馬克思數學

1. 恩格斯在《在馬克思墓前的講話》中提到：「甚至他在數學領域都有獨到的見解」。那麼，馬克思的數學成就有

馬克思數學手稿的具體內容
恩格斯稱馬克思為「科學巨匠」。他說，馬克思研究的科學領域是很多的，而且對任何一個領域都不是膚淺地研究的，甚至在數學領域也有獨到的發現。[1]（P574—575）
馬克思一生酷愛數學，從19世紀40年代起，直到逝世前不久，數十年如一日地利用閑暇時間學習和鑽研數學，給我們留下了近千頁數學手稿，其中有讀書摘要、心得筆記和述評，以及一些研究論文的草稿。20世紀30年代以後，馬克思的數學手稿和其他手稿一起，一直保存在荷蘭首都阿姆斯特丹的國際社會史研究所的檔案館中。
數學研究緊密結合經濟學研究
起初，馬克思在與恩格斯和其他人的通信中討論初等數學問題居多。例如，他在1864年的一封信中有關於數字計算的議論：「可以看出：不太大的計算，例如在家庭開支和商業中，從來不用數字而只用石子和其他類似的標記在算盤上進行。在這種算盤上定出幾條平行線，同樣幾個石子或其他顯著的標記在第一行表示幾個，在第二行表示幾十，在第三行表示幾百，在第四行表示幾千，余類推。這種算盤幾乎整個中世紀都曾使用，直到今天中國人還在使用。至於更大一些的數學計算，則在有這種需要之前古羅馬人就已有乘法表或畢達哥拉斯表，誠然，這種表還很不方便，還很繁瑣。因為這種表一部分是用特殊符號，一部分是用希臘字母（後用羅馬字母）編製成的。……在作很大的計算時，舊方法造成不可克服的障礙，這一點從傑出的數學家阿基米得所變的戲法中就可以看出來。」[2]（P650）
1864年5月30日，恩格斯在給馬克思的信中寫道：「看了你那本弗朗克爾的書，我鑽到算術中去了；……以初等方式來陳述諸如根、冪、級數、對數之類的東西是否方便。不管怎樣好地利用數字例題來說明，我總覺得這里只限於用數字，不如用a+b作簡單的代數說明來得清楚，這是因為用一般的代數式子更為簡單明了，而且這里不用一般的代數式子也是不行的。」[3]（P357）
馬克思關於數學的筆記和他研究政治經濟學的材料有緊密的聯系。在1846年的一個經濟學筆記本中，最後幾頁全是各種代數運算；在以後的許多筆記本中也都記有數學公式和圖形，還有整頁整頁的算草；在為撰寫《政治經濟學批判大綱》准備材料的筆記本中他畫了一些幾何圖形，記錄了關於分數指數和對數的公式。1858年1月11日馬克思在致恩格斯的信中說：「在制定政治經濟學原理時，計算的錯誤大大地阻礙了我，失望之餘，只好重新坐下來把代數迅速地溫習一遍。算術我一向很差，不過間接地用代數方法，我很快又會計算正確的。」[4]（P247）馬克思曾為自己能把高等數學的某些公式用於經濟學的研究而深感高興。1868年1月8日馬克思寫信給恩格斯談到工資問題的研究時，他說：「工資第一次被描寫為隱藏在它後面的一種關系的不合理的表現形式，這一點通過工資的兩種形式即計時工資和計件工資得到了確切的說明（在高等數學中常常可以找到這樣的公式，這對我很有幫助）。」[5]（P12）
看來，馬克思的數學興趣與他希望把數學運用於經濟學研究有關。在1873年5月31日給恩格斯的信中談到經濟危機的研究時，他說：「為了分析危機，我不止一次地想計算出這些作為不規則曲線的升和降，並曾想用數學公式從中得出危機的主要規律（而且現在我還認為，如有足夠的經過檢驗的材料，這是可能的）。」[6]（P87）在《資本論》中我們也能看到數學的運用，據拉法格回憶，馬克思曾經強調說：一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。[7]（P8）我理解，馬克思這里所說的運用數學，不僅僅是運用數學的計算方法，而且也要運用數學的思維方法和論證方法。
對微積分的學習、思索和歷史考察
19世紀60年代以後，馬克思陸續閱讀了一大批微積分方面的書籍，其中有布沙拉（J．L．B．ucharlat）、辛德（J．Hind）、拉庫阿（S．F．Lacr．ix）、霍爾（G．Hall）等人各自編寫的微積分教科書，還有牛頓有關的數學原著等等，寫下了詳細的讀書筆記。馬克思對這些教科書進行比較，開始了自己對於微分學中一些問題的獨立的思考。於1881年前後，馬克思撰寫了關於微分學的歷史發展進程、論導函數概念、論微分以及關於泰勒定理等問題的研究草稿，而且對於這些問題都曾寫過多遍草稿，例如，關於泰勒定理留下了八份草稿。
馬克思把微分學看作科學上的一種新發現、新事物，考察它是怎樣產生的，產生以後遇到一些什麼困難，經歷了怎樣的曲折發展。馬克思對微積分有過一段生動的而又富有哲理的描述：「人們自己相信了新發現的演算法的神秘性。這種演算法通過肯定是不正確的數學途徑得出了正確的（尤其在幾何應用上是驚人的）結果。人們就這樣把自己神秘化了，對這新發現評價更高了，使一群舊式正統派數學家更加惱怒，並且激起了敵對的叫囂，這種叫囂甚至在數學界以外產生了反響，而為新事物開拓道路，這是必然的。」[8]（P88）
馬克思把從牛頓（1642—1727）、萊布尼茨（1646—1716）創建微分學到拉格朗日（J．L．Lagrange1736—1813）的發展，約一百多年的發展過程分為三個階段，分別稱為：「神秘的微分學」、「理性的微分學」、「純代數的微分學」。在牛頓和萊布尼茨時期，新生的微積分很快在應用上獲得了驚人的成功，但是從舊的傳統數學看來，這種新演算法，比如微分過程，正是通過不正確的數學途徑得到正確的結果的。在同一個公式的推導過程中Δx和dx既作為有限的量，卻又消失為零，在邏輯上顯示出矛盾；時為什麼能有確定的值，等等，都不能從理論上給出合理的解釋。人們認為微分學是神秘的。牛頓和萊布尼茨，以及後繼者們都希望給微分學找到合乎邏輯的說明，他們為此付出了很大的努力。以達朗貝爾（J．L．R．D』Alembert，1717-1783）為代表的「理性的微分學」和以拉格朗日為代表的「純代數的微分學」，都是這種努力的一定階段的成果。馬克思指出：「這里，像在別處一樣，給科學撕下神秘的面紗是重要的。」[8]（P139）
