0, 則ac<bc
不等式的其他性質：反射性：若a>b,則b<a;傳遞性:若a>b,且b>c,則a>c
三、解不等式的步驟:1、去分母; 2、去括弧; 3、移項合並同類項; 4、系數化為1。 四、解不等式組的步驟:1、解出不等式的解集2、在同一數軸表示不等式的解集。 五、列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：（1） 審題；（2）設未知數，找（不等量）關系式；（3）設元，(根據不等量)關系式列不等式(組)（4）解不等式組；檢驗並作答。
六、常考題型： 1、 求4x-6 7x-12的非負數解. 2、已知3（x-a）=x-a+1r的解適合2（x-5） 8a,求a 的范圍.
3、當m取何值時，3x+m-2（m+2）=3m+x的解在-5和5之間。

第二章 分解因式
一、公式：1、 ma+mb+mc=m（a+b+c）2、a2－b2=（a+b）（a－b）3、a2±2ab+b2=（a±b）2 二、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。 1、把幾個整式的積化成一個多項式的形式，是乘法運算.2、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc m（a+b+c）4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。
三、把多項式的各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的各項的公因式.提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式. 找公因式的一般步驟：（1）若各項系數是整系數，取系數的最大公約數；（2）取相同的字母，字母的指數取較低的；（3）取相同的多項式，多項式的指數取較低的.（4）所有這些因式的乘積即為公因式.
四、分解因式的一般步驟為:（1）若有「-」先提取「-」，若多項式各項有公因式,則再提取公因式.（2）若多項式各項沒有公因式,則根據多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.（3）每一個多項式都要分解到不能再分解為止.
五、形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子稱為完全平方式. 分解因式的方法： 1、提公因式法。2、運用公式法。
第三章 分式
註：1°對於任意一個分式，分母都不能為零.
2°分式與整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.
3°分式的值為零含兩層意思：分母不等於零；分子等於零。（ 中B≠0時，分式有意義；分式 中，當B=0分式無意義;當A=0且B≠0時，分式的值為零。）
常考知識點：1、分式的意義,分式的化簡。2、分式的加減乘除運算。3、分式方程的解法及其利用分式方程解應用題。

第四章 相似圖形
一、 定義 表示兩個比相等的式子叫比例.如果a與b的比值和c與d的比值相等，那麼 或a∶b=c∶d,這時組成比例的四個數a,b,c,d叫做比例的項，兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項.即a、d為外項，c、b為內項. 如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那麼就說這兩條線段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或寫成 = ，其中，線段AB、CD分別叫做這兩個線段比的前項和後項.如果把 表示成比值k，則 =k或AB=k•CD. 四條線段a,b,c,d中，如果a與b的比等於c與d的比，即 ,那麼這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段. 黃金分割的定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果 ,那麼稱線段AB被點C黃金分割（golden section）,點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.其中 ≈0.618. 引理：平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例. 相似多邊形： 對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形. 相似多邊形:各角對應相等、各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。 相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
二、比例的基本性質：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等於0），那麼 .如果（b,d都不為0），那麼ad=bc.2、合比性質：如果 ,那麼 。3、等比性質：如果 =…= （b+d+…+n≠0），那麼 。4、更比性質：若 那麼 。5、反比性質：若 那麼
三、求兩條線段的比時要注意的問題：（1）兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，如果單位長度不同，應先化成同一單位，再求它們的比；（2）兩條線段的比，沒有長度單位，它與所採用的長度單位無關；（3）兩條線段的長度都是正數，所以兩條線段的比值總是正數.
四、相似三角形（多邊形）的性質：相似三角形對應角相等，對應邊成比例,相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比都等於相似比。相似多邊形的周長比等於相似比，面積比等於相似比的平方.
五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL
六、相似三角形的判定方法，判斷方法有：1.三邊對應成比例的兩個三角形相似；2.兩角對應相等的兩個三角形相似；3.兩邊對應成比例且夾角相等；4.定義法: 對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。5、定理：平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。 在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、兩個全等三角形一定相似.2、兩個等腰直角三角形一定相似.3、兩個等邊三角形一定相似.4、兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似.
七、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於位似比。 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心，這時的相似比又稱為位似比。
八、常考知識點：1、比例的基本性質，黃金分割比，位似圖形的性質。2、相似三角形的性質及判定。相似多邊形的性質。
第五章四邊形

