數學極限概念
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在高等數學中，極限是一個重要的概念。
極限可分為數列極限和函數極限，分別定義如下。
首先介紹劉徽的"割圓術",設有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計算方法的情況下，要計算其面積。為此，他先作圓的內接正六邊形，其面積記為A1，再作內接正十二邊形，其面積記為A2，內接二十四邊形的面積記為A3，如此將邊數加倍，當n無限增大時，An無限接近於圓面積，他計算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An] (n=1，2，3....)得到圓周率=3927/1250約等於3.1416
數列極限：
設是一數列，如果存在常數a，當n無限增大時，an無限接近（或趨近）於a，則稱數列收斂，a稱為數列的極限，或稱數列收斂於a，記為liman=a。或：an→a，當n→∞。
數列極限的性質：
1.唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的；
2.改變數列的有限項，不改變數列的極限。
幾個常用數列的極限：
an=c 常數列 極限為c
an=1/n 極限為0
an=x^n 絕對值x小於1 極限為0
函數極限的專業定義:
設函數f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函數值f(x)都滿足不等式：
|f(x)-A|<ε
那麼常數A就叫做函數f(x)當x→x。時的極限。
函數極限的通俗定義：
1、設函數y=f(x)在(a,+∞)內有定義，如果當x→+∽時，函數f(x)無限接近一個確定的常數A，則稱A為當x趨於+∞時函數f(x)的極限。記作lim f(x)＝A ，x→+∞。
2、設函數y=f(x)在點a左右近旁都有定義，當x無限趨近a時（記作x→a），函數值無限接近一個確定的常數A，則稱A為當x無限趨近a時函數f(x)的極限。記作lim f(x)=A ，x→a。
函數的左右極限：
1：如果當x從點x=x0的左側（即x〈x0）無限趨近於x0時，函數f(x)無限趨近於常數a,就說a是函數f(x)在點x0處的左極限，記作x→x0-limf(x)=a.
2:如果當x從點x=x0右側（即x>x0)無限趨近於點x0時，函數f(x)無限趨近於常數a,就說a是函數f(x)在點x0處的右極限，記作x→x0+limf(x)=a.
註：若一個函數在x（0）上的左右極限不同則此函數在x（0）上不存在極限
函數極限的性質：
極限的運演算法則（或稱有關公式）：
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等於0 )
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在時才成立
lim(1+1/x)^x =e
x→∞
lim(1+1/x)^x =e
x→0
無窮大與無窮小：
一個數列（極限）無限趨近於0，它就是一個無窮小數列（極限）。
無窮大數列和無窮小數列成倒數。
兩個重要極限：
1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→0
2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→0 （e≈2.7182818...，無理數）
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舉兩個例子說明一下
一、0.999999……＝1？
誰都知道1/3＝0.333333……，而兩邊同時乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看著別扭，因為左邊是一個「有限」的數，右邊是「無限」的數。
二、「無理數」算是什麼數？
我們知道，形如根號2這樣的數是不可能表示為兩個整數比值的樣子的，它的每一位都只有在不停計算之後才能確定，且無窮無盡，這種沒完沒了的數，大大違背人們的思維習慣。
結合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來界定和研究這種「沒完沒了」的數，這就產生了數列極限的思想。
類似的根源還在物理中（實際上，從科學發展的歷程來看，哲學才是真正的發展動力，但物理起到了無比推動作用），比如瞬時速度的問題。我們知道速度可以用位移差與時間差的比值表示，若時間差趨於零，則此比值就是某時刻的瞬時速度，這就產生了一個問題：趨於無限小的時間差與位移差求比值，就是0÷0，這有意義嗎（這個意義是指「分析」意義，因為幾何意義頗為直觀，就是該點切線斜率）？這也迫使人們去為此開發出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。
真正現代意義上的極限定義，一般認為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當時是一位中學數學教師，這對我們今天中學教師界而言，不能不說是意味深長的。
幾個常用數列的極限
an=c 常數列 極限為c
an=1/n 極限為0
an=x^n 絕對值x小於1 極限為0
2. 高中數學 極限概念是什麼
1. 數列極限:當項數n無限增大時,無窮數列的項無限趨近於某個常數A,那麼就說數列的極限是A.
如:1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,6/7....的極限是1
2. 1/2 ,4/3, 3/4, 6/5, 5/6 ......是一個波動數列.1/2 , 3/4, 5/6 ...從1的左邊無限趨向於1,4/3, 6/5, 8/7...從1 的右邊無限趨向於1.所以這個 波動數列的極限是1.
3. 正無窮大和負無窮大,還有2+表示從2的右邊趨向於2,2-表示從2的左邊趨向於2.