馬克思力圖運用辯證法觀點去分析微分學的困難。他認為「理解微分運算時的全部困難」，「正像理解否定之否定本身」一樣，要把「否定」理解為發展的環節，並且要從量和質的統一看待量的變化。在微分過程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其間仍保存著特定的質的關系，即y對x的函數關系所制約的質的關系。因此，當增量Δx變為零，Δy也變為零，時能具有特定的值，即導函數。馬克思說，要把握的真正含義，「唯一的困難是在逐漸消失的量之間確定一個比的這種辯證的見解。」[9]（P16）
馬克思以比較簡單的多項式函數的微分過程為例，參照比較了多種教科書，運用上述觀點，選擇了一種具體的推導步驟以說明這種函數的微分過程的合理性，從而說明微分學的神秘性是可以擺脫的。這樣的內容，現在看來固然是很淺顯的，也不足以說明一般函數的微分過程。但這也是馬克思為撕下微分學的神秘面紗所做的一份歷史性的努力。
馬克思曾勸說恩格斯研究微積分。他在1863年7月6日給恩格斯的信中說：「有空時我研究微積分。順便說說，我有許多關於這方面的書籍，如果你願意研究，我准備寄給你一本。我認為這對於你的軍事研究幾乎是必不可缺的。況且，這個數學部門（僅就技術方面而言），例如同高等代數比起來，要容易得多。除了普通代數和三角以外，並不需要先具備什麼知識，但是必須對圓錐曲線有一個一般的了解。」[2]（P357）
馬克思對高等數學的興趣和鑽研影響和帶動了恩格斯，1865年以後，他們在通信中討論得更多的則是微積分方面的問題了。馬克思在一封給恩格斯的信的附件中說：「全部微分學本來就是求任意一條曲線上的任何一點的切線。我就想用這個例子來給你說明問題的實質。」馬克思是用求拋物線y[2]=ax上某一點m的切線的例子，認真畫了圖，向恩格斯作詳細講解的。[3]（P168—169）
1881年馬克思把一份「論導數概念」的手稿和一份「論微分」手稿謄抄清楚，先後寄給了恩格斯。恩格斯認真閱讀了這些手稿，於1881年8月18日給馬克思寫了一封很長的討論導函數的回信，信中說：「這件事引起我極大的興趣，以致我不僅考慮了一整天，而且做夢也在考慮它：昨天晚上我夢見我把自己的領扣交給一個青年人去求微分，而他拿著領扣溜掉了。」[10]（P21—23）
在馬克思的影響下，恩格斯對微積分也越來越有興趣了，他在《反杜林論》、《自然辯證法》等哲學著作中，不但大段大段地談論微積分，精闢地分析高等數學與初等數學的區別，而且還有對於微積分的高得不能再高的贊譽：「在一切理論成就中，未必再有什麼像十七世紀下半葉微積分的發明那樣看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正在這里。」[11]（P611）
從數學中學習辯證法
馬克思和恩格斯都非常明確地認為，數學是建立辯證唯物主義哲學的一個重要基礎。恩格斯指出：「要確立辯證的同時又是唯物主義的自然觀，需要具備數學和自然科學的知識。」[12]（第三版序言）
在舊哲學中，黑格爾是論述數學比較多的。恩格斯曾經指出：「黑格爾的數學知識極為豐富，甚至他的任何一個學生都沒有能力把他遺留下來的大量數學手稿整理出版。據我所知，對數學和哲學了解到足以勝任這一工作的唯一的人，就是馬克思。」[3]（P471）馬克思忙於自己的研究和革命活動，並沒有承擔這一工作。不過，他在數學手稿中把微分學的發展同德國唯心主義哲學的發展聯系起來，作了有趣的對比。當他探討牛頓、萊布尼茨與他們的後繼者的關系時，他說：「正像這樣，費希特繼承康德，謝林繼承費希特，黑格爾繼承謝林，無論費希特、謝林、黑格爾都沒有研究過康德的一般基礎，即唯心主義本身；否則他們就不能進一步發展康德的唯心主義。」[8]（P88）
馬克思把研究數學作為豐富唯物辯證法的一個源泉。他通過自己對數學的多年鑽研，深有體會地認為，在高等數學中，他找到了最符合邏輯的同時又是形式最簡單的辯證運動。在馬克思的數學手稿中能夠看到這方面的記述。
數學手稿的出版、翻譯和人們的看法
馬克思曾經打算把自己對數學的一些研究成果寫成正式論文，但他反復改寫了多遍草稿，卻沒有來得及寫完。他生前曾囑咐小女兒愛琳娜：「要她和恩格斯一起處理他的全部文稿，並關心出版那些應該出版的東西，特別是第二卷（按：指《資本論》第二卷）和一些數學著作。」[13]（P42）馬克思逝世以後，恩格斯也曾希望把自己在自然辯證法方面的研究成果同馬克思遺留下來的數學手稿一齊發表。[11]（第三版序言）但是由於他肩負著整理出版馬克思的最重要的著作——《資本論》第二卷、第三卷的重任，上述願望沒有能夠實現。
馬克思關於微分學的幾篇論文草稿和一些札記於1933年譯成俄文與讀者見面，即在紀念馬克思逝世五十周年的時候才第一次發表在蘇聯的理論刊物《在馬克思主義旗幟下》，隨後收入文集《馬克思主義與自然科學》。1968年在前蘇聯出版了馬克思數學手稿的比較完全的德俄對照本[14]，書中對各個時期的手稿寫了較詳細的記述。此外，對馬克思的數學手稿，還陸續出版過內容和編排不一的德文本、日文本、義大利文本等等。在國際學術界引起了學者們的重視和興趣。如日本的玉木美彥、今野武雄早就撰文介紹過馬克思數學手稿的內容。1977年在西德召開的國際數學史會議上，美國學者肯尼迪（H．C．Kennedy）作了題為《馬克思與微積分基礎》的學術報告。美國著名數學史家斯特洛依克（D．J．Struik）1978年在《數學評論》雜志上寫文章介紹了這篇報告。前幾年，還有美國科學史方面的研究生在研究馬克思數學手稿的傳播和影響。
