高一數學必修1函數

① 高一數學必修1函數的學習方法（最簡單）

要學數學簡單的方法幾乎沒有，給我感覺學數學的方法基本一個樣【擦汗
你要是初中基礎沒打好就趕緊回頭看，至少基本函數概念要了解。
課前預習，老師講的超快，自己先預習一遍，像自學一樣，照例子理解概念，把例題答案蓋住，自己先思考。
上課一定認真聽，按老師說的做，做題什麼的一定認真。不然你死都不知道是怎麼死的【嘆氣 回頭再補都來不及了。
我死了都不相信不做題就能學好，很多題是運用的關鍵。自己買本冊子，要有重點題型點播的例題，然後後面跟著有訓練的。不用都做，看一遍覺得運用靈活的做一下，提高思維能力什麼的
建議每周日總整一下，自認為有用。
函數不難，你認真跟著老師思路走就行了，其實用不著什麼學習方法，以上不過是能讓你比較熟練的理解而已，高中主要培養自主學習能力，到高三你就知道這么做的好處了，養成習慣啊！

② 高一數學必修1函數及其表示

二、函數的有關概念
1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變數，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．

注意：○2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；○3 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．
定義域補充
能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等於零； (2)偶次方根的被開方數不小於零； (3)對數式的真數必須大於零；(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)
2． 構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域
再注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由於值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變數和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
值域補充
(1)、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象．
C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2) 畫法
A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連接起來.
B、圖象變換法（請參考必修4三角函數）
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函數的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發現解題中的錯誤。
4．快去了解區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．
5．什麼叫做映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作「f：A B」
給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有「方向性」，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對於映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
6． 常用的函數表示法及各自的優點：
○1 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；○2 解析法：必須註明函數的定義域；○3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特徵；○4 列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．
注意啊：解析法：便於算出函數值。列表法：便於查出函數值。圖象法：便於量出函數值
補充一：分段函數 （參見課本P24-25）
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變數代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括弧括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況．（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集．
補充二：復合函數
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的復合函數。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7．函數單調性
（1）．增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那麼就說f(x)在區間D上是增函數。區間D稱為y=f(x)的單調增區間 （睇清楚課本單調區間的概念）
如果對於區間D上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)＞f(x2)，那麼就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：○1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；
○2 必須是對於區間D內的任意兩個自變數x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2) 。
（2） 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那麼說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2 作差f(x1)－f(x2)；○3 變形（通常是因式分解和配方）；○4 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；○5 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．
(B)圖象法(從圖象上看升降)_
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：
函數 單調性
u=g(x) 增 增 減 減
y=f(u) 增 減 增 減
y=f[g(x)] 增 減 減 增
注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集. 2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎？

8．函數的奇偶性
（1）偶函數
一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函數．
（2）．奇函數
一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函數．
注意：○1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。
○2 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變數（即定義域關於原點對稱）．
（3）具有奇偶性的函數的圖象的特徵
偶函數的圖象關於y軸對稱；奇函數的圖象關於原點對稱．
總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：○1 首先確定函數的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；○2 確定f(－x)與f(x)的關系；○3 作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數．
注意啊：函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或藉助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變數之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.
（2）.求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法；已知復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10．函數最大（小）值（定義見課本p36頁）
○1 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值○2 利用圖象求函數的最大（小）值○3 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

第二章 基本初等函數
一、指數函數
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那麼 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 ∈ *．
當 是奇數時，正數的 次方根是一個正數，負數的 次方根是一個負數．此時， 的 次方根用符號 表示．式子 叫做根式（radical），這里 叫做根指數（radical exponent）， 叫做被開方數（radicand）．
當 是偶數時，正數的 次方根有兩個，這兩個數互為相反數．此時，正數 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號－ 表示．正的 次方根與負的 次方根可以合並成± （ >0）．由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。
注意：當 是奇數時， ，當 是偶數時，
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
，
0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪．
3．實數指數冪的運算性質
（1） ? ；
（2） ；
（3） ．
（二）指數函數及其性質
1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數（exponential function），其中x是自變數，函數的定義域為R．
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．
2、指數函數的圖象和性質
a>1 0<a<1

