勾股定理的歷史

A. 勾股定理的歷史

勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方．

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理．這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究，希臘著名數學家畢達哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾對本定理有所研究，故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯定理，據說畢達哥拉斯十分喜愛這個定理，當他在公元前550前年左右發現這個定理時，宰殺了百頭牛羊以謝神的默示．但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳．著名的希 臘數學家歐幾里得（前330-前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明（如圖1）：分別以直角三角形的直角邊AB，AC及斜邊BC向外作正方形，ABFH，AGKC及BCED，連FC，BK，作AL⊥DE．則歐幾里得通過△BCF及△BCK為媒介．證明了正方形ABFH與矩形BDLM及正方形ACKG與矩形MLEC等積，於是推得AB2+AC2=BC2．

在我國，這個定理的敘述最早見於《周髀算經 》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高（約前1120）答周公問中有「勾廣三 ，股修四，經隅五」的話，意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5．書中還記載了陳子（ 前716）答榮方問：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之、得邪至日」，古漢語中邪作斜解，因此這一句話明確陳述了勾股定理的內容．至三國的趙爽（約3世紀），在他的數學文獻《勾股圓方圖》中（作為《周髀算經》的注文，而被保留於該書之中）．運用弦圖，巧妙的證明了勾股定理，如圖2．他把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色叫做「中黃實」，也叫「差實」．他寫道：「按弦圖，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實」．若用現在的符號，分別用a、b、c記勾、股、弦之長，趙爽所述即2ab+(a-b)2=c2，化簡之得a2+b2=c2．

B. 勾股定理的歷史來源

來源：
畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的一個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，作為一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短得直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

C. 勾股定理歷史背景，中國古代與國際上的有關資料

在中國，商朝時期的商高提出了「勾三股四玄五」的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。

公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出「勾三、股四、弦五」。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。

遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為「普林頓322」的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。古埃及人在建築宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫後的土地時，也應用過勾股定理。

勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。

(3)勾股定理的歷史擴展閱讀

如今國際普遍認為最早證明該定理的人是古希臘的畢達哥拉斯。他是在公元前六世紀完成證明的。也因為這個原因，所以國際上稱之為畢達哥拉斯定理。而中國歷史上明確證明該定理的是公元三世紀三國時期吳國人趙爽。他用弦圖證明了這一定理。

而我們在認清勾股根本就是不是人，更談不上數學家。勾股以及弦，在古漢語里指的是直角三角形的三條邊。直角三角形三條邊中最短邊為勾，最長的邊叫弦，另一個邊是股，等腰直角三角形則勾股相同。早在西周時期，一個叫商高的人就提出了勾三股四弦五。

所以這個定理又叫商高定理。按照《周髀算經》的說法，商高給出了證明勾股定理的思路。但是考證歷史我們發現了一個可悲的事情：商高是後人假託的。換言之，西周是否有過商高都成立問題，所以就不能說這個定理最早是商高證明的。而且，根據大量旁證，推算該書成書大約在公元前100年。

更關鍵的是，書里沒有給出明確的證明，而是提了一個大概的思路。這就導致這一定理的證明不能算到商高頭上了。數學史上提出思路但沒有給出嚴格證明的案例太多了，其中不乏許多思路是錯的案例。

D. 勾股定理的歷史什麼書有介紹還有一些關於

勾股定理引自網路詞條：

中國

公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出「勾三、股四、弦五」。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」，根據該典故稱勾股定理為商高定理。^[2] 公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄於《九章算術》中「勾股各自乘，並而開方除之，即弦」，趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。後劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。^[2] 在中國清朝末年，數學家華蘅芳提出了二十多種對於勾股定理證法。^[5] 外國遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為「普林頓322」的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。古埃及人在建築宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫後的土地時，也應用過勾股定理。^[6-7] 公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。^[8] 公元前4世紀，希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。^[9] 1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的一個證法。1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。^[10]

E. 什麼是勾股定理歷史記載有哪些

在「規」、「矩」的有關記載中，最重要的命題就是勾股定理。勾股定理是我國早期數學史上最重大的發現之一。《周髀算經》記載，西周初期周公與商高討論天文學問題時提到「故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五」，即勾股形三邊之比3：4：5，這是特殊形式的勾股定理。此外，該書還提到「環矩以為圓」的性質。《周髀算經》約成書於公元前一世紀，時代較晚。因此，有人懷疑該書所記周公與商高問答的可靠性。當然，有關勾股定理的發現時代問題。還需要更多的佐證。但聯繫到中國遠古時代水利與建築工程的復雜程度與所需的測量知識，我國很早就發現了一般形式的勾股定理，這是毋庸置疑的。

