非交換幾何暑期班

『壹』 泛函分析的拓撲線性空間

由於泛函分析源自研究各種函數空間，在函數空間里函數列的收斂有不同的類型（譬如逐點收斂，一致收斂，弱收斂等等），這說明函數空間里有不同的拓撲。而函數空間一般是無窮維線性空間。所以抽象的泛函分析研究的是一般的（無窮維的）帶有一定拓撲的線性空間。
拓撲線性空間的定義就是一個帶有拓撲結構的線性空間，使得線性空間的加法和數乘都是連續映射的空間。 這是最常見，應用最廣的一類拓撲線性空間。比如有限閉區間上的連續函數空間，有限閉區間上的k次可微函數空間。或者對於每個實數p，如果p ≥ 1，一個巴拿赫空間的例子是「所有絕對值的p次方的積分收斂的勒貝格可測函數」所構成的空間。（參看Lp空間）
在巴拿赫空間中，相當部分的研究涉及到對偶空間的概念，即巴拿赫空間上所有連續線性泛函所構成的空間。對偶空間的對偶空間可能與原空間並不同構，但總可以構造一個從巴拿赫空間到其對偶空間的對偶空間的一個單同態。
微分的概念可以在巴拿赫空間中得到推廣，微分運算元作用於其上的所有函數，一個函數在給定點的微分是一個連續線性映射。 最基本的運算元是保持拓撲線性空間結構的運算元，稱作線性運算元。如果像空間是拓撲線性空間所在的數域（特別的，一個一維拓撲線性空間）那麼這樣的運算元成為線性泛函。
在線性運算元的理論中有幾個非常基本而重要的定理。
1.一致有界定理（亦稱共鳴定理），該定理描述一族有界運算元的性質。
2.罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何將一個運算元保范數地從一個子空間延拓到整個空間。另一個相關結果是對偶空間的非平凡性。
3.開映射定理和閉圖像定理。
4.譜定理包括一系列結果，其中最常用的結果給出了希爾伯特空間上正規運算元的一個積分表達，該結果在量子力學的數學描述中起到了核心作用。 十九世紀以來，數學的發展進入了一個新的階段。這就是，由於對歐幾里得第五公設的研究，引出了非歐幾何這門新的學科；對於代數方程求解的一般思考，最後建立並發展了群論；對數學分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化准備了條件。這時候，函數概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關系。現代數學的發展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關系。
由於分析學中許多新部門的形成，揭示出分析、代數、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數方程求根和微分方程求解都可以應用逐次逼近法，並且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現得就更為突出了。泛函分析的產生正是和這種情況有關，有些乍看起來很不相乾的東西，都存在著類似的地方。因此它啟發人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬於本質的東西。
非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認知，n維空間幾何的產生允許我們把多變函數用幾何學的語言解釋成多維空間的映像。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最後把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。
20世紀初，瑞典數學家弗列特荷姆和法國數學家阿達瑪發表的著作中，出現了把分析學一般化的萌芽。隨後，希爾伯特和海令哲來創了「希爾伯特空間」的研究。到了二十年代，在數學界已經逐漸形成了一般分析學，也就是泛函分析的基本概念。研究無限維線性空間上的泛函數和運算元理論，就產生了一門新的分析數學，叫做泛函分析。在二十世紀三十年代，泛函分析就已經成為數學中一門獨立的學科了。 泛函分析目前包括以下分支：
軟分析（soft analysis），其目標是將數學分析用拓撲群、拓撲環和拓撲向量空間的語言表述。
巴拿赫空間的幾何結構，以Jean Bourgain的一系列工作為代表。
非交換幾何，此方向的主要貢獻者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍歷論中的結果為基礎的。
與量子力學相關的理論，狹義上被稱為數學物理，從更廣義的角度來看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示論的大部分類型的問題。

『貳』 懸而未決的世界數學難題

我覺得又要著名，還要數論，還要未解決，似乎這些決定了答案只有一個：哥德巴赫猜想。
樓上說的費馬定理不行，那個已經被證明了。

希望可以幫到你，不明白可以追問，如果解決了問題，請點下面的"選為滿意回答"按鈕，謝謝。

『叄』 點的其他數學分支中的點

在點集拓撲中的點, 定義為一個拓撲空間中的集合的元素.
盡管點被看做是主要的幾何學和拓撲學中的基本概念, 但是有些幾何和拓撲理論並不需要點的概念. 例如非交換幾何和非點集拓撲. 一個"非點空間"不是作為一個集合來定義的, 而是通過某種類似於幾何上的函數空間的結構(代數上的或者邏輯上的): 連續函數代數或者集合代數.

『肆』 七年級下冊幾何600字感想急求！只有1個小時（這時間內答到了給30分！）

我不清楚你需要的是什麼？只是初等幾何的嗎？如果是初等幾何的話可以不客氣地說，整個20世紀沒有任何本質發展，因為作為研究的課題初等幾何早就死亡，Morley的三等分定理只是好玩而已，毫無重要性可言。

20世紀和本世紀幾何的進展主要是微分幾何和代數幾何（如果把拓撲學認為是另一個學科的話）方面，你要是想寫這方面歷史的論文，題目是太大了。Jean Dieudonné寫過一些這方面的歷史書，但也只能限制在1970年以前，於是比如Alain Connes的非交換幾何就沒有涵蓋。

中國幾何學的發展也差不多，由於大數學家陳省身的影響，大概微分幾何學還要好一些。

幾何學是最早成熟的演繹數學分支，它的內容已經遠遠超過原始的限定了。不同時期有不同的重心，有些分支曾經很輝煌，但以後就默默無聞了，比如射影幾何；同樣也有的分支一開始沒有得到足夠的重視，後來聲名鵲起，比如E. Cartan的工作；廣義相對論使得已經不太受人重視的Riemann幾何又煥發青春；代數幾何僅在20世紀就引進了很多方法來闡述其基礎。

『伍』 現代數學除了數論、拓撲學、近世代數、微分拓撲、泛函分析外還有哪些領域

順著你說的這幾個進一步，，運算元理論，運算元代數，非交換幾何。各種表示論，量子群，李理論，代數K理論。代數拓撲。代數幾何，算術代數幾何，非交換代數幾何。各種流形。復分析，復幾何。等等等等，不勝枚舉。