在我國，早從1949年起，許默夫就發表過關於馬克思數學手稿的文章（註：許默夫的有關馬克思數學手稿的幾篇文章，先後發表在《東北日報》（1949年5月5日）、《自然科學》（1951年第1卷）、《數學通報》（1958年第12期）、《新科學》（1955年第2期）等報刊上。），後來有些學者從日文本或俄文本將部分內容翻譯過來。1973年1月北京大學成立了馬克思數學手稿編譯組，依據蘇聯1968年出版的德俄對照本進行翻譯。為了翻譯准確，為了能從德文原文直接譯成中文，北京大學於1974年通過外交途徑從荷蘭購得全部數學手稿原件的復印照片，將其中關於微積分的大部分論述和部分初等數學札記翻譯成中文，編排成書，由人民出版社於1975年正式出版。（註：1973年1月，當時馬克思恩格斯列寧著作編譯局的負責人王惠德同志把一本《馬克思數學手稿》（1968年的德俄對照本，是一位瑞士記者送給他的）交給了孫小禮，建議由北京大學來組織翻譯。北大欣然接受這一建議，立即成立了北京大學馬克思數學手稿編譯組，由鄧東皋、孫小禮具體負責，動員了數學系、西語系、俄語系、哲學系的教師參加翻譯工作，德文方面有江澤涵、姚保琮、冷生明、丁同仁等人，俄文方面有吳文達、黃敦、郭仲衡、鮑良駿、顏品中等人。1974年3月譯出了馬克思關於微積分的大部分論述，請於光遠、胡世華、陸汝鈐和編譯局楊彥君等同志幫助校對後，於1974年5月由北京大學學報印出專刊：馬克思數學手稿（試譯本）。1974年冬購得馬克思數學手稿原件的照片後，由諳悉德文的江澤涵、姚保琮兩位教授仔細辨認馬克思原稿手跡，同冷生明、丁同仁、鄧東皋等人反復討論推敲，對原來的譯文進行核校、修改和補充。最後又請北京師范大學的張禾瑞教授、蔣碩民教授對全部譯稿從德文作了詳細校訂之後，才由人民出版社於1975年7月出版了馬克思的《數學手稿》。）
兩種極端的看法
馬克思《數學手稿》一書於1975年在我國編譯出版以後，出現了兩種極端的看法。一是過分地在數學上抬高馬克思，說馬克思為微積分奠定了理論基礎，把19世紀許多卓越數學家的重要成就都視為形而上學，惟有馬克思的論述才是符合辯證法的，甚至要在教學中用馬克思《數學手稿》代替微積分教材。這種作法顯然是極其錯誤的，既違背馬克思的本意，也不符合數學發展的實際，對於高等數學教學只能產生有害的影響。另一種極端的看法則認為馬克思根本不懂數學，至少不懂高等數學，寫於19世紀的《數學手稿》沒有什麼學術價值，不值得翻譯出版。這種完全否定的態度也是缺乏歷史分析、不符合實際的。
由於這兩種看法在不同程度上一直延續到現在，所以，我感到把馬克思的《數學手稿》放在當時的歷史條件下，根據其具體內容，做出實事求是的恰當的評價是必要的，有現實意義的。
數學手稿：一份寶貴的歷史文獻
通過閱讀馬克思數學手稿，以及馬克思的著作和通信中有關數學的論述，聯繫到幾十年來馬克思數學手稿在我國的翻譯、介紹、出版和影響，我特撰寫本文談談自己對馬克思數學手稿的理解和看法，就教於對此有興趣的朋友們，也作為對馬克思逝世120周年的紀念。
讀讀馬克思數學手稿，就感到馬克思是深鑽到數學中去了，確如恩格斯所說：「馬克思是精通數學的。」[12]當然，所謂「精通」，不能要求馬克思通曉當時數學的全部，正好像現在堪稱「精通」數學的專家也不可能對當前數學的全部內容都了如指掌一樣。事實上，正如恩格斯所說：「對於自然科學，我們只能作零星的、時停時續的、片斷的研究」，而且「自然科學本身也正處在如此巨大的變革過程中，以至那些即使有全部空閑時間來從事於此的人，也很難跟蹤不失」[12]。馬克思生前還沒有來得及跟蹤19世紀數學分析方面的重要成就，還沒有閱讀當時已經出版的，像哥西的《分析教程》（1821年初版）那樣的一些重要著作。由於馬克思還不了解微積分經過波爾察諾（B．B．lzan，1781-1848）、哥西（A.L.Cauchy，1789-1857）、外爾斯特拉斯（K.W.T.Weierstrass，1815-1897）等數學家的努力以後所取得的逐步「完善」的形式，因而他也不可能運用極限理論做出像後來人們所理解的那樣來闡明微積分的本質。
馬克思不是專職數學家，也沒有對數學本身做出重大建樹，他的數學手稿之所以受到人們重視，首先，因為他是人類歷史上的偉大思想家，而他又在數學這一園地上數十年如一日地執著地辛勤耕耘過，這一事跡是人類文化史上所罕見的，是歷史上任何一位思想家都難以相比的。現在我們讀到的數學手稿，就是他以自己的獨特方式辛勤耕耘的歷史足跡，這足跡能夠保留下來，為世人所知，是令人感到寶貴的，而且值得加以研究和回味，從中獲得有益的啟迪。
其次，在馬克思數學手稿中，確有至今還在閃光的思想和見解。比如馬克思在考察了微分學的具體歷史發展過程以後，曾做出這樣的論斷：「新事物和舊事物之間的真實的從而是最簡單的聯系，總是在新事物自身取得完善的形式後才被發現。」[8]（P144）這是對新舊事物關系的哲理性概括，也是對人的認識規律的哲理性概括，對人們的認識進展很有啟發。
第三，在馬克思主義理論中，非常注重人，尤其注重人的全面發展。馬克思對自由時間或閑暇時間，也就是非勞動時間的重要性有深刻的論述，他把自由時間看作財富，把休閑看作人的生活的重要組成部分。那麼，馬克思自己怎樣度過閑暇時間呢?據馬克思的女婿拉法格回憶：「除了讀詩歌和小說以外，馬克思還有一種獨特的精神休養方法，這就是他十分喜愛的數學。代數甚至給他以精神上的安慰；在他那驚濤駭浪的一生中有些最痛苦的時期，他總是以此自慰。」[7]（P8）
馬克思曾對恩格斯說：「在工作之餘——當然不能老是寫作——我就搞搞微分學。我沒有耐心再去讀別的東西。任何其他讀物總是把我趕回寫字台來。」[3]（P124）馬克思對數學的特殊愛好，使他在任何情況下都能使自己沉浸於數學之中。當馬克思的夫人燕妮身患重病——肝癌的時候，他給恩格斯寫信說：「寫文章現在對我來說幾乎是不可能了。我能用來使心靈保持必要平靜的唯一的事情，就是數學。」[2]（P113）他的關於微分學的研究草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子裡寫作的。