圖象特徵 函數性質

向x、y軸正負方向無限延伸 函數的定義域為R
圖象關於原點和y軸不對稱 非奇非偶函數

函數圖象都在x軸上方 函數的值域為R+
函數圖象都過定點（0，1）

自左向右看，
圖象逐漸上升 自左向右看，
圖象逐漸下降 增函數 減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大於1 在第一象限內的圖象縱坐標都小於1

在第二象限內的圖象縱坐標都小於1 在第二象限內的圖象縱坐標都大於1

圖象上升趨勢是越來越陡 圖象上升趨勢是越來越緩 函數值開始增長較慢，到了某一值後增長速度極快； 函數值開始減小極快，到了某一值後減小速度較慢；
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；
（3）對於指數函數 ，總有 ；
（4）當 時，若 ，則 ；
二、對數函數
（一）對數
1．對數的概念：一般地，如果 ，那麼數 叫做以 為底 的對數，記作： （ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明：○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書寫格式．
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 ．
2、 對數式與指數式的互化

對數式 指數式
對數底數 ← → 冪底數
對數 ← → 指數
真數 ← → 冪
（二）對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那麼：
○1 ? ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：換底公式
（ ，且 ； ，且 ； ）．
利用換底公式推導下面的結論（1） ；（2） ．
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變數，函數的定義域是（0，+∞）．
注意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。
如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
○2 對數函數對底數的限制： ，且 ．
2、對數函數的性質：
a>1 0<a<1

圖象特徵 函數性質

函數圖象都在y軸右側 函數的定義域為（0，＋∞）
圖象關於原點和y軸不對稱 非奇非偶函數
向y軸正負方向無限延伸 函數的值域為R
函數圖象都過定點（1，0）

自左向右看，
圖象逐漸上升 自左向右看，
圖象逐漸下降 增函數 減函數
第一象限的圖象縱坐標都大於0 第一象限的圖象縱坐標都大於0

第二象限的圖象縱坐標都小於0 第二象限的圖象縱坐標都小於0

（三）冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數．
2、冪函數性質歸納．
（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，並且圖象都過點（1，1）；
（2） 時，冪函數的圖象通過原點，並且在區間 上是增函數．特別地，當 時，冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸；
（3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨於 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．

第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對於函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。
2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。即：
方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點．
3、函數零點的求法：
求函數 的零點：
○1 （代數法）求方程 的實數根；
○2 （幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，並利用函數的性質找出零點．
4、二次函數的零點：
二次函數 ．
1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．
2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．
3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．

我數學很好 有不會問我 O

③ 高中數學必修一基本初等函數公式

基本初等函數
一、指數函數
(一)指數與指數冪的運算
1.根式的概念：一般地，如果 ，那麼 叫做 的 次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈ *.
當 是奇數時，正數的 次方根是一個正數，負數的 次方根是一個負數.此時， 的 次方根用符號 表示.式子 叫做根式(radical)，這里 叫做根指數(radical exponent)， 叫做被開方數(radicand).
當 是偶數時，正數的 次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數 的正的 次方根用符號 表示，負的 次方根用符號- 表示.正的 次方根與負的 次方根可以合並成± ( >0).由此可得：負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作 。
注意：當 是奇數時， ，當 是偶數時，
2.分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
1、0的正分數指數冪等於0，
2、0的負分數指數冪沒有意義

指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.
3.實數指數冪的運算性質
(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數 叫做指數函數(exponential )，其中x是自變數，函數的定義域為R.
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的圖象和性質
1、a>1
2、0
3、向x、y軸正負方向無限延伸

4、函數的定義域為R
5、圖象關於原點和y軸不對稱
6、非奇非偶函數
7、函數圖象都在x軸上方
8、函數的值域為R+
9、函數圖象都過定點(0，1)
自左向右看，圖象逐漸上升；
自左向右看，圖象逐漸下降。
增函數；減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大於1
在第一象限內的圖象縱坐標都小於1
在第二象限內的圖象縱坐標都小於1
在第二象限內的圖象縱坐標都大於1
圖象上升趨勢是越來越陡；圖象上升趨勢是越來越緩
函數值開始增長較慢，到了某一值後增長速度極快;
函數值開始減小極快，到了某一值後減小速度較慢;
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
二、對數函數

(一)對數
1.對數的概念：一般地，如果 ，那麼數 叫做以 為底 的對數，記作： ( — 底數， — 真數， — 對數式)
說明：
1 ）注意底數的限制 ，且 ;
2 ）注意對數的書寫格式.

