初中數學探究
在新的課程改革實踐中，出現了許多的學習方式，如自主、合作、探究。這幾種學習方式是實施新課程最為核心和最為關鍵的環節。新課程強調學生是學習的主體，提倡學生參與確定學習目標、學習進度和評價目標，倡導學生在學習中積極思考，在解決問題的過程中學習。數學課堂教學過程中，「以問開啟，以題引領」推進課堂教學改革，根據教學內容的不同，指導學生在課堂的前10分鍾預習，讓學生形成主動探究的思維模式，提高學生的學習能力。教師教給學生自學的方法，讓學生寫出本節課將要利用到的重要概念、公式、定理等，嘗試著用自己的思考方式處理例題，如果可行，還可以讓學生嘗試做課後的練習題，寫出通過預習還有哪些不能解決的問題。課堂上，老師組織學生通過交流、展示等方式了解學情，通過學生反饋的情況了解學生會了什麼，什麼還不明白。學生自己可以學會的就不再詳細講，學生不明白的可以在課上詳細講。這種學習強調的是一種有目的、有方向的有序的自學，從而擺正教師主導和學生自主學習的關系，這樣課堂上教與學的針對性就會更強，促進教學效益提升。
『貳』 初中數學探究題
你先拿2009除以3，得到669，餘2.因為120度翻轉，三次後剛好回到原位置！
先確定正三角形的位置，該三角形是關於Y軸對稱的！！也就是說啊、A點與P點關於Y軸對稱！！在這里我就不給你證明了（我是通過正三角形的外接圓證明的）
轉三圈在水平方向前進的前進的距離就是三條邊，那你可以畫著看一下！每轉一圈就相當於前進一條邊的距離！！所以最後的坐標為（2009 ， 0）
還是不理解的話，自己做個正三角形轉下！！
『叄』 變式探究 初中數學
『肆』 如何在初中數學中開展探究性教學
在科學日益發展的今天，實施素質教育已成為21世紀戰略性決策，自素質教育提出以來，素質教育的觀念已深入人心，教育關繫到提高國民素質，增加民族的創新力，關繫到中華民族的生死存亡。隨著知識經濟的發展，科學技術的突飛猛進和日新月異，學生在學校獲得的知識已遠遠不夠，人們只有不斷更新知識，才能跟上時代的步伐。因此，我們在教學中，要讓學生從學會到會學。
數學作為初中課程的一門基礎性學科，自然是實施探究性學習方式的一塊主陣地。那麼,如何在初中數學開展探究性學習呢？現就七年級數學教學中《二元一次方程組和它的解》一節進行探究性教學的演示，以便和廣大同仁共同探討和學習：本節在學習了一元一次方程的概念，一元一次方程的解法以及應用後，進一步學習二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。這一節學習的是掌握二元一次方程(組)的解的概念，明確與一元一次方程的區別與聯系，教材通過與實際生活密切相關的問題,利用學生原有知識與經驗，建構二元一次方程(組)概念及其解的概念，利用新知識的實際背景，增強學生的應用意識，理解數學來源於生活。
由學生感興趣又熟悉的事例出發，創設問題情景，運用已有的一元一次方程知識，共同探索與一元一次有異同點的二元一次方程(組)及其解的概念，通過學習逐一驗證，領會二元一次方程和解與二元一次方程組和解之間的區別與聯系，把數學知識與實際生活結合起來，使數學貼近生活，讓學生獲得數學體驗，同時學生的文字語言與符號語言相互轉化的能力得到提高，運用所學知識解決拓展延伸的問題，使學生進一步理解數學概念，提高解決數學問題的能力。
一、創設問題,激發學生探究興趣
創設問題情景，使抽象的問題形象化，又貼近學生，能提起學生解決問題的興趣。
比如：
老師：同學們喜歡足球嗎？我們今天來研究一個足球問題，好嗎？
[問題1]足球的積分如下:
比賽規定勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分；
遼寧隊在第一輪的賽中共賽9場，得17分，它在這一輪只負了2場，那麼遼寧隊勝了幾場？又平了幾場？
老師：對這個問題同學們能用幾種方法來解？
讓學生獨立思考，讓他們按自己思考的方法來回答，教師根據學生的具體回答來調整課堂教學的程序。
如果學生先用算術方法來解：遼寧隊勝的場數為(17-7)÷(3-1)
或列一元一次方程解出問題如：遼寧隊勝的場數為x，則平的場數為(7-x），所列方程為3x+(7-x)=17，然後引導學生探索建立二元一次方程及其解的概念。
說明：如果學生本身的基礎知識掌握較好，已經發現用字母「x」和「y」來表示遼寧隊勝、平的場數，並且列出了兩個方程，那麼教師就按學生的思路，對照問題與所列方程和學生一起演示由實際問題到列方程這一數學知識的建立過程，目的是既注重個性發展的同時，又要照顧個體的差異。
二、引導學生探索慾望
1、學生從勝和平的場數之和的關系中得到等式x+y=7，與得分關系式得到等式3x+y=17，後設問：
（1)對於x+y=7中，如何用x來表示平的場數(即y)？
(2)其中x可以取哪些值？y又可以取哪些值？能否任意取值？
（3)它與一元一次方程有哪些異同點？設問的目的是：
①學生在思考的過程中理解x，y的取值是成對的；
②用x的代數式表示y，使學生的思維有消元意識，為下一節打下伏筆。
