數學演義
1、數學演義
《數學演義》是2008年科學出版社出版的圖書。作者是王樹和。就《好玩的數學》叢書而言，不同的讀者也會從其中得到不同的樂趣和益處。可以當做休閑娛樂小品隨便翻翻，有助於排遣工作疲勞、俗事煩惱；可以作為教師參考資料，有助於活躍課堂氣氛，啟迪學生心智；可以作為學生課外讀物，有助於開闊眼界，增長知識、鍛煉邏輯思維能力。即使對於數學修養比較高的大學生，研究生甚至數學研究工作者，也會開卷有益。
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內容預覽：
6. 張景中的訪談錄
●那麼多青少年喜愛我的作品，是一種幸福，一種享受！
●可以把學數學比作吃核桃。核桃仁要砸開了才能吃到。有些核桃外殼與核桃仁緊密相連，成都人形象地叫「夾米子核桃」，如果砸不得法，砸開了還很難吃到。數學教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃仁；而教育數學呢，則是要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更有營養，更容易砸開吃凈！
關鍵詞：科普、科研
兒時讀科普書是興趣而今寫科普書是責任
羊城晚報：張院士，您是怎樣開始科普寫作的？
張景中：我主要從事科研。社會為我們提供了科研條件和環境，我們當然有責任向大家說明研究對象的情形和研究工作的意義。國家要求攀登項目結題時一定要編寫一本科普書，我認為這個規定很好，說明科普工作不僅是科普作家的事，也是科學家的責任。
當然，我做科普工作，也有我個人的原因。我小時候喜歡讀科普作品。法布爾的書讓我看到一個新奇的世界，伊林的作品讓我知道了許多平常的東西包含著不平常的故事和道理。科普讀物啟發我思考，激勵我探索，使我產生了研究和創新的願望。我常常想，如果有一天我能出書，也要寫好看的科普書。就這樣，我給自己加上了寫科普書的責任。
張教授主編的好玩的數學系列有以下：
1，《數學聊齋》；2，《數學美拾趣》；3，《幻方及其他》；4，《數學演義》；5，《趣味隨機問題》等十部。
好看科普書真不易寫十幾行字苦思兩天半
羊城晚報：科研花費了您不少精力，您還擠得出時間？
張景中：寫出好的科普作品確實不容易。如何選擇話題，如何打比方，都要反復想，一再修改。有些東西，人家大科學家寫過，你敢不敢班門弄斧？能不能給讀者新啟發？都是挑戰。例如，我國古代數學家祖沖之指出，分數355/113是圓周率π的一個很好的近似值，稱之為密率。密率好在哪？這是一個不錯的科普話題。數學大師華羅庚指出，在分母不超過366的所有分數當中，沒有比密率更接近π的分數了。要說明其中道理，他用到數論里的丟番圖理論。後來另一位著名數學家在一本科普書里，用連分數的方法，更進一步地論證出，在分母不超過6000的所有分數當中，沒有比密率更接近π的分數。
能不能用更淺顯的方法，更充分地說明密率的好處呢？我反復思考，發現可以用初中生的數學知識，簡捷地論證出更好的結論：在分母不超過16500的所有分數中，沒有比密率更接近π的分數！並且指出，有一個分母為16604的分數，確實比密率更接近π。這點道理寫在書里不過十幾行，但想到它，卻用了兩天多時間。
羊城晚報：科普作家不僅需要有科學研究，還要有人文修養……您怎麼看待科學精神和人文修養的關系？
張景中：一般來說，科學求真，人文求善，藝術求美。真善美應當是每個人的追求，三者是相輔相成的。其實科學家寫科普文章的並不少，只是要想寫好太花時間、太花精力，而社會評價又往往不及研究論文。例如評職稱不承認科普文章。在這種導向下，能夠做研究的人多數自然不願意在科普上下功夫。
寫好科普文章可能需要人文修養和一點藝術素質，但更重要的，是對科學成果本質的理解，是創新精神。
曾作論文與前人重復 華羅庚含蓄點撥後學
羊城晚報：聽說您在北大讀書時開始寫論文，還和大數學家華羅庚打過交道？
