初中數學二次函數

Ⅰ 初中數學 二次函數

因為 拋物線與x軸沒有交點
所以 b的平方-4ac小於0
所以 -2的平方-2a小於0
所以 解得a大於1
根據頂點公式（-2a/b , 4a/4ac-b的平方）
將拋物線帶入後化簡得到（1/a ,a-1/a）
因為 a大於1
所以 1/a大於0，a-1/a大於0
兩坐標都大於0是正數，所以在第一象限。

沒法拍照只能打字了，望採納、諒解。【註：/表示分數線，如-2a/b指負2a分之b】

Ⅱ 初中數學二次函數公式

二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數的圖象
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x�0�5的圖象，
可以看出，二次函數的圖象是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2;+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2;+bx+c=0
此時，函數圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

Ⅲ 初中數學，二次函數

(1)y＝4x+4
當y＝0時，x＝-1
當x＝0時，y＝4
∴A(-1，0) B(0，4)
將點B向右平移5個單位，縱坐標不變，回橫坐標增加答5
∴C(5，4)
(2)y＝ax²+bx-3a經過點A
將A(-1，0)帶入方程得：
0＝a-b-3a＝-2a-b
∴-2a＝b
對稱軸為x＝-b/2a＝-(-2a)/2a＝1

Ⅳ 初中數學二次函數

根據題意可知直線OB和X軸的夾角為60°，即OB斜率=tan60°=√3，
∴直線OB：y=√3X，與拋物線y=√3X^2交於B點，
所以√3X=√3X^2，可知X>0，
所以X=1，y=√3，B為（1，√3）。

Ⅳ 初中數學二次函數

二次函數
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數，y是x的函數
二次函數的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）] 對於二次函數y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA>
交點式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限於與x軸有交點A（x₁ ，0）和 B（x₂，0）的拋物線]
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
______
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點坐標
(0，0)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)
對 稱 軸
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
中考典例
1．(北京西城區)拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是( )
(A)直線x=1 (B)直線x=-1 (C)直線x=2 (D)直線x=-2
考點：二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸．
評析：因為拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸方程是：y=-，將已知拋物線中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故選項A正確．
另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x-h)2+k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=(x-1)2，所以對稱軸x=1，應選A．
2．( 北京東城區)有一個二次函數的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點：
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；
丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．
請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數解析式： ．
考點：二次函數y=ax2+bx+c的求法
評析：設所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，且設x1＜x2，則其圖象與x軸兩交點分別是A(x1，0)，B(x2，0)，與y軸交點坐標是(0，ax1x2).
∵拋物線對稱軸是直線x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①
∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
①②兩式相加減，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整數，ax1x2也是整數，∴ax1x2是3的約數，共可取值為：±1，±3。
當ax1x2=±1時，x2=7，x1=1，a=±
當ax1x2=±3時，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式為：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
說明：本題中，只要填出一個解析式即可，也可用猜測驗證法。例如：猜測與x軸交點為A(5，0)，B(3，0)。再由題設條件求出a，看C是否整數。若是，則猜測得以驗證，填上即可。
5．( 河北省)如圖13-28所示，二次函數y=x2-4x+3的圖象交x軸於A、B兩點，交y軸於點C，則△ABC的面積為( )
A、6 B、4 C、3 D、1
考點：二次函數y=ax2+bx+c的圖象及性質的運用。
評析：由函數圖象可知C點坐標為(0，3)，再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B兩點之間的距離為2。那麼△ABC的面積為3，故應選C。
圖13-28
6．( 安徽省)心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數關系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越強。
(1)x在什麼范圍內，學生的接受能力逐步增強？x在什麼范圍內，學生的接受能力逐步降低？
(2)第10分時，學生的接受能力是什麼？
(3)第幾分時，學生的接受能力最強？
考點：二次函數y=ax2+bx+c的性質。
評析：將拋物線y=-0.1x2+2.6x+43變為頂點式為：y=-0.1(x-13)2+59.9，根據拋物線的性質可知開口向下，當x≤13時，y隨x的增大而增大，當x>13時，y隨x的增大而減小。而該函數自變數的范圍為：0≤x≤30，所以兩個范圍應為0≤x≤13；13≤x≤30。將x=10代入，求函數值即可。由頂點解析式可知在第13分鍾時接受能力為最強。解題過程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，當0≤x≤13時，學生的接受能力逐步增強。
當13＜x≤30時，學生的接受能力逐步下降。
(2)當x=10時，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分時，學生的接受能力為59。
(3)x=13時，y取得最大值，
所以，在第13分時，學生的接受能力最強。
9．( 河北省)某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請解答以下問題：
(1)當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
(2)設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函數關系式(不必寫出x的取值范圍)；
(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？
解：(1)當銷售單價定為每千克55元時，月銷售量為：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月銷售利潤為
:(55–40)×450=6750(元)．
(2)當銷售單價定為每千克x元時，月銷售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤是:(x–40)元，所以月銷售利潤為：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元)，
∴y與x的函數解析式為：y =–10x2+1400x–40000．
(3)要使月銷售利潤達到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
當銷售單價定為每千克60元時，月銷售量為：500–(60–50)×10=400(千克)，月銷售成本為：
40×400=16000(元)；
當銷售單價定為每千克80元時，月銷售量為：500–(80–50)×10=200(千克)，月銷售單價成本為：
40×200=8000(元)；
由於8000＜10000＜16000，而月銷售成本不能超過10000元，所以銷售單價應定為每千克80元．

