數學的悖論

❶ 數學悖論的相關悖論

{1，2，3，4，5，…}是自然數集：
{1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。
這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那麼，在每個集合中有一樣多的元素嗎？ 一位老師宣布說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：「你們無法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點鍾才通知你們下午一點鍾考。」
你能說出為什麼這場考試無法進行嗎？ 電梯悖論：在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說：「每當我要下樓的時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！」李小姐對電梯也很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說：「不論我什麼時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！」
這究竟是怎麼回事？電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什麼會讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩？ 谷堆悖論：顯然，1粒穀子不是堆；
如果1粒穀子不是堆，那麼2粒穀子也不是堆；
如果2粒穀子不是堆，那麼3粒穀子也不是堆；
……
如果99999粒穀子不是堆，那麼100000粒穀子也不是堆；
……
如果1粒穀子落地不能形成谷堆，2粒穀子落地不能形成谷堆，3粒穀子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒穀子落地都不能形成谷堆。這就是令整個古希臘震驚一時的谷堆悖論。
從真實的前提出發，用可以接受的推理，但結論則是明顯錯誤的。它說明定義「堆」缺少明確的邊界。它不同於三段論式的多前提推理，在一個前提的連續積累中形成悖論。從沒有堆到有堆中間沒有一個明確的界限，解決它的辦法就是引進一個模糊的「類」。
這是連鎖（Sorites）悖論中的一個例子，歸功於古希臘人Eubulides，後來的懷疑論者不承認它是知識。「Soros」在希臘語里就是「堆」的意思。

❷ 數學悖論

希帕索斯悖論與第一次數學危機

希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發現密切相關。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數學著作《周髀算經》中就已有了關於這一定理的初步認識。不過，在我國對於勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。

在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為「畢達哥拉斯定理」。並且據說畢達哥拉斯在完成這一定理證明後欣喜若狂，而殺牛百隻以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：「百牛定理」。

畢達哥拉斯

畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。

歐多克索斯

二百年後，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數這一「邏輯上的丑聞」，並保留住與之相關的一些結論，從而解決了由無理數出現而引起的數學危機。但歐多克索斯的解決方式，是藉助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實現的。這就生硬地把數和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數中就是非法的，不合邏輯的。或者說無理數只被當作是附在幾何量上的單純符號，而不被當作真正的數。一直到18世紀，當數學家證明了基本常數如圓周率是無理數時，擁護無理數存在的人才多起來。到十九世紀下半葉，現在意義上的實數理論建立起來後，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學園地中才真正紮下了根。無理數在數學中合法地位的確立，一方面使人類對數的認識從有理數拓展到實數，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。

貝克萊悖論與第二次數學危機

第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。

貝克萊主教

1734年，貝克萊以「渺小的哲學家」之名出版了一本標題很長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說 x2 的導數，先將 x 取一個不為0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，後再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最後突然令 Δx = 0 ，求得導數為 2x 。這是「依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果」。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是「已死量的幽靈」。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。

數學史上把貝克萊的問題稱之為「貝克萊悖論」。籠統地說，貝克萊悖論可以表述為「無窮小量究竟是否為0」的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數學危機的產生。

牛頓與萊布尼茲

針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數學家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取捨上到底何去何從呢？

「向前進，向前進，你就會獲得信念！」達朗貝爾吹起奮勇向前的號角，在此號角的鼓舞下，十八世紀的數學家們開始不顧基礎的不嚴格，論證的不嚴密，而是更多依賴於直觀去開創新的數學領地。於是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛涌現出來。經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。18世紀有時甚至被稱為「分析的世紀」。然而，與此同時十八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。下面僅舉一無窮級數為例。

無窮級數S＝1－1＋1－1＋1………到底等於什麼？

當時人們認為一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那麼豈非0＝1？這一矛盾竟使傅立葉那樣的數學家困惑不解，甚至連被後人稱之為數學家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯誤。他在得到