D. 北師大版八年級下冊數學書圖片

圖片在後面

《義務教育課程標准實驗教科書·數學》八年級下冊簡介

課程教材研究所左懷玲

《義務教育課程標准實驗教科書?數學》八年級下冊包括5章，約需61課時，供八年級下學期使用。具體內容如下：

第16章分式（約13課時）

第17章反比例函數（約8課時）

第18章勾股定理（約8課時）

第19章四邊形（約17課時）

第20章數據的分析（約15課時）

本冊書的5章內容涉及《數學課程標准》中「數與代數」「空間與圖形」「統計與概率」「實踐與綜合應用」四個領域的內容。其中對於「實踐與綜合應用」領域的內容，本冊書在第19章和第20章分別安排了一個課題學習，並在每一章的最後安排了2～3個數學活動，通過這些課題學習和數學活動落實「實踐與綜合應用」的要求。這5章大體上採用相近內容相對集中的方式安排，前兩章基本屬於「數與代數」領域，隨後的兩章基本屬於「空間與圖形」領域，最後一章是「統計與概率」領域，這樣安排有助於加強知識間的縱向聯系。在各章具體內容的編寫中，又特別注意加強各領域之間的橫向聯系。

一、內容分析

「第16章分式」

本章主要研究分式及其基本性質，分式的加、減、乘、除運算，分式方程等內容。這些內容分為三節安排。

第16.1節類比著分數的概念給出了分式的概念，類比著分數的基本性質探討了分式的基本性質，類比著分數的約分、通分介紹了分式的通分、約分等，這些內容為後面兩節的學習打下理論基礎。第16．2節討論分式的四則運演算法則，教科書從實際問題出發，首先研究了分式的乘除運算，類比著分數的乘除，探討了分式的乘除運演算法則；接下去，教科書也是從實際問題出發，採用與分數加減相類比的方法，研究了分式的加減運算，得出了運演算法則，並學習分式的四則混合運算；最後，教科書結合分式的運算，研究了整數指數冪的問題，將正整數指數冪的運算性質推廣到整數范圍，並完善了科學記數法。本節內容是全章的重點，其中分式的混合運算也是全章的一個難點。第16．3節討論分式方程的概念和解法，主要涉及可以化為一元一次方程的分式方程。教科書從實際問題出發，分析問題中的數量關系，列出分式方程，由此引出分式方程的概念，接下去研究分式方程的解法，教科書採用與學生已有經驗相聯系的方式，探討了如何將分式方程轉化為整式方程，從而得到分式方程的解的問題。解分式方程中要應用分式的基本性質，並且出現了必須驗根的情況，這是以前學習的方程中沒有遇到的問題，教科書結合具體例子，對分式方程為什麼需要驗根進行了解釋。分式方程提供了一種解決實際問題的數學模型，它具有整式方程不可替代的特殊作用，根據實際問題列出分式方程，是本章教學中的另一個難點。

「第17章反比例函數」

本章的主要內容包括反比例函數的概念、圖象和性質，以及用反比例函數分析和解決實際問題等。本章是繼八（上）「第11章一次函數」後的又一章函數的內容。全章分為兩節：第17.1節反比例函數，第17.2節實際問題與反比例函數，全章內容緊緊圍繞著實際問題展開，實際問題是貫穿全章的一條主線。

第17.1節主要研究反比例函數的概念、圖象和性質。本節中，教科書首先從幾個學生熟悉的實際問題出發，分析實際問題中變數間的對應關系，列出反比例函數的解析式，從而引進反比例函數的概念，使學生對反比例函數的認識經歷一個由感性到理性的過程；接下去，教科書利用描點法畫出了函數和的圖象，通過探究兩個函數圖象共同特徵，給出了反比例函數的圖象屬於雙曲線的事實，並進一步得到函數和的圖象關於x軸和y軸對稱的結論，接下去，教科書又讓學生利用這個結論畫出函數和的圖象，並進一步通過分析畫出的這四個函數的圖象，得到反比例函數的性質。第17.2節的內容是利用反比例函數分析、解決實際問題。本節中，教科書以例題的方式，給出了四個實際問題，這四個問題基本上是按照數量關系由簡單到復雜的順序安排的（依次是圓柱的底面積與高，做工時間與做工速度，動力是動力臂，輸出功率與電阻），它們從不同的方面體現了反比例函數是解決實際問題有效的數學模型。

