数学递推法

1. 数学规纳法和递推法有啥区别呢

你得注意n=1时的情况，你用n+1与n的关系推得后，此时n若大于等于1，你就要验证1的情况了，希望有所帮助

2. 数学递推

第几年 有多少头大猪 刚出生的猪 共多少头猪
1 1 1
2 1 1
3 1 1 2
4 2 1 3
5 3 2 5

可以看出，是斐波那契数列，具体可参考网络
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

斐波那契数列公式的推导

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1， -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
迭代法
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式
解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))
得α+β=1
αβ=-1
构造方程x2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
所以
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2
由式1,式2,可得
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

3. 高一 数学 递推公式

找出关系，根据初始值及递推公式写出数列的前几项，然后观察归纳，猜想其通项公式（化简后有利于观察，关键是尝试，没有固定方法）
要学会自己归纳,习题做多了,就会了.熟能生巧嘛.

4. 递推公式，数学

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一

归纳—猜想—证明

由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明。

类型二

“逐差法”和“积商法”

1、当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)；

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”。

2、当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”。

(4)数学递推法扩展阅读

类型三

构造法

递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解。

类型四

可转化为类型三求通项

1、“对数法”转化为类型三。

递推式为an+1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三。

2、“倒数法”转化为类型三。

递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)。

若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三。

若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况。

5. 数学如何递推

貌似你给的题目有点问题啊，所说的O(nlogn)实在不知道你是什么意思，你已经明确了当n=2k时，O(n)=n，请详细

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6. 高中数学数列递推常用（考）方法，求详细

公式法，累加法，累乘法，待定系数法，对数变换法，迭代法，数学归纳法，换元法。
一、公式法
例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，
则，故

因此，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例6已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则
故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例8 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得

整理得。
令，则，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，则，
故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
例9 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑧
将代入⑧式，得
，则

等式两边消去，得，
解方程组，则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，
则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以

又，所以数列的通项公式为。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。
七、数学归纳法
例12 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例13 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得

即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

7. 数学归纳法和递推法有啥区别 3Q

数学归纳法分为第一归纳法和第二归纳法
高中重点掌握第一归纳法
需满足两个条件才成立
即当n=1时
当n=k时
而递推法
属归纳推理
是从特殊到一般
多用于数列

8. 数学归纳法和递推法有啥区别

数学归纳法分为第一归纳法和第二归纳法
高中重点掌握第一归纳法
需满足两个条件才成立
即当n=1时
当n=k时
而递推法
属归纳推理
是从特殊到一般
多用于数列

9. 高一 数学 递推公式

找出关系，根据初始值及递推公式写出数列的前几项，然后观察归纳，猜想其通项公式（化简后有利于观察，关键是尝试，没有固定方法）