2、兩個重要對數：
1 常用對數：以10為底的對數 ;
2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 .
對數式與指數式的互化
對數式 指數式
對數底數 ← → 冪底數
對數 ← → 指數
真數 ← → 冪
(二)對數的運算性質
注意：換底公式

利用換底公式推導下面的結論(1) ;(2) .

(二)對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變數，函數的定義域是(0，+∞).
注意：
1） 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。
如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.
2） 對數函數對底數的限制： ，且 .
2、對數函數的性質：
a>1
0
函數性質

1函數圖象都在y軸右側
2函數的定義域為(0，+∞)
3圖象關於原點和y軸不對稱
4非奇非偶函數
5向y軸正負方向無限延伸
6函數的值域為R
7函數圖象都過定點(1，0)
自左向右看，圖象逐漸上升
自左向右看，圖象逐漸下降
增函數
減函數
第一象限的圖象縱坐標都大於0
第一象限的圖象縱坐標都大於0
第二象限的圖象縱坐標都小於0
第二象限的圖象縱坐標都小於0
(三)冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數.
2、冪函數性質歸納.
(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，並且圖象都過點(1，1);
(2) 時，冪函數的圖象通過原點，並且在區間 上是增函數.特別地，當 時，冪函數的圖象下凸;當 時，冪函數的圖象上凸;
(3) 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數.在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨於 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.
第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對於函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。
2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。即：
方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點.
3、函數零點的求法：
求函數 的零點：
1 (代數法)求方程 的實數根;
2 (幾何法)對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，並利用函數的性質找出零點.
4、二次函數的零點：
二次函數 .
1)△>0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.
2)△=0，方程 有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.
3)△<0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點.

三角函數和反三角函數
這是起源於幾何學的最簡單的超越函數。高等分析學中計量角度的方法是所謂弧度法,即以單位圓周上的弧段量度相應的圓心角。三角函數是sinx、cosx以及由它們導出的 和它們的定義如圖1所示。sinx和cosx在 x=0處的泰勒展式為(2)(3)它們的收斂半徑為。sinx、cosx、tanx、cotx 、secx 、cosecx的反函數分別為 arcsinx、 arccosx、 arctanx、arccotx、arcsecx、arccosecx(或記為sin-1x、 cos-1x、tan-1x、cot-1x、sec-1x、cosec-1x),
初等函數圖形
並稱為反三角函數。 指數函數和對數函數 設α為一正數，則y=αz表示以α為底的指數函數（圖2）。其反函數y=logαx稱為以α為底的對數函數(圖3)。特別當α=e時稱y=ez（或expx）和y=logαx=lnx（或logx）為指數函數和對數函數。logx能由下面的積分式定義它表示由雙曲線 、下由t軸、左右分別由t=1和t=x兩直線所圍的面積。由此可知當x在正實軸上變化時，y=logx取值在實軸上，且log1=0。它是x的增函數,導數。此外logx滿足加法定理，即log(x1·x2)=logx1+logx2。

對數函數的反函數指數函數
ex是定義在實軸上取值於正實數的增函數，且 e0=1。 ex的導數與它本身相同。此外ex滿足乘法定理，即 。ex在x=0處的泰勒展式為。

雙曲函數和反雙曲函數
由指數函數經有理運算可導出雙曲函
初等函數
數。其性質與三角函數很相似，並以 sinhx、coshx、tanhx、cothx、sechx、cosechx表示之，其定義如下：分別稱為雙曲正弦（圖4）和雙曲餘弦（圖5）。像三角函數一樣，由它們導出的雙曲正切（圖6）tanhx=sinhx/coshx，雙曲餘切（圖7）cothx=coshx/sinhx等都稱為雙曲函數。它們有如下的幾何解釋，即雙曲線x2-y2=1(x>0)上取一點M,又令O為原點,N=(1,0)，將ON,OM和雙曲線上的弧所圍面積記為θ/2，點M的坐標視為θ的函數,並記為coshθ和sinhθ，即有表示式(5)。初等函數 初等函數 初等函數 初等函數復變數初等函數 定義域為復數域的初等函數。