2. 馬克思是不是數學家

馬克思不是數學家，但他對數學挺感興趣，尤其是對微積分。見馬克思的《數學手稿》。

3. 馬克思說過"世界上任何一門學科如果沒有發展到能與數學緊密聯系在一起的程度那就說明該學科還為發展成熟

1）強調了數學作為一門基礎學科的重要性
2)說明了數學嚴謹、定量的思維模式對其它學科的有完善、促進的積極意義
個人觀點，僅供參考

4. 考研 的馬克思主義哲學專業 要靠數學嗎

馬克思主義哲學重在理解，因為選擇或者是分析題都是要求達到「掌握」或者是「運用」這個層次。簡單的概念理解是不夠，要真正會用原理來解釋發生的現象或者問題。
恩，至於要靠數學，我不怎麼理解。
不過考研中，數學絕對是拉分的關鍵，一般很多人都會因為數學沒過線而不能讀研。
去逛逛一些考研的論壇吧，會有很多你意想不到的資料，可以交流經驗啊

5. 馬克思關於數學的名言

《馬克思傳（上、下）》,作者:[德]弗·梅林,人民出版社,1965年,頁數:871

這書我有,PDF版,給你你自己查一查需要的那一句話好嗎,我找了好一會兒也沒找到,頁數太多了.

6. 馬克思的數學成就

千年偉人馬克思
馬克思(1818—1883)的偉大貢獻，正像恩格斯在馬克思墓前演講中所說：達爾文發現 了有機界的發展規律，馬克思發現了人類歷史的發展規律，揭示了經濟基礎和上層建築 的相互關系；在對資本主義生產方式的深入研究中，他發現了「剩餘價值」，從而獲得 了開啟社會奧秘的鑰匙。[1](P574—575)馬克思的《資本論》至今還在許多國家重印發 行，顯示出馬克思主義的強大生命力。在西方著名大學中普遍設有馬克思主義課程。
在20世紀與21世紀之交，在告別人類紀元第二個千年，迎接第三個千年到來之際，199 9年，英國劍橋大學文理學院的教授們發起了一個評選「千年第一偉人」活動，征詢、 推選和投票的結果是：馬克思第一，愛因斯坦第二。隨後，英國廣播公司(BBC)在國際 互聯網上進行全球投票評選第二個千年的前10名思想家，其結果為：馬克思第一，愛因 斯坦第二。接著，路透社又邀請各界名人再行評選時，愛因斯坦以一票之多領先於甘地 和馬克思。依據這一系列的評選結果，人們公認馬克思和愛因斯坦(1879—1955)應並列 為千年第一偉人。
凡讀過馬克思的著作，特別是《資本論》的人，都為馬克思的學術研究方法及其學術 成就而折服。他對所研究的問題，不但擁有豐富的實際資料，而且佔有大量的文獻資料 ，在理論論述中，不但處處閃耀著深刻的思想火花，尤其滲透著那種一步一步深入進去 的強有力的邏輯力量。北京大學的江澤涵教授是我國著名的前輩數學家，我國拓撲學這 門學科的奠基人，也是馬克思《數學手稿》的最主要譯者，他讀了《資本論》第一卷以 後，深有感慨地說：「馬克思研究資本主義的方法同我們研究數學的方法是一樣的，《 資本論》的論證方法同我們的數學論證方法一樣，都是嚴密地從邏輯上一步步推理和展 開，真是無懈可擊，令人信服。」《資本論》作為研究早期資本主義社會的經典著作， 展顯為一個邏輯嚴密的理論體系，正因為其研究方法之縝密而至今仍然得到全世界學者 們的高度贊賞。
馬克思數學手稿的具體內容
恩格斯稱馬克思為「科學巨匠」。他說，馬克思研究的科學領域是很多的，而且對任 何一個領域都不是膚淺地研究的，甚至在數學領域也有獨到的發現。[1](P574—575)
馬克思一生酷愛數學，從19世紀40年代起，直到逝世前不久，數十年如一日地利用閑 暇時間學習和鑽研數學，給我們留下了近千頁數學手稿，其中有讀書摘要、心得筆記和 述評，以及一些研究論文的草稿。20世紀30年代以後，馬克思的數學手稿和其他手稿一 起，一直保存在荷蘭首都阿姆斯特丹的國際社會史研究所的檔案館中。
數學研究緊密結合經濟學研究
起初，馬克思在與恩格斯和其他人的通信中討論初等數學問題居多。例如，他在1864 年的一封信中有關於數字計算的議論：「可以看出：不太大的計算，例如在家庭開支和 商業中，從來不用數字而只用石子和其他類似的標記在算盤上進行。在這種算盤上定出 幾條平行線，同樣幾個石子或其他顯著的標記在第一行表示幾個，在第二行表示幾十， 在第三行表示幾百，在第四行表示幾千，余類推。這種算盤幾乎整個中世紀都曾使用， 直到今天中國人還在使用。至於更大一些的數學計算，則在有這種需要之前古羅馬人就 已有乘法表或畢達哥拉斯表，誠然，這種表還很不方便，還很繁瑣。因為這種表一部分 是用特殊符號，一部分是用希臘字母(後用羅馬字母)編製成的。……在作很大的計算時 ，舊方法造成不可克服的障礙，這一點從傑出的數學家阿基米得所變的戲法中就可以看 出來。 」[2](P650)
1864年5月30日，恩格斯在給馬克思的信中寫道：「看了你那本弗朗克爾的書，我鑽到 算術中去了；……以初等方式來陳述諸如根、冪、級數、對數之類的東西是否方便。不 管怎樣好地利用數字例題來說明，我總覺得這里只限於用數字，不如用a b作簡單的 代數說明來得清楚，這是因為用一般的代數式子更為簡單明了，而且這里不用一般的代 數式子也是不行的。」[3](P357)