1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)

後，令 x = －1，得出

S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！

由此一例，即不難看出當時數學中出現的混亂局面了。問題的嚴重性在於當時分析中任何一個比較細致的問題，如級數、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性……都幾乎無人過問。尤其到十九世紀初，傅立葉理論直接導致了數學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣，消除不諧和音，把分析重新建立在邏輯基礎之上就成為數學家們迫在眉睫的任務。到十九世紀，批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。

柯西

使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西於1821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。這就是所謂極限概念的「算術化」。後來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的「ε-δ 」方法。另外，在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由於實數的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。

柯西之後，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，並於七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理「基本序列」來定義無理數。1892年，另一個數學家創用「區間套原理」來建立實數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多傑出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。

羅素悖論與第三次數學危機

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」

康托爾

可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。

羅素

其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由於這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信後傷心地說：「一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過於是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置於這個境地。」戴德金也因此推遲了他的《什麼是數的本質和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。

危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。

以上簡單介紹了數學史上由於數學悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到數學悖論在推動數學發展中的巨大作用。有人說：「提出問題就是解決問題的一半」，而數學悖論提出的正是讓數學家無法迴避的問題。它對數學家說：「解決我，不然我將吞掉你的體系！」正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：「必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模範里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至於數學思考也失靈的話，那麼應該到哪裡去尋找可靠性和真理性呢？」悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧。

悖論一覽

1． 理發師悖論（羅素悖論）：某村只有一人理發，且該村的人都需要理發，理發師規定，給且只給村中不自己理發的人理發。試問：理發師給不給自己理發？

如果理發師給自己理發，則違背了自己的約定；如果理發師不給自己理發，那麼按照他的規定，又應該給自己理發。這樣，理發師陷入了兩難的境地。

2． 芝諾悖論——阿基里斯與烏龜：公元前5世紀，芝諾用他的無窮、連續以及部分和的知識，引發出以下著名的悖論：他提出讓阿基里斯與烏龜之間舉行一場賽跑，並讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始。假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍。比賽開始，當阿基里斯跑了1000米時，烏龜仍前於他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜依然前於他10米……所以，阿基里斯永遠追不上烏龜。

3． 說謊者悖論：公元前6世紀，古希臘克里特島的哲學家伊壁門尼德斯有如此斷言：「所有克里特人所說的每一句話都是謊話。」

如果這句話是真的，那麼也就是說，克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖；如果這句話不是真的，也就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話，則真話應是：所有克里特人所說的每一句話都是真話，兩者又相悖。

所以怎樣也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論。

公元前4世紀，希臘哲學家又提出了一個悖論：「我現在正在說的這句話是假的。」同上，這又是難以自圓其說！

說謊者悖論至今仍困擾著數學家和邏輯學家。說謊者悖論有許多形式。如：我預言：「你下面要講的話是『不』，對不對？用『是』或『不是』來回答。」

又如，「我的下一句話是錯（對）的，我的上一句話是對（錯）的」。

4． 跟無限相關的悖論：

{1，2，3，4，5，…}是自然數集：

{1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。

這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那麼，在每個集合中有一樣多的元素嗎？

5． 伽利略悖論：我們都知道整體大於部分。由線段BC上的點往頂點A連線，每一條線都會與線段DE(D點在AB上,E點在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣長，與圖矛盾。為什麼？

6． 預料不到的考試的悖論：一位老師宣布說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：「你們無法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點鍾才通知你們下午一點鍾考。」

你能說出為什麼這場考試無法進行嗎？

7． 電梯悖論：在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說：「每當我要下樓的時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！」李小姐對電梯也很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說：「不論我什麼時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！」

這究竟是怎麼回事？電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什麼會讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩？

8． 硬幣悖論：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉動半圈，結果硬幣中圖案的位置與開始時一樣；然而，按常理，繞過圓周半圈的硬幣的圖案應是朝下的才對！你能解釋為什麼嗎？