有理函數、冪函數和根式函數
兩個復系數的多項式之比為有理函數,它實現擴充的復平面到自身的解析映射。分式線性函數 是一個特殊的有理函數，它在復分析中有重要的意義。另一個特殊情形是冪函數w=zn，n 是自然數,
初等函數
它在全平面是解析的,且。因此當n≥2時，它在全平面除z=0以外到處實現共形映射（保角映射）。它將圓周丨z丨= r變為圓周|w|=rn，將射線argz=θ變為射線argw=nθ。任何一個區域,只要該區域中任兩點的輻角差小於2π/n,它就是w=zn的單葉性區域。冪函數 w=zn的反函數為根式函數,它有n 個值,(k=0，1,…,n-1),稱為它的分支。它們在任何區域θ1z <θ1+2π 中都單值解析而且將這個區域變為區域。它們的導數為。

指數函數和對數函數
在指數函數式(4)中將x換為復變數z,便得到復變數的指數函數w=ez,並且,顯然有 (k為整數)。復指數函數有類似於實指數函數的性質：ez是一整函數且對任何復數z,ez≠0;它滿足乘法定理:；ez以2kπi為周期，即；並且它的導數與本身相同，即 。函數w=ez在全平面實現共形映射。任何一個區域，只要對區域內任兩點，其虛部之差小於2π，它就是ez的單葉性區域。例如,指數函數把直線x=x0變為圓周,把直線y=y0變為射線argw=y0，因而把區域Sk變為區域 0w <2π，把寬度為β的帶形區域α0< α0+β(β≤2π)變為開度為β的角形域α0w<α0+β。對數函數w=Lnz是指數函數ez的反函數，它有無窮多個值2kπ)（k 為整數），稱為它的分支。每一個分支在區域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的，且有。對數函數把這個區域單葉地變為帶形區域θ0w <θ0+2π，也把開度為β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)變為寬度為β的帶形區域θ0w <θ0+β。 特別(Lnz)0=Lnz是實對數函數 lnz在復數域上的推廣。象實對數函數一樣，它滿足加法定理，即對任兩個不為零的復數z1和z2。

④ 高一數學必修一函數

事先說明： ！！！~得採納我的哦~！！！ 要全部？
Ⅰ指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們對於冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。
（1） 指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大於0且不等於1，對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮，
同時a等於0函數無意義一般也不考慮。
（2） 指數函數的值域為大於0的實數集合。
（3） 函數圖形都是下凹的。
（4） a大於1，則指數函數單調遞增；a小於1大於0，則為單調遞減的。
（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中（當然不能等於0），函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
（6） 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。
（7） 函數總是通過（0，1）這點,(若y=a^x+b,則函數定過點(0,1+b)
（8） 顯然指數函數無界。
（9） 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。
（10）當兩個指數函數中的a互為倒數時，兩個函數關於y軸對稱，但這兩個函數都不具有奇偶性。
底數的平移：
對於任何一個有意義的指數函數：
在指數上加上一個數，圖像會向左平移；減去一個數，圖像會向右平移。
在f(X)後加上一個數，圖像會向上平移；減去一個數，圖像會向下平移。
即「上加下減，左加右減」
底數與指數函數圖像：
（1）由指數函數y=a^x與直線x=1相交於點（1，a)可知：在y軸右側，圖像從下到上相應的底數由小變大。
（2）由指數函數y=a^x與直線x=-1相交於點（-1，1/a）可知：在y軸左側，圖像從下到上相應的底數由大變小。
（3）指數函數的底數與圖像間的關系可概括的記憶為：在y軸右邊「底大圖高」；在y軸左邊「底大圖低」。（如右圖）
冪的大小比較：
比較大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函數單調性法；（3）中間值法：要比較A與B的大小，先找一個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。
比較兩個冪的大小時，除了上述一般方法之外，還應注意：
（1）對於底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷。
例如：y1=3^4,y2=3^5，因為3大於1所以函數單調遞增（即x的值越大，對應的y值越大），因為5大於4，所以y2大於y1.
（2）對於底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數圖像的變化規律來判斷。
例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小於1所以函數圖像在定義域上單調遞減；3大於1，所以函數圖像在定義域上單調遞增，在x=0是兩個函數圖像都過（0，1）然後隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等於4時，y2大於y1.
（3）對於底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如：
<1> 對於三個（或三個以上）的數的大小比較，則應該先根據值的大小（特別是與0、1的大小）進行分組，再比較各組數的大小即可。
<2> 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用「1」來搭「橋」（即比較它們與「1」的大小），就可以快速的得到答案。哪么如何判斷一個冪與「1」大小呢？由指數函數的圖像和性質可知「同大異小」。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）時，a^x大於1，異向時a^x小於1.
〈3〉例：下列函數在R上是增函數還是減函數？說明理由.
⑴y=4^x
因為4>1，所以y=4^x在R上是增函數；
⑵y=(1/4)^x
因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數
Ⅱ (見:函數圖形曲線)
在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為θ，設OP=r，P點的坐標為（x，y）有
正弦函數 sinθ=y/r
餘弦函數 cosθ=x/r
正切函數 tanθ=y/x
餘切函數 cotθ=x/y
正割函數 secθ=r/x
餘割函數 cscθ=r/y
（斜邊為r，對邊為y，鄰邊為x。）
以及兩個不常用，已趨於被淘汰的函數：
正矢函數 versinθ =1-cosθ
余矢函數 coversθ =1-sinθ
正弦（sin）:角α的對邊比上斜邊
餘弦（cos）:角α的鄰邊比上斜邊
正切（tan）:角α的對邊比上鄰邊
餘切（cot）:角α的鄰邊比上對邊
正割（sec）:角α的斜邊比上鄰邊
餘割（csc）:角α的斜邊比上對邊

