數學概念教學
●李文革*概念是數學知識的重要組成部分，學好數學概念是學好數學的前提和基礎。如何讓學生正確理解數學概念是數學教育最重要的目的之一，也是教師的主要教學任務之一。那麼，呢？一、注意展示數學概念的形成過程在數學中，許多概念既表現為一種過程，又表現為對象、結構。例如：「a+b」既代表兩個集合中的元素合並或添加起來的過程，又代表合並或添加後的結果；「旋轉或平移」既代表一個幾何圖形在平面內作特定位移的過程，又代表這種特定的變換本身。形成一個概念，往往要經歷由過程開始，然後轉變為對象的認知過程，而且最終結果是兩者在認知結構中共存，在適當的時機分別發揮作用。例如，形成軸對稱概念，學生先要熟悉翻折變換的過程，然後再將對稱關系看成圖形的性質。由過程著手進行學習的好處是，概念在過程階段表現為一系列的固定步驟，具有操作性，相對直觀，容易仿效。從過程入門，經過操作來體會概念中信息的具體關系和相互影響，就打開了認識上升的道路。概念學習應通過對學生已接觸到的恰當的實例進行組織整理，分析歸納，分類抽象來教，即須用實例來直觀地幫助學生形成定義，而不是教定義。例如，方程的教學本應該先是進行生活的提煉，然後到數學表達和形式化的過程，再到最終解決方程問題。然而，長期以來，教材對方程教學過程的設計處理太理想化了。很多教師往往會先給出形式化的方程定義，然後解形式化的方程，最後再進行方程的應用。這種方程教學設計的一個誤區在於把思路搞反了。數學概念的教學應當遵循人的一般認識規律，從具體到抽象。通過直接給出概念定義的方法引入概念往往會給學生的理解帶來困難。例如，教材通過直接給出絕對值的定義引入絕對值概念，它的定義是：「一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零。」用式子表示就是a(a＞0)，|a|= 0(a=0)，－a(a＜0)。這個定義同時給出了運演算法則。一些教師也常常就是以這個定義來教的。當學生在求絕對值出現錯誤時，就認為學生還未能熟悉運演算法則。而實質上，學生掌握這個概念有困難，可能是由於這個概念的獲得過程與常識概念的形成過程次序相反而造成的。二、重視概念表象概念定義和概念表象是數學概念獲取的兩種主要方式，它們在幫助學生形成概念方面共同發揮著作用。概念定義以語言為途徑，對概念作逐字逐句的界定，規定其內涵，具有抽象性和嚴密性。但是，對於信息的回憶和實時加工來說，冗長且「啰嗦」，限制較大。概念表象是利用直觀形象為工具，象徵性地代表概念，在回憶加工時顯得簡潔明快，約束較小。在概念學習和運用的過程中，應該注意藉助表象這個直觀的思維媒介，減輕思想負擔。在實際教學中，教師往往非常強調概念定義，在課堂上要學生念定義、背定義，考試也時常考定義，似乎利用這些手段可以促進學生理解，解決概念的運用問題。但是，定義在輔助思考中的作用是有限的。學習中概念名稱的出現在記憶中喚起的不是概念的定義（即使概念有定義），而是概念表象，它可以是視覺表象，思維圖形，或是一個印象、一種經驗，例如一個模型，一條曲線，一個符號，一組變化動作。例如，講到「函數」時，腦海中最先跳出的可能是符號f，或是某一個公式，也可能是一條曲線。實際生活中，許多概念並不是通過定義學到的，而是接觸了大量實例，經反復觀察、對比體會後歸納出來的。例如「杯子」這個概念，就是了解各種形狀、材料、大小的盛器，並與碗、缸、瓶等比較、區分後逐步形成的。數學教學不能脫離嚴格定義，但嚴格的數學定義並未顯示出對象真正的實在性。為了掌握和評價概念，還需要實在的直覺。例如，當教師說，「圓是平面上到定點等距的點的軌跡」時，大多數學生一開始可能不會理解其意思。但當教師在黑板上畫一個圓時，大家會說：「原來就是這么一個東西。」