數學初三試題

㈠ 初三數學競賽試題

1.因為-1≤x≤2
所以|x-2|=2-x |x+2|=x+2
所以原式=4-0.5|x|
所以最大值4為最小值為3差為1
2.因為3x+2y+z=5, x+y-z=2
兩式相減2x+y=3-2z
所以S=3-3z
因為z是非負數
所以最大值3為最小值為0和為3

㈡ 初三數學中考試題

2009年廣州市初中畢業生學業考試
數 學
滿分150分，考試時間120分鍾

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1. 將圖1所示的圖案通過平移後可以得到的圖案是（ A ）

2. 如圖2，AB‖CD，直線 分別與AB、CD相交，若∠1=130°，則∠2=（ C ）
（A）40° （B）50° （C）130° （D）140°
3. 實數 、 在數軸上的位置如圖3所示，則 與 的大小關系是（ C ）
（A） （B）
（C） （D）無法確定
4. 二次函數 的最小值是（ A ）
（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
5. 圖4是廣州市某一天內的氣溫變化圖，根據圖4，下列說法中錯誤的是（ D ）
（A）這一天中最高氣溫是24℃
（B）這一天中最高氣溫與最低氣溫的差為16℃
（C）這一天中2時至14時之間的氣溫在逐漸升高
（D）這一天中只有14時至24時之間的氣溫在逐漸降低

6. 下列運算正確的是（ B ）
（A） （B）
（C） （D）
7. 下列函數中，自變數 的取值范圍是 ≥3的是（ D ）
（A） （B）
（C） （D）
8. 只用下列正多邊形地磚中的一種，能夠鋪滿地面的是（ C ）
（A）正十邊形 （B）正八邊形
（C）正六邊形 （D）正五邊形
9. 已知圓錐的底面半徑為5cm，側面積為65πcm2，設圓錐的母線與高的夾角為θ（如圖5）所示），則sinθ的值為（ B ）
（A） （B） （C） （D）
10. 如圖6，在 ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC於點E，交DC的延長線於點F，BG⊥AE，垂足為G，BG= ，則ΔCEF的周長為（ A ）
（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11. 已知函數 ，當 =1時， 的值是________2
12. 在某校舉行的藝術節的文藝演出比賽中，九位評委給其中一個表演節目現場打出的分數如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，則這組數據的眾數是________9.3
13. 絕對值是6的數是________+6,-6
14. 已知命題「如果一個平行四邊形的兩條對角線互相垂直，那麼這個平行四邊形是菱形」，寫出它的逆命題：________________________________略
15. 如圖7-①，圖7-②，圖7-③，圖7-④，…，是用圍棋棋子按照某種規律擺成的一行「廣」字，按照這種規律，第5個「廣」字中的棋子個數是________，第 個「廣」字中的棋子個數是________2n+5

16. 如圖8是由一些相同長方體的積木塊搭成的幾何體的三視圖，則此幾何體共由________塊長方體的積木搭成4

三、解答題（本大題共9小題，滿分102分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. （本小題滿分9分）
如圖9，在ΔABC中，D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點。
證明：四邊形DECF是平行四邊形。

18. （本小題滿分10分）
解方程

19.（本小題滿分10分）
先化簡，再求值： ，其中

20.（本小題滿分10分）
如圖10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= ，
（1）求∠BAC的度數； （2）求⊙O的周長

21. （本小題滿分12分）
有紅、白、藍三種顏色的小球各一個，它們除顏色外沒有其它任何區別。現將3個小球放入編號為①、②、③的三個盒子里，規定每個盒子里放一個，且只能放一個小球。
（1）請用樹狀圖或其它適當的形式列舉出3個小球放入盒子的所有可能情況；
（2）求紅球恰好被放入②號盒子的概率。

22. （本小題滿分12分）
如圖11，在方格紙上建立平面直角坐標系，線段AB的兩個端點都在格點上，直線MN經過坐標原點，且點M的坐標是（1，2）。
（1）寫出點A、B的坐標；
（2）求直線MN所對應的函數關系式；
（3）利用尺規作出線段AB關於直線MN的對稱圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）。

23. （本小題滿分12分）
為了拉動內需，廣東啟動「家電下鄉」活動。某家電公司銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動活動前一個月共售出960台，啟動活動後的第一個月銷售給農戶的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的銷量分別比啟動活動前一個月增長30%、25%，這兩種型號的冰箱共售出1228台。
（1）在啟動活動前的一個月，銷售給農戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分別為多少台？
（2）若Ⅰ型冰箱每台價格是2298元，Ⅱ型冰箱每台價格是1999元，根據「家電下鄉」的有關政策，政府按每台冰箱價格的13%給購買冰箱的農戶補貼，問：啟動活動後的第一個月銷售給農戶的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共補貼了多少元（結果保留2個有效數字）？