③兩者共同點是「整式」、「未知數的次數都是一次」,不同點是「有兩個未知數」,學生在思考回答的過程中可以根據已有的一元一次方程的知識，建構出二元一次方程的概念。
④在檢驗符合方程兩邊的值時，學生歸納出方程的解的概念。
2、引導學生用方程的解去檢驗其中的數量關系，由此探索得出兩個方程要同時滿足，就應聯系起來，引導學生用類比的思想，把它們稱為二元一次方程組，從而從中推斷出二元一次方程組的解的概念，同時也提示了二元一次方程的解和二元一次方程組的解之間的區別與聯系，兩者對比起來討論，培養學生的類比思想，然後由學生根據已得出的方程組歸納二元一次方程組的特徵。
(1)整式；(2)二元；(3)一次。
方程組的解的特徵:
「要同時滿足兩個方程」「未知數的值是一對」
三、解題後的反思
1、本節課按「以學生為本」的原則，兼顧個體差異，利用學生對喜聞樂見的「足球比賽」創設問題情景，採用不同的自己願意應用的方法來解決問題，使學生感到數學就在身邊，數學問題是「現實的」、「有意義的」、「富有挑戰性的」,讓學生覺得數學有趣、有用、好玩，學會主動探索，合作交流。
2、教師既要有意識、有計劃地設計教學過程，引導學生體會數學之間的聯系，感受數學的整體性，又要不斷豐富解決問題的策略。在具體的教學課堂中教師不能把教案的思路強加給學生，而應該根據學生的具體思維反應，及時調整教學活動，發揮學生的主體作用。
總之，「探索性學習」旨在將學習更多地看作一個解決問題的過程，讓學生掌握解決問題的方法。由對知識的認識過程轉化為對問題的探索過程；由對知識的認知掌握轉化為對問題的研究解決，這樣才能使學生在復雜的社會環境中用探究科學的態度與方法去認識、發現、改變與創造，真正使今天的學習變為明天參與和改造社會的基礎。通過採取探究性學習方式實施的數學教學，不僅可以促進學生學習數學，掌握和運用現代教學的學習方式，學會主動學習，而且可以促進數學教師的教學觀念和教學行為方式的改變，學會指導學生學會自主學習，促進教師綜合素質的提升，教學能力，研究能力的提高。
『伍』 怎樣開展初中數學探究性學習
關於初中數學探究性學習的反思
[摘要] 探究性學習是近一兩年來教育理論與實踐領域提出的一個嶄新的研究課題。探究性學習增強了學生與社會發展的聯系,將從根本上改變學生的學習方式,並為學生的全面發展、為培養創造性人才提供了時空上的保證。隨著理論研究和教育政策的推進,探究性學習在教育實踐中日益受到關注和重視。由於探究性學習剛提出來不久,其理論研究與實踐探索還遠遠不夠,因而在具體操作中往往存在著許多困惑:探究性學習是什麼?要達到什麼目標?如何實施?本文就初中數學探究性學習中的一些問題作出反思和總結.
［關鍵詞］初中數學、 探究性學習、反思總結
[正文] 探究性學習是近幾年來教育理論與實踐領域提出的一個嶄新的研究課題。探究性學習增強了學生與社會發展的聯系,將從根本上改變學生的學習方式,並為學生的全面發展、為培養創造性人才提供了時空上的保證。探究性學習是指學生在教師指導下，從學習生活和社會生活中選擇和確定探究專題，主動地獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動。探究性學習已作為必修課被列入《國家九年義務教育課程計劃》中,目的在於培養學生的科學素養,創新精神和和實踐能力. 本文就初中數學探究性學習中的一些問題作一些探討和反思.
1. 探究性學習的課程理念
初中數學探究性學習，主要是指初中數學課堂教學中，學生在教師指導下，用類似科學研究的方式去獲取知識、應用知識、解決問題的學習方式。這里，學生的探究學 習是在老師的指導下，班級集體教學的環境中進行的，它有別於個人在自學過程中自發的、個體的探究活動。而教師的主要角色則是數學學習的組織者、引導者與合作者。「用類似科學研究的方式」，即讓學生通過「進行觀察比較，發現、提出問題，作出解決問題的猜想，嘗試解答並進行驗證」的過程去揭示知識規律，求得問題的解決。其實質是讓學生學習科學研究的思維方式和研究方法，利用已有的數學知識、數學思想方法去解決問題，從而培養學生主動探究、獲取知識、解決問題的能力，培養學生的創新思維和實踐能力，培養學生思維的廣闊性。
1.1 重視學生的自主活動，實現學習方式的轉變
探究性學習適應初中學生渴望獨立，希望在自主的活動中體驗成功、獲得認可的需求，提供並創造了學生主動探究、獨立操作、自由表達的"土壤"以及良好的氛圍，學生在其中創新和實踐，建立一種主動發現、獨立思考並重視實際問題解決的積極的學習方式。學生在體驗與創造中學習，在潛移默化中實現認識、情感、態度與觀念的變化和發展。
1.2 從學生的興趣出發，進入對問題的探究過程
興趣是學生探究活動的起點，興趣的滿足需要在探究的過程中實現。關注學生的興趣，將興趣轉化為可探究的問題，能有效地引導學生主動投入到探究性學習活動中，滿足學生的發展需要，這樣的學習活動，點燃了學生思維火花，也有利於培養學生對問題的質疑態度和批判精神，獲得學習自由以及快樂的感悟和體驗，對自我價值的認識和承認。如,師生准備一日游, 請學生根據統計的數據設計一份較為合理的租車方案;足球運動員在何處射門最好(不考慮其它因素)等這類問題都能很好地激發學生的興趣.
