大學數學與數學文化

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只一個【數學文化】

數學文化
數學作為一種文化現象，早已是人們的常識。歷史地看，古希臘和文藝復興時期的文化名人，往往本身就是數學家。最著名的如柏拉圖和達·芬奇。晚近以來，愛因斯坦、希爾伯特、羅素、馮·諾依曼等文化名人也都是20世紀數學文明的締造者。
數學文化的存在價值
在即將公布的高中數學課程標准中，數學文化是一個單獨的板塊，給予了特別的重視。許多老師會問為什麼要這樣做？一個重要的原因是，20世紀初年的數學曾經存在著脫離社會文化的孤立主義傾向，並一直影響到今天的中國。數學的過度形式化，使人錯誤地感到數學只是少數天才腦子里想像出來的「自由創造物」，數學的發展無須社會的推動，其真理性無須實踐的檢驗，當然，數學的進步也無須人類文化的哺育。於是，西方的數學界有「經驗主義的復興」。懷特（L.A.White）的數學文化論力圖把數學回歸到文化層面。克萊因（M.Kline）的《古今數學思想》、《西方文化中的數學》、《數學：確定性的喪失》相繼問世，力圖營造數學文化的人文色彩。
國內最早注意數學文化的學者是北京大學的教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的《數學與文化》，匯集了一些數學名家的有關論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考。稍後出版的有齊民友的《數學與文化》，主要從非歐幾何產生的歷史闡述數學的文化價值，特別指出了數學思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著《數學文化學》，特點是用社會建構主義的哲學觀，強調「數學共同體」產生的文化效應。
以上的著作以及許多的論文，都力圖把數學從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來，重點是分析數學文明史，充分揭示數學的文化內涵，肯定數學作為文化存在的價值。
認識和實施數學文化教育
進入21世紀之後，數學文化的研究更加深入。一個重要的標志是數學文化走進中小學課堂，滲入實際數學教學，努力使學生在學習數學過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位，體察社會文化和數學文化之間的互動。
那麼，如何在中小學數學教學中進行數學文化教育呢？筆者認為應該從以下幾個方面加以認識和實施。
認識數學文化的民族性和世界性
每個民族都有自己的文化，也就一定有屬於這個文化的數學。古希臘的數學和中國傳統數學都有輝煌的成就、優秀的傳統。但是，它們之間有著明顯的差異。古希臘和古代中國的不同政治文明孕育了不同的數學。
古希臘是奴隸制國家。當時希臘的雅典城邦實行奴隸主的民主政治（廣大奴隸不能享受這種民主）。男性奴隸主的全體大會選舉執政官，對一些戰爭、財政大事實行民主表決。這種政治文明包含著某些合理的因素。奴隸主之間講民主，往往需要用理由說服對方，使學術上的辯論風氣濃厚。為了證明自己堅持的是真理，也就需要證明。先設一些人人皆同意的「公理」，規定一些名詞的意義，然後把要陳述的命題，稱為公理的邏輯推論。歐氏的《幾何原本》正是在這樣的背景下產生的。
中國在春秋戰國時期也有百家爭鳴的學術風氣，但是沒有實行古希臘統治者之間的民主政治，而是實行君王統治制度。春秋戰國時期，也是知識分子自由表達見解的黃金年代。當時的思想家和數學家，主要目標是幫助君王統治臣民、管理國家。因此，中國的古代數學，多半以「管理數學」的形式出現，目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計算稅收、運輸糧食等國家管理的實用目標。理性探討在這里退居其次。因此，從文化意義上看，中國數學可以說是「管理數學」和「木匠數學」，存在的形式則是官方的文書。
古希臘的文化時尚，是追求精神上享受，以獲得對大自然的理解為最高目標。因此，「對頂角相等」這樣的命題，在《幾何原本》里列入命題15，藉助公理3（等量減等量，其差相等）給予證明。在中國的數學文化里，不可能給這樣的直觀命題留下位置。
同樣，中國數學強調實用的管理數學，卻在演算法上得到了長足的發展。負數的運用、解方程的開根法，以及楊輝（賈憲）三角、祖沖之的圓周率計算、天元術那樣的精緻計算課題，也只能在中國誕生，而為古希臘文明所輕視。
我們應當充分重視中國傳統數學中的實用與演算法的傳統，同時又必須吸收人類一切有益的數學文化創造，包括古希臘的文化傳統。當進入21世紀的時候，我們作為地球村的村民，一定要溶入世界數學文化，將民族性和世界性有機地結合起來。
揭示數學文化內涵，走出數學孤立主義的陰影
數學的內涵十分豐富。但在中國數學教育界，常常有「數學=邏輯」的觀念。據調查，學生們把數學看作「一堆絕對真理的總集」，或者是「一種符號的游戲」。「數學遵循記憶事實-運用演算法-執行記憶得來的公式-算出答案」的模式[1]，「數學=邏輯」的公式帶來了許多負面影響。正如一位智者所說，一個充滿活力的數學美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！
數學的內涵，包括用數學的觀點觀察現實，構造數學模型，學習數學的語言、圖表、符號表示，進行數學交流。通過理性思維，培養嚴謹素質，追求創新精神，欣賞數學之美。
半個多世紀以前，著名數學家柯朗（R.Courant）在名著《數學是什麼》的序言中這樣寫道：「今天，數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機。數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。數學研究已出現一種過分專門化和過於強調抽象的趨勢，而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系。教師學生和一般受過教育的人都要求有一個建設性的改造，其目的是要真正理解數學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎。」
