2011高考全國卷數學

『壹』 2011年高考全國二卷數學難嗎

數學題不是很難。但是需要計算量。
比如11題和15題就需要技巧。
整體來說，今年的數學題比去年的難度要小一些。

『貳』 2011年全國高考卷1數學題難易程度

好多人都說難呢，現在就先別去想，好好准備明天的考試，調節一下心情，放鬆一下。祝你明天順利！

『叄』 2011年高考數學全國卷是哪些省份考

大綱全國卷：河北、河南、山西、廣西
新課標全國卷：黑龍江、吉林、寧夏、海南

『肆』 高考數學文科2011卷全國2卷

2011年普通高等學校招生全國統一考試
文科數學(必修+選修I)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。
第Ⅰ卷
一、選擇題(共l2小題，每小題5分，共60分)
（1）設集合 , 則
（A） （B） （C） （D） [
（2）函數 的反函數為
（A） （B）
（C） （D）
（3）設向量 滿足 , ，則
（A） （B） （C） （D）
（4）若變數 滿足約束條件 ，則 的最小值為
（A）17 （B）14 （C）5 （D）3
（5）下面四個條件中，使 成立的充分而不必要的條件是
（A） （B） （C） （D）
(6) 設 為等差數列 的前 項和，若 ，公差 ， ，則
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
（7）設函數 ，將 的圖像向右平移 個單位長度後，所得的圖像與原圖像重合，則 的最小值等於
（A） （B） （C） （D）
（8）已知直二面角 ，點 為垂足，點 為垂足，若 ，則
（A） （B） （C） （D）
(9)4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有
(A) 12種 (B) 24種 (C)30種 (D) 36種
(10)設 是周期為2的奇函數，當 時， ，則 =
(A) (B) (C) (D)
(11)設兩圓 、 都和兩坐標軸相切，且都過點 ，則兩圓心的距離
(A)4 (B) (C)8 (D)
(12)已知平面 截一球面得圓 ，過圓心 且與 成 二面角的平面 截該球面得圓 ，若該球面的半徑為4，圓 的面積為4 ，則圓 的面積為
(A) (B) (c) (D)
第Ⅱ卷
第Ⅱ卷共l0小題，共90分。
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)
(13) 的二項展開式中， 的系數與 的系數之差為
(14) 已知 ， ，則
(15)已知正方體 中， 為 的中點，則異面直線 與 所成角的餘弦值為
(16)已知 分別為雙曲線 的左、右焦點，點 ，點 的坐標為 ， 為 的平分線，則 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)
設數列 的前 項和為 ,已知 求 和

（18）(本小題滿分l2分)
的內角 的對邊分別為 .己知
(Ⅰ)求 ；
（Ⅱ）若 求 與

(19) (本小題滿分l2分)
根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為 ，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為 設各車主購買保險相互獨立.
（Ⅰ）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；
（Ⅱ）求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率.

(20）(本小題滿分l2分)
如圖，四棱錐 中， ，
側面 為等邊三角形， .
（Ⅰ）證明： 平面 ；
（Ⅱ）求 與平面 所成角的大小.

（21）(本小題滿分l2分)
已知函數
(Ⅰ)證明：曲線 在 處的切線過點 ；
(Ⅱ)若 在 處取得極小值， ，求 的取值范圍。

（22）(本小題滿分l2分)
已知 為坐標原點， 為橢圓 在 軸正半軸上
的焦點，過 且斜率為 的直線 與 交於 兩點，點 滿
足
(Ⅰ)證明：點 在 上；
(Ⅱ)設點 關於點 的對稱點為Q ,證明： 、 、Q四點在同一圓上。

『伍』 2011高考全國2卷數學答案

2011年高考題全國卷II數學試題•理科全解全析
科目： 數學 試卷名稱 2011年普通高等學校招生全國統一考試•全國卷II(理科)
知識點檢索號
新課標 題目及解析

（1）復數 ， 為 的共軛復數，則
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】先求出的 共軛復數,然後利用復數的運演算法則計算即可。
【精講精析】選B. .