1.3 提供開放的學習空間，發現和開發學生多方面的智慧潛能
每一個學生都具有多方面的智慧潛能，也存在著明顯的個別差異。探究性學習的開放性使得學生可以依據自己的興趣和愛好，在與他人合作學習、分享經驗的過程中，通過各類探究方式，認識社會生活，認識世界，發現自我，形成健全的人格和積極的人生態度，同時也為學生提供了在開放的情境中展示個性，開發自己多方面才智的機會。如教學1公頃、1平方千米時，讓學生測一測，親自體驗它們的大小。帶領學生走上操場，目測、步量一個邊長為100米的正方形，感受1公頃的大小；走上大街，步測1000米的長度，試估計以這一邊為正方形的其它兩個頂點分別在什麼位置，體驗1平方千米的大小。進而估計城區面積的大小，結合《社會》課學到的知識，讓學生算出城區人口的密度，為居民娛樂、健身場所等提出規劃建議。學生通過自主實踐，在最大空間內體驗到1公頃、1平方千米的大小，感受到數學與自己離得很近，就在自己的身邊。
1.4 師生共同探求新知，課程成為教與學交互推進的過程
探究性學習的實施，是一個教與學交互推進的過程，要在教師和學生之間建立一種新的關系，教師要實現從單純的知識傳授者向學生探究性學習的組織者、指導者、促進者和參與者轉變。在這種新的關系中，教師與學生共同探求新知，獲得思維、能力、情感、價值觀、行為等方面的發展。
2. 探究性學習的目標
探究性學習著眼於轉變學生的學習方式，培養創新精神和實踐能力，目標指向主要是學生學習興趣的滿足和能力品性的提高，強調學生對所學知識技能的實際運用、能力的形成和經驗的獲得，強調學生通過親身體驗加深對學習價值的認識，在思想意識、情感意志、精神境界等方面得到升華。具體來說，根據初中學生的年齡的特點，初中探究性學習的目標強調以下幾點：
2.1 獲得親身參與探究活動的體驗
探究性學習強調學生通過自主參與探究性學習活動，親歷問題探究的實踐過程，獲得科學探究的初步體驗，加深對於自然、社會和人生問題的思考與感悟，激發起探索、創新的興趣和慾望，並且逐步形成喜愛質疑、勤於思考、樂於在探究中獲取新知的心理素質。
2.2 提高發現問題和解決問題的能力
探究性學習特別重視提高學生從對生活的觀察與思考中發現問題並通過實踐積極探究的能力。包括：發現並且確定探究的題目（項目）；提出探究設想並且自主開展探究活動；獲得探究的結論，對事物（問題）的發展作出初步預測或提出適當的對策；展示或交流探究過程、成果、心得等。
2.3 培養收集、分析和利用信息的能力
探究性學習是一個開放的學習過程。通過探究性學習，學生要學會利用多學會整理與歸納，學會判斷和識別信息的價值，並恰當地利用信息；學會運用獲得的信息描述或說明事物（問題），並作出恰當的解釋。
2.4 學會合作與分享
探究性學習提供了一個有利於人際溝通與合作的良好空間。學生要在學習過程中學會合作，培養團隊精神。包括：在合作集體中既獨立思考、積極主動，又樂於與夥伴互相幫助、彼此協作：自覺遵守合作規范，正確對待個人與集體關系：在合作中能夠協調人際關系，主動與同伴交流、分享信息、創意和成果等。如「住校生月生活費與家庭收入關系問題」、「住校生住校周數與回家次數的問題」等等，每個問題的提出、分析、建模、解答、總結,無不應是同學們主動求知，團結合作的結晶。
3. 探究性學習的內容
根據學生認知形成和發展的規律，初中數學探究性活動可以分為：
3.1形成性探究是指針對教材內容，把一些知識形成過程的典型材料，設計為探究性問題：這些材料可以是數學概念、公式、定理、法則的提出過程；結論的推導分析和論證過程；知識的發生、發展和形成的過程；解題思路的探索過程；解題方法和規律的概括過程等。例如方程的概念教學，傳統的方法是給出方程的定義，然後給出若乾式子讓學生判別哪些是方程。探究性學習的做法是，先給出若乾式子，然後讓學生觀察，找出其中的一些共同特點，如一部分式子是等式，一部分式子是代數式，在等式中又有一部分是含有未知數的，這樣我們就把這一種含有未知數的等式叫做方程。
3.2 建構性探究是指要立足於引導學生在理解數學知識的基礎上，建立知識系統和網路，形成良好的認知結構，這個過程應讓學生自主完成，它有利於加深學生對所學知識體系的認識，為培養創新思維打下良好的基礎。例如，在學習「三角形內角和」這個內容時，教學中最常見的學生動手操作方式就是學生在教師的提示或要求下，用量角器先量出三角形的每個內角，然後相加，從而得出「三角形內角和是180°」過樣的結論，用現代直觀性教學的認識觀，我們不禁要提出這樣的問題：學生除了獲得這個結論外，還獲得了什麼？如果讓學生認識其他諸如四邊形、五邊形……邊形的內角和，學生只能用動手量這一方法嗎？實際上，教師完全可以不作要求或提示，只提供材料（大小不等的三角形和不同種類的三角形），由學生主動去解決所面臨的問題。這樣，學生不但會用量角的方法（一種最簡單的一般性方法），可能也會用剪拼的方法（一種數學中特殊的化歸方法）。這樣，學生不僅僅獲得了所要的結論，也掌握了一種數學認識中最常用的思想方法----化歸法。以後學四邊形內角和知識，完全可以化歸為兩個三角形，五邊形內角和的認識，完全可以化歸為三個三角形……等等。