馬克思關於數學的筆記和他研究政治經濟學的材料有緊密的聯系。在1846年的一個經 濟學筆記本中，最後幾頁全是各種代數運算；在以後的許多筆記本中也都記有數學公式 和圖形，還有整頁整頁的算草；在為撰寫《政治經濟學批判大綱》准備材料的筆記本中 他畫了一些幾何圖形，記錄了關於分數指數和對數的公式。1858年1月11日馬克思在致 恩格斯的信中說：「在制定政治經濟學原理時，計算的錯誤大大地阻礙了我，失望之餘 ，只好重新坐下來把代數迅速地溫習一遍。算術我一向很差，不過間接地用代數方法， 我很快又會計算正確的。」[4](P247)馬克思曾為自己能把高等數學的某些公式用於經 濟學的研究而深感高興。1868年1月8日馬克思寫信給恩格斯談到工資問題的研究時，他 說：「工資第一次被描寫為隱藏在它後面的一種關系的不合理的表現形式，這一點通過 工資的兩種形式即計時工資和計件工資得到了確切的說明(在高等數學中常常可以找到 這樣的公式，這對我很有幫助)。」[5](P12)
看來，馬克思的數學興趣與他希望把數學運用於經濟學研究有關。在1873年5月31日給 恩格斯的信中談到經濟危機的研究時，他說：「為了分析危機，我不止一次地想計算出 這些作為不規則曲線的升和降，並曾想用數學公式從中得出危機的主要規律(而且現在 我還認為，如有足夠的經過檢驗的材料，這是可能的)。」[6](P87)在《資本論》中我 們也能看到數學的運用，據拉法格回憶，馬克思曾經強調說：一門科學只有當它達到了 能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。[7](P8)我理解，馬克思這里所說的運用數 學，不僅僅是運用數學的計算方法，而且也要運用數學的思維方法和論證方法。
對微積分的學習、思索和歷史考察
19世紀60年代以後，馬克思陸續閱讀了一大批微積分方面的書籍，其中有布沙拉(J•L •Boucharlat)、辛德(J•Hind)、拉庫阿 (S•F•Lacroix)、霍爾(G•Hall)等人各自編 寫的微積分教科書，還有牛頓有關的數學原著等等，寫下了詳細的讀書筆記。馬克思對 這些教科書進行比較，開始了自己對於微分學中一些問題的獨立的思考。於1881年前後 ，馬克思撰寫了關於微分學的歷史發展進程、論導函數概念、論微分以及關於泰勒定理 等問題的研究草稿，而且對於這些問題都曾寫過多遍草稿，例如，關於泰勒定理留下了 八份草稿。
馬克思把微分學看作科學上的一種新發現、新事物，考察它是怎樣產生的，產生以後 遇到一些什麼困難，經歷了怎樣的曲折發展。馬克思對微積分有過一段生動的而又富有 哲理的描述：「人們自己相信了新發現的演算法的神秘性。這種演算法通過肯定是不正確的 數學途徑得出了正確的(尤其在幾何應用上是驚人的)結果。人們就這樣把自己神秘化了 ，對這新發現評價更高了，使一群舊式正統派數學家更加惱怒，並且激起了敵對的叫囂 ，這種叫囂甚至在數學界以外產生了反響，而為新事物開拓道路，這是必然的。 」[8]( P88)
馬克思把從牛頓(1642—1727)、萊布尼茨(1646—1716)創建微分學到拉格朗日 (J.L.Lagrange 1736—1813)的發展，約一百多年的發展過程分為三個階段，分別稱為： 「神秘的微分學」、「理性的微分學」、「純代數的微分學」。在牛頓和萊布尼茨時期，新生的微積分很快在應用上獲得了驚人的成功，但是從舊的傳統數學看來，這種新演算法，比如微分過程，正是通過不正確的數學途徑得到正確的結果的。在同一個公式的推導過程中Δx和dx既作為有限的量，卻又消失為零，在邏輯上顯示出矛盾；時為什麼能有確定的值，等等，都不能從理論上給出合理的解釋。人們認為微分學是神秘的。牛頓和萊布尼茨，以及後繼者們都希望給微分學找到合乎邏輯的說明，他們為此付出了很大的努力。以達朗貝爾(J•L•R•D』Alembert，1717-1783)為代表的「理性的微分學」和以拉格朗日為代表的「純代數的微分學」，都是這種努力的一定階段的成果。馬克思指出：「這里，像在別處一樣，給科學撕下神秘的面紗是重要的。」[8](P139)

