海南中考數學真題

A. 2014海南中考數學試題及答案

點評： 此題主要考查了俯角的定義及其解直角三角形的應用，解題時首先正確理解俯角的定
義，然後利用三角函數和已知條件構造方程解決問題． 23．（13分）（2014•海南）如圖，正方形ABCD的對角線相交於點O，∠CAB的平分線分別交BD，BC於點E，F，作BH⊥AF於點H，分別交AC，CD於點G，P，連接GE，GF． （1）求證：△OAE≌△OBG；
（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由； （3）試求：
的值（結果保留根號）．

考點： 四邊形綜合題． 分析： （1）通過全等三角形的判定定理ASA證得：△OAE≌△OBG；
（2）四邊形BFGE是菱形．欲證明四邊形BFGE是菱形，只需證得EG=EB=FB=FG，即四條邊都相等的四邊形是菱形；
（3）設OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b．由該菱形的性質CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）；然後在Rt△GOE中，
由勾股定理可得a=b，通過相似三角形△CGP∽△AGB的對應邊成比例得到：
=
=
﹣1；最後由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，故
=
=
﹣1．
解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°． ∵BH⊥AF， ∴∠AHG=90°， ∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH， ∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．
∴在△OAE與△OBG中，
，

∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）四邊形BFGE是菱形，理由如下： ∵在△AHG與△AHB中，

∴△AHG≌△AHB（ASA）， ∴GH=BH， ∴AF是線段BG的垂直平分線， ∴EG=EB，FG=FB． ∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5° ∴∠BEF=∠BFE ∴EB=FB， ∴EG=EB=FB=FG， ∴四邊形BFGE是菱形；
（3）設OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b． ∵四邊形BFGE是菱形， ∴GF∥OB， ∴∠CGF=∠COB=90°， ∴∠GFC=∠GCF=45°， ∴CG=GF=b， （也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b） ∴OG=OE=a﹣b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a﹣b）2
=b2
，求得 a=b
∴AC=2a=（2+）b，AG=AC﹣CG=（1+）b
∵PC∥AB， ∴△CGP∽△AGB， ∴=
=
=
﹣1，
由（1）△OAE≌△OBG得 AE=GB， ∴=
=
﹣1，即
=
﹣1．
點評： 本題綜合考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，以及菱形的判
定與性質等四邊形的綜合題．該題難度較大，需要學生對有關於四邊形的性質的知識

有一系統的掌握．
24．（14分）（2014•海南）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，並求此時點P的坐標； （3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．

考點： 二次函數綜合題． 分析： （1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然後利用二次函數的性質求出最值及點P坐標； （3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），
得M1（1，1）；作點M1關於x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交於F點，此時ME+PF=PM2最小． 解答： 解：（1）∵對稱軸為直線x=2，
∴設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2
+k． 將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：
，解得
，
∴y=﹣（x﹣2）2
+9=﹣x2
+4x+5．
（2）當a=1時，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
設P（x，﹣x2
+4x+5），
如答圖2，過點P作PN⊥y軸於點N，則PN=x，ON=﹣x2
+4x+5，
∴MN=ON﹣OM=﹣x2
+4x+4．

S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME =（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE
=（x+2）（﹣x2
+4x+5）﹣x•（﹣x2
+4x+4）﹣×1×1 =﹣x2
+x+ =﹣（x﹣）2
+

∴當x=時，四邊形MEFP的面積有最大值為
，此時點P坐標為（，
）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形， ∴點P的縱坐標為3．
令y=﹣x2
+4x+5=3，解得x=2±． ∵點P在第一象限，∴P（2+，3）．
四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．
如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）； 作點M1關於x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）； 連接PM2，與x軸交於F點，此時ME+PF=PM2最小．

設直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+
，3），M2（1，﹣1）代入得：
，解得：m=
，n=﹣
，
∴y=x﹣． 當y=0時，解得x=．∴F（，0）．
∵a+1=，∴a=
．
∴a=
時，四邊形PMEF周長最小．
點評： 本題是二次函數綜合題，第（1）問考查了待定系數法；第（2）問考查了圖形面積計
算以及二次函數的最值；第（3）問主要考查了軸對稱﹣最短路線的性質．試題計算量偏大，注意認真計算．