3.3 應用性研究的目的在於增強學生的應用意識，並在知識的發展中培養創新意識，提高研究能力；教師要積極引導學生接觸實際，了解社會，使他們在更加開放的環境中學習，切實提高分析和解決實際問題的能力。 如「中學生近視率的調查」、「上網吧費用問題」 等
開展探究性活動要從教材內容、教學設施；學生能力等實際情況出發，因材施教，因地制宜。探究性活動要由淺入深，結合學生心理特點和認知水平有計劃地進行；教師的指導也要由多到少，逐漸過渡到學生的自主探究。
4. 初中探究性學習的實施
4.1實施的組織形式
探究性學習有多種組織形式，包括小組合作探究、個人獨立探究以及在班級、年級或更大范圍中展開的合作探究。
在綜合實踐活動課進行的探究性學習，應該較多地採取組成課題組，以小組合作形式展開探究活動。課題組可以由同班同學自由組合而成，也可以由跨班級、跨年級的興趣相近的同學組合而成。課題組一般由3-6人組成，學生自己推選組長，聘請有一定專長的成人（如本校教師等）為導師。探究過程中，課題組成員有分有合，各展所長，協作互補。
個人獨立探究時，一般先由教師向全班學生提出一個綜合性的探究專題，然後由每個學生自定具體題目，並各自相對獨立地開展探究活動，用一段時間完成。
採用全班集體探究的形式，全班同學需要圍繞同一個探究課題，通過分工合作搜集資料、開展探究活動。通過幾次全班集體討論，分享信息和各人的創意，進行思維碰撞，由此推動同學們在原有基礎上深化探究。
採取小組合作探究和全班集體探究的形式，要以個人的獨立思考和認真鑽探為基礎，要強調集體中每個人的積極參與，避免出現一部分人忙、其他人閑，少數人做、多數人看的現象。採取個人獨立探究的形式，則要引導學生經常主動地與他人交流探討，學會信息和資源共享。
4.2實施的一般流程
初中探究性學習展開一般分為三個階段：進入問題情境階段、實踐體驗階段和總結表達交流階段。在學習進行的過程中這三個階段是相互交叉和交互推進的。
（1）進入問題情境階段
本階段首先要採取多種形式，創設問題情境，明確探究任務。一般可以講故事、開設講座、組織參觀訪問等，目的在於做好背景知識的鋪墊，激活學生原有的知識儲備，提供探究范圍，誘發探究動機。與此同時，學生要在教師指導下，學習從多個角度去發現問題和分析思考問題，建立探究性學習小組，邀請校內外指導教師提供幫助並共同參與探究活動；要積極探索，搜尋相關的資料，進入探究問題的狀態，並歸納出准備探究的具體題目，形成最基本的目標和思路。
（2）實踐體驗、解決問題階段
在確定需要探究解決的問題以後，學生要進入具體的解決問題過程，通過實踐體驗，形成一定的觀念、態度，掌握一定的方法。
本階段中，學生實踐、體驗的內容包括：在開放情境中主動搜集和加工處理信息，小組合作與各種形式的人際交往、溝通，以科學態度解決實際問題，從一定角度認識環境、發現自我等。在解決實際問題的過程中，學生往往會碰到各種困難，初中生興趣激發快、變化也快的特點容易使他們的探究活動不能持久，需要得到教師的及時關心、指導和督促。
（3）總結、表達和交流階段
學生要有始有終地完成探究性學習項目的任務，爭取達到預期的目標。但是，經過努力仍不能獲得滿意的結果也是正常的，並不意味著學習的失敗。在這一階段，學生要將自己或小組經過實踐、體驗所取得的收獲進行整理、加工，形成書面材料和口頭報告材料。學生通過交流、探討與同學們分享成果，這是探究性學習不可缺少的一個環節，在交流、探討中，學生要學會理解和寬容，學會客觀地分析和辯證地思考，也要敢於和善於申辯。
4.3 實施中的教師指導
在探究性學習中，學生是積極主動的學習者，並不意味著可以忽視教師的作用。教師能否運用促進性的指導技能，對於探究性學習的展開並取得效果，具有決定性意義。
