實數是什麼

Ⅰ 什麼是有實數

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數內。容實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。
實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。
所有實數的集合則可稱為實數系或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。
實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。

Ⅱ 實數是指什麼數

詞典含義
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shíshù
（一）數學名詞。不存在虛數部分的復數，有理數和無理數的總稱。
（二）真實的數字。【例】公司到底還有多少錢？請你告訴我實數！

基本概念
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實數包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數和開根開不盡的數，有理數就包括無限循環小數、有限小數、整數。

數學上，實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。本來實數僅稱作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正數，負數和零三類。實數集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 維實數空間。實數是不可數的。實數是實分析的核心研究對象。

實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n 為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。

①相反數（只有符號不同的兩個數，我們就說其中一個是另一個的相反數） 實數a的相反數是-a

②絕對值（在數軸上一個數所對應的點與原點0的距離） 實數a的絕對值是：│a│=①a為正數時，|a|=a
②a為0時， |a|=0
③a為負數時，|a|=-a

③倒數 （兩個實數的乘積是1，則這兩個數互為倒數） 實數a的倒數是：1/a （a≠0）

歷史來源
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埃及人早在大約公元前1000年就開始運用分數了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數，據說中國也曾發明負數，但稍晚於印度。

直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。直到1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

相關定義
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從有理數構造實數

實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進制或二進制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。這里給出其中一種，其他方法請詳見實數的構造。

公理的方法

設 R 是所有實數的集合，則：

集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。
域 R 是個有序域，即存在全序關系 ≥ ，對所有實數 x, y 和 z：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z；
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合 R 滿足戴德金完備性，即任意 R 的非空子集 S (S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內有上界，那麼 S 在 R 內有上確界。

最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於 2 的有理數的集合存在有理數上界，如 1.5；但是不存在有理數上確界（因為 √2 不是有理數）。

實數通過上述性質唯一確定。更准確的說，給定任意兩個戴德金完備的有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。

相關性質
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基本運算

實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、平方等，對非負數還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不為零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。

完備性

作為度量空間或一致空間，實數集合是個完備空間，它有以下性質：

所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

有理數集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。實際上，它有個實數極限 √2。實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。

極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有「空隙」。

「完備的有序域」

實數集合通常被描述為「完備的有序域」，這可以幾種解釋。

首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素（對任意元素 z，z + 1 將更大）。所以，這里的「完備」不是完備格的意思。

另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這里的「完備」是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法，即從（有理數）有序域出發，通過標準的方法建立戴德金完備性。

這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。（這里採用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。）當然，R 並不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，「完備的阿基米德域」比「完備的有序域」更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法，即從（有理數）阿基米德域出發，通過標準的方法建立一致完備性。

「完備的阿基米德域」最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同於上述的意思。他認為，實數構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是「完備的」是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法，即從某個包含所有（超實數）有序域的純類出發，從其子域中找出最大的阿基米德域。

Ⅲ 什麼是實數實數的定義是什麼

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。

Ⅳ 實數的定義是什麼

實數，是有理數和無理數的總稱。

在數學上，實數定義為與數軸上的實數點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。

實數集通常用黑正體字母R表示。

實數的基本性質：

1、封閉性

2、有序性

3、傳遞性

4、阿基米德性質

5、稠密性

6、完備性

7、與數軸對應

Ⅳ 實數是什麼

實數與虛數是對應的數值。
虛數中有個基本單位被定義為i。i的特性是i的平方為負一。只要含有i的數值就是虛數。只要不是虛數，全為實數。

Ⅵ 實數是什麼意思

實數就復是實際存在的制數，與虛數對立，實數包括有理數與無理數，就是1，2，3，4（有理）1.3循環（無理）
他們都有自己固定的意義，而虛數則沒有
i的平方可以等於-1么？答案是肯定的，只是i是虛數，而並非實數
到高中的高三最後階段你會了解到虛數，也不用太過於深究