数学竞赛题高中

㈠ 高中数学竞赛题

我曾经参加过全国高中数学竞赛。初赛的题目比任何学校公开的数学考试的最后一题都难。建议你买一本高中数学竞赛题看一下，上面有很多例子。初赛的题目目标是让百分之五十的人题目意思都看不懂，让百分之九十九的人根本无从下手如何解题。只让百分之一的人能做出来。

㈡ 高中数学竞赛题

这个不是很难，关键是我们只需考虑x大于0的情况，因为x小于零和x大于零是一样的。

㈢ 数学竞赛题几道-高中-需要过程

设A对应阿尔法角，有一个角大于等于六十度，设为A,过它的平分线的另一端坐垂线交AB于E,交AC的延长线于F,如下图，设AB≥AC则AB/AC=BD/DC,这是角平分线定理，则BD≥CD,面积BDE=1/2*BD*DE*sinEDB,面积DCF=1/2*DC*DF*sinCDF,对顶角相等，ED=DF,BD≥CD故面积BDE不小于面积DCF,这样面积AEF不大于面积ABC,面积AEF=DF*AD,tan[(1/2)A]=DF/AD≥tan30,DF≥AD*tan30,面积aEF≥AD^2*tan30＞tan30,面积ABC＞tan30

第一题中先构造一个排列[100.1.90.11.80.21.70.31.60.41.][99.2.89.12....59.42].....[91.10.81.20.71.30......51.50]这个排列中十数组是值是505或504，故A的值最大为505，任意排列中一定有一个十数组不小于505，否则若都小于505，设出b1b2...b10是a1a2a3...a100的排列中和值最大的，则b1b2..b10>a1a2..a10,b1b2..b10>a11a12..a20,b1b2..b10>a91a92..a100则505*10>10(b1+b2+..b10)>a1+a2+..a100=5050构成矛盾，这是我的最终的答案不在修改了

㈣ 高中数学竞赛题！

第一题只是个配方，第一个平方根是k[a(n)+1],第二个平方根是（k+1)a(n),然后把配好的n减去1就是a(n)了，不会打平方根不打了=。=
第二题用数学归纳法最好，因为一试就知道了所有值都是1，我就不多说了
第三题你说的不清楚啊，我姑且理解成在小三角形里再做小三角形吧，相似三角形面积比等于边长的平方的比，设第一个三角形是原三角形的N分之1，那么第二个就是第一个的N分之一，是原三角形的N方分之一，即解方程1/N+1/N^2+1/N^3。。。，将此方程左右乘N，然后相减，得N=2，所以边长就是根号2倍，然后看三角形BA1B1，已知BA1+BB1=根号2倍的B1A1（由对称性得知），然后用余弦定理算出BB1，之后用正弦定理可算出艾尔法角的正弦值，结果我查正弦值没查出来，看来不是个整数，也可能我算错了。。。有问题可问我，实在是不会打符号，就不给你打结果了，期望其他人能给出答案

㈤ 如何做数学竞赛题（高中）

我初三时就得了全国高中数学联赛的一等奖
还是有一些经验的
首先要全面掌握考纲上一试的全部内容，不要有弱点
然后找一些模拟题，一定要限时做。（考试时间很紧）
也可以做一些高考题
二试难度较大，很难一蹴而就，需要长期准备。
可以看华东师范大学的《奥数教程》系列。

㈥ 历届高中数学竞赛试题和答案

二00四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）
（9月19日上午9：00～11：00）
一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）
（1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）若 ，且 ，则下列各式中最大的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知数列 ， ， ， ， ，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 项之和 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知函数 的反函数是 ，且 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）正四棱锥 中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰
三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 、 、 的大小关系是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）若对任意的长方体 ，都存在一个与 等高的长方体 ，使得 与 的侧面积之比和体积之比都等于 ，则 的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）

二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）
（7）若关于 的方程 只有一个实数解，则 的值等于 ．
（8）在 中，若 ， ，且最长的边的长为 ，则最短的边的的长等于 ．
（9）若正奇数 不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的 的最大值为 ．
（10）设 、 、 是直角三角形的三条边长，且 ，其中 ， ，则 的值等于 ．
（11）连接正文体各个顶点的所有直线中，异面直线共有 对．
（12）如图，以 、 为顶点作正 ，再以 和 的中点 为顶点作正 ，再以 和 的中点 为顶点作正 ，…，如此继续下去．有如下结论：
①所作的正三角形的边长构成公比为 的等比数列；
②每一个正三角形都有一个顶点在直线 （ ）上；
③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点 的坐标是 ；
④第 个正三角形的不在第 个正三角形边上的顶点 的横坐标是 ．
其中正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
（13）已知函数 （ ， ）的反函数是 ，而且函数 的图象与函数 的图象关于点 对称．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）若函数 在 上有意义，求 的取值范围．
（14）设边长为 的正 的边 上有 等分点，沿点 到点 的方向，依次为 ， ，…， ，若 ，求证： ．

（15）已知 是等差数列， 为公差且不等于 ， 和 均为实数，它的前 项和记作 ，设集合 ， ，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．
（Ⅰ）若以集合 中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上；
（Ⅱ） 至多有一个元素；
（Ⅲ）当 时，一定有 ．