（1）針對初中生文化、科學知識基礎比較薄弱和解決實際問題的方法、經驗的實際狀況，在探究性學習開始階段，可以結合實例對學生進行一定的基礎訓練，幫助學生掌握利用工具書（如索引、文摘、網路全書等）、使用視聽媒體、做筆記、進行訪談，對資料做整理和分類等方面的技能，以便於學生比較順利地進入探究過程。（2）在探究性學習實施過程中，教師要及時了解學生開展探究活動的情況，有針對性地進行指導、點撥與督促：要組織靈活多樣的交流、探討活動，促進學生自我教育，幫助他們保持和進一步提高學習積極性：對有特殊困難的小組要進行個別輔導，或創設必要條件，或幫助調整探究計劃。教師要在探究性學習的實施過程中實現從知識傳授者到學生學習的組織、指導、參與者的角色轉換。（3）實施探究性學習時，教師要注意爭取家長和社會有關方面的關心、理解和參與，開發對實施探究性學習有價值的校內外教育資源，為學生開展探究性學習提供良好的條件。（4）在探究性學習實施過程中，要指導學生寫好探究日記，及時記載探究情況，真實記錄個人體驗，為以後進行總結和評價提供依據。
5. 探究性學習的設計舉例
數學中的每一個定理結論都是前人經過艱苦的探索發現的。即使是一個一般的命題，一個猜想，其提出的過程也凝聚了數學家的智慧。傳統的做法往往是給出現成的結論，然後照搬現成的證明。這樣做使學生始終處於一種被動接受的地位，學生總是心存疑慮：這個定理是怎麼來的？這個證法是如何想到的？初中數學探究性學習就是要改變這種學習的被動局面，消除學生心理上的疑慮，讓學生主動積極地去參與探究，嘗試發現，成為學習的主人。
如在初三數學興趣班中進行圓冪定理的教學：
問題：過一定點P任意作一直線與已知半徑為r的圓O交於兩點A、B，已知PO = d，那麼如何求PA·PB的值？
（1）按照要求畫出圖形（見圖1、圖2、圖3）（培養發散性思維）
（2）不妨先研究點P在圓外的情況，似乎不易著手，可從特例入手。（這一過程培養學生的探究能力）
先看點P在圓外，過點P的直線過圓心O，如圖4，已知PO = d，AO = BO = r，則可得PA·PB = (d- r)(d+ r) = d2- r2 .
再看過點P的直線與圓O相切於點A，如圖5，這時A、B兩點重合，PA·PB = PA2，由勾股定理得PA·PB = PA2 = d2- r2 .
現在你能猜出PA·PB的值嗎？試證明你的猜想。
如圖7，作OM⊥AB垂足為M，根據垂徑定理得點M是AB的中點，
不妨設AM = BM = x，則PA·PB =（PM- x）(PM+ x) = PM2- x2，
顯然AM2+ OM2 = r2，PM2+ OM2 = PO2，從而有x2 = r2- OM2.
所以，PA·PB = PM2- (r2- OM2) = PM2 + OM2- r2 = d2- r2.證實
自己的猜想正確。
對點P在圓內的情況可以類似解決；至於點P在圓上此時，PO = r = d，易知結論仍然正確。
（3）學生歸納得到圓冪定理（培養歸納思維能力）
（4）你們還能有其它方法證明圓冪定理嗎？（培養學生創新能力和靈活運用數學思想方法的能力）
經過小組討論，有同學提出可用三角方法來證明。
先研究點P在圓外的情況，如圖8，
設∠APO =α，PA = x1,PB = x2.
在△PAO中，有x12+ d2- 2dx1cosα= r2,即x12 - 2dx1cosα+ d2-r2 = 0.
在△PBO中，有x22+ d2- 2dx2cosα= r2,即x22 - 2dx2cosα+ d2-r2 = 0.
所以，x1、x2是方程x2 - 2dxcosα+ d2-r2 = 0的兩個根。由韋達定理得，x1x2 = d2- r2.即PA·PB = d2- r2（定值）.
點P在圓內的情況，如圖9，設∠BPO =α，PA = x1,PB = x2.
在△PAO中，有x12+ d2- 2dx1cos（л-α）= r2,即x12 - 2dx1cosα+ d2-r2 = 0；
在△PBO中，有x22+ d2- 2dx2cosα= r2,即x22 - 2dx2cosα+ d2-r2 = 0。
所以，- x1、x2是方程x2 - 2dxcosα+ d2-r2 = 0的兩個根。由韋達定理得，（- x1）x2=d2- r2.即PA·PB = r2 - d2（定值）.
若點P在圓上，此時，PO = r = d，仍有PA·PB = d2- r2 = 0(定值)
所以，無論點P的位置如何，都有PA·PB = |d2- r2|（定值）。
（5）你能推廣這個命題嗎？（培養創新能力）
經過學生小組探索，可得：相交弦定理、割線定理、切割線定理。至此，學生的創造性得到了充分的發揮。
（6）歸納小結，由各組自己歸納出應該注意的問題或數學思想方法等，找一個代表發言。教師予以鼓勵或加以完善。
整個過程以小組活動為主，教師適當指導，在關鍵之處給予點撥,使學生切身體驗了科學探究探索的全過程。在最終得到圓滿結論獲得成就感的同時極大地調動起自主學習探究的積極性。我們有理由相信這一體驗千倍於解答若干習題的功效.