9． 谷堆悖論：顯然，1粒穀子不是堆；

如果1粒穀子不是堆，那麼2粒穀子也不是堆；

如果2粒穀子不是堆，那麼3粒穀子也不是堆；

……

如果99999粒穀子不是堆，那麼100000粒穀子也不是堆；

……

10． 寶塔悖論：如果從一磚塔中抽取一塊磚，它不會塌；抽兩塊磚，它也不會塌；……抽第N塊磚時，塔塌了。現在換一個地方開始抽磚，同第一次不一樣的是，抽第M塊磚是，塔塌了。再換一個地方，塔塌時少了L塊磚。以此類推，每換一個地方，塔塌時少的磚塊數都不盡相同。那麼到底抽多少塊磚塔才會塌呢？
累死我拉!!

❸ 數學三大悖論是什麼

畢達哥拉斯悖論：正方形的對角線和其邊長不能表示為兩個整數的比；貝克萊悖論：牛頓流數論中關於無窮小量的混亂假設：既是零，又不是零；羅素悖論：設集合B是一切不以自身為元素的集合所組成的集合，問：B是否屬於B？若B屬於B,則B是B的元素，於是B不屬於自身，即B不屬於B；反之，若B不屬於B，則B不是B的元素，於是B屬於自己，即B屬於B.這樣，利用集合的概念，羅素導出了——集合B不屬於B，當且僅當集合B屬於B時成立的悖論。

❹ 數學悖論講的是什麼

常識和科學告訴我們：假如說一個論斷是正確的，那麼，無論作怎樣的分析、推理，總不會得出錯誤的結論；反過來，也是一樣。於是，早在兩千多年前的古希臘，人們就發現了這樣的矛盾：用公認的正確推理方法，證明了這樣兩個「定理」，承認其中任何一個正確，都將推證出另一個是錯誤的。甚至有這樣的命題：如果承認它正確，就可以推出它是錯誤的；如果承認它不正確，又可以推出它是正確的。

這種事看來十分荒唐，而事實上它是客觀存在的。這種現象科學家稱之為「悖論」。今天，雖然數學家還不能合理地解釋悖論，但正是在這種解釋的努力中，數學家一系列的發現，導致了大量新學科的建立，推動了數學科學的發展。悖論還反映了嚴密數學科學並不是鐵板一塊，它的概念、原理之中也存在許多矛盾。數學就是在解決矛盾中逐漸發展完善起來的。悖論的存在，還告訴人們，在學習與研究數學時，必須牢記古希臘數學家的名言：要懷疑一切，只有這樣才能有所發現。

❺ 在數學中，有哪些非常有趣的悖論

貝克萊悖論、羅素悖論、意料不到悖論、鱷魚悖論、分球悖論等等。

悖論：指自相矛盾的命題，這個命題中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。（悖：混亂，相沖突；論：言論，言語。）

分球悖論，數學中一條經過嚴格證明的定理，可以描述為：一個三維實心球，必定存在一種辦法分成有限部分，然後僅僅通過旋轉和平移，就可以組成兩個和原來完全相同的球（半徑相同，密度相同……所有性質都相同）