因此，進行概念教學時必須引導學生建立合適的概念表象。好的表象的全面把握和靈活運用，真正能體現學生的理解能力。數學教師不同於數學家的一個方面在於，我們不是要創造新的概念，而是要創造理解。善於將數學概念的抽象定義轉換成易於學生理解和運用的適當的心理表象，幫助學生靈活地掌握概念，這就是我們應做好的創造性的工作。三、淡化純文字敘述實際生活中的很多概念「只可意會，不可言傳」，是無法用文字語言表述的。例如「板凳」，如果我們要求把板凳搬過來，就連兩三歲的小孩也不會把「桌子」搬過來。但是，如果我們給「板凳」來一個文字表述界定，當我們要求把板凳搬過來時，就連我們的學生也會感到左右為難，不知是搬「桌子」，還是搬「板凳」。因此，數學教學中要淡化純文字敘述，減少學生的學習負擔。例如，「平方差公式」，「（a+b）（a-b）=a2-b2」就是它的一個很好的表象，學生能夠抓住這個式子的特點並靈活運用，教學目標就達到了，如果還要來一個文字表述就沒有必要了。再例如「同位角、內錯角、同旁內角」，學生只要在圖形中能區分哪些是同位角、內錯角、同旁內角就足夠了，對這三個概念來一個文字表述，對學生的理解和掌握可能反而還有負面影響。
B. 如何做好數學概念教學設計
數學概念是數學教材結構的最基本的因素，正確理解數學概念，是掌握數學基礎知識的前提．學生如果不能正確地理解數學中的各種概念，就不能很好地掌握各種法則、公式、定理，也就不能應用所學知識去解決實際問題．因此，抓好數學概念的教學，是提高數學教學質量的關鍵．
數學概念比較抽象，初中學生由於年齡、生活經驗和智力發展等方面的限制，要接受教材中的所有概念是不容易的．況且有的教師在教學過程中，不注意結合學生心理發展特點去分析事物的本質特徵，只是照本宣科地提出概念的正確定義，缺乏生動的講解和形象的比喻，對某些概念講解不夠透徹，使得一些學生對概念常常是一知半解、模糊不清，也就無法對概念正確地理解、記憶和應用．下面就如何做好數學概念的教學工作談幾點體會．
1．運用具體實物或模型，形象地講述新概念
概念屬於理性認識，它的形成依賴於感性認識，學生的心理特點是容易理解和接受具體的感性認識．教學過程中，各種形式的直觀教學是提供豐富、正確的感性認識的主要途徑．所以在講述新概念時，從引導學生觀察和分析有關具體實物入手，比較容易揭示概念的本質和特徵．例如，在講解「梯形」的概念時，教師可結合學生的生活實際，引入梯形的典型實例（如梯子、堤壩的橫截面等），再畫出梯形的標准圖形，讓學生獲得梯形的感性知識．這種形象的講述符合認識規律，學生容易理解，給學生留下的印象也比較深刻．
2．利用學生原有的概念，幫助學生理解新概念
教學中許多新的數學概念，都可以從學生原有的概念中導出．例如，在學生已經學了平行四邊形概念的基礎上引入矩形、菱形的概念，就不必再從實物、實例引入，學生原有的平行四邊形概念（種概念）與新概念（屬概念）的聯系十分緊密，教師只需抓住它們的本質作簡要說明，就可以使學生建立起新的概念，在此基礎上通過講解例題便可以使新概念獲得鞏固．
3．利用概念中的關鍵字、詞，幫助學生掌握概念
數學概念中的某些字、詞的含義，為我們提供了記憶概念本質屬性的直觀材料，強調概念中具有這種特徵的字和詞，能有效地理解和記憶概念的本質特徵．例如，「一元二次方程」這個概念本身具有「一元」、「二次」、「方程」3個關鍵詞，抓住這3個特徵，學生自然也就掌握了這個概念．又如三角形的內切圓、外接圓中的「內」、「外」分別指出了圓在三角形內部、外部；「切」、「接」分別指出了圓與三角形的3條邊相切，圓與三角形的3個頂點相接．教學中著重強調這些字詞，使學生一看到這一概念，就會聯想到這一概念是如何定義的．
4．合理運用變式突出概念的本質特徵，使學生准確理解概念