6.為「探究性學習」把脈
6.1明顯的優點
（1）學校的顯性課程變成了隱性課程，課堂由室內延伸到了校外。嶄新的學習方式將使越來越多的學生越來越主動地學習，為他們的健康成長，創造一個良好的人文環境。（2）教育結果的評估將遠離循規蹈矩式的紙上談兵，不再以分數論「英雄」，不追求學生一定要在探究中有新發展，只希望他們每一步都有追求、有思考，在參與、發現、體驗中學習、成長。（3）「探究性學習」將全面培養學生開拓性思維、體驗式自信，充分挖掘學生可持續發展的潛力。
6.2潛在的危機
（1）將「探究性學習」課程定格為非應試教育的范疇，終身享受「副科」級待遇，從而使其因束之高閣而蒙塵。（2）過分依賴「探究性學習」，將它視為培養學生的靈丹妙葯，忽視「基礎知識、基本技能」的有素訓練，否定「接受性學習」的作用，淡化對學生的個性、意志、品質等心理塑造。
總之，如何開展「探究性學習」的問題是擺在我們每個教育工作者面前的實踐任務，我們要不斷地通過嘗試、交流、探討、總結，使之逐漸完善，從而為教育事業的發展做出我們應有的貢獻。
參考文獻
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6.王光明.有關研究性學習的幾個問題. 數學通報.2003.5
『陸』 誰能告訴我初中數學探究型教案
一、對數學教學中探究性學習的再定位
探究性學習即「學生在學科領域或現實生活的情境中，通過發現問題、調查研究、動手操作、表達與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態度的學習方式和學習過程」。數學探究性學習是把教學活動定位於學生主體的學習，問題是以怎樣的方式來學習，是探究，探究的最一般的解釋是「通過實踐來認識周圍的事物」。這樣，「探究性學習」簡單地說，就是「讓學生通過自己的實踐去認識和獲得屬於自己的知識」。這里的實踐，主要是指學生有意識的學習活動。數學探究性學習的特點主要體現在它的開放性、研究性和實踐性。它的功能在於能營造一個使學生勇於探索爭論和相互學習鼓勵的良好氛圍，給學生提供自主探索、合作學習、獨立獲取知識的機會。數學探究性學習更加關注學習過程。數學探究性學習的材料不單單是教師自己提供的，而且教師應鼓勵學生通過思考、調查、查閱資料等方式概括出問題，甚至可以通過日常生活情景提出數學問題，進而提煉成探究性學習的材料。在研探究性學習的過程中，學生是學習主人，是問題的研究者和解決者，是主角，而教師則在適當的時候對學生給予幫助，起著組織和引導的作用。數學探究性學習的評價不僅僅關心學習的結果，而且更重要的是關注學生參與學習的程度、思維的深度與廣度，並且注意呵護節外新技，精心培養超越教材，超越自我的創新精神，同時對學生的情感變化也應予以動態的關注，為學生的終身發展而服務。
二、數學探究性學習課堂教學的基本模式
數學課堂教學中採用探究性學習教法的基本方式是「探索與研究」，因為試驗教材的編寫思路是以提出問題和解決問題而展開的，課程強調的是知識的形成和發展過程，而不是結果或結論，在課堂教學中，相關和知識通過學生的豐富多彩的主體參與來進行研究學習，教師是教學的指導者與合作者。因此，本人在數學實踐中逐步形成了一種「主體參與，探究中學」的探究性學習模式，其基本流程是：
創設情境→ 自主探索→ 合作交流→ 展示評價→ 應用拓展→ 反思創新→ 預習指南
1、創設情境：所謂數學探究性教學，筆者認為就是教師通過創設問題情境，讓學性獲得學習材料和自由開放的體驗空間；建立發主平等的師生關系和豐富多彩的教學形式；保持一定的「自我學習」的時間；利用各種條件，從已有的生活經驗出發，把學生帶入情境；通過質疑、探究、討論問題，讓他們在這種情境中感受體驗，主動地獲取知識並應用知識解決實際問題；從而在創新能力，情感態度及價值觀等方面得到充分發展。課堂教學中情境設置的方式我通常用以下三種：
（1）由預習檢測創設問題情境；
（2）由實際問題創設問題情境；
（3）由舊知回顧創設問題情境；
（4）以數學故事創設問題情境；
（5）以游戲課本劇創設問題情境；
（6）以動手操作與實踐活動創設問題情境；
2、自主探索：學生在問題的引導下，通過動手實踐、自主探索，動腦獨立思考，經過實驗、操作、觀察、類比、歸納、猜想等活動自己「發現」數學結論，獲得數學活動經驗。教師要考慮的是「盡可能適應學生的研究，去協調！教師充分利用教材上的「做一做」、「試一試」、「想一想」等素材，引導學生進行相關的數學活動，當學生體會新的問題實質時，要開創新的情境，讓學生去發現新問題，大膽放手讓學生去探索，教師的任務是給學生開放廣闊的探索空間。
3、合作交流：合作交流的組織形式我採用合作小組制，積極倡導組內合作，展開討論、交流，要讓學生在課堂上活動起來；組間競爭，讓他們討論、爭辯；運用各種手段，引導學生把感受表達出來，使學生在課堂上大膽表現，發展個性。