張景中：在學習解析幾何時，我看到一本教材上有條定理，說滿足函數方程f（x+y）=f（x）+f（y）的函數f（x）如果連續，一定是「齊次線性函數」，即f（x）=a？x。我想，f（x）如果不連續，結果如何呢？應用課外看到的集合論中的「任意選擇公理」，我解決了自己提出的這個問題。於是就寫成一篇稿子寄給《數學進展》，很快順利地發表了。
不久，編輯部來函，說有讀者來信，問這篇文章解決的問題出於何處？前人有何工作？我回信說問題是自己提出來的，不知道前人的工作。編輯部又寫信來說，做研究工作寫論文應當了解自己所研究的問題的背景和前人的有關成果，這是對讀者負責，也是做研究工作應當知道的。於是我就到資料室查文獻，一年一年向上查，查了3個星期，查到30多年前，發現1920年有一篇德文的文獻，已經解決了這個問題。我把查到的結果寫信告訴了編輯部，編輯部在刊物上發了一條啟事，說作者來函說明此結果與以前某某人工作有重復，向讀者致歉，作為此事的了結。
後來，在數學所工作的邵品琮學長向我透露，編輯部信中所說的「讀者」來信，實際上就是刊物主編華羅庚先生的意見。他因為出國，在刊物出版後才看到我的文章，發現與前人工作重復，就指示工作人員給我寫信，促使我學習做研究工作的基本規矩。這個經歷使我終身受益。華羅庚先生關心後學的熱情，使我終身銘記！
關鍵詞：奧數
一味討伐奧數有偏頗
考試體制更難辭其咎
羊城晚報：近年來各地「奧數」成風，雖然不乏反對聲，但風頭仍勁。您怎麼看？
張景中：有一陣子，媒體上出現不少討伐數學競賽的聲音，我留意到了，有的教育專家甚至認為數學競賽之害甚於黃賭毒。我的第一個想法是，中國現在值得反對的事情不少，論輕重緩急還遠遠輪不到數學競賽吧。再仔細讀這些反對者的意見：他們反對的實際上是某些為牟利而誤人子弟的數學競賽培訓。
數學競賽並不是所有學生都適合參與，它是面向青少年中很小一部分數學愛好者而組織的活動。這些數學愛好者估計不超過約2億中小學生的5%。
數學競賽培訓活動過熱產生的消極影響，和升學考試體制以及教育資源分配過分集中等多種因素有關，這筆賬不能算在數學競賽頭上。對於青少年的課外興趣活動，積極的對策不應是限制堵塞，而是開源分流。開展多種課外活動，比如鋼琴比賽、動漫比賽等，讓更多的青少年各得其所。如果都辦得像數學競賽這樣成功並且被認可，數學競賽培訓活動過熱的問題自然就化解或緩解了。
奧數學習不應被限制
該反思的是獲獎加分
羊城晚報：不少家長在為孩子選擇興趣班時，往往選擇高考、中考能加分的項目。
張景中：這還是說明各種競賽辦得成功的少，被認可的少。其實各學科都可以辦奧賽，物理奧賽、化學奧賽、計算機奧賽等，這些目前發展都不夠，認可度不高。我覺得接著應該認可信息技術競賽，因為孩子適合學習信息技術和軟體的很多，會遠遠超過5%，且社會對這類人才的需求也很大。
很多孩子扎堆報名奧賽培訓班，我了解過，多數其實聽不懂。不過好處也是有的，他學習之後再回到課堂，原來的東西就感覺容易了。雖然奧賽的題目他不會做，但至少知道了還有這樣的題目，可以這樣設問，眼界開闊了。
我覺得奧數不應被限制，需要反思的是奧數獲獎後高考、中考加分的做法。如果不再加分了，為分數而學習的人就沒有了，家長報名時也就不那麼盲目了。而真正有興趣有特長的人，不加分他也願意學。
關鍵詞：教育數學
數學難就難在殼太硬
要研究如何更易砸開
羊城晚報：有教育界人士認為中小學數學偏難，讓孩子頭疼。您認同嗎？
張景中：我認為初中的偏容易，高中的偏難；課上學的較容易，考試起來很難。學生只靠課本上的東西，考不出好的成績，必須補許多課外的東西。
數學本身是比較難的，比如2/3+3/2這個分數題，按照一般的思維，應該是分子加分子，分母加分母。但這是不對的，必須首先通分。我的體會是，數學本身很難，必須找到方法使它變得容易起來，要想辦法改變數學知識的組織方式。