「變式」是指從不同角度、方面和方式變換事物呈現的形式，以便揭示其本質屬性．例如，在講解初二幾何中三角形的高這一概念時，就可運用變式提供給學生各種典型的直觀材料，或者不斷變換高所呈現的形式，通過不同的形式反映其本質屬性．通過多種形式的變換，三角形各邊的高是「對角的頂點向這邊作垂線」這一本質屬性就被正確地揭示出來了，這樣能使學生獲得的概念更精確．在幾何概念的教學中，課本中表示概念的圖形往往是常規的，如不考慮變式，學生的辨圖識圖能力將受到限制，表現為擴大或縮小概念的處延．通過變式，可使圖形的本質屬性保持恆在，非本質特徵得到變異，有利於學生對事物的本質特徵的把握．
5．通過比較，使學生正確地理解概念
如果說變式是從材料方面促進學生的理解，比較則是從方法方面促進學生的理解．對於一些容易混淆的概念，通過比較可以了解它們之間的區別與聯系，使其本質特徵更清晰例如，在講解梯形的概念時，可要求學生比較梯形與平行四邊形兩種圖形的相同點和不同點．學生通過比較和總結不難得出，兩種圖形的相同點是：它們都是四邊形，都至少有一組對邊平行；不同點是：平行四邊形的兩組對邊分別都平行，而梯形只有一組對邊平行，另一組對邊不平行．通過比較這兩個概念的異同點，學生很容易抓住它們的本質屬性，促進對概念的理解和記憶．
6．在應用中加深對概念的理解，培養學生的數學能力對數學概念的深刻理解，是提高學生的解題能力的基礎；反之，也只有通過解題，學生才能加深對概念的認識，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內涵和外延．課本中直接運用概念解題的例子很多，教學中要充分利用．同時，對學生在理解方面易出錯誤的概念，要設計一些有針對性的題目，通過練習、講評，使學生對概念的理解更深刻、更透徹．
總之，數學概念的教學是整個數學教學的一個重要環節，正確地理解數學概念是掌握數學知識的前提．教師只有把數學概念講清楚、講准確，讓學生深刻理解概念的內涵，准確掌握概念的外延，才能使學生從根本上提高分析問題和解決問題的能力．
C. 如何做好數學概念教學
概念是客觀事物本質屬性在人們頭腦中的反映。數學概念是反映現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式。在中學數學教學中，正確理解數學概念是掌握數學知識的前提，是學好定理、公式、法則和數學思想的基礎，搞清概念是提高解題能力的關鍵。只有對概念理解得深透，才能在解題中做出正確的判斷。初中數學教學內容里有大量的數學概念，它既是數學教學的重要環節，又是數學學習的核心。因此，作為教師在教學中必須加強數學概念的教學。
一、做好概念的引入
1.從實際引入。概念屬於理性認識，它的形成依賴於感性認識，學生的心理特點則是容易理解和接受具體的感性認識，所以在講述新概念時，從引導學生觀察和分析有關具體實物入手，比較容易揭示概念的本質和特徵。例如，講「數軸」的概念時，教師可模仿秤桿上用點表示物體的重量。秤桿具有三個要素：①度量的起點；②度量的單位；③明確的增減方向。這樣以實物啟發人們用直線上的點表示數，從而引出了數軸的概念，讓學生從先對概念的現實原型有所感受，再將抽象的特徵濃縮成數學概念。教學過程中，各種形式的直觀教學是提供豐富、正確的感性認識的主要途徑。
2.從舊概念的基礎上引入。在教學新概念前，如果能對學生認知結構中原有的適當概念作一些類比引入新概念，則有利於促進新概念的形成。例如：在教學一元二次方程時，可先復習一元一次方程，因為一元一次方程是基礎，一元二次方程是延伸，復習一元一次方程是合乎知識邏輯的，二者的差異僅在於未知數的最高次數不同，因此很容易建立一元二次方程的概念。