4、展示評價：對獲得的數學思想方法進行反思與評價，以學生自我評價為主，重感受、重體驗，展現與表達；學生主要闡述知識是如何發現的，有什麼經驗教訓，促進學生主動發展為目的；教師要及時給予肯定與鼓勵，並對學生的學習態度與能力進行評價；同時對相關活動進行評價，並注意多種評價形式相結合。教學過程中，對學生探究性學習評價的特點，教師應注意把握以下幾點：
（1）參與性評價：參與性評價是在教師的指導下，通過創造多種評價的機會和活動形式，讓學生大膽發表評價意見，學生在參與評價的過程中，對自己、對同伴有了更深層的了解，密切了與同伴的合作關系，獲得並體驗了愉快感、成功感、集體榮譽感，在活動中學會信息交流，學會主動參與。
（2）交互性評價：「探究性學習」課堂教學是一種數學活動，包括教師與學生，學生與學生之間的互動。我不主張教師的單向評價，大力倡導師生之間和學生之間的多邊互動，多向交流，在橫向評價中使學生學會學習，學會合作，學會創造。
（3）差異性評價：學生之間存在差異，因此，我堅持分層性評價。對於學習能力強的學生，重在評價其學習的結果和質量；集藝術性、思想性、想像力為一體，充分發掘並展現學生的個性特點。對於學習能力弱的學生重在評價其學習態度與學習過程，努力發現每一個學生自身的閃光點。
（4）多元性評價：試題在內容與要求上可以多種多樣，為各類學生走向成功提供機會。我採用題組型的「開放」或「實踐」模式，引導學生進行一次有意義的數學問題設計解決表達過程，從而獲得科學方法的有益啟示。同時，我還堅持免檢制度，每節課按參與態度，課堂表現、實踐能力、創新見解等方面對部分同學實行放寬要求或免檢。
5、應用拓展：學生獲得相關知識後，教師再通過典型例題的分析與講解使學生掌握知識的應用，並用題組進行鞏固練習，我除了使用實驗教材中的例題與「隨堂練習」的材料外，還根據學生實際精選了一些習題作補充，我特別注意在此環節中加強對學生進行變式訓練，以求一通百通，靈活運用所學的知識解決相關的問題，有時我還根據各種課型的特點進行當堂反饋測試，及時進行效果回授。我充分利用實驗教材上的「後花園」、「讀一讀」、「課題學習」等材料對相關的知識進行引伸與拓展，並讓學生應用知識探究一些實際問題，培養學生的數學科學精神及創新與實踐能力，我還利用一些歷史名題（如「勾股定理」的探索、「三等分角問題」、「海島算經」、「李白沽酒」等）介紹相關知識，激發學生研究數學的熱情，並介紹古今中外數學家的一些成就及趣事，豐富學生的數學文化視野及培養學生追求真理的科學理念。
6、反思創新：教師以問題的形式對所學知識系統歸納之後再進一步向同學尋求新的獨到的見解，提出思考、探索或可持續發展的數學問題，以激發學生的探索熱情，形成思維的風暴，使數學學習進一步向縱深發展。
7、預習指南：在每堂課活動結束之前給學生亮出下一節的活動課題，並建設性地提出預習的要求，提醒同學作出必要的准備；有時還預報近期測試的相關信息，真正地使數學探究性學習走出課堂，走進學生的生活，讓「探究性學習」環環緊扣，交織成一個延綿不斷，循序漸進的旋流，在生活中不斷培養解決問題的能力，提升活動的水平。
三、探究性學習在數學教學中的成效與前景
從開展數學探究性學習的實踐情況看，凡是選用數學探究性學習教學班的學生，不但沒有影響數學學科內容的學習，反而通過探究性學習的課堂教學，學生平均分、A級率、非D級率以及學生的創新人格、情感、意志等各項指標均比普通教學班呈現出明顯的優勢。因為開展與課題相關的數學學科課程的學習，有的通過自己的親身實踐，更加加深了對數學學科課程的理解和熱愛。通過這個探究性學習，學生對數學的認識，從只是學習書本上的知識，應付考試回到實際生活上去，切實關繫到了生活中的一些問題如何去用數學的知識去解決。怎樣應用數學知識，學會把數學知識去用到實際生活中，是學生在探究性學習中得益最大的。所以，探究性學習有利於培養學生的創新精神、實踐能力、終身學習能力。引導學生積極開展探究性學習，走科學探究之路，還可以促使教師更新教育理念，改進教學方式。今後的教學中，應該更加努力地開展探究性學習。現代中學生蘊藏著極為豐富的巨大的創造潛能和開發空間，如果我們為他們營造適合他們發展的環境，為他們搭建發展的平台，提供更多發揮其創造潛能的機會，那麼我們的中學生對社會的回報將是無法估量的，讓我們為孩子們提供更多的發展機會，使他們能夠發揮自己的聰明才智，充分展示自己的才華。
經過探究性學習的教與學實踐，我們已取得了初步的成效，但還需要進行更加科學的規劃和長期的大量的實驗，以獲得更佳的效果和具有指導意義的結論，以適應新教材的教學理念。
總之，在初中數學教學中開展探究性學習，關鍵是改變教師教學方式和學生學習方式，在初中數學教學中開展探究性學習，是新世紀數學改革的一個重大舉措，是時代發展的緊迫需要，更是學生終身發展的強烈呼喚。隨著新一輪的課程改革深入推進，我們數學教師不可迴避面臨著一次機遇與挑戰，探究性學習還存在許多問題急待著我們去思考，需要我們在教學實踐中不斷探索與完善。
『柒』 新課程標准下如何開展初中數學探究性教學