知識的組織方式和學習的難易有密切關系，如英語中的12個月的名字：January，February……背這12個單詞要花點功夫；如果改良一下：一月就叫Monthone，二月就叫Monthtwo等，馬上就能理解，就能記住，學起來就容易多了。生活語言如此，科學的語言———數學，何嘗不是這樣呢？
國外教育同樣面臨數學難的問題。從上世紀五六十年代起，美國動用了大量人力物力要搞好數學教育，但收效甚微。一位美國著名數學家說，我們有錢，有人，但沒方向。我也這樣看，他們不成功的關鍵就是沒找到正確方向。他們只是研究數學怎麼教，而沒有考慮改造數學本身，讓數學變得容易起來。我在1989年提出的「教育數學」概念，就是讓數學變容易。
羊城晚報：怎麼理解「教育數學」？
張景中：簡單說就是改造數學使之更適合於教學和學習。可以把學數學比作吃核桃。核桃仁要砸開了才能吃到。有些核桃外殼與核桃仁緊密相連，成都人形象地叫「夾米子核桃」，如果砸不得法，砸開了還很難吃到。數學教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃仁。而教育數學呢，則是要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更有營養，更容易砸開吃凈！
致力於使數學變容易
盼千萬學子從中受惠
羊城晚報：您花費很多精力致力於數學教育、科普推廣，近年來又致力於教學工具「超級畫板」的研發。您把它看成自己的事業？
張景中：數學教育、科普推廣，教學工具「超級畫板」都是有理論研究的。例如用計算機回答初中生的數學問題，還沒有人研究出這樣的系統。關鍵是要用學生學過的知識，用學生理解的方式自動解題，這就難了。
通常認為中學里三角難學。本來初中要學「解任意三角形」，現在這個內容放在高中了，就是大家認為太難了。如果把這部分變容易，變得小學生都能理解多好！這就是科研課題。我多年來研究這個問題，現在已經解決了。初步教學實驗表明，用新的方法來講三角，學生更容易理解。
把數學變容易是需要研究的。初等數學如此，高等數學也如此。為了把微積分變得容易理解，牛頓、拉格朗日、費米、庫朗都下過功夫，華羅庚親自寫高等數學教材，也力求寫出新意。林群院士在這方面做了十幾年，研究出來還到中學去講。要從基礎上改進一個發展了幾百年的學科，當然很難。一旦有所進展，會使千千萬萬學子受益，意義不可估量。 學習可以有趣不會輕松
羊城晚報：你在努力創造「無痛數學」？
張景中：是的，可以減少學習的痛苦。不過我不相信學習是輕松的。真正學習都是要下功夫的，想輕松只能學到膚淺的東西。但若學習方法對頭，效率會高一些，並且會很有趣。
寫科普作品也有兩種，一種是把科學外的趣味放進來，調劑學習者的心情；另一種是把科學內的趣味發掘出來，是知識本身的趣味讓學習變得有趣。後者是我努力的方向。
羊城晚報：聽說您特別喜歡當老師，無論是中學還是大學邀請，您都很樂意去講？
張景中：這也是學習，也是研究。教學相長。陳省身那麼大的數學家，還要給學生講微積分呢。我在北大讀書時，一年級的課程就是由江澤涵院士和程民德院士來講。那時不要求教授出多少SCI（科學引文索引），爭取多少項目經費，教授把主要力量放在教書育人上。可惜現在很難做到這樣了。
7. 4階實系數線性齊次微分方程的兩個解是cos4x和sin3x，求其通解，並確定其方程
第29卷第2期 河池學院學報 Vol.29No.22009年4月 JOURNALOFHECHIUNIVERSITY
Apr.2009四階常系數非齊次線性微分方程特解的解法
蔣 靜,馮春華
(廣西師范大學 數學學院, 廣西 桂林 541004)
[摘 要] 在已有文獻所給的解一元四次方程方法的基礎上,給出了求解四階常系數方程的詳細步驟,同時,
利用常數變易法和分部積分法,以及高等代數的相關知識,得到了在兩種情況下四階常系數非齊次線性微分方程特解的兩個定理.