❻ 數學中有哪些著名的悖論

「悖論」也可叫「逆論」，或「反論」，這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。悖論有三種主要形式。
1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。
2．一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。
3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
悖論是強烈違反我們直覺的問題。在這里，悖論只是直接導致彼此矛盾的結果，就像證明2+2又等於4，又不等於4一樣。邏輯悖論是「不可解」的，除非能找到一種方法來完全消除這種惡性的矛盾。
盡管從古希臘起到今天，邏輯悖論一直人們帶來很大樂趣，可是最偉大的數學家都總是極嚴肅地對待它。在發展現代邏輯學和集合論中一些巨大進展正是努力解決經典悖論的直接結果。 克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒謊者。
M：他說的是真的嗎？如果他說的是實話，那麼克里特人都是撒謊者，而伊壁孟德是克里特人，他必然說了假話。他撒謊了嗎？如果他確實撒了謊，那麼克里特人就都不是說謊的人，因而伊壁孟德也必然說了真話。他怎麼會既撒謊，同時又說真話呢？伊壁孟德是個半傳奇式的希臘人，他在公元前6世紀住在希臘。有一個神話說他曾經一下子睡了57年。
關於他的上面那段文字，如果我們假定撒謊者總是說假話，不撒謊的人總是說真話，那麼就會出現邏輯的矛盾。按此假定，「所有的克里特人都是撒謊者」這句話不可能是真話，因為這說明伊壁孟德既是撒謊的人，因此他說的就不是真話。可是這又意味著克里特人是說真話的，那麼伊壁孟德說的話也必定是真話，因此上面引的那句話也不可能是假話。
古希臘人曾為此大傷腦筋，怎麼會一句話看上去完美無缺，自身沒有矛盾，卻既是真話又是假話呢！一個斯多噶派哲學家，克利西帕斯寫了六篇關於「說謊者悖論」的論文，沒有一篇成功。有一位希臘詩人叫菲勒特斯，他的身體十分瘦弱，據說他的鞋中常帶著鉛以免他被大風吹跑，他常常擔心自己會因思索這些悖論而過早地喪命。在《新約》中，聖·保羅在他給占塔斯的書信中也引述過這段悖論。說謊者悖論