2002年8月20日，丘成桐接受《東方時空》的采訪時說：「我把《史記》當作歌劇來欣賞」，「由於我重視歷史，而歷史是宏觀的，所以我在看數學問題時常常採取宏觀的觀點，和別人的看法不一樣。」 這是一位數學大家的數學文化闡述。
《文匯報》2002年8月21日摘要刊出錢偉長的文章《哥丁根學派的追求》，其中提到：「這使我明白了：數學本身很美，然而不要被它迷了路。應用數學的任務是解決實際問題，不是去完善許多數學方法，我們是以解決實際問題為己任的。從這一觀點上講，我們應該是解決實際問題的優秀『屠夫』，而不是制刀的『刀匠』，更不是那種一輩子欣賞自己的刀多麼鋒利而不去解決實際問題的刀匠。」這是一個力學家的數學文化觀。
和所有文化現象一樣，數學文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數學文化，一方面拒人於千里之外，使人望數學而生畏；另一方面，又孤芳自賞，自言自語，令人把數學家當成「怪人」。學校里的數學，原本是青少年喜愛的學科，卻成為過濾的「篩子」、打人的「棒子」。優秀的數學文化，會是美麗動人的數學王後、得心應手的僕人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數學文化，數學教學會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。
多側面地開展數學文化研究
談到數學文化，往往會聯想到數學史。確實，宏觀地觀察數學，從歷史上考察數學的進步，確實是揭示數學文化層面的重要途徑。但是，除了這種宏觀的歷史考察之外，還應該有微觀的一面，即從具體的數學概念、數學方法、數學思想中揭示數學的文化底蘊。以下將闡述一些新視角，力求多側面地展現數學文化。
1. 數學和文學。數學和文學的思考方法往往是相通的。舉例來說，中學課程里有「對稱」，文學中則有「對仗」。對稱是一種變換，變過去了卻有些性質保持不變。軸對稱，即是依對稱軸對折，圖形的形狀和大小都保持不變。那麼對仗是什麼？無非是上聯變成下聯，但是字詞句的某些特性不變。王維詩雲：「明月松間照，清泉石上流」。這里，明月對清泉，都是自然景物，沒有變。形容詞「明」對「清」，名詞「月」對「泉」，詞性不變。其餘各詞均如此。變化中的不變性質，在文化中、文學中、數學中，都廣泛存在著。數學中的「對偶理論」，拓撲學的變與不變，都是這種思想的體現。文學意境也有和數學觀念相通的地方。徐利治先生早就指出：「孤帆遠影碧空盡」，正是極限概念的意境。
2.歐氏幾何和中國古代的時空觀。初唐詩人陳子昂有句雲：「前不見古人，後不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下。」這是時間和三維歐幾里得空間的文學描述。在陳子昂看來，時間是兩頭無限的，以他自己為原點，恰可比喻為一條直線。天是平面，地是平面，人類生活在這悠遠而空曠的時空里，不禁感慨萬千。數學正是把這種人生感受精確化、形式化。詩人的想像可以補充我們的數學理解。
3. 數學與語言。語言是文化的載體和外殼。數學的一種文化表現形式，就是把數學溶入語言之中。「不管三七二十一」涉及乘法口訣，「三下二除五就把它解決了」則是算盤口訣。再如「萬無一失」，在中國語言里比喻「有絕對把握」，但是，這句成語可以聯系「小概率事件」進行思考。「十萬有一失」在航天器的零件中也是不允許的。此外，「指數爆炸」「直線上升」等等已經進入日常語言。它們的含義可與事物的復雜性相聯系（計算復雜性問題），正是所需要研究的。「事業坐標」「人生軌跡」也已經是人們耳熟能詳的詞語。
4. 數學的宏觀和微觀認識。宏觀和微觀是從物理學借用過來的，後來變成一種常識性的名詞。以函數為例，初中和高中的函數概念有變數說和對應說之分，其實是宏觀描述和微觀刻畫的區別。初中的變數說，實際上是宏觀觀察，主要考察它的變化趨勢和性態。高中的對應則是微觀的分析。在分段函數的端點處，函數值在這一段，還是下一段，差一點都不行。政治上有全局和局部，物理上有牛頓力學與量子力學，電影中有全景和細部，國畫中有潑墨山水畫和工筆花鳥畫，其道理都是一樣的。是否要從這樣的觀點考察函數呢？
5. 數學和美學。「1/2+1/3=2/5 ？」是不是和諧美？二次方程的求根公式美不美？這涉及到美學觀。三角函數課堂上應該提到音樂，立體幾何課總得說說繪畫，如何把立體的圖形畫在平面上。欣賞艾舍爾（M.C.Escher）的畫、計算機畫出的分形圖，也是數學美的表現。
總之，數學文化離不開數學史，但是不能僅限於數學史。當數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學時，數學就會更加平易近人，數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學。
[1] 黃毅英.數學觀研究綜述.數學教育學報，2002，1：3

2. 數學文化包括哪些方面

什麼是數學?曾經有一種非常普遍的說法,即「數學是鍛煉思維的體操」,學數學就是為了培養邏輯思維能力.對於數學,絕大多數人的印象是嚴格、抽象,或者還有單調、枯燥,就象數學家G·波利亞所擔憂的：「數學在各門課程中是最不得人心的一門功課,其名聲不佳……」.那麼,數學真的不過是一種「思維體操」,僅此而已?隨著新世紀的到來,隨著人們對數學更深層次的認識,數學的文化現象已明顯的凸現了出來.「數學是一種文化」,已成為定論,而作為文化是可以被繼承和發展的.細細想來,事實確是如此,世界上的語言、文字、宗教、黨派都有地域之分,但世上只有一種數學,數學定理又能萬世流傳,數學確實是最具有文化特徵的了.