㈦ 数学竞赛高中知识

初中的复竞赛一定不会直制接涉及向量的，感觉用解析（向量的方法）也不适合解初中的平面几何题，
我感觉你可以找找关于不等式和数论，图论的书看下，只需要最浅的一点对初中竞赛都帮助很大。
因为初中的同学根本不知道问题的本质，所以看到题目，往往没有头绪。
相信我 ，我初中和高中竞赛都是全国一等奖。
有问题可以继续追问我，希望采纳哈

㈧ 高中数学竞赛题

(1)令㏒9（p）=㏒12(q)=㏒16(p+q)=k
p=9^k q=12^k p+q=16^k
9^k+12^k=16^k
1+(4/3)^k=(4/3)^2k
(4/3)^k=(1+√5)/2
q/p=(4/3)^k=(1+√5)/2
(2)设a^x=b^y=c^z=70^w=k
x=loga(k) 1/x=1/loga(k)=logk(a)
同理 1/y=logk(b) 1/z=logk(c) 1/w=logk(70)
1/x+1/y+1/z=logk(abc)=1/w=logk(70)
abc=70
又因为a,b,c为正整数且a≤b≤c 而a^x 则a≠1
70=2×5×7
所以a=2 b=5 c=7
则a+b=c
(3)x/z=a^[logt(a/b)]
因为0＜a＜b＜1，0＜t＜1,
a/b<1 logt(a/b)>0 所以x/z=a^[logt(a/b)]<a^0=1
则x<z
y/z=(b/a)^logt(b)
因为0＜a＜b＜1，0＜t＜1 logt(b)>logt(1)=0
b/a>1 (b/a)^logt(b)>b/a)^0=1
所以y>z
则 y>z>x
(4)lg(lg（y）)=lg(3x)+lg(3-x)=lg[3z(3-x)]
lgy=3x(3-x)
y=10^[3x(3-x)]=10^(9x-3x^2)
因为lgy>=1
所以 3x>0 ,3-x>0 ,3z(3-x)≥1
解得 （9-√69)/6≤x≤(9+√69)/6

y≥10

㈨ 历届高中数学竞赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛江西省预赛
试 题

一、填空题（每小题10分，共 分）
、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．
、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ．
、以抛物线 上的一点 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为 ．
、设 ，则函数 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么， 周长的最小值是 ．
、满足 的一组正整数 ．
、用 表示正整数 的各位数字之和，则 ．
二、解答题（共 题，合计 分）
、（20分）、设 ，且满足： ，求 的值．

、（ 分）如图， 的内心为 ， 分别是
的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明： 三线共点．

、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；
、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
、当 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．

解 答

、 ．提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满足条件 ， 的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个，即总共有 个这样的四位数．（注：也可直接列举．）
、 ． 提示：由条件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
于是
；
由此得
.

、 ．提示：设 ，则

，
直线 方程为
，
即 ，因为 ，则
，
即
，
代人方程得
，
于是点 在直线 上；
同理，若设 ，则 方程为
，
即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
当 ，即 时取得等号．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱锥侧面展开图，易知 ∥ ，且由周长最小，得 共线，于是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，则
．
、 ．提示：由于 是 形状的数，所以 必为奇数，而 为偶数， 设 ， ，代人得
，
即
. ①
而 为偶数，则 为奇数，设 ，则
，
由①得，
， ②
则 为奇数，且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为
，
即 ，于是 ；
若 ，为使 为奇数，且 ，只有 ，②成为 ，即 ，它无整解；
于是 是唯一解： ．
（另外，也可由 为偶数出发，使

为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 形状的偶数，依次取 ，检验相应的六个数即可．）

、 ．提示：添加自然数 ，这样并不改变问题性质；先考虑由 到 这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 ，首位为 的“三位数”恰有 个： ，
这样，所有三位数的首位数字和为
.
再将 中的每个数 的前两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ，
又将 中的每个数 的首末两位数字互换，成为 ，得到的一千个数的集合也是 ，由此知
．
今考虑四位数：在 中，首位（千位）上，共有一千个 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千个 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如图，设 交于点 ，连 ，由于中位线 ∥ ，以及 平分 ，则 ，所以 ，因 ，得 共圆．所以 ；又注意 是 的内心，则
.
连 ，在 中，由于切线 ，所以
，
因此 三点共线，即有 三线共点．
、 证明：由于 为质数，而 ，则 ，据裴蜀定理，存在正整数 ，使
, ①
于是当 为奇数时，则①中的 一奇一偶．
如果 为偶数， 为奇数，则将①改写成：
，
令 ，上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数．
总之存在奇数 和偶数 ，使①式成立；据①，
, ②
现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态，其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．
、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：
如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；
为此，采用赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以 ，而改变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） ，由于 ；
因此当多边形所有顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．
但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 ，则①②中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开始，按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知，点 的颜色被改变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余所有 个顶点都改变了奇数次（ 次）状态，即都改变了颜色；再自点 开始，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变，其余所有 个顶点都改变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有 个点的颜色不变．
现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；
于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．
同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“ ”，白点赋值为“ ”，证法便完全相同）．

㈩ 高中数学竞赛试题