（2）函數 的反函數為
（A） （B）
（C） （D）
【思路點撥】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范圍，它是反函數的定義域。
【精講精析】選B.在函數 中， 且反解x得 ，所以 的反函數為 .

（3）下面四個條件中，使 成立的充分而不必要的條件是
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的是通過選項能推出a>b，而由a>b推不出選項的選項.
【精講精析】選A.即尋找命題P使P 推不出P，逐項驗證可選A。

（4）設 為等差數列 的前 項和，若 ，公差 ， ，則
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【思路點撥】思路一：直接利用前n項和公式建立關於k的方程解之即可。思路二：
利用 直接利用通項公式即可求解，運算稍簡。
【精講精析】選D.

（5）設函數 ，將 的圖像向右平移 個單位長度後，所得的圖像與原圖像重合，則 的最小值等於
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】此題理解好三角函數周期的概念至關重要，將 的圖像向右平移 個單位長度後，所得的圖像與原圖像重合，說明了 是此函數周期的整數倍。
【精講精析】選C. 由題 ,解得 ，令 ，即得 .

(6)已知直二面角 ，點 ,C為垂足， 為垂足．若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等於
(A) (B) (C) (D) 1
【思路點撥】本題關鍵是找出或做出點D到平面ABC的距離DE，根據面面垂直的性質不難證明 平面 ，進而 平面ABC,所以過D作 於E，則DE就是要求的距離。
【精講精析】選C.
如圖，作 於E，由 為直二面角， 得 平面 ，進而 ，又 ，於是 平面ABC，故DE為D到平面ABC的距離。
在 中，利用等面積法得 .

(7)某同學 有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有
(A)4種 (B)10種 (C)18種 (D)20種
【思路點撥】本題要注意畫冊相同，集郵冊相同，這是重復元素，不能簡單按照排列知識來鑄。所以要分類進行求解。
【精講精析】選B.分兩類：取出的1本畫冊，3本集郵冊，此時贈送方法有 種；取出的2本畫冊，2本集郵冊，此時贈送方法有 種。總的贈送方法有10種。

(8)曲線y= +1在點(0，2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為
(A) (B) (C) (D)1
【思路點撥】利用導數求出點（0，2）切線方程然後分別求出與直線y=0與y=x的交點問題即可解決。
【精講精析】選A. 切線方程是： ,在直角坐標系中作出示意圖，即得 。

(9)設 是周期為2的奇函數，當0 ≤x≤1時， = ，則 =
(A) - (B) (C) (D)
【思路點撥】解本題的關鍵是把通過周期性和奇偶性把自變數 轉化到區間[0,1]上進行求值。
【精講精析】選A.
先利用周期性，再利用奇偶性得: .

(10)已知拋物線C： 的焦點為F，直線 與C交於A，B兩點 ．則 =
(A) (B) (C) (D)
【思路點撥】方程聯立求出A、B兩點後轉化為解三角形問題。
【精講精析】選D.
聯立 ，消y得 ，解得 .
不妨設A在x軸上方，於是A，B的坐標分別為(4,4),(1,-2),
可求 ，利用餘弦定理 .

(11)已知平面α截一球面 得圓M，過圓心M且與α成 二面角的平面β截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4 ，則圓N的面積為
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
【思路點撥】做出如圖所示的圖示，問題即可解決。
【精講精析】選B.
作示意圖如，由圓M的面積為4 ，易得 ，
中， 。
故 .

(12)設向量 滿足 ，則 的最大值等於
(A)2 (B) (c) (D)1
【思路點撥】本題按照題目要求構造出如右圖所示的幾何圖形，然後分析觀察不難得到當線段AC為直徑時， 最大.
【精講精析】選A.如圖，構造
，
所以A、B、C、D四點共圓，分析可知當線段AC為直徑時， 最大，最大值為2.

(13)(1- )20的二項展開式中，x的系數與x9的系數之差為: .
【思路點撥】解本題一個掌握展開式的通項公式，另一個要注意 .
【精講精析】0. 由 得 的系數為 , x9的系數為 ,而 .