數學確實是一種文化.
王梓坤先生在《今日數學與應用》一文中總結了數學在四個方面的巨大作用,其中一條就是「對全體人民的科學思維與文化素質的哺育」.他進一步指出：「數學文化具有比數學知識體系更為豐富和深邃的文化內涵,數學文化是對數學知識、技能、能力和素質等概念的高度概括.」我們學習數學不僅是為了獲取知識,更能通過數學學習接受數學精神、數學思想和數學方法的熏陶,提高思維能力,鍛煉思維品質.前蘇聯數學家辛欽也指出：數學教育不僅可以培養人正直與誠實的品質,也能鍛煉人頑強的意志與勇氣.難怪英國的法律大學,抑或美國西點軍校,都開設了許多高深的數學課程,其目的不言而喻.
日本數學教育家米山國藏在從事了多年數學教育之後,說過一段意味深長的話：學生們在初中或高中所學到的數學知識,在進入了社會之後,如果沒有什麼機會應用,那麼這種作為知識的數學,通常在出校門後不到一兩年就會忘掉,然而他們不管從事什麼工作,那種銘刻在人腦中的數學精神和數學思想方法,會長期的在他們的工作和生活中發揮著重要作用,這無疑是對數學文化內涵的一個精彩注釋.
由此可見,數學的文化性體現在：它可以幫助我們更好的認識自然,了解世界,適應生活；它可以促進我們有條理的思考,有效的表達與交流,運用數學去分析問題和解決問題；它可以發展我們的主動性、責任感和自信心,培養我們實事求是的科學態度和勇於探索的創新精神.可以這么說,良好的數學修養是人的一生的可持續發展的基礎.在未來社會里,沒有相當的數學知識,就是沒有文化,就是「文盲」.
數學是一種文化,那麼,數學究竟是精英文化還是大眾文化?看看偉大的數學家龐加萊是怎麼說的,龐加萊說：
科學家研究自然並不是因為它有用,他研究它是因為他喜愛它,他喜愛它是因為它美.如果它不美,它就不值得被人知道,而如果自然不值得知道,人也就不值得活下去.當然,我這里說的並不是那種激動感官的美———那種品質上和外觀上的美；並不是我低估那種美,遠遠不是如此,但那種美跟科學不相干；我說的是各部分之間和諧有序的更深刻的美,是一個純潔的心靈所能掌握的美.
顯然,龐加萊指的「科學」主要是理論科學,包括數學.他似乎也支持科學（包括數學）是一種精英文化.
今天看來,龐加萊的觀點似乎叫人難以接受.我們認為,數學過分地遠離公眾,並不是一件好事；數學所具有的客觀性,是任何智慧生命所不可避免的「命運」；一個數學問題或理論,如果只有一個人或少數幾個人研究過,無法繼承下去,最終只能成為後人從陳年故紙堆中翻出來的思維調料,這樣的數學就算不上是好的數學.數學作為一種文化要被繼承和發展,並不是幾個數學家的事,而是大眾的事,這註定了數學是一種大眾文化.
當我們打開現行數學新教材時,無論是初中教材還是高中教材,數學的「文化味」撲面而來,那一幅幅充滿「人性化」的插圖,那一篇篇「通俗化」的閱讀材料,無不透射出當代數學教育的「人性化」、「通俗化」、「大眾化」的教育理念.的確,以弘揚「數學文化」為核心的數學教育才是科學的數學教育,才是完整的數學教育.然而,由於長期受應試教育的影響,我們的數學教育依然存在著某些誤區：數學課程過分強調它的「邏輯性」、「演繹性」、「封閉性」；課堂教學中,解題教學占據了主導地位.通過大量練習來學習數學,是當今我國數學教學的主旋律.通過大量模仿性練習,這對提高學生基本運算能力、邏輯推演能力和解題能力的確有效,但培養這樣的學生除了暫時能解幾道題,還能幹什麼呢?他們無法體會到數學的文化價值,更缺乏創新精神,這不能不說是數學教育的一個嚴重的缺陷.要徹底改變這種現狀,教材的改革固然重要,但歸根到底還是取決於選拔人才機制的變革,取決於教育理念的更新,而教師有著責無旁貸的責任.