[關鍵詞] 一元四次方程;四階常系數非齊次線性方程;特徵方程;特解
[中圖分類號] O175.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 1672-9021(2009)02-0019-05[作者簡介] 蔣靜(1984-),男,廣西桂林人,廣西師范大學數學學院碩士研究生,主要研究方向:組合論.
0 引言
如所知道,對三階常系數非齊次線性微分方程,可以用常數變易公式求出它的一個特解
[1]
.對四階常系
數非齊次線性微分方程
x(4)
+ax+bx″+cx′+dx=f(t)
(1)其中:a,b,c,d為常數,f(t)∈C,且f(t)不恆為零.同三階方程一樣,求解這類方程的通解的關鍵仍在於求出其中一個特解.要求出一個特解就必須先求解方程(1)所對應的特徵方程,即求解一個一元四次方程.因此,本文首先在文獻[2]所給的解一元四次方程方法的基礎上,得到了一元四次方程的根式解.同時,利用常數
變易法[3]和分部積分法[4],以及高等代數[5]
的相關知識,得出了方程(1)的特徵方程在滿足什麼條件的情況下有四個不相同的單實根、兩對不同共軛根,並求出了在這兩種情況下,其特解的兩個公式.用同樣的方法,還可以求出方程(1)的特徵方程在何種情況下有一個單實根一個三重實根、兩個單實根一個二重實根、兩個二重實根、一個四重實根、兩個單實根一對共軛根、一個二重實根一對共軛根和兩對相同共軛根,以及在這些情況下方程(1)的特解的公式,由於篇幅過大,這里從略,這樣就可以求出方程(1)在任何情況下的特解了.所給例子表明,用通常的特定系數法不能求出所給方程的特解,從而本文的求特解方法在實際應用中有一定意義.
1 主要結果
定理1:若(1)所對應的特徵方程λ4
+a
λ3+bλ2+cλ+d=0滿足 a2
-4b+4y>0
2a2
-4y-4b>0
2a(a2
-4b+4y)
1
2
+8(y2
-4d)
12
=0
(其中y=
-
q
2
+(
q
2
4
+
p
3
27
)
12
13
+-q
2
-(
q
2
4
+
p
3
27
)
12
13
+
b
3
,p=ac-
b
2
3
-4d,
q=abc
3+8bd3-c2-a2
d-2b3
27
)則此特徵方程有四個不相同的單實根.且方程(1)的一個特解為
x=c1(t)eλ1t+c2(t)eλ2t+c3(t)eλ3t+c4(t)eλ4t
,
9
1
其中,
c1(t)=-1
(λ4-λ1)(λ3-λ1)(λ2-λ1)∫f(t)
eλ1tdtc2(t)=
-1(λ4-λ2)(λ3-λ2)(λ1-λ2)∫f(t)eλ2tdtc3(t)=-1(λ4-λ3)(λ2-λ3)(λ1-λ3)∫f(t)eλ3tdtc4(t)=
-1(λ3-λ4)(
λ2-λ4)(λ1-λ4)∫
f(t)eλ4
tdt(這里在進行積分時,積分常數取零值).