(14)已知a∈( ， )，sinα= ，則tan2α=
【思路點撥】本題涉及到同角三角函數關系式,先由正弦值求出餘弦值一定要注意角的范圍，再求出正切值，最後利用正切函數的倍角公式即可求解。
【精講精析】 .由a∈( ， )，sinα= 得 ,
.

(15)已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為(2，0)，AM為∠F1AF2的平分線．則|A F2| = .
【思路點撥】本題用內角平分線定理及雙曲線的定義即可求解。
【精講精析】6.
由角平分線定理得： ,故 .

(16)己知點E、F分別在正方體ABCD-A1B2C3D4的棱BB 1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等於 .
【思路點撥】本題應先找出兩平面的交線，進而找出或做出二面角的平面角是解決此問題的關鍵,延長EF必與BC相交，交點為P，則AP為面AEF與面ABC的交線.
【精講精析】 .延長EF交BC的延長線於P，則AP為面AEF與面ABC的交線，因為 ，所以 為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角。

(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)
△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知A—C=90°，a+c= b，求C.
【思路點撥】解決本題的突破口是利用正弦定理把邊的關系轉化為角的正弦的關系，然後再結合A—C=90°,得到 .即可求解。
【精講精析】選D.由 ，得A為鈍角且 ，
利用正弦定理， 可變形為 ，
即有 ，
又A、B、C是 的內角，故
或 (捨去)
所以 。
所以 .

(18)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)
根據以往統計資料，某地車主購買甲種 保險 的概率為0．5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設各車主購買保險相互獨立
(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；
(Ⅱ)X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數。求X的期望。 【思路點撥】解本題應首先主出該車主購買乙種保險的概率為p,利用乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，即可求出p=0.6.然後（ii）利用相互獨立事件的概率計算公式和期望公式計算即可.
【精講精析】設該車主購買乙種保險的概率為p,由題意知： ，解得 。
（I） 設所求概率為P1，則 .
故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8。
（II） 對每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為 。

所以X的期望是20人。

（19）如圖，四棱錐 中， , ，側面 為等邊三角形， .
（Ⅰ）證明： ;
（Ⅱ)求 與平面 所成角的大小.
【思路點撥】本題第（I）問可以直接證明，也可建系證明。
（II）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算計算把求角的問題轉化為數值計算問題,思路清晰思維量小。
【精講精析】計算SD=1， ，於是 ，利用勾股定理，可知 ，同理，可證
又 ，
因此， .
（II）過D做 ，如圖建立空間直角坐標系D-xyz，
A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),
可計算平面SBC的一個法向量是
.
所以AB與平面SBC所成角為 .

（20）設數列 滿足 且
（Ⅰ）求 的通項公式；
（Ⅱ）設
【思路點撥】解本題突破口關鍵是由式子 得到 是等差數列，進而可求出數列 的通項公式.（II）問求出 的通項公式注意觀察到能採用裂項相消的方式求和。
【精講精析】 (I) 是公差為1的等差數列，

所以
(II)
.

（21）已知O為坐標原點，F為橢圓 在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為 的直線 與C交與A、B兩點，點P滿足
(Ⅰ)證明：點P在C上；
（Ⅱ）設點P關於點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.
【思路點撥】方程聯立利用韋達定理是解決這類問題的基本思路，注意把 用坐標表示後求出P點的坐標，然後再結合直線方程把P點的縱坐標也用A、B兩點的橫坐標表示出來。從而求出點P的坐標代入橢圓方程驗證即可證明點P在C上。(II)此問題證明有兩種思路：思路一：關鍵是證明 互補.通過證明這兩個角的正切值互補即可，再求正切值時要注意利用倒角公式。
思路二：根據圓的幾何性質圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據兩條弦的垂直平分線的交點找出圓心N，然後證明N到四個點A、B、P、Q的距離相等即可.
【精講精析】 (I)設
直線 ，與 聯立得

由 得
,

所以點P在C上。
（II）法一：

同理

所以 互補，
因此A、P、B、Q四點在同一圓上。
法二：由 和題設知， ,PQ的垂直平分線 的方程為 …①
設AB的中點為M，則 ，AB的垂直平分線 的方程為 …②
由①②得 、 的交點為
,