馬克思力圖運用辯證法觀點去分析微分學的困難。他認為「理解微分運算時的全部困 難」，「正像理解否定之否定本身」一樣，要把「否定」理解為發展的環節，並且要從 量和質的統一看待量的變化。在微分過程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其間 仍保存著特定的質的關系，即y對x的函數關系所制約的質的關系。因此，當增量Δx變 為零，Δy也變為零，時能具有特定的值，即導函數。馬克思說，要把握的真正含義，「唯一的困難是在逐漸消失的量之間確定一個比的這種辯證的見解。 」[9](P16)
馬克思以比較簡單的多項式函數的微分過程為例，參照比較了多種教科書，運用上述 觀點，選擇了一種具體的推導步驟以說明這種函數的微分過程的合理性，從而說明微分 學的神秘性是可以擺脫的。這樣的內容，現在看來固然是很淺顯的，也不足以說明一般 函數的微分過程。但這也是馬克思為撕下微分學的神秘面紗所做的一份歷史性的努力。
馬克思曾勸說恩格斯研究微積分。他在1863年7月6日給恩格斯的信中說：「有空時我 研究微積分。順便說說，我有許多關於這方面的書籍，如果你願意研究，我准備寄給你 一本。我認為這對於你的軍事研究幾乎是必不可缺的。況且，這個數學部門 (僅就技術 方面而言)，例如同高等代數比起來，要容易得多。除了普通代數和三角以外，並不需 要先具備什麼知識，但是必須對圓錐曲線有一個一般的了解。 」[2](P357)
馬克思對高等數學的興趣和鑽研影響和帶動了恩格斯，1865年以後，他們在通信中討 論得更多的則是微積分方面的問題了。馬克思在一封給恩格斯的信的附件中說：「全部 微分學本來就是求任意一條曲線上的任何一點的切線。我就想用這個例子來給你說明問 題的實質。」馬克思是用求拋物線y[2] = ax上某一點m的切線的例子，認真畫了圖，向 恩格斯作詳細講解的。[3](P168—169)
1881年馬克思把一份「論導數概念」的手稿和一份「論微分」手稿謄抄清楚，先後寄 給了恩格斯。恩格斯認真閱讀了這些手稿，於1881年8月18日給馬克思寫了一封很長的 討論導函數的回信，信中說：「這件事引起我極大的興趣，以致我不僅考慮了一整天， 而且做夢也在考慮它：昨天晚上我夢見我把自己的領扣交給一個青年人去求微分，而他 拿著領扣溜掉了。」[10](P21—23)
在馬克思的影響下，恩格斯對微積分也越來越有興趣了，他在《反杜林論》、《自然 辯證法》等哲學著作中，不但大段大段地談論微積分，精闢地分析高等數學與初等數學 的區別，而且還有對於微積分的高得不能再高的贊譽：「在一切理論成就中，未必再有 什麼像十七世紀下半葉微積分的發明那樣看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方 我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正在這里。 」[11](P611)
從數學中學習辯證法
馬克思和恩格斯都非常明確地認為，數學是建立辯證唯物主義哲學的一個重要基礎。 恩格斯指出：「要確立辯證的同時又是唯物主義的自然觀，需要具備數學和自然科學的 知識。」[12](第三版序言)
在舊哲學中，黑格爾是論述數學比較多的。恩格斯曾經指出：「黑格爾的數學知識極 為豐富，甚至他的任何一個學生都沒有能力把他遺留下來的大量數學手稿整理出版。據 我所知，對數學和哲學了解到足以勝任這一工作的唯一的人，就是馬克思。」[3](P471 )馬克思忙於自己的研究和革命活動，並沒有承擔這一工作。不過，他在數學手稿中把 微分學的發展同德國唯心主義哲學的發展聯系起來，作了有趣的對比。當他探討牛頓、 萊布尼茨與他們的後繼者的關系時，他說：「正像這樣，費希特繼承康德，謝林繼承費 希特，黑格爾繼承謝林，無論費希特、謝林、黑格爾都沒有研究過康德的一般基礎，即 唯心主義本身；否則他們就不能進一步發展康德的唯心主義。」[8](P88)

馬克思把研究數學作為豐富唯物辯證法的一個源泉。他通過自己對數學的多年鑽研， 深有體會地認為，在高等數學中，他找到了最符合邏輯的同時又是形式最簡單的辯證運 動。在馬克思的數學手稿中能夠看到這方面的記述。
數學手稿的出版、翻譯和人們的看法
馬克思曾經打算把自己對數學的一些研究成果寫成正式論文，但他反復改寫了多遍草 稿，卻沒有來得及寫完。他生前曾囑咐小女兒愛琳娜：「要她和恩格斯一起處理他的全 部文稿，並關心出版那些應該出版的東西，特別是第二卷(按：指《資本論》第二卷)和 一些數學著作。」[13](P42)馬克思逝世以後，恩格斯也曾希望把自己在自然辯證法方 面的研究成果同馬克思遺留下來的數學手稿一齊發表。[11](第三版序言)但是由於他肩 負著整理出版馬克思的最重要的著作——《資本論》第二卷、第三卷的重任，上述願望 沒有能夠實現。
馬克思關於微分學的幾篇論文草稿和一些札記於1933年譯成俄文與讀者見面，即在紀 念馬克思逝世五十周年的時候才第一次發表在蘇聯的理論刊物《在馬克思主義旗幟下》 ，隨後收入文集《馬克思主義與自然科學》。1968年在前蘇聯出版了馬克思數學手稿的 比較完全的德俄對照本[14]，書中對各個時期的手稿寫了較詳細的記述。此外，對馬克 思的數學手稿，還陸續出版過內容和編排不一的德文本、日文本、義大利文本等等。在 國際學術界引起了學者們的重視和興趣。如日本的玉木美彥、今野武雄早就撰文介紹過 馬克思數學手稿的內容。1977年在西德召開的國際數學史會議上，美國學者肯尼迪(H• C•Kennedy)作了題為《馬克思與微積分基礎》的學術報告。美國著名數學史家斯特洛 依克(D•J•Struik)1978年在《數學評論》雜志上寫文章介紹了這篇報告。前幾年，還 有美國科學史方面的研究生在研究馬克思數學手稿的傳播和影響。
在我國，早從1949年起，許默夫就發表過關於馬克思數學手稿的文章(註：許默夫的有 關馬克思數學手稿的幾篇文章，先後發表在《東北日報》(1949年5月5日)、《自然科學 》(1951年第1卷)、《數學通報》(1958年第12 期)、《新科學》(1955年第2期)等報刊上 。)，後來有些學者從日文本或俄文本將部分內容翻譯過來。1973年1月北京大學成立了 馬克思數學手稿編譯組，依據蘇聯1968年出版的德俄對照本進行翻譯。為了翻譯准確， 為了能從德文原文直接譯成中文，北京大學於1974年通過外交途徑從荷蘭購得全部數學 手稿原件的復印照片，將其中關於微積分的大部分論述和部分初等數學札記翻譯成中文 ，編排成書，由人民出版社於1975年正式出版。(註：1973 年1月，當時馬克思恩格斯列 寧著作編譯局的負責人王惠德同志把一本《馬克思數學手稿》(1968年的德俄對照本， 是一位瑞士記者送給他的)交給了孫小禮，建議由北京大學來組織翻譯。北大欣然接受 這一建議，立即成立了北京大學馬克思數學手稿編譯組，由鄧東皋、孫小禮具體負責， 動員了數學系、西語系、俄語系、哲學系的教師參加翻譯工作，德文方面有江澤涵、姚 保琮、冷生明、丁同仁等人，俄文方面有吳文達、黃敦、郭仲衡、鮑良駿、顏品中等人 。1974 年3月譯出了馬克思關於微積分的大部分論述，請於光遠、胡世華、陸汝鈐和編 譯局楊彥君等同志幫助校對後，於1974年5月由北京大學學報印出專刊：馬克思數學手 稿(試譯本)。1974年冬購得馬克思數學手稿原件的照片後，由諳悉德文的江澤涵、姚保 琮兩位教授仔細辨認馬克思原稿手跡，同冷生明、丁同仁、鄧東皋等人反復討論推敲， 對原來的譯文進行核校、修改和補充。最後又請北京師范大學的張禾瑞教授、蔣碩民教 授對全部譯稿從德文作了詳細校訂之後，才由人民出版社於1975年7月出版了馬克思的 《數學手稿》。)