證明:設特徵方程的四個根為λ1,λ2,λ3,λ4,則經適當變換並利用文獻[2]中的卡丹公式可得特徵方程的四個根為
λ1=
14
(a2
-4b+4y)12
-a+2a2-4y-4b-2a(a2
-4b+4y)12
-8(y2
-4d)1212
λ2=1
4
(a2-4b+4y)
12
-a-2a2-4y-4b-2a(a2
-4b+4y)
12
-8(y2
-4d)
1212
λ3=
14-(a2
-4b+4y)
12
-a+2a2
-4y-4b+2a(a2
-4b+4y)12
+8(y2
-4d)1212
λ4=
14-(a2
-4b+4y)
12
-a-2a2-4y-4b+2a(a2
-4b+4y)
12
+8(y2
-4d)
1212
又由所給條件知道特徵方程的四個根都是實根.因為2a(a2
-4b+4y)
12
+8(y2
-4d)
12
=0,於是有
λ1=1
4(a2
-4b+4y)12
-a+(2a2
-4y-4b)
12
λ2=
14
(a2-4b+4y)
12
-a-(2a2
-4y-4b)
12
λ3=
14
-(a2
-4b+4y)12
-a+(2a2
-4y-4b)
12
λ4=1
4
-(a2
-4b+4y)
12
-a-(2a2
-4y-4b)
12
因為a2
-4b+4y>0,所以λ1≠
λ3,λ2≠λ4;因為2a2
-4y-4b>0,所以λ1≠
λ2,λ3≠λ4;因為
a2
-4b+4y>0
2a2
-4y-4b>0
,則有
(a2
-4b+4y)
12>0(2a2
-4y-4b)
12
>0
,容易驗證
(a2
-4b+4y)
1
2
+(2a2
-4y-4b)
12
-a≠-(a2
-4b+4y)
12
-(2a2
-4y-4b)
12
-a
即λ1≠
λ4,同理可以證明λ2≠λ3.從而方程x(4)
+ax+bx″+cx′+dx=f(t)對應的齊次方程的通解為:
x=c1eλ1t
+c2eλ2t
+c3eλ3t
+c4eλ4t
, 其中c1,c2,c3,c4為任意常數.利用常數變易法,設方程x
(4)
+ax+bx″+cx′+dx=f(t)的解為
x=c1(t)eλ1t+c2(t)eλ
2t+c3(t)eλ
3t+c4(t)eλ
4
t
由
c′
1(t)eλ1t
+c′2(t)eλ2t
+c′3(t)eλ3t
+c′4(t)eλ4t
=0λ1c′1(t)eλ1t+λ2c′2(t)eλ2t+λ3c′3(t)eλ3t+λ4c′4(t)eλ4t=0λ21c′1(t)eλ1t+λ22c′2(t)eλ2t+λ23c′3(t)eλ3t+λ24c′4
(t)eλ4t=0λ31c′1(t)eλ
1t+λ32c′2(t)eλ
2t+λ33c′3(t)eλ
3t+λ34c′4(t)eλ
4t=f(t)以及 λ1,λ2,λ3,λ4 互不相同,
故方程x(4)
+ax+bx″+cx′+dx=f(t)的特解為
0
2
x=c1(t)eλ1t+c2(t)eλ2t+c3(t)eλ3t+c4(t)eλ4
t
其中
c1(t)=-1
(λ4-λ1)(λ3-λ1)(λ2-λ1)∫f(t)
eλ1tdtc2(t)=
-1(λ4-λ2)(λ3-λ2)(λ1-λ2)∫f(t)eλ2tdtc3(t)=-1(λ4-λ3)(λ2-λ3)(λ1-λ3)∫f(t)eλ3tdtc4(t)=
-1(λ3-λ4)(
λ2-λ4)(λ1-λ4)∫
f(t)eλ4
tdt(在進行積分時,積分常數取零值),證畢.