「第18章勾股定理」

本章主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它們的發現、證明和應用。全章分為兩節，第18.1節是勾股定理，第18.2節是勾股定理的逆定理。

在18.1節中，教科書從畢達哥拉斯觀察地面發現勾股定理的傳說談起，讓學生通過觀察計算一些以直角三角形兩條直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的正方形的面積的關系，發現兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等於以斜邊為邊長的正方形的面積，從而發現勾股定理，這時教科書以命題1的形式呈現了勾股定理。關於勾股定理的證明方法有很多，教科書正文中介紹了我國古人趙爽的證法。通過推理證實命題1的正確性後，教科書順勢指出什麼是定理，並明確命題1就是勾股定理。之後，通過三個探究欄目，研究了勾股定理在解決實際問題和解決數學問題（畫出長度是無理數的線段等）中的應用，使學生對勾股定理的作用有一定的認識。第18.2節是研究勾股定理的逆定理，教科書從古埃及人畫直角的方法說起，給出如果一個三角形的三邊滿足，那麼這個三角形是直角三角形的結論，然後讓學生畫出一些兩邊的平方和等於第三邊的平方的三角形，探索這些三角形的形狀，可以發現畫出的三角形都是直角三角形，從而猜想如果三角形的三邊滿足這種關系，那麼這個三角形是直角三角形，這樣就探索得出了勾股定理的逆定理。此時這個逆定理是以命題2的方式給出的，教科書通過對照命題1和命題2的題設、結論，給出了原命題和逆命題的概念。命題2是否正確，需要證明，教科書利用全等三角形證明了命題2，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形的方法，這在數學和實際中有廣泛應用，教科書通過兩個例題，讓學生學會運用這種方法解決問題。

「第19章四邊形」

本章主要研究一些特殊四邊形的概念、性質和判定方法。對於特殊的四邊形，教科書按照對邊之間的平行關系把它們分成兩類：兩組對邊分別平行的四邊形——平行四邊形，一組對邊平行、另一組對邊不平行的四邊形——梯形。對於平行四邊形，除了研究一般的平行四邊形外，還研究了矩形、菱形和正方形等幾種特殊的平行四邊形。

第19.1節主要研究一般平行四邊形的概念、性質和判定。教科書從實際生活中的圖形出發，抽象概括出平行四邊形的概念，通過一系列的探究活動，得出平行四邊形的性質和判定方法，並對所得結論進行適當的推理證明；作為判定方法的一個應用，教科書通過一個例題得出了三角形中位線定理。第19.2節主要研究矩形、菱形、正方形的概念、性質和判定，本節是在前一節的基礎上，進一步研究這幾種特殊的平行四邊形。教科書首先研究了矩形和菱形，它們都是有一個特殊條件的平行四邊形，矩形是有一個角是直角的平行四邊形，菱形是有一組鄰邊相等的特殊的平行四邊形。在此基礎上，教科書研究了同時具有兩個特殊條件的平行四邊形，即正方形，它是有一個角是直角的特殊菱形，又是有一組鄰邊相等的特殊矩形。第19.3節研究梯形，梯形是與平行四邊形並列的另一種特殊四邊形，它有一組對邊平行，另一組對邊不平行，本節重點研究了一種特殊的梯形——等腰梯形，探究得出等腰梯形的性質和判定方法。教科書在最後一節，即第19.4節安排了一個課題學習：重心。通過尋找幾何圖形的重心的活動，了解規則的幾何圖形的重心就是它的幾何中心，體會數學與物理學科之間的聯系。