·平方關系：
sin²α＋cos²α＝1
1＋tan²α＝sec²α
1＋cot²α＝csc²α
·積的關系：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒數關系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的關系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等於角A的對邊比斜邊,
餘弦等於角A的鄰邊比斜邊
正切等於對邊比鄰邊,
三角函數恆等變形公式

·兩角和與差的三角函數：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函數：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·輔助角公式：
Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))，其中
sint=B/√(A²+B²)
cost=A/√(A²+B²)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=√(A²+B²)cos(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
tan(2α)=2tanα/(1-tan²α)
·三倍角公式：
sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan³α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
·半形公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降冪公式
sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·萬能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推導公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos²α
1-cos2α=2sin²α
1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]²
Ⅲ對數函數
一般地，如果a（a大於0，且a不等於1）的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作log aN=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
對數函數的公理化定義
真數式子沒根號那就只要求真數式大於零,如果有根號,要求真數大於零還要保證根號里的式子大於零，
底數則要大於0且不為1
對數函數的底數為什麼要大於0且不為1
在一個普通對數式里 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值的。但是，根據對數定義: logaa=1；如果a=1或=0那麼logaa就可以等於一切實數（比如log1 1也可以等於2，3，4，5，等等）第二，根據定義運算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那麼這個等式兩邊就不會成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等於(-2)*log(-2) 4；一個等於4，另一個等於-4）
對數函數的一般形式為 y=log(a)x，它實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=a^y。因此指數函數里對於a的規定，同樣適用於對數函數。
右圖給出對於不同大小a所表示的函數圖形：
可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。
（1） 對數函數的定義域為大於0的實數集合。
（2） 對數函數的值域為全部實數集合。
（3） 函數圖像總是通過（1，0）點。
（4） a大於1時，為單調增函數，並且上凸；a小於1大於0時，函數為單調減函數，並且下凹。
（5） 顯然對數函數無界。
對數函數的常用簡略表達方式：
（1）log(a)(b)=log(a)(b)
（2）lg(b)=log(10)(b)
（3）ln(b)=log(e)(b)
對數函數的運算性質：
如果a〉0，且a不等於1,M>0,N>0，那麼：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n屬於R）
（4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n屬於R）
對數與指數之間的關系
當a大於0,a不等於1時,a的X次方=N等價於log(a)N
log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n屬於R）
換底公式 （很重要）
log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga
ln 自然對數 以e為底
lg 常用對數 以10為底
一般地，如果a（a大於0，且a不等於1）的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作log(a)（N）=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
底數則要大於0且不為1

對數的運算性質：

當a>0且a≠1時,M>0,N>0，那麼：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
（4）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）