例1: 求方程x
(4)
-10x+35x″-50x′+24x=
1
1+e
t的一個特解.解:首先注意到用通常的待定系數法僅能求出當右端函數f(t)為幾類很特殊的函數,例如f(t)為多項式,或者f(t)為多項式與cost和sint的乘積,或者f(t)為ert
與一個多項式的乘積.而這里f(t)=1
1+e
t不屬於上述諸種情況,因此用通常的待定系數法不能求方程的一個特解.而此方程的特徵方程為:
λ4-10λ3+35λ2-50λ+24=0,記a=-10,b=35,c=-50,d=24,由定理1可算得
p=ac-b
2
3-4d=-133,q=abc3+8bd3-c2-a2
d-2b3
27=-7027
y=
-
q
2
+(
q
2
4
+
p
3
27
)
1
2
13
+-
q
2
-(
q
2
4
+
p
3
27
)
12
13
+
b
3
=14
所以有 a2
-4b+4y=16>0
2a2
-4y-4b=4>0
2a(a2
-4b+4y)
12
+8(y2
-4d)
12
=0因此特徵方程有四個不相同的單實根,即λ1=4,λ2=3,λ3=2,λ4=1.由定理1知,原方程的一個特解為
x=-16-t-1
et
+ln(1+et
)et+12
t+1
e
t
-
12e
2t-ln(1+et)e2t-12
-t-1
e
t
+
12e
2t-
13e
3t+ln(1+et)e3t+
16t+
1
e
t
-
12e2t+13e3t-14e
4t-ln(1+et)e4t
=124+(et
6+e2t
2+e3t
2+e4t
6
)t-ln(1+et
)+
1136et+512e2t+16
e3t
定理2:若(1)式所對應的特徵方程λ4
+a
λ3+bλ2+cλ+d=0滿足
a2
-4b+4y=0
y2
-4d>0
2a2-4y-4b+8(y2
-4d)12<02a2
-4y-4b-8(y2
-4d)
12
<0
(其中y=-
q
2
+(
q
2
4
+
p
3
27
)
12
1
3
+
-
q
2
-(
q
2
4
+
p
3
27
)
12
13
+
b
3
,p=ac-
b
2
3
-4d,
q=abc
3+8bd3-c2-a2
d-2b3
27
)則特徵方程有兩對不同的共軛根.設這四個根為:k1±k2i,k3±k4i,(k2≠0,k4≠0,k1≠k3或k2≠k4),則原方程的一個特解為:
x=c1(t)ek1tcosk2t+c2(t)ek1tsink2t+c3(t)ek3tcosk4t+c4(t)ek3t
sink4t
1
2
其中
c1(t)=∫2k2(k3-k1)cosk2t+(k22-k24-k21-k2
3+2k1k3)sink2tf(t)k2(k1-k3)
2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)2
+(k2-k4)
2
ek1t
dtc2(t)=
∫(k2
1+k2
3-2k1k3-k2
2+k2
4)cosk2t+2k2(k3-k1)sink2tf(t)
k2
(k1-k3)2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)2
+(k2-k4)
2
ek1t
dtc3(t)=∫2k4(k1-k3)cosk4t+(k24-k22-k21-k2
3+2k1k3)sink4tf(t)
k4(k1-k3)
2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)2
+(k2-k4)
2
ek3t
dtc4(t)=
∫(k2
1+k2
3-2k1k3+k2
2-k2
4)cosk4t+2k4(k1-k3)sink4tf(t)
k
4
(k1-k3)
2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)
2
+(k2-k4)
2
ek3
t
dt
(在進行積分時,積分常數取零值).