「第20章數據的分析」

本章主要研究平均數（主要是加權平均數）、中位數、眾數以及極差、方差等統計量的統計意義。全章分為三節。

第20.1節是研究代表數據集中趨勢的統計量：平均數、中位數和眾數。本節中，教科書首先給出一個實際問題，通過分析解決這個實際問題，引進加權平均數的概念。為了突出「權」的作用和意義，教科書通過兩個例題，從不同方面體現「權」的作用。接下去，教科書對加權平均數進行擴展，包括如何將算數平均數與加權平均數統一起來，如何求區間分組的數據的加權平均數，如何利用計算器的統計功能求平均數，如何利用樣本平均數估計總體平均數的問題等。對於中位數和眾數，教科書通過幾個具體實例，研究了它們的統計意義。在本節最後，教科書通過一個具體實例，研究了綜合利用平均數、中位數和眾數解決問題的例子，並對這三種統計量進行了概括總結，突出了它們各自的統計意義和各自的特徵。第20.2節是研究刻畫數據波動程度的統計量：極差和方差。教科書首先利用溫差的例子研究了極差的統計意義。方差是統計中常用的一種刻畫數據離散程度的統計量，教科書對方差進行了比較詳細的研究。首先通過一個實際問題提出對兩組數據的波動情況的研究，並畫出散點圖直觀地反映數據的波動情況，在此基礎上，教科書引進了利用方差刻畫數據離散程度的方法，介紹了方差的公式，並從方差公式的結構上分析了方差是如何刻畫數據的波動的。隨後，又介紹了利用計算器的統計功能求方差的方法。本節最後，教科書利用所學知識解決本章前言中提出的問題，並研究了用樣本方差估計總體方差的問題。教科書在最後一節安排了一個具有一定綜合性和實踐性的「課題學習」。這個「課題學習」選用了與學生生活聯系密切的體質健康問題。由於本章是統計部分的最後一章，因此這個課題學習的綜合性比前面兩章統計中的課題學習更強。為了便於教學操作，教科書根據《中學生體質健康登記表》提供了一個樣例。

二、本書編寫特點

1．加強與實際的聯系，體現知識的形成和應用

密切聯系實際，反映知識的來龍去脈，體現知識的形成和應用過程，是本套教科書的一個特點，也是本冊書的一個主要特點。本書各章內容編寫時，對於概念的引入，知識的形成等均注意從實際問題出發，體現數學來源於實際，同時又注意將所得數學結論運用於實際，通過解決實際問題，體現數學服務於實際。例如，在「分式」一章中，對於分式概念的引入，教科書安排了幾個實際問題，通過分析實際問題中的數量關系，列出分式，從而引出分式的概念，體現分式的概念是由於客觀實際的需求而產生的；在討論分式方程時，更是結合實際問題，體現分式方程是解決實際問題的數學模型。在「反比例函數」一章中，反比例函數的概念是通過幾個實際問題抽象出來的，本章還專門安排了一節「實際問題與反比例函數函數」，突出了反比例函數是研究實際問題的數學模型。在「勾股定理」一章中，對於勾股定理及其逆定理的發現是結合實際生活展開的，同時也編寫了這兩個定理在解決實際問題中的應用。在「四邊形」一章中，充分體現了四邊形，尤其是平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等與生活的密切聯系。由於統計與現實生活的聯系是非常緊密的，在「數據的分析」一章中，注意發揮典型案例的作用，對於加權平均數、中位數、眾數、方差等統計量的學習，都是在分析實際案例的過程中展開的，在解決實際問題的過程中理解統計的概念和原理。因此，本冊書編寫時，選擇了許多富有時代氣息的、典型的、學生熟悉的或感興趣的實際問題，有些實際問題是用來創設問題背景，為概念的引出或知識的形成服務的，有些實際問題是為數學知識與方法的應用而設計的。

2．注意揭示數學的本質

數學是研究現實世界中的數量關系和空間形式的一門科學，數學來源於豐富的物質世界，數學本身存在著嚴密的邏輯關系，只有深刻地揭示了數學知識的本質，理清了數學知識之間的邏輯關系，才能真正地理解數學，更好地利用數學解決問題。本書在編寫的過程中，充分注意尊重數學的內在體系結構，挖掘數學知識的內在聯系，揭示數學知識的本質。例如，在「分式」一章中研究分式的概念和分式的基本性質時，教科書從分數與分式的關系入手，利用了分數與分式是具體與抽象、特殊與一般的關系（即相對於分式而言分數是具體的、特殊的基礎對象），揭示了分式是把具體的分數一般化後的抽象代表。根據分數與分式的這種關系，分數的有關結論應該與分式的相關結論相對應，即兩者具有一致性，這也就是我們常說的數式通性，因此就可以類比分數的概念、分數的基本性質和分數的運演算法則，得出分式的概念、分式的基本性質和分式的運演算法則。對於解分式方程出現增根的問題，教科書結合具體例子剖析了出現增根的原因，揭示了問題的本質。在「反比例函數」一章中，教科書在研究反比例函數的定義、圖象和性質時，充分滲透了「變化與對應」基本思想，揭示了函數概念的實質就是運動變化與聯系對應。在「四邊形」一章中，對於平行四邊形、矩形、菱形、正方形等概念，教科書注意在原有屬概念基礎上通過附加一些條件（種差）擴大概念的內涵、減少概念的外延來引出新的種概念，揭示了這幾種特殊平行四邊形之間的聯系。在「數據的分析」一章，強調了加權平均數、中位數、眾數、方差等統計量的意義，淡化它們的計算技巧，揭示了各統計量的本質特徵，體現了統計的思想。總之，本冊書在編寫時，力求反映知識之間的相互聯系，滲透數學思想方法，揭示數學知識的本質。