M：我們陷入了著名的說謊者悖論之中。下面是它的最簡單的形式。
甲：這句話是錯的。
M：上面這個句子對嗎?如果是對的，這句話就是錯的！如果這句話是錯的，那這個句子就對了！像這樣矛盾的說法比你所能想到的還要普遍得多。
為什麼這類悖論採用上述形式表達（即一句話談的正是它本身）就變得清晰起來？這是因為它消除了說謊者是否總是說謊，不說謊者總是說真話。
這一悖論作這類變化是無窮的。例如，羅素曾經說，他相信哲學家喬治·摩爾平生只有一次撒謊，就是當某人問他：是否他總是說真話時，摩爾想了一會兒，就說：「不是。」
再變化一下：這本小書中所有的說明都是可靠的，只有這一節中關於說謊者悖論的評述部分的第三自然段（即現在的這一段）除外。
我們還可以作出其他變化嗎？柏拉圖：下面蘇格拉底說的話是假的。
蘇格拉底：柏拉圖說了真話！
在一張白卡片的一面寫：
這張卡片背面的句子是真的。
該卡片的背面寫的是：
這張卡片背面的句子是假的
不管你讓哪一句話是真的，另一句總與之矛盾。兩句話談的都不是它本身，但放到一起，仍會出現說謊者悖論 古希臘人想出了很多關於時間和運動的悖論．基諾悖論是其中最為著名的一個。
甲：在我達到終點線之前，我必須經過中點。然後．我必須跑到3/4處，它是剩下距離的—半。
甲：而在我跑完最後的1/4這段路之前，我必須跑到這段路的中點。因為這些中點是沒有止境的，我將根本不能達到終點。
M：假定跑步人每跑一半要一分鍾。繪出的時間—距離關系圖表明他是如何越來越接近終點，而絕不會達到終點的。他的論據對嗎？
M：不對，因為跑步人不是每跑半截都用1分鍾。每跑一半所花的時間都是前一段時間的一半。他只要兩分鍾就可以到達終點，只不過他須通過無窮多個中點而已。
M：基諾設計出一條關於阿基里斯的悖論。這個戰士想要捉住一公里外的一隻海龜。當阿基里斯跑到海龜原來所在點時，海龜已向前爬了10米。但是當阿基里斯跑到10米處時，海龜又爬到前面去了。
海龜：你別想抓住我，老朋友。只要你一到我原先所在的地方，我就已經跑到前面一截；了，那怕這個距離比頭發絲還小。
M：基諾當然知道阿基里斯能夠捉住海龜。他不過是顯淺的說明，在把時間和空間看成是由一連串的離散點組成，就像一串念珠前後相連那樣時，會引起怎樣令人迷惑的結果。理發師悖論著名的理發師悖論是伯特納德·羅素提出的。一個理發師的招牌上寫著告示：城裡所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。誰給這位理發師刮臉呢？如果他自己刮臉，那他就屬於自己刮臉的那類人。但是，他的招牌說明他不給這類人刮臉，因此他不能自己來刮。如果另外一個人來給他刮臉，那他就是不自己刮臉的人。但是，他的招牌說他要給所有這類人刮臉。因此其他任何人也不能給他刮臉。看來，沒有任何人能給這位理發師刮臉了！伯特納德·羅素提出這個悖論，為的是把他發現的關於集合的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。某些集合看起來是它自己的元素。例如，所有不是蘋果的東西的集合、它本身就不是蘋果，所以它必然是此集合自身的元素。現在來考慮一個由一切不是它本身的元案的集合組成的集合。這個集合是它本身的元素嗎？無論你作何回答，你都自相矛盾。在邏輯學歷史上最富戲劇性的危機之一就與這條逆論有關。德國的著名邏輯學家哥特洛伯·弗里茲寫完了他最重要的著作《演算法基礎》第二卷，他認為他在這本書中確立了一套嚴密的集合論，它可作為整個數學的基礎。1902年，當該書付印時，他收到了羅索的信，他得知上面那條悖論。弗里茲的集合論容許由一切不是它自身的元素的集合構成的集合。正如羅素在信中澄清的，這個表面上結構完美的集合卻是自相矛盾的。弗里茲在收到羅素的信後，只來得及插入一個簡短的附言：「一個科學家所遇到的最不合心意的事，莫過於是在他的工作即將結束時使其基礎崩潰了，我把羅素的來信發表如下……」據說，弗里茲使用的詞「不合心意」（undesirable）是數學史上最詞不達意的說法了。 無窮的倒退問題：雞和雞蛋，到底先有哪個？