對數與指數之間的關系

當a>0且a≠1時,a^x=N x=㏒(a)N (對數恆等式）

對數函數的常用簡略表達方式：

（1）log(a)(b)=log(a)(b)
（2）常用對數:lg(b)=log(10)(b)
（3）自然對數:ln(b)=log(e)(b)
e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對數函數的定義
對數函數的一般形式為 y=㏒(a)x，它實際上就是指數函數的反函數(圖象關於直線y=x對稱的兩函數互為反函數），可表示為x=a^y。因此指數函數里對於a的規定（a>0且a≠1），同樣適用於對數函數。
右圖給出對於不同大小a所表示的函數圖形：
可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。
[編輯本段]性質
定義域：（0，+∞）值域：實數集R
定點：函數圖像恆過定點（1，0）。
單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數，並且上凸；
0<a<1時，在定義域上為單調減函數，並且下凹。
奇偶性：非奇非偶函數，或者稱沒有奇偶性。
周期性：不是周期函數
零點：x=1
注意：負數和0沒有對數。
兩句經典話：底真同對數正
底真異對數負

累！ 採納我呀 不好意思 不會搞圖片

⑤ 高中數學必修一函數的應用

^解：log (x-ak)=log (x^2-a^2)

x-ak>=0,x^2-a^2>=0
x>=ak,x>=a或x<=-a，後面對K的值進行討論，分界點有-1,0,1
這樣可以直接得出 x-ak=x^2-a^2
整理可以得出 x^2-x-a^2+ak=0有解的話就有△>=0
1-4(-a^2+ak)>=0,
即：4a^2-4ak+1>=0
下面就針對關於a的二次函數還解答，所以關於4a^2-4ak+1>=0酒必須使關於a的二次函數的△<=0
所以得出 16k^2-16<=0，可以得出-1=<k>=1

⑥ 高中數學必修一的函數怎麼才能掌握

數學的學習是循序漸進的，關鍵是數學思想的培養（這一點從小學就開始了）。如果學了概念做基礎題無問題，你的數學基礎還是可以的；如果學了概念遇到題目無法下手，你基本上毫無數學基礎，就不是從高一學起這么簡單了。你能認識到並想到回頭補原先應該掌握而卻欠缺的知識，這一點非常值得贊賞，這個路子無疑是正確的。至於要從哪裡開始補，要看你實際的情況。我的建議是：哪裡欠缺從哪裡補。例如函數，從初一其實就接觸了函數初步，只不過當時可能你沒有認真學。其實也很簡單，遇到問題反查原先學過的知識，這樣可以做到有的放矢。

⑦ 高中數學必修一函數

在數學中，一個函數是描述每個輸入值對應唯一輸出值的這種對應關系，符號為 。讀作f of x。其中x為自變數,為因變數（或稱應變數）。包含某個函數所有的輸入值的集合被稱作這個函數的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。簡而言之，函數是將唯一的輸出值賦予每一輸入的「法則」以及該輸出值與對應輸入值的集合。這一「法則」可以用函數表達式、數學關系，或者一個將輸入值與輸出值對應列出的簡單表格來表示。函數最重要的性質是其決定性，即同一輸入總是對應同一輸出（注意，反之未必成立）。從這種視角，可以將函數看作「機器」或者「黑箱」，它將有效的輸入值變換為唯一的輸出值。通常將輸入值稱作函數的參數，將輸出值稱作函數的值。
參考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0
學函數一定要牢牢把握概念，好好理解函數，你所謂的聽懂卻不會做題，一是沒完全聽懂，似懂非懂；二是做題做少了。不用擔心，只要好好聽講，多做題多思考，沒問題的。如果有問題可追問，希望能幫到你。

⑧ 高中數學 必修一 函數定義

雙曲線？一三象限，二四象限不也是一一對應嗎？怎麼會有你說的情況？你給我舉個例子

⑨ 高一數學必修1函數概念知識總結

1、指數函數 （ 且 ），其中 是自變數， 叫做底數，定義域是R

2、若 ，則 叫做以 為底 的對數。記作： （ ， ）
其中， 叫做對數的底數， 叫做對數的真數。
註：指數式與對數式的互化公式：
3、對數的性質
（1）零和負數沒有對數，即 中 ；
（2）1的對數等於0，即 ；底數的對數等於1，即
4、常用對數 ：以10為底的對數叫做常用對數，記為：
自然對數 ：以e(e=2.71828…)為底的對數叫做自然對數，記為：
5、對數恆等式：
6、對數的運算性質（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
(1) ; (2) ;
(3) （注意公式的逆用）
7、對數的換底公式 ( ,且 , ,且 , ).
推論① 或 ； ② .
8、對數函數 （ ，且 ）：其中， 是自變數， 叫做底數，定義域是