24.（本小題滿分14分）
如圖12，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交於點P。
（1）若AG=AE，證明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，證明：AG+AE=FH；
（3）若RtΔGBF的周長為1，求矩形EPHD的面積。
解：(1)易證ΔABF≌ΔADH,所以AF=AH
(2)如圖，將ΔADH繞點A順時針旋轉90度，如圖，易證ΔAFH≌ΔAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE
(3)設PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得
（1-x）2+（1-y）2=( x+y-1)2,
化簡得xy=0.5,
所以矩形EPHD的面積為0.5.
25.（本小題滿分14分）
如圖13，二次函數 的圖象與x軸交於A、B兩點，與y軸交於點C（0，-1），ΔABC的面積為 。
（1）求該二次函數的關系式；
（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸上午垂線，若該垂線與ΔABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；
（3）在該二次函數的圖象上是否存在點D，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。
解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面積知0.5OC×AB= ,得AB=
設A（a,0）,B(b,0)
AB=b-a= = ，解得p= ,但p<0,所以p= 。
所以解析式為：
（2）令y=0，解方程得 ，得 ,所以A( ,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC= ,同樣可求得BC= ,，顯然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB為斜邊，所以外接圓的直徑為AB= ,所以 .
（3）存在，AC⊥BC,①若以AC為底邊，則BD//AC,易求AC的解析式為y=-2x-1,可設BD的解析式為y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式為y=-2x+4，解方程組 得D（ ,9）
②若以BC為底邊，則BC//AD,易求BC的解析式為y=0.5x-1,可設AD的解析式為y=0.5x+b，把 A( ,0)代入得AD解析式為y=0.5x+0.25，解方程組 得D( )
綜上，所以存在兩點：（ ,9）或( )。

2009年廣州市初中畢業生學業考試
數學試題參考答案
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題3分，滿分30分.
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A D B D C B A

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題3分，滿分18分.
11. 2 12. 9.3 13.
14. 如果一個平行四邊形是菱形，那麼這個平行四邊形的兩條對角線互相垂直
15. 15； 16. 4

三、解答題：本大題考查基礎知識和基本運算，及數學能力，滿分102分.
17．本小題主要考查平行四邊形的判定、中位線等基礎知識，考查幾何推理能力和空間觀念．滿分9分.
證法1： 分別是邊 的中點，
∴ ．
同理 ．
∴四邊形 是平行四邊形．
證法2： 分別是邊 的中點，
∴ ．
為 的中點，
∴ ．
∴ ．
∴四邊形 是平行四邊形．

18．本小題主要考查分式方程等基本運算技能，考查基本的代數計算能力．滿分9分.
解：由原方程得 ，
即 ，
即 ，
∴
檢驗：當x = 3時, .
∴ 是原方程的根．

19．本小題主要考查整式的運算、平方差公式等基礎知識，考查基本的代數計算能力．滿分10分.
解：
=
=
= .
將 代入 ，得：

.

20．本小題主要考查圓、等邊三角形等基礎知識，考查計算能力、推理能力和空間觀念．滿分10分．
解：（1） ，
∴ ．
（2） ，
∴ ．
∴ 是等邊三角形.
求 的半徑給出以下四種方法：
方法1：連結 並延長交 於點 （如圖1）．
∵ 是等邊三角形，
∴圓心 既是 的外心又是重心，還是垂心．
在 中 ， ，
∴ ．
∴ ，即 的半徑為 ．
方法2：連結 、 ，作 交 於點 （如圖2）．

∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ 中 .
在 中， ，
∴ ，即 .
∴ ，即 的半徑為 ．
方法3：連結 、 ，作 交 於點 （如圖2）．
是等邊三角形 的外心，也是 的角平分線的交點，
∴ ， ．
在 中， ，即 .
∴ .
∴ ，即 的半徑為 ．
方法4：連結 、 ，作 交 於點 （如圖2）．
是等邊三角形的外心，也是 的角平分線的交點，
∴ ， ．
在 中，設 ，則 ，
∵ .
∴ .
解得 ．
∴ ，即 的半徑為 ．
∴ 的周長為 ，即 ．

21．本小題主要考查概率等基本的概念，考查．滿分12分．
（1）解法1：可畫樹狀圖如下：

共6種情況．
解法2：3個小球分別放入編號為①、②、③的三個盒子的所有可能情況為：紅白藍、紅藍白、白紅藍、白藍紅、藍紅白、藍白紅共6種．
（2）解：從（1）可知，紅球恰好放入2號盒子的可能結果有白紅藍、藍紅白共2種，
所以紅球恰好放入2號盒子的概率 .

