高等數學函數的極限

A. 高數中的函數的極限是什麼

極限是高等數學的基礎，要學清楚。

設f:(a,+∞)→R是一個一元實值函數，a∈R.如果對於任意給定的ε>0，存在正數X，使得對於適合不等式x>X的一切x，所對應的函數值f(x)都滿足不等式. │f(x)-A│<ε , 則稱數A為函數f(x)當x→+∞時的極限，記作 f(x)→A(x→+∞). 例y=1/x，x→+∞時極限為y=0 函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。 極限符號可記為lim。

函數極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而運用ε-δ定義更多的見諸於已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x→Xo 的極限為例，f(x) 在點Xo 以A為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函數值f(x)都滿足不等式： |f(x)-A|<ε ，那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。 問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。 函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和復合函數的極限等等。如函數極限的唯一性（若極限 存在，則在該點的極限是唯一的）

有些函數的極限很難或難以直接運用極限運演算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。 1.夾逼定理：（1）當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域，有個符號打不出）時，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 （2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那麼，f(x)極限存在，且等於A 不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。 2.單調有界准則：單調增加（減少）有上（下)界的數列必定收斂。 在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。 3.柯西准則 數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時，都有|am-an|<ε成立。

B. 高等數學函數極限

（5）當x>1時，右極限=(x-1)/(x-1)=1

當x<1時，左極限=(1-x)/(x-1)=-1
因為左右極限不相等，所以原極限不存在
2、當x>0時，右極限=arctan(+∞)=π/2
當x<0時，左極限=arctan(-∞)=-π/2
因為左右極限不相等，所以原極限不存在

C. 高等數學 函數極限的定義

函數極限中來的δ重在存在性，並自且δ是隨著ε變化的，而ε是任意小的一個正數，所以δ本身就具有常量與變數的雙重性。變數性是指它隨任意小的正數ε發生變化，常量性是ε一旦給定了一個值，那麼相應的一定會存在我們所需要的一個δ（當然δ是有無窮多個，因為一旦找到了一個，所有比它小的正數也完全符合要求）
所以
1、「函數的極限中，左極限右極限的定義域的δ必須相等嗎」，答案是：沒有必要一定相等，「存在」即可，管它具體等於多少呢
2、不需要考核δ>6的情況，因為δ已經找到

D. 高等數學，函數極限

😁

E. 高等數學 函數極限

分式的極限存在，而分母的極限是零，所以分子的極限也是零。否則分式的極限不存在。

F. 高等數學的函數極限

分子提出√(x+1)，原極限=lim (-√(x+1))=-1

G. 高等數學 極限函數

這里就是用到兩個因式分解的公式呀，列岀如下：
①a^3一b^3
=（a一b）（a^2十ab十b^2）；
②（a^4一b^4）=（a^2一b^2）（a^2十b^2）
=（Q一b）（a+b）（a^2十b^2）。

H. 高數題：求函數的極限

方法一:0/0型，直接運用洛必達法則
lim(x→0) arctan3x/sin2x
=lim(x→0) 3/(1＋9x²)/(2cos2x)
=3/2
方法二:等價無窮小代換
x→0時，arctan3x∽3x；sin2x∽2x
所以lim(x→0) arctan3x/(sin2x)
=lim(x→0) 3x/(2x)
=3/2

I. 高等數學函數極限題

①。你作的答案是對的，但過程有暇疵。x=1/t，前面小括弧里的第二項 x/2=1/(2t)，
不是1/(2t²)；
②。按極限四則運算規則：有限個具有極限的函數之和的極限必存在，並且這個極限等於它們
的極限之和。在x→+∞lim[x³+x/2-tan(1/x)]e^(1/x)中，(x³+x/2)e^(1/x)和[tan(1/x)]e^(1/x)
的極限都存在，故x→+∞lim[x³+x/2-tan(1/x)]e^(1/x)【x→+∞limtan(1/x)]e^(1/x)=0•1】
=[x→+∞lim(x³+x/2)e^(1/x)]-[x→+∞lim[tan(1/x)e^(1/x)]=x→+∞lim(x³+x/2)e^(1/x)-0;
但(x³+x/2)e^(1/x)和√(1+x^6)的極限都不存在，故不能單獨取極限，必需組合起來，即
[(x³+x/2)e^(1/x)-√(1+x^6)]【屬∞-∞】合在一起極限才存在。

J. 高等數學函數求極限

函數求極限問題一般都是用書中給的幾種公式和方法的不斷套用，提問時可以加想要求解的題圖片，便於給出更詳細的回答。