F. 勾股定理歷史小論文

在初二上半學期，我們學習了「勾股定理」，也第一次接觸到了初等幾何。「在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。」這個定理雖然只有簡單的一句話，但它卻有著十分悠久的歷史，尤其是它那「數形結合」、「數形統一」的思想方法，啟迪和促進了我國乃至世界的數學發展。勾股定理是幾何中最著名的定理之一，它在數學研究與人類實踐的活動中有著極其廣泛的應用，可見掌握這一區域性的知識的重要性。
勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家畢達哥拉斯於公元前550年首先發現的。其實，我國古代人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯要早得多。
勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有 500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。
勾股定理是歷史上證發最多的定理之一，也是數學中最重要的結論之一。作為勾股定理的初學者，能夠接觸到如此的數學文明很幸福，要真正的掌握雖然不簡單，但是我們一定要努力扎實的學好它。

G. 勾股定理的歷史以及應用

在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理．這是由於，他們認為最早發現直角三角形具有「勾2+股2=弦2」這一性質並且最先給出嚴格證明的是古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580－公元前500）．

實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例．除我國在公元前1000多年前發現勾股定理外，據說古埃及人也曾利用「勾三股四弦五」的法則來確定直角．但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑．比如，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：「我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理．我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實．」不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：「一根長度為30個單位的棍子直立在牆上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開牆角有多遠？」這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊版板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數．這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫．

無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發現了勾股定理，我們的先人在不同的時期、不同的地點發現的這同一性質，顯然不僅僅是哪一個民族的私有財產而是我們全人類的共同財富.值得一提的是:在發現這一共同性質後的收獲卻是不完全相同的．下面以「畢達哥拉斯定理」和「勾股定理」為例，做一簡單介紹：

一、畢達哥拉斯定理

畢達哥拉斯是一個古希臘人的名字．生於公元前6世紀的畢達哥拉斯，早年曾游歷埃及、巴比倫（另一種說法是到過印度）等地，後來移居義大利半島南部的克羅托內，並在那裡組織了一個集政治、宗教、數學於一體的秘密團體畢達哥拉斯學派，這個學派非常重視數學，企圖用數來解釋一切．他們宣稱，數是宇宙萬物的本原，研究數學的目的並不在於實用，而是為了探索自然的奧秘．他們對數學看法的一個重大貢獻是有意識地承認並強調：數學上的東西如數和圖形是思維的抽象，同實際事物或實際形象是截然不同的．有些原始文明社會中的人（如埃及人和巴比倫人）也知道把數脫離實物來思考，但他們對這種思考的抽象性質所達到的自覺認識程度，與畢達哥拉斯學派相比，是有相當差距的．而且在希臘人之前，幾何思想是離不開實物的．例如，埃及人認為，直線就是拉緊的繩或田地的一條邊；而矩形則是田地的邊界．畢達哥拉斯學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯系起來．

正因為如此，畢達哥拉斯學派在他們的探索中，發現了既屬於算術又屬於幾何的用三個整數表示直角三角形邊長的公式：若2n+1，2n2+2n分別是兩直角邊，則斜邊是2n2+2n+1（不過這法則並不能把所有的整勾股數組表示出來）．也正是由於上述原因，這個學派通過對整勾股數的尋找和研究，發現了所謂的「不可通約量」例如，等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比即正方形對角線與其一邊之比不能用整數之比表達．為此，他們把那些能用整數之比表達的比稱做「可公度比」，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，而把不能這樣表達的比稱做「不可公度比」．像我們今日寫成：1的比便是不可公度比．至於與1不能公度的證明也是畢達哥拉斯學派給出的．這個證明指出：若設等腰直角三角形斜邊能與一直角邊公度，那麼，同一個數將既是奇數又是偶數．證明過程如下：設等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比為：，並設這個比已表達成最小整數之比．根據畢達哥拉斯定理2=2+2，有2=22．由於22為偶數即x2為偶數，所以必然也是偶數，因為任一奇數的平方必是奇數（任一奇數可表示為2n+1，於是（2n+1）2=4n2+4n+1，這仍是一個奇數．但是比：是既約的，因此，必然不是偶數而是奇數，既然是偶數，故可設=2．於是2=42=22．因此，2=22，這樣，2是個偶數，於是也是偶數，但是同時又是個奇數，這就產生了矛盾．

關於對畢達哥拉斯定理的證明，現在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：「直角三角形斜邊上的正方形等於兩直角邊上的兩個正方形之和」．實際上，畢達哥拉斯學派關心得更多的是數學問題本身的研究；以畢達哥拉斯學派為代表的古希臘數學是以空間形式為主要研究對象，以邏輯上的演繹推理為主要的理論形式．而畢達哥拉斯定理的發現（關於可公度比與不可公度比的研究、討論），實際上導致了無理數的發現，盡管畢達哥拉斯學派不願意接受這樣的數，並因此造成了數學史上所謂的第一次數學危機，但是畢達哥拉斯學派的探索仍然是功不可沒的．

二、我國的勾股定理

在我國，至今可查的有關勾股定理的最早記載，是大約公元前1世紀前後成書的《周髀算經》，其中有一段公元前1千多年前的對話：「昔者周公問於商高曰：竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度．請問數安從出？商高曰：數之法，出於圓方．圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一．故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五．」