22. 本小題主要考查圖形的坐標、軸對稱圖形、尺規作圖、一次函數等基礎知識，考查用待定系數法求函數解析式的基本方法，以及從平面直角坐標系中讀圖獲取有效信息的能力，滿分12分.
解：（1） ， ；
（2）解法1：∵直線 經過坐標原點，
∴設所求函數的關系式是 ，
又點 的坐標為（1，2），
∴ ，
∴直線 所對應的函數關系式是 ．
解法2：設所求函數的關系式是 ，
則由題意得：

解這個方程組，得
∴直線 所對應的函數關系式是 ．
（3）利用直尺和圓規，作線段 關於直線 的對
稱圖形 ，如圖所示．

23．本小題主要考查建立二元一次方程組模型解決簡單實際問題的能力，考查基本的代數計算推理能力．滿分12分．
解：（1）設啟動活動前的一個月銷售給農戶的I型冰箱和II型冰箱分別為 、 台．
根據題意得
解得
∴啟動活動前的一個月銷售給農戶的I型冰箱和II型冰箱分別為560台和400台．
（2）I型冰箱政府補貼金額： 元，
II 型冰箱政府補貼金額： 元．
∴啟動活動後第一個月兩種型號的冰箱政府一共補貼金額：
元
答：啟動活動後第一個月兩種型號的冰箱政府一共約補貼農戶 元.

24. 本小題主要考查正方形、矩形、三角形全等等基礎知識,考查計算能力、推理能力和空間觀念．滿分14分．
（1）證明1：在 與 中，
∵ ， ，
∴ ≌ ．
∴ ．
證明2：在 中， ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ．
（2）證明1：將 繞點 順時針旋轉 到 的位置．
在 與 中，
∵ ， ，
，
∴ ≌ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
證明2：延長 至點 ，使 ，連結 ．
在 與 中，
∵ ， ，
∴ ≌ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ≌ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）設 ， ，則 ， ．( )
在 中， ．
∵ 的周長為1，
∴ ．
即 ．
即 ．
整理得 ． （*）
求矩形 的面積給出以下兩種方法：
方法1：由（*）得 ． ①
∴矩形 的面積 ②
將①代入②得

．
∴矩形 的面積是 ．
方法2：由（*）得 ，
∴矩形 的面積
=
=
=
∴矩形 的面積是 ．

25. 本小題主要考查二次函數、解直角三角形等基礎知識，考查運算能力、推理能力和空間觀念．滿分14分．
解：（1）設點 其中 .
∵拋物線 過點 ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ 拋物線 與 軸交於 、 兩點，
∴ 是方程 的兩個實根.
求 的值給出以下兩種方法：
方法1：由韋達定理得： .
∵ 的面積為 ，
∴ ，即 .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
解得 .
∵ .
∴ .
∴所求二次函數的關系式為 .
方法2：由求根公式得 ．
．
∵ 的面積為 ，
∴ ，即 .
∴ ．
∴ .
解得 .
∵ ．
∴ .
∴所求二次函數的關系式為 .
（2）令 ，解得 .
∴ .
在Rt△ 中， ，
在Rt△ 中， ，
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ 是直角三角形．
∴ 的外接圓的圓心是斜邊 的中點．
∴ 的外接圓的半徑 ．
∵垂線與 的外接圓有公共點，
∴ ．
（3）假設在二次函數 的圖象上存在點 ，使得四邊形 是直角梯形．
① 若 ，設點 的坐標為 ， ，
過 作 軸，垂足為 ， 如圖1所示．
求點 的坐標給出以下兩種方法：
方法1：在Rt△ 中，
，
在Rt△ 中， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
．
解得 或 ．
∵ ，
∴ ，此時點 的坐標為 ．
而 ，因此當 時在拋物線 上存在點 ，使得四邊形 是直角梯形．
方法2：在Rt△ 與Rt△ 中， ，
∴Rt△ ∽ Rt△ ．
∴ ．
∴ ．
以下同方法1．
② 若 ，設點 的坐標為 ， ，
過 作 軸，垂足為 ， 如圖2所示，………5分
在Rt△ 中， ，
在Rt△ 中， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
．
解得 或 ．
∵ ，
∴ ，此時點 的坐標為 ．
此時 ，因此當 時，在拋物線 上存在點 ，使得四邊形 是直角梯形．
綜上所述，在拋物線 上存在點 ，使得四邊形 是直角梯形，並且點 的坐標為 或 .