3. 大學公選課"數學文化"主要講什麼

數學文化公選課的價值
來源：數學文化論文|2012-11-20 09:19
作者：羅成廣 劉愛超 單位：黃淮學院
隨著時代的發展、社會的進步，在校大學生具有較高的數學素養已成為時代必然，而數學素養的提高需要我們從數學的觀念、知識、技能、能力、思維、方法、態度、精神及價值取向等多方面開展適當的數學文化教育。因此，筆者認為非常有必要在普通高校中開設數學文化公共選修課（以下簡稱「公選課」），藉以提高廣大青年學生的數學素養乃至文化素養。
１數學文化的理解
數學作為一種文化現象，歷來受到人們的重視，但數學文化作為一種特殊的文化形態，直到２０世紀下半葉，才由美國著名的數學史學家Ｍ．克萊因在其著作中進行了比較系統而深刻的闡述，這以後，人們對數學文化的理解，出現了諸多看法。本人在梳理後認為他們對數學文化的認識，雖然提法不同，但都強調了以下幾個方面：①數學文化是對數學知識、技能、觀念和價值等的高度概括。②數學文化對人們的行為、觀念、態度和精神等有著深刻影響，但這種影響卻是潛移默化的。③數學文化體現著更多的人文精神，它對於提高人的文化修養和個性品質起著重要作用。由此筆者認為數學文化是指由數學的知識系統和數學的觀念系統相互融合的整體，它重在對人們的行為、觀念、態度和精神等所產生的長遠而深邃的影響上。
２數學文化的價值
２．１認識價值數學並非直接研究客觀事物或現象，而是以「量化模式」這個抽象思維的產物作為直接的研究對象，因而數學規律所反映的就不僅是個別事物或現象的特徵，而是一類事物或現象的共同特徵，這就使得數學成為了人類認識世界強有力的工具。在語言方面，數學有特製的符號語言，這使得數學語言能對科學現象和規律進行精確、簡潔的描述；在思維方面，「數學是思維的體操」，數學思維最主要體現為邏輯思維，此外還有形象思維和直覺思維等思維形；另外在思想方法方面，數學思想方法是人們對數學知識內容的本質認識，是對所使用方法和規律的理性認識，它一旦形成，便可以運用到一切合適的場合之中，它已成為研究數學理論和運用數學知識解決實際問題的重要指導思想。
２．２智力價值數學是人類智力的創造物，因而學習數學就成為訓練人的智力，提高人的智力水平最為有效的途徑。實事求是地說，就培養人的智力的功效來講，就培養人的思維的深廣度以及系統性而言，再沒有其他任何一門學科能與數學相比了。什麼才能使一個人的智力得到發展而具備這樣的素養呢？因發現Ｘ射線而享有盛名的物理學家倫琴認為：「第一是數學，第二是數學，第三還是數學。」足見數學在發展人的智力方面有著巨大的意義。
２．３精神價值數學不僅有著豐富的理論知識體系，還能夠不斷提高人類的精神境界，推動社會更加文明和進步。著名數學家哈爾莫斯認為：「數學為人類精神最精緻的花朵之一。」數學的精神價值集中體現為理性精神、求實精神和創新精神方面，而理性、求實、創新對於人們綜合素養的提高具有十分重要的意義。
２．４美學價值在常人眼中，數學給人的印象往往是一種枯燥無味的「智力游戲」，事實上，數學並非僅僅是一種「智力游戲」，它還是美學四大中心建構（史詩、音樂、造型、數學）之一，具有獨特的審美價值和美學意義。但由於數學的極端抽象性，也決定了數學之美是一種內在的、深邃的和理性的美，「美的易見度」難以顯現。不像藝術美那樣直接、袒露和鮮明。
３開設數學文化公選課的必要性
３．１促進大學生對數學和社會發展相互作用的了事實上，數學自萌芽開始，就與人類社會發展的進程結伴而行，它們相互影響，相互促進，共同進步。一方面，數學的發展極大地影響著人類社會的進程。我國著名數學家華羅庚曾經指出，「宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁」等各方面無處不體現著數學的工具作用，這就是很好的例證。另一方面，社會的進步也有力地促進著數學的發展，並成為其主要的原動力。由此可見，數學的發展與社會的進步的確是相互作用，密不可分。開設數學文化公選課可使大學生們意識到數學對社會發展所起的促進作用以及數學知識的來源和社會需求，從而能使他們樹立起學好數學的社會責任感。
３．２培養大學生數學地思考問題的意識我們知道，數學不是對客觀世界的直接描述，而是採用極為抽象的方式對要認識的對象所進行的定性把握和定量刻畫。因而，可從數學的角度（主要指運用有關的數學思想方法）去觀察、分析日常生活現象並對其中所蘊涵的一些數學模式進行思考和做出判斷，從而去解決我們身邊的一些問題，也就是說要培養大學生的數學意識，這已成為判定一個大學生數學素養高低的重要標志之一。由此，開設數學文化公選課可以幫助大學生認識到數學與「我」有關，與日常生活有關，進一步使他們產生「我要用數學，我能用數學」的積極情感，由此強化他們的數學意識，從而提高他們的數學素養。
３．３擴展大學生的數學視野這里所說的數學視野，是一個廣泛意義下的數學視野，不單

4. 數學與文化有什麼關系