函數極限：
設f為定義在[a,+∞)上的函數，A為定數。若對任給的ε>0，存在正數M（>=a)，使得當x>M時有：
|f(x)-A|<ε，
則稱函數f當x趨於+∞時以A為極限，記作
lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)
3. 數學極限與連續的概念
「極限」是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的「極限」內是指「無限靠近而永遠不容能到達」的意思。數學中的「極限」指：某一個函數中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而「永遠不能夠重合到A」（「永遠不能夠等於A，但是取等於A『已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變數的變化，被人為規定為「永遠靠近而不停止」、其有一個「不斷地極為靠近A點的趨勢」。極限是一種「變化狀態」的描述。此變數永遠趨近的值A叫做「極限值」（當然也可以用其他符號表示）。
在數學中，連續是函數的一種屬性。直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數（或者說具有不連續性）。
常用的連續性的最根本定義是在拓撲學中的定義，在條目連續函數 (拓撲學)中會有詳細論述。在序理論特別是域理論中，有從這個基礎概念中得出的另一種抽象的連續性：斯科特連續性。
4. 數學上「極限」的概念是
如果用y=f(x)來表示某個函數，極限一般來說是討論x趨向正無窮大、負無窮大時，y的取值。
比如說：y=f(x)=1/x
如果x向正無窮大跑，那麼y的值會越來越小，最後y=0(當x趨於無窮大時）
如果x向負無窮大跑，那麼y的值也會越來越小，最後y=-0，所以y=0
5. 高中數學極限概念
1. 數列極限:當項數n無限增大時,無窮數列的項無限趨近於某個常數A,那麼就說數列的極限是A.
如:1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,6/7....的極限是1
2. 1/2 ,4/3, 3/4, 6/5, 5/6 ......是一個波動數列.1/2 , 3/4, 5/6 ...從1的左邊無限趨向於1,4/3, 6/5, 8/7...從1 的右邊無限趨向於1.所以這個 波動數列的極限是1.
3. 正無窮大和負無窮大,還有2+表示從2的右邊趨向於2,2-表示從2的左邊趨向於2.
6. 數學 極限的定義 高分！！
1. An=0.99..9=1-1/10^n
用定義證就是任取e>0,一定能夠找到N，當n>N時，|An-1|=1/10^n<e，
這不難證明。
2.因為||un|-|a||<=|un-a|
所以若|un-a|可以小於任意給定的正數e，那麼||un|-|a||也能。
因此|un|的極限為|a|.
但是反之不成立，比如un是數列：-1，1，-1，1，-1，1,...
顯然它沒有極限,但是|un|是數列：1，1，1，1，...
有極限等於1.
7. 大學數學極限定義
其實這個也不能說是用極限的角度就可以解釋的，嚴格地來說，1=0.9...是對1的另一種記號方式。我們知道，0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999這樣不斷下去，對於任意比一小的數a，必定可以找到比a大的某一項，這個數列的極限為1.於是我們假定一個數0.9...，就是這個數列不斷重復下去的一個無限的某項，那對於任意比1小的數a，0.9...必定會比它大。所以，我們把1記為0.9...。所以，要麼認為0.9...是不存在的，要麼認為1=0.9...。這樣規定後，使得每個實數都可以用無限小數來表示，使實數更加的統一。
8. 高等數學的極限定義是什麼意思
定義：
設{Xn}為一無窮來數源列，如果存在常數a對於任意給定的正數ε（不論它多麼小），總存在正整數N，使得當n>N時的一切Xn，均有不等式|Xn - a|<ε成立，那麼就稱常數a是數列{Xn}的極限，或稱數列{Xn}收斂於a。記為lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）。
(8)數學極限概念擴展閱讀
』極限思想』方法，是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是『數學分析』與在『初等數學』的基礎上有承前啟後連貫性的、進一步的思維的發展。
數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體的體積等問題），正是由於其採用了『極限』的『無限逼近』的思想方法，才能夠得到無比精確的計算答案。
人們通過考察某些函數的一連串數不清的越來越精密的近似值的趨向，趨勢，可以科學地把那個量的極准確值確定下來，這需要運用極限的概念和以上的極限思想方法。
9. 數學上的極限 是什麼意思
數學中的「極限」指：某一個函數中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而「永遠不能夠重合到A」（「永遠不能夠等於A，但是取等於A『已經足夠取得高精度計算結果）的過程中。
此變數的變化，被人為規定為「永遠靠近而不停止」、其有一個「不斷地極為靠近A點的趨勢」。極限是一種「變化狀態」的描述。此變數永遠趨近的值A叫做「極限值」（當然也可以用其他符號表示）。
以上是屬於「極限」內涵通俗的描述，「極限」的嚴格概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。
(9)數學極限概念擴展閱讀：
極限思想簡介：
極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。
所謂極限的思想，是指「用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想」。
用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：
對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的』影響『趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量；
用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。
極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。
如果要問：「數學分析是一門什麼學科」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。
10. 大學高等數學同濟第七版中極限的概念怎麼理解
通俗的理解就是當自變數x趨近於a(或∞)時，y趨近於某個常數c，y趨近於∞時叫極限不存在。
再通俗的解釋，當x越來越靠近a時，y越來越靠近c