㈢ 初三數學試題及答案

1）因為D是AB中點，且FD⊥AB，所以AF=FB
2)連接FD，CF，因為F為三等分點，所以∠ADF=60°，即三角形CDF為等邊，而C是AD中點，所以AC=CF=DF，即DF⊥AF
3)過點F作FM⊥CE，即FM=√3/2，所以BF=√7
設FH=x，所以BH.BF=BE.BC，即（√7-x）√7=3，x=4√7/7

㈣ 初三數學試題

一、選擇題（共8道小題，每小題4分，共32分）
下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．
1．2的絕對值是
A．2 B．2 C． D．
2．下列運算正確的是
A． B． C． D．
3．如圖，已知直線AB∥CD，CE交AB於點F，∠DCF=110°，且AE=AF，則∠A等於
A． B．C． D．
4．若一個多邊形的每個外角都等於，則它的邊數是
A．6 B．7 C．8 D．9
5．從1、2、3、4、5、6這六個數中隨機取出一個數，取出的數是3的倍數的概率是
A． B． C． D．
6．把代數式分解因式，下列結果中正確的是
A． B． C． D．
7．將二次函數化為的形式，結果為
A． B． C． D．
8．下列圖案給出了折疊一個直角邊長為2的等腰直角三角形紙片（圖1）的全過程：首先對折，如圖2，摺痕CD交AB於點D；打開後，過點D任意折疊，使摺痕DE交BC於點E，如圖3；打開後，如圖4；再沿AE折疊，如圖5；打開後，摺痕如圖6．則摺痕DE和AE長度的和的最小值是

A． B．1+ C．2 D．3
二、填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）
9．在函數中，自變數的取值范圍是 ．
10．若關於x的一元二次方程m x2－3x＋1=0有實數根，則m的取值范圍是 ．
11．如圖，在中，分別是和的中點，是延長線上一點，，交於點，且EG=CG，則 ．
12．如圖，點E、D分別是正三角形ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的一邊延長線和另一邊反向延長線上的點，且BE=CD，DB的延長線交AE於點F，則圖1中∠AFB的度數為 ；若將條件「正三角形、正四邊形、正五邊形」改為「正n邊形」，其他條件不變，則∠AFB 的度數為 ．（用n的代數式表示，其中，≥3，且為整數）

三、解答題（共6道小題，每小題5分，共30分）
13．計算：．
14．解不等式組：
15．已知，求（）（x+2）的值．

16．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
D為AB邊上一點．求證： AE=BD．

17．如圖，已知直線經過點和點，另一條直線
經過點，且與軸相交於點．
求直線的解析式；
（2）若的面積為3，求的值．

18．列方程（組）解應用題
某服裝廠接到加工720件衣服的訂單，原計劃每天做48件，即可順利交貨．但還沒開工，又接到客戶提前5天交貨的要求，所以，每天必需多加工幾件衣服才能按時交貨．問每天應比原計劃多加工多少件衣服？
四、解答題（共4道小題，每小題均5分，共20分）
19．梯形ABCD中DC∥AB， AB =2DC，對角線AC、BD相交於點O， BD=4，過AC的中點H作EF∥BD分別交AB、AD於點E、F，求EF的長.

20．如圖，已知點C在⊙O上，延長直徑AB到點P，連接PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圓弧的中點，求MA的長．

21．某中學開展了一次「誠信做人」的主題演講比賽．賽程共分「預賽、復賽和決賽」三個階段，預賽由各班舉行，全員參加，按統一標准評分．統計後製成「預賽成績統計圖（未畫完整）」，從預賽中各年級產生名選手進行復賽，成績見「復賽成績統計表」．（採用分制，得分都為分以上的整數．）

（1）如果將九年級預賽成績製成扇形統計圖，則「分以上的人數」對應的圓心角度數是___________．
（2）如果八年級復賽成績在分以上的人數是預賽時同類成績人數的，請補全預賽成績統計圖．
（3）復賽成績中，七年級選手的成績的中位數是___________；九年級選手的成績的眾數是 ．
22．如圖，一個橫截面為Rt△ABC的物體，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米，師傅要把此物體搬到牆邊，先將AB邊放在地面（直線m上），再按順時針方向繞點B翻轉到△B的位置（B在m上），最後沿射線B的方向平移到△的位置，其平移距離為線段AC的長度（此時，恰好靠在牆邊）．
（1）直接寫出AB、AC的長；
（2）畫出在搬動此物體的整個過程中A點所經過的路徑，
並求出該路徑的長度．