二、抓住概念的本質
1.揭示含義，突出關鍵詞。數學概念嚴謹、准確、簡練。教師的語言對於學生感知教材、形成概念具有重要的意義，因此要特別注意用詞的嚴格性和准確性。教師要用生動、形象的語言講清概念中關鍵的字、詞、句的意義，這是指導學生掌握概念並認識概念的前提。
例如：「含有相同的字母，並且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。」這個概念中，可抓住「相同」這一關鍵字作分析：出現了幾次相同？相同的是什麼？又如「最簡二次根式」的概念中，要抓住滿足的兩個條件這些關鍵字眼。
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只有學生真正理解了概念，那麼在解決問題的時候，才能得心應手，不會出現錯誤。
2.弄清概念的內涵和外延。數學概念的內涵反映了數學對象的本質屬性，外延是數學概念所有對象的總和，對概念的深化必須從概念的內涵和外延上作深入的分析。剖析概念的內涵就是抓住概念的本質特徵。例如教學正方形的概念時，已學過平行四邊形、矩形、菱形的概念，教學時可通過對正方形與矩形、菱形的概念作比較分析，發現正方形概念的內涵中包括矩形和菱形概念的內涵，從而在外延關繫上得出正方形是特殊的矩形和菱形，而它們又都是特殊的平行四邊形。從對正方形概念的教學，轉向對平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的區別及其聯系的分析，進而把平行四邊形的知識系統化了。教學中注意引導學生從概念的內涵和外延上加以區別，找出它們的異同點，不僅有利於學生掌握數學概念，也有助於培養學生思維的廣闊性，提高學生的辯證思維能力。
3.剖析變化，深化概念。數學概念都是從正面闡述，一些學生只從表面文字上理解，碰到具體的數學問題卻難以做出正確的判斷。所以在學生正面認識概念的基礎上，可通過反例或變式從反面剖析數學概念，凸顯隱蔽的本質要素，加深對概念理解的全面性。有些學生對概念的全面理解不可能一蹴而就，而是要經歷「實踐——認識——再實踐——再認識」的過程，通過對後續知識的學習回過頭來再對概念進行加深理解，遵循「循環反復，螺旋上升」的學習原則。
三、注重概念的運用，升華概念
例如，對一次函數概念的掌握，可通過下列練習：
①如果y=(m+3)x-5是關於x的一次函數，則m=()。
②如果y=(m+3)x-5是關於x的一次函數，則m=()。
③如果y=(m+3)x+4x-5是關於x的一次函數，則m=()。
學習數學概念的目的，就是用於實踐，因此要讓學生通過實際操作去掌握概念、升華概念。概念的獲得是由個別到一般，概念的應用則是從一般到個別。學生掌握概念不是靜止的，而是主動在頭腦中進行積極思維的過程，它不僅能使已有知識再一次形象化、具體化，而且能使學生對概念的理解更全面、更深刻。
四、利用先進教學手段，使抽象概念具體化
有些數學概念對學生來說抽象難懂，是教學中的難點。而利用多媒體計算機的優勢，使教學的表現形式更加形象生動，既有利於提高學生學習的積極性，又充分揭示了數學概念的形成與發展。例如學習兩圓的位置關系時，通過多媒體的演示，讓學生對抽象的概念有了更直觀的體驗與認識。
數學概念教學對整個數學教學起著至關重要的作用，學生透徹牢固地掌握概念是提高教學質量的關鍵。在平時的概念教學中應嘗試運用不同的教學方法，揭示概念的形成與發展，做好概念的鞏固和應用，完善學生的認知結構，發展學生的思維能力，使不同的人在數學上得到不同的發展。
D. 數學概念教學的三要素
一、數學概念教學要求概念引入的直觀性（引入原生態概念）