「一種沒有相當發達的數學的文化是註定要衰落的，一個不掌握數學作為一種文化的民族也是註定要衰落的。」 數學是研究數與形的科學，它來源於生產，服務於生活，並不是空中樓閣。在古代埃及，尼羅河定期泛濫，重新丈量土地的需要發展了幾何學；在古代中國，發達的農業生產及天文觀測的需要，也促進了數學的發展。數學與社會文化始終是密切相關的。據說，兩千多年前，柏拉圖學園的門口掛著一塊牌子，寫著：「不懂幾何的人不得入內。」柏拉圖本人就曾做過一次題為「善的概念」的講演，切實地探討過「數學與文化」的問題。他認為，數學與倫理學中的「善」在理想化方面是相同的，用筆畫出來的點、線、面都是一種抽象，因而也是一種理想。柏拉圖之後的兩千多年，即1939年12月，英國數學家、哲學家懷特海在美國哈佛大學作了一次講演，題為「數學與善」，重申了柏拉圖的思想，認為只有人類的智力才能「從實例中抽象出某一類型東西來。人類這個特性的最明顯的表現就是數學概念和善的理想」。可見，數學並不是一棵傲然孤立的大樹。它是在人類的物質需求和精神生活影響下生長起來的，同時它也以自己獨特的魅力對人類文化的不同領域產生深遠影響。 數學文化的以下三個特點：第一，數學「追求一種完全確定、完全可靠的知識」。第二，數學的簡單性、深刻性、統一性。第三，數學可以自我反思、自我完善。數學發展的歷史，就是在不斷探索中逐步完善的歷史。 摘自《數學與文化》一書，推薦你去閱讀！

5. 數學文化與生活3000字論文

數學文化
人類共同的精神財富——數學,數學是人類智慧的結晶，它表達了人類思維中生動活潑的意念,表達了人類對客觀世界深入細致的思考,以及人類追求完美和諧的願望。
早在古希臘時代,哲學家柏拉圖把數學看作是文化的最高理想。他說:「幾何學可以將靈魂引向真理,並且創造出理性精神」。他認為學習數學不只是為了求真,也是為了求善、求美。他認為人通過研究幾何同時也不斷地塑造自己,使自己成為更高尚、更豐富、也更有力量的人。既人們在認識宇宙同時,也認識人類自己。在這個認識過程中,數學起著獨特的作用。現在它幾乎是任何科學都不可缺少的,它是現代科學技術的語言和工具,它的成果為眾多學科所共識,積極推動著這些學科理論的建立和深化,它的思維方式和方法滲透到各學科,為這些學科的發展增添了活力。
數學追求一種完全確定、完全可靠的知識。數學的對象必須是明確無誤的概念,作為以推理為出發點的命題必須明確、清晰,推理過程的每一步驟都必須明確可靠、容不得半點的含糊,整個認識過程必須前後一貫而不容許自相矛盾。當然,任何一個法律文件、一篇有說服力的學術文章也必須概念清晰、邏輯嚴謹,但是數學對知識可靠性的要求更高、更明確。正因為如此,數學方法成為人們一種典範的認識方法,幫助人們正確地、客觀地認識宇宙和人類自己。幾千年來,人類的思想發生了巨大變化,人類的知識在不斷地增長。而在由歷史積累而形成的人類知識文化寶藏中,數學思想和方法卻一直延續發展
了幾千年,表現出了強大的生命力。
數學不斷地追求最簡單、最深層次這是認識的根本。用簡潔的數學公式來表示復雜的事物、理解變化的客觀規律。在科學技術領域內,人們現在己經能習慣地用非常簡潔的數學公式來表示牛頓定律,以此來描述物體多種多樣的運動,解釋各種現象,同時藉助於數學探求事物的機理,預測事物未來的發展變化,探求超出人類感官所及的宇宙的根本。人們藉助計算機通過建立數學模型進行數學計算,在數學思想方法的啟發和幫助下,解決各式各樣的問題。人們在認識客觀世界的探索中越來越相信,世界的合理性可以用數學來描述。
數學不僅研究客觀世界的數量關系和空間形式,而且也研究它自己。數學史中出現過的一個又一個悖論,記錄了數學在研究自身的過程中所經歷的一次又一次的危機,危機似乎動搖了數學的基礎,而數學正是在不斷嚴格地審視自己、不斷地克服自身一個又一個矛盾的過程中夯實了自己的基礎,使之變得更為扎實、牢靠。一些公理化體系就是數學對自己的基礎出現多次「危機」後深思熟慮的結果。在探討數學自身的過程中,也形成了像數理邏輯這樣的數學新分支,推動了數學自身的發展。數學發展的歷史正是體現了人類追求真理而不斷探索的精神。
數學的基礎是邏輯和直覺、分析和推理、共性和個性,這種思維方式是數學外在的表現。而實質上也和其他文化領域一樣,其自身的發展受到不同的時代精神、不同的思維方式的影響。反過來它也影響著人的精神和思維,影響一個民族文化進步。解析幾何和微積分的
創立,使變數成為數學的研究對象。數學思想、內容、方法上的革新,使數學的面貌煥然一新。而數學研究運動、變化的思想和方法,以及數學所取得的進展,對打破科學研究中形而上學的枷鎖,把辯證法引入到科學的思維中,起到了推波助瀾的作用。今天,恐怕沒有一個有文化的人不懂得「增長速度」,「變化率」的含義,人們己經習慣從運動和變化的觀點來研究事物。數學促進了幾乎所有學科的發展,直接或間接地影響了每一個有文化的人的思維。影響人類的精神生活,提高和豐富了人類的整個精神文明水平。
(2)數學對人的文化素養影響
面對飛躍發展的科學技術,人必須具備必要的數學知識和技能,以訓練心智、陶冶情操,更好的理解周圍的世界,從而更客觀的認識人類社會。例如「今年前六個月的居民存款比去年同期增速下降1個百分點。」「今天降水概率是50%」。「信息高速公路」、「數字信息」等他們的含義都是什麼?數學對人的文化素質的影響,至少表現在如下幾個方面:
有利於培養嚴謹的思維方式。盡管大多數人將來不會成為數學家,但是條理性、邏輯性作為一種文化素質對人們將來從事任何一種職業都是需要的。同時,數學思維能力的培養對人的智力發展起著關鍵的作用。如圓是一個完美的圖形,可用方程來表示,我們可以從這個方程中找出圓的所有美妙的性質,進一步還可以用方程來表示球,那麼我們為什麼不考慮下列方程以及。僅僅靠類比就使我們從三維空間進入了高維空間,從有形進入了無形,從現實進入了虛擬世
界。
有利於培養人的創新精神。數學是人類理性文明高度發展的結晶,又是人類創新的銳利工具。無論數學知識的應用或是數學知識的發展,都需要研究新問題,根據實際情況做出恰如其分的分析,並由此找到解決問題的途徑。這就體現出人的巨大創造力。
有利於培養科學的審美觀。人對美的理解各不相同,但總之美和完善、完美、和諧、秩序……等相聯系。而數學本身體現出的簡潔美(抽象美、符號美、統一美等)、和諧美(對稱美、形式美等)、奇異一,數學文化的存在價值
在即將公布的高中數學課程標准中,數學文化是一個單獨的板塊,給予了特別的重視。許多老師會問為什麼要這樣做?一個重要的原因是,20世紀初年的數學曾經存在著脫離社會文化的孤立主義傾向,並一直影響到今天的中國。數學的過度形式化,使人錯誤地感到數學只是少數天才腦子里想像出來的「自由創造物」,數學的發展無須社會的推動,其真理性無須實踐的檢驗,當然,數學的進步也無須人類文化的哺育。於是,西方的數學界有「經驗主義的復興」。懷特(White)的數學文化論力圖把數學回歸到文化層面。克萊因(Kline)的《古今數學思想》、《西方文化中的數學》、《數學:確定性的喪失》相繼問世,力圖營造數學文化的人文色彩。
國內最早注意數學文化的學者是北京大學的教授孫小禮,她和鄧東皋等合編的《數學與文化》,匯集了一些數學名家的有關論述,也記錄了從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考。稍後出版的有齊
民友的《數學與文化》,主要從非歐幾何產生的歷史闡述數學的文化價值,特別指出了數學思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著《數學文化學》,特點是用社會建構主義的哲學觀,強調「數學共同體」產生的文化效應。
以上的著作以及許多的論文,都力圖把數學從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來,重點是分析數學文明史,充分揭示數學的文化內涵,肯定數學作為文化存在的價值。
二,數學:一種思想方法
數學是研究量的科學。它研究客觀對象量的變化、關系等,並在提煉量的規律性的基礎上形成各種有關量的推導和演算的方法。數學的思想方法體現著它作為一般方法論的特徵和性質,是物質世界質與量的統一、內容與形式的統一的最有效的表現方式。這些表現方式主要有:提供數量分析和計算工具;提供推理工具;建立數學模型。任何一種數學方法的具體運用,首先必須將研究對象數量化,進行數量分析、測量和計算。毛澤東同志曾指出:「對情況和問題一定要注意到它們的數量方面,要有基本的數量的分析。任何質量都表現為一定的數量,沒有數量也就沒有質量。」(注:《毛澤東選集》第4卷第1443頁,人民出版社1990年版。)例如太陽系第八大行星——海王星的發現,就是由亞當斯(J. C. Adams)和勒維烈(U. J. Leverrier)運用萬有引力定律,通過復雜的數量分析和計算,在尚未觀察到海王星的情況下推理並預見其存在的。
數學作為推理工具的作用是巨大的。特別是對由於技術條件限
制暫時難以觀測的感性經驗以外的客觀世界,推理更有其獨到的功效,例如正電子的預言,就是由英國理論物理學家狄拉克根據邏輯推理而得出的。後來由宇宙射線觀測實驗證實了這一論斷。
值得指出的是,數學模型方法作為對某種事物或現象中所包含的數量關系和空間形式所進行的數學概括、描述和抽象的基本方法,已經成為應用數學最本質的思想方法之一。模型這一概念在數學上已變得如此重要,以致於許多數學家都把數學看成是「關於模型的科學」。懷特海(A. N. Whitehead )認為:「模式具有重要性的看法和文明一樣古老……社會組織的結合力也依賴於行為模式的保持;文明的進步也僥幸地依賴於這些行為模式的變更。」(注:林夏水主編《數學哲學譯文集》第350頁,知識出版社1986年版。)並進一步指出:「數學對於理解模式和分析模式之間的關系,是最強有力的技術。」(注:林夏水主編《數學哲學譯文集》第350頁,知識出版社1986年版。)物理學家博爾茨曼(L.E. Boltzmann)認為:「模型,無論是物理的還是數學的,無論是幾何的還是統計的,已經成為科學以思維能力理解客體和用語言描述客體的工具。」這一觀點目前不僅流行於自然科學界,還遍布於社會科學界。為自然界和人類社會的各種現象或事物建立模型,是把握並預測自然界與人類社會變化與發展規律的必然趨勢。在歐洲,在人文科學和社會科學中稱為結構主義的運動,雄辯地論證了所有各種范圍的人類行為與意識都有形式的數學結構為基礎。在美國,社會科學自誇有更堅實、定量的東西,這通常也是用數學模型來表示的。從模型的觀點看,數學已經突破了量的確定性這一較狹