五、解答題（共3道小題，第23小題6分，第24，25小題各8分，共22分）
23． 如圖，在△ABC中，BC=3，AC=2，P為BC邊上一個動點，過點P作PD∥AB，交AC於點D，連結BD．
（1）如圖1，若∠C=45°，請直接寫出：當= 時，
△BDP的面積最大；
（2）如圖2，若∠C=α為任意銳角，則當點P在BC上何處時，
△BDP的面積最大？

24．現場學習：我們知道，若銳角α的三角函數值為sinα = m，則可通過計算器得到角α的大小，這時我們用arc sin m來表示α，記作：α=arc sin m；若cos α = m，則記α = arc cos m；若tan α = m，則記α = arc tan m．
解決問題：如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB上一動點，點F在AB邊或其延長線上，點G在邊AD上．連結ED，FG，交點為H．
（1）如圖1，若AE=BF=GD，請直接寫出∠EHF= °；
（2）如圖2，若EF =CD，GD=AE，設∠EHF=α．請判斷當點E在AB上運動時， ∠EHF的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出α．

25.如圖1，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OMN的斜邊ON在x軸上，頂點M的坐標為（3，3），MH為斜邊上的高．拋物線C：與直線及過N點垂直於x軸的直線交於點D．點P（m，0）是x軸上一動點，過點P作y軸的平行線，交射線OM與點E．設以M、E、H、N為頂點的四邊形的面積為S．
（1）直接寫出點D的坐標及n的值；
（2）判斷拋物線C的頂點是否在直線OM上？並說明理由；
（3）當m≠3時，求S與m的函數關系式；
（4）如圖2，設直線PE交射線OD於R，交拋物線C於點Q，
以RQ為一邊，在RQ的右側作矩形RQFG，其中RG=，
直接寫出矩形RQFG與等腰直角三角形OMN重疊部分為
軸對稱圖形時m的取值范圍．

數學試卷參考答案及評分標准 2011.5
一、選擇題（共8道小題，每小題4分，共32分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C B A D A
二、填空題（共4道小題，每小題4分，共16分）

9 10 11 12
x≠1 2 60°，

22．解：（1）AB=2米， AC=米.
（2）A點的路徑如圖中的粗線所示，
路徑長為（）米.

五、解答題（共3道小題，第23小題6分，第24，25小題各8分，共22分）
23.解：（1）. ……………………2分
（2）如圖2，過點D作DE⊥BC於E． ……………3分
∴∠DEC=90 °.
設PB=x.
∵BC=3，
∴PC=3-x.
∵PD∥AB，
∴.
∴.
∴.
在Rt△DEC中, ∠DEC =90°, ∠C=α,
∴DE=. ……………………4分
∴S△BDP==. ……………………5分
∵α為任意銳角,
∴0＜sina＜1.
∴.
∴當x=時，S△BDP 有最大值．
即P在BC中點時，△BDP的面積最大．……………………6分

24. （1）45°；…………………… 2分
（2）答：不會變化.
證明：如圖2，過點F作FM∥ED交CD於M,連接GM.
∵ 正方形ABCD中，AB∥CD,
∴ 四邊形EFMD為平行四邊形. ……………3分
∴EF=DM， DE=FM.
∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α.
∵EF =CD，GD=AE，
∴.
∴
∵∠A=∠GDM=90°,
∴△DGM∽△AED. ……………………5分
∴∠1=∠2
∴
∵∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠1+∠4=90°．
∴∠GMF=90°．
在Rt△GFM中, tan α = ．……………………7分

∴α = arc tan.……………………8分

25.解：(1)D(6,3),n=2. ……………………2分
(2) 設直線OM的解析式為y=kx, k≠0.
∵M(3,3)在直線OM上，
∴y=x.
即直線OM的解析式為：y=x.
∵的頂點坐標為（4,4），
∴拋物線C的頂點在直線OM上． ……………………4分
（3）∵點E在OM上，
當x=m時，y=m，
∵PE⊥x軸，
∴EP=m.
∴S==. ……………………6分
(4) m取值范圍：m=,m=,3≤m＜4． …………8分