M：先有雞嗎？不，它必須從雞蛋里孵出來，那末先有雞蛋？不，它必須由雞生下。好！你陷入了無窮的倒退之中。
雞和雞蛋這個古老的問題是邏輯學家稱為「無窮倒退」的最普通的例子。老人牌麥片往往裝在一個盒中，上面的畫是一個老人舉著一盒麥片，這個盒上也有一張畫有一個老人舉著一盒麥片的小畫片。自然，那個小盒上又有同樣的畫片，如此以往就像一個套一個的中國盒子的無窮連環套一樣。《科學美國人》1965年4月號有一個封面，畫著—個人眼中反映著這本雜志。你可以看到在反映出的雜志上，也有一個小一點的眼睛，反映出一本更小的雜志，自然這樣一直小下去。在理發店裡，對面的牆上有很多相向的鏡子，人們在這些鏡子中可以看到反照出的無窮倒退。
在幻想作品中有類似的倒退。菲利浦·誇爾斯是阿爾道斯·赫克斯勒的小說《點計數器點》中的人物：他是一個作家，正在寫一本小說，是關於一個作家正在寫一個作家在寫小說的小說……。在安德烈·賈德的小說《偽造品》中，在卡明的劇作《他》中，在諾曼·邁勒的《筆記》這類短篇小說中，都有類似的倒退。
喬納·斯威夫特在一首詩中寫了一段關於跳蚤的無窮倒退，數學家奧古斯塔斯·德 摩根把它改寫為：大跳蚤有小跳蚤，在它們的背上咬，小跳蚤又有小跳蚤，如此下去，沒完沒了。大跳蚤倒了個兒——變小，上面還有大跳蚤，一個上面有一個，總也找不到，誰的輩數老。
在藝術、文學、數學和邏輯方面無窮倒退的更多實例可參見《科學美國人》編的馬丁·加德勒的第六本數學游戲。唐·吉訶德悖論小說《唐·吉訶德》里描寫過一個國家．它有一條奇怪的法律：每一個旅遊者都要回答一個問題：你來這里做什麼？如果旅遊者回答對了。一切都好辦。如果回答錯了，他就要被絞死。
一天，有個旅遊者回答——
旅遊者：我來這里是要被絞死。
M：這時，衛兵也和鱷魚一樣慌了神，如果他們不把這人絞死，他就說錯了，就得受絞刑。可是，如果他們絞死他，他就說對了，就不應該絞死他。
為了做出決斷，旅遊者被送到國王那裡。苦苦想了好久，國王才說：不管我做出什麼決定，都肯定要破壞這條法律。我們還是寬大為懷算了，讓這個人自由吧。
這段絞人的悖論出在《唐·吉訶德》第二卷的第51章。吉訶德的僕人桑喬·潘薩成了一個小島的統治者，在那裡他起誓在這個國家要奉行這條奇怪的關於旅遊者的法律。當那個旅遊者被帶到他面前時，他用慈悲和常識做出了對這個人的裁決。
這條悖論實質上和鱷魚悖論是同樣的。旅遊者的回答使小島的君王無法執行這條法律而不自相矛盾。
鱷魚和小孩希臘哲學家喜歡講一個鱷魚的故事。一條鱷魚從母親手中搶走了一個小孩。
鱷魚：我會不會吃掉你的孩子？答對了，我就把孩子不加傷害地還給你。
母親：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。
鱷魚：呣……。我怎麼辦呢？如果我把孩子交還你，你就說錯了。我應該吃掉他。
鱷魚碰到了難題。它把孩子既要吃掉，同時又得交還給孩子的母親。
鱷魚：好了，這樣我就不把他交給你了。
母親：可是你必須交給我。如果你吃了我的孩子，我就說對了，你就得把他交回給我。
拙劣的鱷魚懵了，結果把孩子交回了母親，母親一把拽住孩子，跑掉了。
鱷魚；他媽的！要是她說我要給回她孩子，我就可美餐一頓了。