Ⅵ 初三數學二次函數

(1)
∵△=[-（m^2+5)]^2-4(2m^2+6)=m^4+10m^2+25-8m^2-24=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2>0
∴y=x^2-（m^2+5)x+(2m^2+6)與x軸有個交點
∵2^2-2（m^2+5)+(2m^2+6)=0，
∴點（2,0）在y=x^2-（m^2+5)x+(2m^2+6)圖像上，
即（2,0）是y=x^2-（m^2+5)x+(2m^2+6)圖像與x軸的一個交點
(2)
圖像與x軸兩交點的橫坐標即方程x^2-（m^2+5)x+(2m^2+6)=0的兩個根
x1=[（m^2+5)-√｛[-（m^2+5)]^2-4(2m^2+6)｝]/2
=[（m^2+5)-√(m^2+1)^2]/2
=[（m^2+5)-(m^2+1)]/2
=2
x2=[（m^2+5)+√｛[-（m^2+5)]^2-4(2m^2+6)｝]/2
=[（m^2+5)+(m^2+1)]/2
=m^2+3
或x^2-（m^2+5)x+(2m^2+6)=x^2-（2+m^2+3)x+2（m^2+3)=(x-2)[x-（m^2+3)]
∴x2=m^2+3
d=x2-x1=(m^2+3)-2=m^2+1
(3)
d=m^2+1=10，則m=±3，m^2+3=12
A(2,0)，B(12,0)，函數為y=x^2-14x+24即y=(x-7)^2-25
∵P(a,b)在函數圖像上，
∴b=(a-7)^2-25
∴△APB為直角三角形時，|AP|^2+|BP|^2=|AB|^2
即[(a-2)^2+b^2]+[(a-12)^2+b^2]=10^2
2a^2-28a+148+2b^2=100
a^2-14a+24+b^2=0
b^2+b=0
b=0（舍）或b=-1
【此處也可以用「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半」——(a-7)^2+b^2=5^2,更快】
b<-1時為銳角三角形
-1<b<0時為鈍角三角形
先做一個，太晚了。