當前，在新課標的指導下，我們必須牢固地確立以學生為中心的教育主體觀，以學生的能力發展為重點的教育質量觀，以完善學生的人格為目標的教育價值觀。因此，教師在教學中應正確進行探究性教學。探究性教學是一種模擬性的科學活動，它強調教師要創設一個以「學」為中心的智力和社會交往的環境，讓學生通過探索來解決問題，其根本目的不是把少數學生培養成科學的精英，而是要使學生成為有科學素養的公民，它既重視結果，又強調知識獲得過程，既關注意義建構又注重應用，突出以學生為中心和全體參與，因而它特別有利於素質教育，創設新教育的有效實施。數學探究性學習是指學生在教師的指導下探索研究討論學習的活動，探究性學習的核心是探索。布魯納指出：「探索是數學的生命線。」新課標指出：「有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數學知識的理解和有效的學習策略，研究性學習需要經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等過程。」
一、激發學生的探究興趣
興趣永遠是學生最好的教師，如果學生的學習沒有興趣作為基礎，那麼教學的效果、質量就會大打折扣。由此可以看出，在開展新課改下初中數學探究性教學之前，初中數學教師必須先激發學生的探究興趣，這樣才能夠從根本上保證初中數學探究性教學的順利開展，也才能夠保證探究性教學能夠實現預期的教育目標。具體的實施措施包括了以下幾點：第一，創設良好的探究性學習情境。在進行具體的教學活動之前，教師應該為學生創設出相應的學習情境，這樣才能夠成功的帶領學生進入到探究性學習的角色里，既能夠有效的集中學生的學習注意力，又能夠激發學生探究性學習的興趣；第二，建設良好的探究性學習氛圍。學習氛圍一旦形成，就能夠作為軟性的因素去約束學生的學習活動，不僅如此，良好的、有效的學習氛圍更能夠直接的帶動學生的學習情緒，使學生熱情的投入到具體的教學活動中，進而從本質上確保了初中數學探究性教學的效果以及質量；第三，設計良好的探究性學習方案。按照新課程的三維目標設計適度可行的探究性學習方案，使學生在不斷地探索發現過程中獲得發展的，培養學生的創新精神和實踐能力，真正實現素質教育。
二、選擇適合的探究方法
（一）操作——發現
在開展初中數學探究性教學的過程中，教師應該著重培養學生的操作能力，因為通過自身的實踐操作所發現的知識才是學生自己的知識，而通過教師的講授所獲得的知識卻還需要通過消化、接收才能夠得以轉換。舉個例子來說，教師在講解平行四邊形相關知識點的時候，可以讓學生自己去做一個平行四邊形，並且在學生動手之前創設出具有探究性意味的問題，讓學生能夠帶著這些疑問去實踐、去動手，而在完成實踐之後，鼓勵學生大膽的探討所發現的知識點。通過這樣的教學方法，學生能夠更有效、更直接的掌握這些知識點，並且從中獲取傳統教學所得不到的教學體驗。 （二）猜想——驗證
在開展初中數學教學的過程中，學生往往會產生很多的猜想，比如說對題目答案的猜想、對理論知識的衍生產生猜想等等，而這種時候如果教師直接為學生公布答案，學生的思維便會停止在猜想的階段，從而不利於學生良好探究習慣的形成。正是因為這樣，初中數學教師應該積極的鼓勵學生對自己所產生的猜想付出驗證的實踐，因為通過不斷的驗證、不斷的實踐，學生的能力就會獲得不斷的提高，而這種通過自身驗證所獲得的知識，是不需要任何轉換的，換句話來說，這種知識才是學生自身的知識。不僅如此，在驗證的過程中，學生還會形成探究的習慣，進而在探究的過程中發現學習數學知識的規律。
（三）觀察——歸納
從學生對知識的學習過程來說，其本質就是不斷的觀察、不斷的歸納，學生從觀察的過程中初步的認識知識，從歸納的過程中將知識內化，從而真正的將知識轉換成自己的東西。正是因為這樣，初中數學教師在開展探究性教學的時候，必須重視學生對知識的觀察、分析、總結、歸納，從最初的引導逐漸的發展成為學生自身的能力，使學生能夠自覺的、主動的分解知識。不僅如此，還應該鼓勵學生大膽的從不同的知識角度進行觀察、分析、總結、歸納，只有這樣，學生才能夠更加全面的掌握初中數學知識點，也才能夠形成良好的學習模式、探究模式，最終形成良好的探究學習能力以及良好的探究學習習慣。
三、總結
總而言之，探究性學習能夠有效的促進學生的全面發展、綜合發展，而在初中數學教學中採用探究性教學方法，則能夠促進學生綜合數學能力的提高，使學生從根本上獲得成長、獲得進步。正是因為這樣，初中數學教師必須及時的、積極的結合自身的實際教學條件，將探究性教學融入課堂教學當中，這樣才能夠有效的提高初中數學課堂教學的質量，從而實現預期的教學目標。
『捌』 初中數學探究題（附答案）
如圖：拋物線經過A（，0），B（）及原點O，頂點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求D點的坐標；
（3）P是拋物線上第一象限內的動點，過P作PM⊥x軸垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．