兩種極端的看法
馬克思《數學手稿》一書於1975年在我國編譯出版以後，出現了兩種極端的看法。一 是過分地在數學上抬高馬克思，說馬克思為微積分奠定了理論基礎，把19世紀許多卓越 數學家的重要成就都視為形而上學，惟有馬克思的論述才是符合辯證法的，甚至要在教 學中用馬克思《數學手稿》代替微積分教材。這種作法顯然是極其錯誤的，既違背馬克 思的本意，也不符合數學發展的實際，對於高等數學教學只能產生有害的影響。另一種 極端的看法則認為馬克思根本不懂數學，至少不懂高等數學，寫於 19世紀的《數學手稿 》沒有什麼學術價值，不值得翻譯出版。這種完全否定的態度也是缺乏歷史分析、不符 合實際的。
由於這兩種看法在不同程度上一直延續到現在，所以，我感到把馬克思的《數學手稿 》放在當時的歷史條件下，根據其具體內容，作出實事求是的恰當的評價是必要的，有 現實意義的。
數學手稿：一份寶貴的歷史文獻
通過閱讀馬克思數學手稿，以及馬克思的著作和通信中有關數學的論述，聯繫到幾十 年來馬克思數學手稿在我國的翻譯、介紹、出版和影響，我特撰寫本文談談自己對馬克 思數學手稿的理解和看法，就教於對此有興趣的朋友們，也作為對馬克思逝世120周年 的紀念。
讀讀馬克思數學手稿，就感到馬克思是深鑽到數學中去了，確如恩格斯所說：「馬克 思是精通數學的。」[12]當然，所謂「精通」，不能要求馬克思通曉當時數學的全部， 正好像現在堪稱「精通」數學的專家也不可能對當前數學的全部內容都了如指掌一樣。 事實上，正如恩格斯所說：「對於自然科學，我們只能作零星的、時停時續的、片斷的 研究」，而且「自然科學本身也正處在如此巨大的變革過程中，以至那些即使有全部空 閑時間來從事於此的人，也很難跟蹤不失 」[12]。馬克思生前還沒有來得及跟蹤19世紀 數學分析方面的重要成就，還沒有閱讀當時已經出版的，像哥西的《分析教程》(1821 年初版)那樣的一些重要著作。由於馬克思還不了解微積分經過波爾察諾(B.Bolzano，1 781-1848)、哥西 (A.L.Cauchy，1789-1857)、外爾斯特拉斯(K.W.T.Weierstrass，1815 -1897)等數學家的努力以後所取得的逐步「完善」的形式，因而他也不可能運用極限理 論做出像後來人們所理解的那樣來闡明微積分的本質。
馬克思不是專職數學家，也沒有對數學本身做出重大建樹，他的數學手稿之所以受到 人們重視，首先，因為他是人類歷史上的偉大思想家，而他又在數學這一園地上數十年 如一日地執著地辛勤耕耘過，這一事跡是人類文化史上所罕見的，是歷史上任何一位思 想家都難以相比的。現在我們讀到的數學手稿，就是他以自己的獨特方式辛勤耕耘的歷 史足跡，這足跡能夠保留下來，為世人所知，是令人感到寶貴的，而且值得加以研究和 回味，從中獲得有益的啟迪。
其次，在馬克思數學手稿中，確有至今還在閃光的思想和見解。比如馬克思在考察了 微分學的具體歷史發展過程以後，曾作出這樣的論斷：「新事物和舊事物之間的真實的 從而是最簡單的聯系，總是在新事物自身取得完善的形式後才被發現。」[8](P144)這 是對新舊事物關系的哲理性概括，也是對人的認識規律的哲理性概括，對人們的認識進 展很有啟發。
第三，在馬克思主義理論中，非常注重人，尤其注重人的全面發展。馬克思對自由時 間或閑暇時間，也就是非勞動時間的重要性有深刻的論述，他把自由時間看作財富，把 休閑看作人的生活的重要組成部分。那麼，馬克思自己怎樣度過閑暇時間呢?據馬克思 的女婿拉法格回憶：「除了讀詩歌和小說以外，馬克思還有一種獨特的精神休養方法， 這就是他十分喜愛的數學。代數甚至給他以精神上的安慰；在他那驚濤駭浪的一生中有 些最痛苦的時期，他總是以此自慰。」[7] (P8)