證明:設特徵方程的四個根為λ1,λ2,λ3,λ4,因為a2
-4b+4y=0,於是有
λ1=
14
-a+2a2
-4y-4b-8(y2
-4d)12
12
λ2=1
4
-a-2a2
-4y-4b-8(y2
-4d)
1212
λ3=
14-a+2a2
-4y-4b+8(y2
-4d)1212
λ4=
14
-a-2a2-4y-4b+8(y2
-4d)
1212
又因為
2a2-4y-4b+8(y2-4d)12<02a2
-4y-4b-8(y2
-4d)
12
<0
所以原方程的四個根都是復根,且λ1與λ2共軛,λ3與λ4共軛.容易知道λ1≠
λ3,λ2≠λ4.綜上所述,原方程有兩對不同共軛根.設為k1+k2i,k1-k2i,k3+k4i,k3-k4i,(k2≠0,k4≠0,k1≠k3或k2≠k4),則易證
k4(k1-k3)2+(k2+k4)2
(k1-k3)2+(k2-k4)2
≠0k2
(k1-k3)
2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)
2
+(k2-k4)2
≠0
且可知方程x(4)+ax+bx″+cx′+dx=f(t)對應的齊次方程的實值解為
ek1t
cosk2t,ek1t
sink2t,ek3t
cosk4t,ek3t
sink4t,
故方程x
(4)
+ax+bx″+cx′+dx=f(t)對應的齊次方程的通解為
x=c1ek1t
cosk2t+c2ek1t
sink2t+c3ek3t
cosk4t+c4ek3t
sink4t,其中c1,c2,c3,c4為任意常數,利用常數變易法,設方程x(4)
+ax+bx″+cx′+dx=f(t)的解為
x=c1(t)ek1tcosk2t+c2(t)ek1tsink2t+c3(t)ek3tcosk4t+c4(t)ek3t
sink4t
類似於定理1,得方程x
(4)
+ax+bx″+cx′-dx=f(t)的一個特解為
x=c1(t)ek1tcosk2t+c2(t)ek1tsink2t+c3(t)ek3tcosk4t+c4(t)ek3t
sink4t
其中
c1(t)=∫2k2(k3-k1)cosk2t+(k22-k24-k21-k2
3+2k1k3)sink2tf(t)k2(k1-k3)
2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)2
+(k2-k4)
2
ek1t
dtc2(t)=
∫(k2
1+k2
3-2k1k3-k2
2+k2
4)cosk2t+2k2(k3-k1)sink2tf(t)
k2
(k1-k3)2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)2
+(k2-k4)
2
ek1t
dtc3(t)=∫2k4(k1-k3)cosk4t+(k24-k22-k21-k2
3+2k1k3)sink4tf(t)
k4(k1-k3)
2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)2
+(k2-k4)
2
ek3t
dtc4(t)=
∫(k2
1+k2
3-2k1k3+k2
2-k2
4)cosk4t+2k4(k1-k3)sink4tf(t)
k
4
(k1-k3)
2
+(k2+k4)
2
(k1-k3)2
+(k2-k4)
2
ek3
t
dt
(在進行積分時,積分常數取零值),證畢.
例2: 求方程x(4)
-4x+11x″-14x′+10x=
e
t
1+cost
的特解.
2
2
解:注意這個方程也不能用待定系數法來求得一個特解.而此方程的特徵方程為
λ4-4λ3+11λ2-14λ+10=0記a=-4,b=11,c=-14,d=10.則由定理2可以算得其特徵方程有兩對不同共軛根1+i,1-i,1+2i,1-2i,令k1=1,k2=1,k3=1,k4=2,則原方程的特解為
x=c1(t)etcost+c2(t)etsint+c3(t)etcos2t+c4(t)et
sin2t,其中
c1(t)=
2lncos
t
2
3
,c2(t)=
(t-tan
t
2
)
3
,c3(t)=
2lncos
t
2-cost
3
,c4(t)=
2t-2sint-tan
t
2
6
.
故原方程的一個特解為
x=
2lncos
t
2
3et
cost+
(t-tan
t
2
)
3
et
sint+
2lncos
t
2-cost3
et
cos2t+
2t-2sint-tan
t
2
6
et
sin2t
在上文中,一元四次方程的根式解相當復雜,因此,在解一元四次方程時,應該根據實際情況而定,例如採用因式分解等方法,這樣就可以大大地提高運算速度.另外,對上文定理中的f(t),有些形式用待定系數法可能比用公式法更簡便,所以我們不能盲目地去套用公式,而應該根據實際情況而定.總之,本文為不能用待定系數法求特解的情況提供了一個求特解的公式.
參考文獻:
[1]湯光宋.一類三階常系數非齊次線性微分方程特解的求法[J].邵陽高專學報,1995,8(2):118-132.[2]王樹禾.數學演義(第一版)[M].北京:科學出版社,2004.10.
[3]王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1983.9.[4]華東師范大學數學系.數學分析(上冊)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.6.[5]張禾瑞,郝鈉新.高等代數(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1999.