, ,

故 .
所以A、P、B、Q四點在同一圓圓N上.
（22）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
（Ⅰ）設函數 ，證明：當 時， ；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然後放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為 .證明：
【思路點撥】本題第（I）問是利用導數研究單調性最值的常規題，不難證明。
第(II)問證明如何利用第（I）問結論是解決這個問題的關鍵也是解題能力高低的體現。
【精講精析】(I)
所以 在 上單增。
當 時， 。
（II）
由(I)，當x<0時， ,即有
故
於是 ,即 .
利用推廣的均值不等式：

另解： ，
所以 是上凸函數，於是
因此

，
故
綜上：

『陸』 2011數學高考題全國卷最後一題是什麼

（22）(本小題滿分12分)
（注意：在試題卷上作答無效）
已知數列中，
.
（Ⅰ）設，求數列的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范圍
.

『柒』 2010高考全國卷數學

一樣是貼近新課標，我剛考完高考 我感覺比去年難，最後三題看起來簡單但就是想不出，立體幾何難了，三角題目短但也難，概率題很簡單

轉載
難題考哭不少學生

考生印象

「考死人了，這么難的題目，怎麼做啊。」在南寧一中考點，一名考生一出考場就哭了。這名考生向領隊老師哭訴說：「太難了，很多題目根本沒有辦法算出來，有的題目看不懂，原來覺得南寧市『二模』已經很難了，沒有想到這個還要難。」

「個個愁眉苦臉，唉聲嘆氣，像霜打的茄子。」一名高三班主任心疼地告訴記者，她自己沒看到試題，但數學科目一散考，看到考生出場的表情，就知道考生的考試狀況了。害怕考生失去士氣，她只能一個勁地安慰學生「我難大家難，考完一科忘一科」。

一名考生告訴記者，他們班上有個同學，兩次在數學奧林匹克競賽中都拿獎，但是這次高考做出來的題目，加起來都不到130分。當天晚上，學校害怕他們沮喪的心情影響後面兩科考試，還在廣播里不斷安慰大家。

一名監考老師說，當天他在監考數學時，發現很多考生後邊的大題幾乎是一片空白。個別學生可能因為試題太難，到最後直接放棄睡覺了。有的考生剛出考場，就忍不住哭起來了。

試卷評析

點評者：南寧八中中學高級教師黃文昭

與去年數學試題相比，今年高考數學試題在題型和題量上基本保持不變。但是，今年的數學試題能力立意型試題較多，運算量較大，難度較去年確實有所增加，這主要體現在試題的思維量和運算量的增加。

在選擇題上，今年試題比往年更難。在12道選擇題中，前邊7題屬於基礎題，比較容易得分，但從第8題開始，難度增大。如果考生答不出來，又不懂得放棄的話，容易在難題上絆住腳，進而影響後邊答題的心態和時間。

在解答題中，第17題仍為三角函數問題，但與往年相比有一定的新意，著重考查了正弦定理及三角公式的恆等變形，在思路上與往年試題有所不同。第20題導數問題，屬於起點低、廣入口、高結尾的問題。學生感覺題目容易，但是深入較難，不易得高分。第21題解析幾何題，由於運算量答，容易使學生產生畏難情緒。第22題數列問題，考查簡單的遞推關系求通項和不等式證明。第一問較易，大多數學生應該能夠順利完成。但是，第二問難度較大，靈活性較強。

理科數學試卷中的第20、21、22題三道大題，雖然都是多問，但第一問都不好做，尤其是第21題解析幾何題，雖然前幾年也考過類似題型，但計算量沒今年大，部分計算能力不強的同學，也會因此失分。

就整個試卷來看，重點考察函數與導數、數列與不等式、概率統計、直線與圓錐曲線綜合的相關內容，試題要求學生對知識點的靈活運用非常到位，這對於大多數學生來說是一個不小的挑戰。

『捌』 2011年高考全國2卷數學題難度如何

數學試題難度較往年略有提高，最後一道大題第二問偏難，選擇最後兩道大題難度較大，大體整體難度大。