圖像

性質 定義域：(0, ∞)
值域：R
過定點（1，0）
增函數 減函數
取值范圍 0<x<1時，y<0
x>1時，y>0 0<x<1時，y>0
x>1時，y<0
9、指數函數 與對數函數 互為反函數；它們圖象關於直線 對稱.
10、冪函數 （ ），其中 是自變數。要求掌握 這五種情況(如下圖)
11、冪函數 的性質及圖象變化規律：
（Ⅰ）所有冪函數在（0，+∞）都有定義，並且圖象都過點（1，1）；
（Ⅱ）當 時，冪函數的圖象都通過原點，並且在區間 上是增函數．
（Ⅲ）當 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．

⑩ 高一數學必修一函數的單調性

1.
設f(x)=ax^
bx
c,a≠0
f(0)=c=0
c=0
f(x
1)-f(x)=a(x
1)^2
b(x
1)-(ax^2
bx)
=a(2x
1)
b
=2ax
(a
b)
=2x
a=1
b=-1
f(x)=x^2-x;
2.
f(x)=x^2-x的圖像是頂點為(1/2,-1/4)，開口向上的拋物線，
所以只要y=2x
m在(1/2,-1/4)下方即可，
2(1/2)
m＜-1/4
m＜-5/4
f(0)=c=1
f(x)=x^2-x
1
2.
頂點為(1/2,3/4)，
只要y=2x
m在(1/2,3/4)下方即可，
2(1/2)
m＜3/4
m＜-1/4
設f(x)=x
√1
2x，x∈[-1/2，
∞）
取x1<x2，且x1、x2∈[-1/2，
∞），則x1-x2<0，√1
2x1-√1
2x2<0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)
(√1
2x1-√1
2x2)<0，即f(x1)<f(x2)
∴函數f(x)在[-1/2，
∞）是增函數。
∴最小值為-1/2
值域為[-1/2，
∞）
定義域：
明確幾種特殊函數的定義域如帶根的（大於等於零），未知數在分母的（不等於零），對數（大於零）等。值域：（1）配方法：適用於二次函數型（2）分離常數法：分子分母都有未知數例：y=(2x
1)/(x-3)
=[2(x-3)
7]/(x-3)
=2
7/(x-3)因為7/(x-3)不等於0所以y不等於2（3）反解法：例：y=(2x
1)/(x-3)
(y-2)x-3y-1=0所以x=(3y
1)/(y-2)所以y不等於2
f(x)=(ax
b)/(cx
d)f(x)不等於a/c
（4）判別式法：反解之後用判別式（5）換元法（6）圖像法
F（x）=(2x
4-5)/(x
2)=2-5/(x
2)x屬於[-5，-3]x
2必小於零則1/(x
2)在[-5，-3]上單調遞減則-5/(x
2)在[-5，-3]上單調遞增則2-5/(x
2)在[-5，-3]上單調遞增所以yMAX=F（-3）=7yMIN=F（-5）=11/3
【分析】判斷一個函數的奇偶性，首先判斷函數的定義域是否關於原點對稱，若不對稱，則非奇非偶；若對稱，則再判斷f(-x)與f(x)的關系，f(-x)=f(x)為偶，f(-x)=-f(x)為奇，否則為非奇非偶。
A.解：易知f(x)=sinx2定義域關於原點對稱，
又f(-x)=sin(-x)2=sinx2=f(x),所以f(x)為偶函數。B.解：易知f(x)=tanx
tanx/2定義域為x不=π/2
kπ，關於原點不對稱，
所以f(x)為非奇非偶函數。C.解：f(x)=sinx
cosx定義域關於原點對稱，
又f(-x)=sin(-x)
cos(-x)=cosx-sinx,既不=f(x),又不=-f(x)
所以f(x)為非奇非偶函數。D.解：易知f(x)=1/3cosx/2定義域關於原點對稱，
又f(-x)=1/3cos(-x)/2=1/3cosx/2=f(x),所以f(x)為偶函數。