義的范疇而獲得了更廣泛的意義。既然數學的研究對象已經不再局限於「量」而擴展為更廣義的「模型」,那麼,數學概念的本質也在發生嬗變。數學正成為一個動態的、變化的、泛化了的概念體系,其涵蓋的科學對象也必然隨之增加。數學在社會科學中的模型建構大都以結構分析為目標,即在高度簡化與理想化的框架中去理解社會行為機制。在某些框架下,利用科學去預測與控制一個社會系統的一切變數的更高層次的目標已經實現。
數學的模型方法把數學的思想方法功能轉化成科學研究的實際力量。數學中有一個分支叫應用數學,主要就是研究如何從實際問題中提煉數學模型。這是一個對研究對象進行具體分析、科學抽象和做出判斷與預見的過程。如對客觀事物的必然現象,人們用確定性模型去描述,而對或然現象,人們建立了隨機性模型。模糊數學被用於刻畫弗晰現象。而各種突變現象,如地震、洪災等,則可以由突變理論給出數學模型。
三,數學:理性的藝術
通常人們認為,藝術與數學是人類所創造的風格與本質都迥然不同的兩類文化產品。兩者一個處於高度理性化的巔峰,另一個居於情感世界的中心;一個是科學(自然科學)的典範,另一個是美學構築的傑作。然而,在種種表面無關甚至完全不同的現象背後,隱匿著藝術與數學極其豐富的普遍意義。數學與藝術確實有許多相通和共同之處,例如數學和藝術,特別是音樂中的五線譜,繪畫中的線條結構等,都是用抽象的符號語言來表達內容。難怪有人說,數學是理性的音樂,
音樂是感性的數學。事實上,由於數學(特別是現代數學)的研究對象在很大程度上可以被看成「思維的自由想像和創造」,因此,美學的因素在數學的研究中佔有特別重要的地位,以致在一定程度上數學可被看成一種藝術。對此,我們還可做出如下進一步的分析。
藝術與數學都是描繪世界圖式的有力工具。藝術與數學作為人類文明發展的產物,是人類認識世界的一種有力手段。在藝術創造與數學創造中凝聚著人類美好的理想和實現這種理想的孜孜追求。盡管藝術家與數學家使用著不同的工具,有著不同的方式,但他們工作的基本的目的都是為了描繪一幅盡可能簡化的「世界圖式」。藝術實踐與數學活動的動機、過程、方法與結果,都是在其自身價值的弘揚中,不斷地實現著對世界圖式的有力刻畫。這種價值就是在充分、完全地理解現實世界的基礎上,審美地掌握世界。
藝術與數學都是通用的理想化的世界語言。藝術與數學在描繪世界圖式的過程中,還同時發展並完善著自身的表現形式,這種表現形式最基本的載體便是藝術與數學各自獨特的語言體系。其共同特徵有:(1)跨文化性。藝術與數學所表達的是一種帶有普遍意義的人類共同的心聲,因而它們可以超越時間和地域界限,實現不同文化群體之間的廣泛傳播和交流。(2)整體性。藝術語言的整體性來自於其藝術表現的普遍性和廣泛性;數學語言的整體性來自於數學統一的符號體系、各個分支之間的有力聯系、共同的邏輯規則和約定俗成的闡述方式。
(3 )簡約性。它首先表現為很高的抽象程度,其次是凝凍與濃縮。
(4 )象徵性。藝術與數學語言各自的象徵性可以誘發某種強烈的情
感體驗,喚起某種美的感受,而意義則在於把注意力引向思維,升遷為理念,成為表現人類內心意圖的方式。(5)形式化。在藝術與數學各自進行的代碼與信息的意義交換中,其共同的特徵就是達到了實體與形式的分隔。這樣提煉出來的形式可以進行形式化處理。
藝術與數學具有普適的精神價值。有人把精神價值劃分為知識價值、道德價值和審美價值三種。藝術與數學同時具備這三種價值,這一事實賦予了藝術與數學精神價值以普適性。概括起來,其共同的特點有:(1)自律性。數學價值的自律性是與數學價值的客觀性相聯系的;藝術的價值也是不能由民主選舉和個人好惡來衡量的。藝術與數學的價值基本上是在自身框架內被鑒別、鑒賞和評價的。(2)超越性。它們可以超越時空,顯示出永恆。在藝術與數學的價值超越過程中,現實被擴張、被延伸。人被重新塑造,賦予理想。藝術與數學的超越性還表現為超前的價值。(3)非功利性。藝術與數學的非功利性是其價值判斷有別於其他種類文化與科學的顯著特徵之一。(4)多樣化、物化與泛化。在現代技術與商業化的沖擊下,藝術與數學的價值也開始發生嬗變,出現了各自價值在許多領域內的散射、滲透、應用、交叉等現象。
在人類思維的全譜系中,藝術思維和數學思維的主要特徵決定了其主導思維各居於譜系的兩端。但兩種思維又有很多交叉、重疊和復合。特別是真正的藝術品和數學創造,一般都不是某種單一思維形式的產物,而是多種思維形式綜合作用的結果。人類思維之翼在藝術思維與數學思維形成的巨大張力之間展開了無窮的翱翔,並在人類思維
的自然延拓和形式構造中被編織得渾然一體,呈現出整體多樣性的統一。人類思維譜系不是線性的,而是主體的、網路式的、多層多維的復合體。當我們想要探索人類思維的奧秘時,藝術思維與數學思維能夠提供最典型的範本。其中能夠找到包括人類原始思維直至人工智慧這樣高級思維在內的全部思維素材