再做吧，鏈接15
(1)
【函數解析式有兩個待定系數（字母a和b，那麼，有兩個條件就可以確定了】
A（1,0）和C（4,3）都在拋物線上，所以
0=a*1^2+b*1+3
3=a*4^2+b*4+3
即 a+ b=-3
16a+4b=0
解得a=1,b=-4
拋物線為y=x^2-4x+3
(2)
由x^2-4x+3=0解得x1=1，x2=3，即B（3,0）
因為A、B關於對稱軸x=2對稱，所以BD=AD，所以BC+BD+DC=BC+AD+DC
當對稱軸上點D落在AC上時，∴△BCD周長最短
直線AC為y-0=[(3-0)/(4-1)](x-1)，即y=x-1
由y=x-1和x=2，得D（1,1）
（3）
與y=x-1平行的直線y=x+m與拋物線相切，有方程組
y=x^2-4x+3
y=x+m
只有一組解（重根）
x^2-4x+3=x+m
即x^2-5x+(3-m)=0
△=0即5^2-4*(3-m)=0,
m=-13/4
x^2-5x+(3+13/4)=0
x=5/2,y=5/2-13/4=-3/4，即平行於AC的拋物線的切線y=x-13/4與拋物線相切於E（5/2，-3/4），這時△ACE面積最大
連EC，則直線EC為y-3=[(-3/4-3)/(5/2-4)](x-4)
即y-3=[(-15/4)/(-3/2)](x-4)
y-3=(5/2)(x-4)
y=5x/2-7
令y=0,得x=14/5,即EC交x軸於F（14/5，0）
|AF|=9/5
S△ACE=S△AFC+S△AFE=(1/2)*(9/5)*3+(1/2)*(9/5)*|-3/4|=(9/10)*(3+3/4)=(9/10)*(15/4)=27/8
【驗算】
AC:x-y-1=0,E(x,x^2-4x+3),
d=(1/√2）|x-(x^2-4x+3)-1|
=|x^2-4x+3-x+1|/(√2)
=|x^2-5x+4|/(√2)
=|(x-5/2)^2-9/4|/(√2)
因為x∈[1,4],所以當x=5/2時，d有最大值9(√2)/4,S有最大值（1/2)*(3√2)*[9(√2)/4]=27/8

Ⅶ 初中數學二次函數 a、b、c的作用

o二次函數y＝ax²＋bx＋c﹙a≠0﹚
⑴a＞0，圖象開口向上，y有最小值，
a＜0，圖象開口向下，y有最大值；
⑵對稱軸x＝﹣b／2a，
①若對稱軸在y軸右邊，則﹣b／2a＞0，這時a、b異號，
②若對稱軸在y軸左邊，則﹣b／2a＜0，這時a、b同號，
③b＝0，對稱軸為y軸；
⑶c為圖象與y軸的交點的縱坐標，
①c＞0交點在y軸的正半軸上，
②c＜0交點在y軸的負半軸上，
③c＝0圖象經過原點；
⑷當x＝1時，y＝a＋b＋c，
①圖象與直線x＝1的交點在x軸上方，則a＋b＋c＞0，
②圖象與直線x＝1的交點在x軸下方，則a＋b＋c＜0，
⑸當x＝﹣1時，y＝a－b＋c，
①圖象與直線x＝﹣1的交點在x軸上方，則a÷b＋c＞0，
②圖象與直線x＝﹣1的交點在x軸上方，則a÷b＋c＜0，
⑹圖象與x軸的交點
①當b²－4ac＞0時，圖象與x軸有2個交點，
②當b²－4ac＝0時，圖象與x軸有1個交點，
③當b²－4ac＜0時，圖象與x軸沒有交點。
供參考

Ⅷ 初中數學（二次函數）

1.
拋物線y=a[x-(t+1)]²+t²，得頂點A(t+1，t²)
點A代入拋物線y=x²-2x+1，有(t+1)²-2(t+1)+1=t²
該等式成立，所以點A在拋物線y=x²-2x+1上

2.1.
拋物線y=x²-2x+1=(x-1)²，得頂點B(1，0)
點B代入拋物線y=a[x-(t+1)]²+t²，有a[1-(t+1)]²+t²=0，即at²+t²=0
t≠0，則a+1=0，得a=-1

2.2.
拋物線頂點到它與x軸兩交點的距離相等，則該直角三角形是頂點A為直角的等腰直角三角形。易知頂點到x軸距離為x軸上兩交點距離的一半。
y=-[x-(t+1)]²+t²=-{[x-(t+1)]²-t²}=-[x-(t+1)+t][x-(t+1)-t]=-(x-1)[x-(2t+1)]
拋物線與x軸兩交點分別是(1，0)、(2t+1，0)，頂點A(t+1，t²)
則兩交點的距離是|1-(2t+1)|=2|t|，頂點A(t+1，|t|)
有t²=|t|，得t=±1