《周髀算經》中還有「陳子測日」的記載：根據勾股定理，周子可以測出日高及日遠．例如，當求得了日高及測得了測量人所在位置到日下點的距離之後，計算日遠的方法是：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股自乘，並開方而除之，得邪至日者．」

《周髀算經》是我國流傳至今的一部最早的數學著作．書中主要講述了學習數學的方法以及用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數計算等．在唐代，《周髀算經》與其他九部陸續出現在我國漢唐兩代千餘年間的數學著作一起，被國子監算學館定為課本，後世通稱這十本書為《算經十書》．《算經十書》較全面地反映了自先秦至唐初我國的數學成就．其中許多書中都涉及到了勾股定理的內容，尤其《九章算術》（《算經十書》之一）第九章「勾股」專門講解有關直角三角形的理論，所討論的主要內容就是勾股定理及其應用．該章共有設問24題，提出22術．其中第6題是有名的「引葭赴岸」：「今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．」這是一個流傳甚廣的題目，類似題目一再在其他書中出現，例如成書於5世紀中葉的《張邱建算經》（《算經十書》之一）、朱世傑所著的《四元玉鑒》（1303年）等．

我們的先輩們還根據勾股定理發明了一種由互相垂直的勾尺和股尺構成的測量工具矩．如，《周髀算經》中記載了商高對用矩之道的論述：「平矩以正繩，偃矩以望高，復矩以測深，卧矩以知遠．」又如，我國魏晉間傑出的數學家劉徽在他的名著《海島算經》（《算經十書》之一）中共列出了9個有代表性的可用矩解決的測望問題，其中第4個問題是：「今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺，從勾端望谷底，入下股九尺一寸，又設重矩於上，其矩間相去三丈，更從勾端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何．」

我國最早的關於勾股定理的證明，目前人們認為是漢代趙爽對《周髀算經》的注釋．
我國古代的數學與古希臘的數學不大一樣．實際上，我國數學的主要研究對象不是空間形式，而是數量關系；其理論形式不是邏輯演繹體系，而是以題解為中心的演算法體系．與古希臘數學採取層層論證的思維方式不同，我國古代數學家的思維方式是以直覺思維為主，又以類比為發現和推論結果的主要手段．

對於勾股定理，我國古代的數學家沒有把主要精力放在僅僅給出嚴格的邏輯推理證明上，也沒有在不可通約量究竟是什麼性質的數上面做文章，而是立足於對由此可以解決的一類實際問題演算法的深入研究．通過在直角三角形范圍內討論與勾股定理、相似直角三角形性質定理有關的命題，他們推出了一種組合比率演算法勾股術．勾股術把相似直角三角形的概念作為基本概念，把相似直角三角形的性質作為基本性質，使相似直角三角形之間的相似比率構成了勾股的核心．勾股術用比率表達相似勾股對應邊成比例的原理，勾股整數和勾股兩容（容圓、容方）問題的求解；建立了勾股測量的理論基礎．後來，劉徽實際上把相似勾股形理論確定為勾股比率論，並明確提出了「不失本率原理」，又把這個原理與比例演算法結合起來，去論證各種各樣的勾股測量原理，從而為我國古代的勾股測望術建立了堅實的理論基礎．

有的專家還提出：勾股定理在我國古代數學中佔有十分重要的地位，千百年來逐漸形成了一門以勾股定理及其應用為核心的中國式的幾何學．

H. 求勾股定理的歷史、冷知識等的資料

勾股定理的發展歷史
中國：
公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出「勾三、股四、弦五」。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」，根據該典故稱勾股定理為商高定理。
公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄於《九章算術》中「勾股各自乘，並而開方除之，即弦」，趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。後劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。
在中國清朝末年，數學家華蘅芳提出了二十多種對於勾股定理證法。
外國：
在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，還知道許多勾股數組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為「普林頓322」的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。古埃及人在建築宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫後的土地時，也應用過勾股定理。
公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。
公元前4世紀，希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。
1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了對勾股定理的一個證法。
1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

冷知識
1、希帕索斯利用勾股定理發現了第一個無理數，導致第一次數學危機。
2、華羅庚建議向外太空發射有關勾股定理的圖案。
3、2002年國際數學家大會會標為「弦圖」。

I. 勾股定理起源

公元前11世紀，周朝數學家商高就提出「勾三、股四、弦五」。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」，根據該典故稱勾股定理為商高定理。

到公元3世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄於《九章算術》中「勾股各自乘，並而開方除之，即弦」，趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。後劉徽在劉徽注中也證明了勾股定理。

西方最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。所以在西方，勾股定理稱為「畢達哥拉斯定理」。

關於勾股定理的名稱，在我國，以前叫畢達哥拉斯定理，這是隨西方數學傳入時翻譯的名稱。20世紀50年代，學術界曾展開過關於這個定理命名的討論，最後用「勾股定理」，得到教育界和學術界的普遍認同。

(9)勾股定理的歷史擴展閱讀

意義

1．勾股定理的證明是論證幾何的發端；

2．勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理；

3．勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；

4．勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；

5．勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。