❼ 數學中有哪些著名的悖論

羅素悖論，貝克萊悖論， 芝諾悖論，說謊者悖論，伽利略悖論，電梯悖論，硬幣悖論，谷堆悖論，寶塔悖論

❽ 有哪些經典的數學悖論和科學悖論

數學悖論：說謊者悖論、芝諾悖論、上帝悖論、硬幣悖論、預想不到的考試的悖論等；
科學悖論： 阿基里斯悖論、二分法悖論、

❾ 數學中有哪些著名的悖論求解

理發師悖論 理發師悖論（羅素悖論）：某村只有一人理發，且該村的人都需要理發，理發師規定，給且只給村中不自己理發的人理發。試問：理發師給不給自己理發？ 如果理發師給自己理發，則違背了自己的約定；如果理發師不給自己理發，那麼按照他的規定，又應該給自己理發。這樣，理發師陷入了兩難的境地。 說謊者悖論 說謊者悖論：公元前6世紀，古希臘克里特島的哲學家伊壁門尼德斯有如此斷言：「所有克里特人所說的每一句話都是謊話。」 如果這句話是真的，那麼也就是說，克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖；如果這句話不是真的，也就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話，則真話應是：所有克里特人所說的每一句話都是真話，兩者又相悖。 所以怎樣也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論。 公元前4世紀，希臘哲學家又提出了一個悖論：「我現在正在說的這句話是假的。」同上，這又是難以自圓其說！ 說謊者悖論至今仍困擾著數學家和邏輯學家。說謊者悖論有許多形式。如：我預言：「你下面要講的話是『不』，對不對？用『是』或『不是』來回答。」 又如，「我的下一句話是錯（對）的，我的上一句話是對（錯）的」。 跟無限相關的悖論 跟無限相關的悖論： {1，2，3，4，5，…}是自然數集： {1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。 這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那麼，在每個集合中有一樣多的元素嗎？ 伽利略悖論：我們都知道整體大於部分。由線段BC上的點往頂點A連線，每一條線都會與線段DE(D點在AB上,E點在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣長，與圖矛盾。為什麼？ 預料不到的考試的悖論 預料不到的考試的悖論：一位老師宣布說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：「你們無法知道是哪一天，只有到了考試那天的早上八點鍾才通知你們下午一點鍾考。」 你能說出為什麼這場考試無法進行嗎？ 電梯悖論 電梯悖論：在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說：「每當我要下樓的時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！」李小姐對電梯也很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說：「不論我什麼時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！」 這究竟是怎麼回事？電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什麼會讓接近頂樓和底層的人等得不耐煩？ 硬幣悖論 硬幣悖論：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉動半圈，結果硬幣中圖案的位置與開始時一樣；然而，按常理，繞過圓周半圈的硬幣的圖案應是朝下的才對！你能解釋為什麼嗎？ 谷堆悖論 谷堆悖論：顯然，1粒穀子不是堆； 如果1粒穀子不是堆，那麼2粒穀子也不是堆； 如果2粒穀子不是堆，那麼3粒穀子也不是堆； …… 如果99999粒穀子不是堆，那麼100000粒穀子也不是堆； …… 如果1粒穀子落地不能形成谷堆，2粒穀子落地不能形成谷堆，3粒穀子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒穀子落地都不能形成谷堆。這就是令整個古希臘震驚一時的谷堆悖論。 從真實的前提出發，用可以接受的推理，但結論則是明顯錯誤的。它說明定義「堆」缺少明確的邊界。它不同於三段論式的多前提推理，在一個前提的連續積累中形成悖論。從沒有堆到有堆中間沒有一個明確的界限，解決它的辦法就是引進一個模糊的「類」。 這是連鎖（Sorites）悖論中的一個例子，歸功於古希臘人Eubulides，後來的懷疑論者不承認它是知識。「Soros」在希臘語里就是「堆」的意思。最初是一個游戲：你可以把1粒穀子說成是堆嗎？不能；你可以把2粒穀子說成是堆嗎？不能；你可以把3粒穀子說成是堆嗎？不能。但是你遲早會承認一個谷堆的存在，你從哪裡區分他們？ 寶塔悖論 寶塔悖論：如果從一磚塔中抽取一塊磚，它不會塌；抽兩塊磚，它也不會塌；……抽第N塊磚時，塔塌了。現在換一個地方開始抽磚，同第一次不一樣的是，抽第M塊磚是，塔塌了。再換一個地方，塔塌時少了L塊磚。以此類推，每換一個地方，塔塌時少的磚塊數都不盡相同。那麼到底抽多少塊磚塔才會塌呢？ 雞與蛋問題 世界上是先有雞還是先有蛋？ ○當然是先有雞，只是剛開始它不是雞，而是別的動物，後來它們的繁衍方式發生了變化，——成為了卵生，所以才有了蛋。 ○最早沒有卵生動物，很多生物還是無性繁殖分裂的，後來慢慢進化成卵生和哺乳動物，所以按道理應該先進化成生物本體才可能有蛋的由來。

❿ 數學史上的悖論都有什麼啊

數學史上的悖論很多哈，先說幾個最簡單的。有名的「理發師悖論」：在薩維爾村，理發師掛出一塊招牌：「我只給村裡所有那些不給自己理發的人理發。」有人問他：「你給不給自己理發？」理發師頓時無言以對。還有一個很簡單的：我在說謊。具體的你可以看這個網站： http://ke..com/view/2464.htm