8. 數學演義的目錄
編者的話
第一版總序
前言
第一回 手指腳趾計數自然
二進十進游戲高雅
第二回 測天度地作周髀
弄巧動智證勾股
第三回 欲知何謂無理數
應尋誰是戴德金
第四回 詭辯派胡謅規尺作圖題
眾後生高談擴域超越數
第五回 數學之神巧施反證定圓畝
阿基米德切片秤量度球積
第六回 引葭赴岸劉徽設計公式解
玉枝傾倒天竺學吟蓮花詩
第七回 劉徽首創等冪等積定理
祖(日子旁恆)巧算牟合方蓋體積
第八回 五家共井劉徽解法不俗
大竹小竹九章招數真絕
第九回 莞蒲生葉引發指數方程
兩鼠穿牆呼喚對數解法
第十回 五湖四海能者細算圓周率
古今中外何人通曉實數∏
第十一回 痴迷數學張遂剃度天台山
創立天元李冶隱居封龍谷
第十二回 楊輝三角藏數理華老觚板揭玄機
第十三回 天地人物漢卿著《四元玉鑒》
堆垛嵐峰松庭作《算學啟蒙》
第十四回 神農幻方楊輝獻藝
憂郁圖版丟勒做秀
第十五回 三次方程鬧劇獲得公式解
神醫卡丹內疚難舍詭辯量
第十六回 嚴刑逼供伽利略違心交出悔過書
死不悔改保釋犯巧手發明扇形規
第十七回 比薩才子寵養兔子成序列
斐波那契應試宮廷得滿分
第十八回 給我兩個互素自然數
送君一枚正星多邊形
第十九回 豪華廣場追求地面別致
美麗石磚講究邊角適度
第二十回 歐拉函數奇妙無窮
費馬定理難度有限
第二十一回 算術游戲豈止詼諧愜意
數學小品絕非粗俗做秀
第二十二回 帕普斯五線一點求軌跡
笛卡兒一夜三夢得魔鑰
第二十三回 牛頓求導表述欠妥
牧師發難搬弄是非
第二十四回 伯克萊悖論一波未平
油漆匠謬言驚瀾再起
第二十五回 歐拉柯西眾賢加固微積分
外爾斯特拉斯力駁伯克萊
第二十六回 伯努利擺擂征解速降線
牛萊歐應戰創立變分法
第二十七回 帕斯卡費馬分賭本
伯努利卡丹論概率
第二十八回 投針求∏數理不凡
隨機畫弦悖論真刁
第二十九回 二馬高談人口論誰是誰非
利柏計算考古學孰真孰假
第三十回 公理定理嚴密准確
謬論悖論似是而非
第三十一回 直覺恩賜過我們
直覺誤導過我們
第三十二回 斯巴達天書腰帶纏棍可破譯
RSA明文密鑰公開不泄密
第三十三回 凱萊大律師攢錢研究代數
網路鄰接陣計量細算圖論
第三十四回 康托爾創建數學天堂
龐加萊詛咒集合地獄
第三十五回 英國海岸幾多長
北疆雪花何其美
第三十六回 設空防搞空襲勝率多少
備導彈派飛機耗損幾何
第三十七回 微分方程天上人間常見模型
定性理論現代數學主要分支
第三十八回 系統工程須統籌
關鍵工序應先知
第三十九回 人皆尊重有為者
我也要做數學家
第四十回 數學演義言猶未盡
篇末寄語情絲不斷
參考文獻
9. 數學讀本是什麼書
1、數學演義
《數學演義》是2008年科學出版社出版的圖書。作者是王樹和。就《好玩的數學》叢書而言，不同的讀者也會從其中得到不同的樂趣和益處。可以當做休閑娛樂小品隨便翻翻，有助於排遣工作疲勞、俗事煩惱；可以作為教師參考資料，有助於活躍課堂氣氛，啟迪學生心智；可以作為學生課外讀物，有助於開闊眼界，增長知識、鍛煉邏輯思維能力。即使對於數學修養比較高的大學生，研究生甚至數學研究工作者，也會開卷有益。