3．為學生創設探索和交流的機會，加大學生思維的空間

提倡學生探究式的學習方式，留給學生足夠的探索交流的空間，是本冊書的一個突出特點。對於本冊書中重要的概念、性質、定理，教科書大多是通過設置「觀察」「思考」「討論」「探究」「歸納」等欄目，讓學生通過探索活動來發現結論，經歷知識的「再發現」過程，在探究活動的過程中發展創新思維能力，改變學生的學習方式。

本冊書中「分式」和「反比例函數」兩章屬於「數與代數」的內容，這些也是傳統的內容，與原教材相比，這兩章內容在編寫時，增加了讓學生通過探索活動歸納得出結論的過程，也就是增加了合情推理的成分。比如在討論分式的基本性質時，教科書設置了一個「思考」欄目，在欄目中要求學生「類比分數的基本性質，你能想出分式有什麼性質嗎？」，通過學生討論交流，歸納得出「分式的分子與分母同乘（或除以）一個不為0的整式，分式的值不變」等分式的性質，培養了學生的探究能力和創新意識。再比如，探討反比例函數的性質時，教科書設置了一個「觀察」欄目，要求學生通過觀察和以及和的圖象，探究反比例函數的性質，最後又設置一個「歸納」欄目，歸納總結反比例函數的性質，這樣就讓學生經歷了一個探索發現結論的過程。

「勾股定理」「四邊形」兩章屬於「空間與圖形」領域的內容，與原教科書相比，這兩章在內容處理上的一個顯著變化是加強了實驗幾何的成分，將實驗幾何與論證幾何有機結合。論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著重要作用，而實驗幾何則是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺思維和創造性思維方面起著重大的作用。對於幾何中的結論，教科書多數是先讓學生通過畫圖、折紙、剪紙、度量或做試驗等活動，探索發現幾何結論，然後再對結論進行說明、解釋或論證，為由實驗幾何到論證幾何的過渡做好鋪墊。例如，在勾股定理的發現中，教科書分別設置了「觀察」和「探究」欄目，要求學生通過觀察等腰直角三角形的性質以及通過一些計算面積等探究活動，發現勾股定理，最後又介紹了趙爽證明勾股定理的方法，這樣就將實驗幾何與論證幾何相結合。再比如，在「四邊形」一章中，在探索特殊平行四邊形的性質和判定時，充分利用了圖形的變換，以菱形的性質為例，教科書設置一個「探究」欄目，要求學生通過對折、剪紙等活動，發現菱形的軸對稱性，然後利用菱形的軸對稱性，探究發現菱形四條邊都相等、對角線互相垂直、對角線平分對角的性質等，並在邊框中提問學生能否證明這些結論。這樣也使學生經歷了一個通過觀察、操作、變換等活動，探究發現圖形的性質，再對發現的性質進行證明的過程，使直觀操作和邏輯推理有機的整合在一起。

「數據的分析」是「統計與概率」的內容，對於統計內容的編寫，教科書強調讓學生通過統計調查活動，經歷數據處理的基本過程，在收集、整理、描述和分析數據的統計活動中，學習有關統計的知識和方法，建立統計的觀念。這就為學生提供了廣闊的活動空間。

另外，本冊教課書在「四邊形」和「數據的分析」兩章中分別設計了「課題學習」，各章最後都設計了2～3個有一定開放性和探究性的「數學活動」，這些「課題學習」和「數學活動」具有一定的綜合性和實踐性，為學生提供了實踐活動和探索交流的機會，對引導學生探究式的學習方式有一定的促進作用。