馬克思曾對恩格斯說：「在工作之餘——當然不能老是寫作——我就搞搞微分學。我沒有耐心再去讀別的東西。任何其他讀物總是把我趕回寫字台來。」[3](P124) 馬克思對數學的特殊愛好，使他在任何情況下都能使自己沉浸於數學之中。當馬克思的 夫人燕妮身患重病——肝癌的時候，他給恩格斯寫信說：「寫文章現在對我來說幾乎是 不可能了。我能用來使心靈保持必要平靜的唯一的事情，就是數學。」[2](P113) 他的 關於微分學的研究草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子裡寫作的。
在馬克思的數學手稿中，能看到很多幽默俏皮的語言和生動有趣的比喻。可以想見， 數學曾是馬克思尋求歡樂和安慰的休閑王國，在馬克思的一生中有許多時日是在這里愉 快地度過的，上千頁的數學手稿就是馬克思這種獨特的精神休養法的真實記錄。
綜上所述，我認為，馬克思數學手稿是一份寶貴的有特殊價值的歷史文獻。

7. 求馬克思說過的原句！大致意思是沒有數學的學說是不科學的，強調數學在學術研究中的作用和地位！

我們國家出版的《毛主席語錄》比較多，這個神馬科斯還真沒幾個人關注，去圖書館查一下吧！

8. 馬克思和恩格斯的簡介

馬克思是德國偉大的思想家、政治學家、哲學家、經濟學家、革命理論家和社會學家。主要著作有《資本論》、《共產黨宣言》等。馬克思創立的廣為人知的哲學思想為歷史唯物主義，其最大的願望是對於個人的全面而自由的發展。

馬克思創立了偉大的經濟理論。就他個人而言，他的極其偉大的著作是《資本論》，馬克思確立他的闡述原則是「政治經濟學批判」。馬克思認為，這是「政治經濟學原理」的東西，這是「精髓」，後來人可以在這個基礎上繼續去研究。

馬克思認為資產階級的滅亡和無產階級的勝利是同樣不可避免的。他和恩格斯共同創立的馬克思主義學說，被認為是指引全世界勞動人民為實現社會主義和共產主義偉大理想而進行斗爭的理論武器和行動指南。

恩格斯，德國思想家、哲學家、革命家、教育家，軍事理論家，全世界無產階級和勞動人民的偉大導師，馬克思主義創始人之一。恩格斯是卡爾·馬克思的摯友，被譽為「第二提琴手」，他為馬克思從事學術研究提供大量經濟支持。

馬克思逝世後，將馬克思遺留下的大量手稿、遺著整理出版，並眾望所歸地成為國際工人運動的領袖。

恩格斯是馬克思的親密戰友，和馬克思共同撰寫了《共產黨宣言》，共同創立了科學共產主義理論；參加了第一國際的領導工作。

馬克思逝世後，他承擔整理和出版《資本論》 遺稿的工作，還肩負領導國際工人運動的重擔。除同馬克思合撰著作外，他還著有《自然辯證法》、《家庭、私有制和國家的起源》。

(8)馬克思數學擴展閱讀：

十九世紀八十年代以後，國際工人運動進一步向橫廣的方面發展，擴展到整個歐洲和北美大陸。年邁的恩格斯密切注視著社會主義運動在各地的發展，廣泛了解各國的歷史和現狀，與各國社會主義政黨和工人運動活動家保持經常的聯系，不時地向他們提出建議和忠告。

恩格斯反復教導各國社會主義者要從本國的條件出發，堅持和運用馬克思主義的基本原理，獨立地決定本國革命的方針和策略。他說："馬克思的歷史理論是任何堅定不移和始終一貫的革命策略的基本條件；為了找到這種策略，需要的只是把這一理論應用於本國的經濟條件和政治條件。」

恩格斯在同馬克思一起創立馬克思主義的哲學、政治經濟學和科學社會主義理論方面作出了卓越貢獻，同時在軍事理論領域造詣很深、建樹卓著。恩格斯同馬克思一起，在批判地繼承以往軍事理論遺產和總結革命實踐的基礎上，提出了有關戰爭、軍隊、軍事學術和軍事史的學說，為無產階級軍事科學奠定了基礎。

馬克思主義是近代最復雜和精深的學說之一。學說的范圍包括了政治、哲學、經濟、社會等廣泛的領域。而馬克思主義的發展也是任何其他主義所不能及的，也因為如此，這世界上存在著許多不一樣版本的解釋和陳述。

就如美國近代馬克思主義學家達拉普（Hal Draper）所講「在人類歷史上，少有學說像馬克思思想一樣，被不一般的人為嚴重扭曲」。除了馬列主義以外，許多派別的學說都認為自派學說為馬克思的正統繼承。如今，其中比較有影響力和主要的陣營包括：托洛茨基主義、斯大林主義、西方馬克思主義等等。

馬克思對哲學的最大貢獻是將實踐概念引入哲學，使哲學同現代無產階級（工人階級）的解放聯系起來了，將這個哲學徹底運用於社會歷史領域導致了唯物史觀的產生。

在唯物史觀的指導下，馬克思分析和研究了資本主義社會的經濟基礎從而發現了剩餘價值，指出無產階級同資產階級的階級斗爭必然導致無產階級專政，而這個專政又是從資本主義到共產主義的過渡、演變而來。

9. 題目：馬克思手稿中有一道趣味數學問題：有30 個人，其中有男人、女人和小孩，在一家飯館吃飯花了50

設男人為X人，女人為Y，小孩為Z x+y+z=30 z=30-x-y 3x+2Y+z=50 z=50-3x-2y 50-3x-2y=30-x-y 50-30=3x+2y-x-y 20=2x+y y=20-2x ---------- 50-3x-(20-x)=30-x-(20-x) 50-3x-20+x=30-x-20+x 50-20-30+20=3x-x-x+x 20=2x x=10. --------- y=20-20=0 z=30-10=20