四,數學韻味——數學的美
說到數學美,人們自然會聯想到令人心馳神往的優美而和諧的黃金分割;雄偉壯麗的科學宮殿的歐幾里得平面幾何;數學皇冠上的明珠「哥德巴赫猜想」……
數學美可以分為形式美和內在美。
數學中的公式、定理、圖形等所呈現出來的簡單、整齊以及對稱的美是形式美的體現。數學中有字元美和構圖美還有對稱美,數學中的對稱美反映的是自然界的和諧性,在幾何形體中,最典型的就是軸對稱圖形。數學中的簡潔美,數學具有形式簡潔、有序、規整和高度統一的特點,許多紛繁復雜的現象,可以歸納為簡單的數學公式。
數學的內在美有數學的和諧美,數量的和諧,空間的協調是構成數學美的重要因素。數學中的嚴謹美,嚴謹美是數學獨特的內在美,我們通常用「滴水不漏」來形容數學。它表現在數學推理的嚴密,數學定義准確揭示概念的本質屬性,數學結構系統的協調完備等等。總之,數學美的魅力是誘人的,數學美的力量是巨大的,數學美的思想是神奇的,數學是一個五彩繽紛的美的世界。
美(有限美、神秘美等)會給學生以美的熏陶。數學所揭示的規律會加
深學生對美的理解,而學習數學的過程也會使學生體驗數學作為人類智慧的結晶所洋溢出的精神美。
數學精神是一種理性精神,對完善人的精神品格有著不可估量的作用,主要體現在嚴謹求實、理智自率、直著求真、開拓創新等方面,通過解題實踐既鞏固了知識,培養了能力,同時也發展了堅持公正、終於科學、一絲不苟、不懈探索的優良品質,這都是造就人不斷追求進取的品質所必備的前提。

6. 急求大學數學文化選修課的心得

數學文化選修課心得 第一次上選修課選科目的時候我就選了「數學文化」，因為當我看到這個名字時，我覺得學到一些數學的周邊知識對我的學習與生活可能還是有點用的，所以我報了名。「數學文化」這門課給我們介紹了很多數學的知識，包括數學的歷史、數學的發展等等，我們國家是一個數學大國，也是一個數學古國，早在2000多年前，我們的祖先就有「周三經一」的思想，也就是今天人們講的圓周率π，而西方國家到了17世紀才有這樣的概念，陳景潤關於「哥德巴赫猜想」的卓越工作，令世界震驚。實際上，我們每一個人，天天都在跟數字打交道。一個人不識字完全可以生活，但是若不識數，就很難生活了，現代科技進步，對數學的要求越來越高，所以我覺得「數學文化」這門課程為我們剖析「數學」這門神秘而又與我們息息相關的科學，對我們來說是獲益匪淺的。聽講了幾次課後，我覺得我收獲蠻多，在老師的帶領下，我們在數學的王國里漫遊著，學習著，就像參觀景點一般瀏覽了數學世界的奧秘，第一堂課的時候，老師就給我們講了數學的歷史：數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。 數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解了如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。除了數學的歷史以外，老師還給我們點評了數學史上的一些重大事件，如三次數學危機，這三次數學危機每一次都是數學探索者們在進行對數學這門學科的探索時產生的問題，每次出現了數學危機後，數學家們都努力地對其進行探究，通過各種各樣的方法把這些問題解決。那節課讓我了解到數學的世界是時時刻刻都會有矛盾的世界，研究數學就是在研究把這些矛盾解決掉或者用正當的理論把矛盾解釋清楚的方法。在這門課上我還第一次真正了解了歐式幾何、非歐幾何等數學分支以及它們誕生的意義和對人類文明的深刻影響等等很多關於數學的知識，讓我第一次了解到在我們這個世界上，任何事物並不一定就像我們平時所看到的那樣，三角形的內角和在某種情況下可能小於180°，也可能大於180°，這些可能暫時對我們的用處還不大，但了解了這些東西對我們以後學好「數學」這門課程或者說研究這門科學有很大的幫助。我很喜歡老師給我們上的最後一節課，因為在這節課上，老師給我們看了很多由數學分形而製成的各種各樣的圖像，如Julia集合，一幅幅畫面看得我眼花繚亂，彷彿進入了仙境一般，我都無法用言語來形容我當時的感受，那讓我明白了原來生活中在衣服上、各種電器的屏保中的那麼多美麗的圖案都是出自數學這門神秘的學科里，那節課真的讓我們體驗到了數學的神奇與壯觀。老師的講述讓我慢慢消除了心中對數學這門學科的神秘光環，使我了解了數學，並讓我看到了數學的美麗和壯觀，還讓我對數學——這門把一切事物抽象化的科學產生了濃厚的興趣。雖然我知道，要學好數學很難，高數的第一學期課程：集合、極限、微積分的題目讓我焦頭爛額，但我清楚，作為一名計算機專業學生，不了解數學、不學好數學是不行的，我會努力地去學數學這門課程，不單單是學習數學的公式定理，更要學習數學家們堅持不懈、開拓進取的精神。 僅供參考

7. 大學 數學文化的幾何題

（1）、如圖所示，過點B作GC的垂線交GC的延長線於點H，過點D作DI⊥CE。