三、幾個值得關注的問題

1．加強知識之間的相互聯系，在已有經驗的基礎上進行教學

本冊書是八年級下冊，其中的5章內容與學生已經學過的內容有著千絲萬縷的聯系。例如，在「分式」一章中，分式的有關概念、性質和運演算法則與分數的相應內容緊密相關，分式方程最後要轉化為整式方程才得以解決，在分式方程的編寫思路上，同整式方程一樣，也強調了分式方程是解決實際問題的數學模型的思想；「反比例函數」是本套教科書繼一次函數後的又一章函數的內容，它的編寫思路與一次函數有許多相似的地方，都強調了函數中的「變化與對應」的思想，都突出了函數是解決變數間存在單值對應關系的數學模型的思想；對於四邊形的知識，如一些特殊四邊形的概念、平行四邊形、梯形的高、面積計算等等，學生在小學已經學過，在七年級下冊「三角形」一章中，學生又學習了四邊形的內角和等內容，因此，在「四邊形」一章中，這些內容未作重復而是直接使用了；對於「勾股定理」，學生在七年級下冊「第10章實數」中已經有所接觸（比如學生可以利用勾股定理在數軸上做出表示無理數的點），本章又在此基礎上進一步提高認識；對於刻畫數據集中趨勢的統計量：平均數、中位數和眾數，學生在前兩個學段已經學習，在「數據的分析」一章中，教科書是在學生已有經驗的基礎上，在研究數據集中趨勢的大環境下提高對這些統計量的認識的。綜上分析，教學時可以結合學生的實際情況，進行適當復習，加強知識間的相互聯系與綜合，在學生已有經驗的基礎上進行教學，使學生的學生形成正遷移。

2．對於推理的要求

對於推理能力的培養，本套教科書按照「說點兒理」「說理」「簡單推理」「用符號表示推理」等不同層次分階段逐步加深地安排。本冊書對於推理的要求基本處於學生在初步掌握了推理論證方法的基礎上進一步鞏固和提高的階段。例如，在「四邊形」一章中，內容比較簡單，證明方法也相對比較單一，但對推理證明的訓練還是很重視的，除了要求學生對經過觀察、實驗、探究得出的結論進行證明以外，有些定理的證明，採用了探索式的證明方法，這種方法不是先有了定理再去證明它，而是根據題設和已有知識，經過推理，得出結論。在「勾股定理」一章中，對於勾股定理及其逆定理的證明方法，實際上是過計算進行證明的，這種方法與前面學過的一些判定方法不同。另外，對於互逆命題、互逆定理的概念，教科書是結合勾股定理及其逆定理順勢給出的，目的是使學生對這些邏輯概念有一個感性的認識。學生能夠將命題寫成「如果……那麼……」形式，對於提高學生的邏輯推理能力有一定的益處。因此，教學中要注意引導學生，使學生在熟悉「規范證明」格式的基礎上，推理論證能力有所提高和發展。

3．重視文化傳承，關注人文教育

本套教科書力求能夠成為反映科學發展和文化進步的一面鏡子，既體現數學的科學性和應用性，又體現數學科學中蘊涵的文化。本冊書不僅涉及數學與實際的關系，滲透建模、數形結合、轉化等重要的數學思想，而且涉及勾股定理的發現等重大史實。對於勾股定理，我國古代有許多重要成就，不僅發現了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法進行了證明，尤其在勾股定理的應用方面，對其他國家的影響很大，這些都是我國人民對人類的重要貢獻。在「勾股定理」一章，教科書結合具體內容，介紹了我國古算書《周髀算經》關於「勾三、股四、弦五」的記載，介紹了趙爽弦圖，以及趙爽利用弦圖證明勾股定理的思路。「趙爽弦圖」表現了我國古人對數學的鑽研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲。正因為此，這個圖案被選為2002年在北京召開的世界數學家大會的會徽。另外，在「勾股定理」一章，也介紹了國外的有關研究成果。如勾股定理的發現是從與畢達哥拉斯有關的傳說引入的，勾股定理的逆定理從古埃及人畫直角的方法引入等。這些都是對學生進行文化熏陶的好素材，教學中應注意利用。

E. 北師大版數學八年級下冊電子課本

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