數學概念的抽象性決定了數學概念教學中直觀引入這個關鍵的第一步（僅以函數概念教學為例），它將有助於形成概念的基礎。引入的設計、組織的好壞，將直接影響到教學活動的順利與否，影響到學生在教師提供的感性材料中分析、比較、感知數學概念，影響到數學概念的形成。基於數學概念的抽象性，教學中應該寓數學概念於生活之中，在教學中以生活實際例子引入，利用學生的生活實際經驗、學生的生活熟悉事物，遵照「實例---感知---抽象---認知」的基本路線，完成對函數的基本感受和初步認識。問題情景是基本素材和基本手段，教師的點播和啟發是基本方法，學生的思考是主要活動。通過學生的思考，初步感受生活中數學概念的原型。在引入這個環節，實例的直觀性，相近性，體現的是返璞歸真，自然過渡，突出的是「數學源於生活而高於生活」的本色。
二、數學概念教學要求概念形成的時效性（形成抽象概念）
以適量和適度的生活中原型為載體，猶如一種刺激模式，在教師的引導、啟發下，讓學生進行充分的觀察、分析、比較的初步感知活動，並能從中歸納總結出這些原型的共同屬性，在不知不覺中經歷、潛移默化中「看到」概念的形成過程。此時，呼之欲出的是數學概念的數學本質和抽象表述。低起點，緩坡度的要求在這里是必須的。因此，教學中需要的是穩定，需要的是不操之過急，需要的是將引入的問題情境做進一步的引申。讓數學概念來得及時，來得有效。讓函數概念的數學本質變得不那麼抽象難懂，不那麼枯燥乏味，變得比較直觀，變得讓學生能初步感受到，初步摸得著。
三、數學概念教學要求概念深化的准確性
數學概念的初步形成，體現的是從一般到特殊的抽象過程，這個過程中形成的數學概念，學生未必真正明白，基本是處於一種一知半解狀態。因此，將數學概念深化也就成為了教學中第三個重要環節。通過深化，必將豐富、加深、鞏固學生對數學概念的理解和掌握，同時在加深的過程中，有利於培養學生思維的深刻性、敏捷性、創造性和批判性，並能加強學生的各種能力。
E. 談談數學概念教學應注意哪些問題
一、注重概念的本源，概念產生的基礎
每一個概念的產生都有豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念是傳統教學模式中司空見慣的做法，這種做法常常使學生感到茫然，丟掉了培養學生概括能力的極好機會。由於概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規定性，傳統教學中往往比較重視培養思維的邏輯性和精確性，在方式上以「告訴」為主讓學生「佔有」新概念，置學生於被動地位，使思維呈依賴，這不利於創新型人才的培養。「學習最好的途徑是自己去發現」。學生如能在教師創設的情景中像數學家那樣去「想數學」，「經歷」一遍發現、創新的過程，那麼在獲得概念的同時還能培養他們的創造精神。由於概念教學在整個數學教學中起著舉足輕重的作用，我們應重視在數學概念教學中培養學生的創造性思維。引入是概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想像，讓學生經歷數學家發現新概念的最初階段。牛頓曾說：「沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。」猜想作為數學想像表現形式的最高層次，屬於創造性想像，是推動數學發展的強大動力，因此，在概念引入時培養學生敢於猜想的習慣，是形成數學直覺，發展數學思維，獲得數學發現的基本素質，也是培養創造性思維的重要因素。
例如，在立體幾何中異面直線距離的概念，傳統的方法是給出異面直線公垂線的概念，然後指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。教學可以先讓學生回顧一下過去學過的有關距離的概念，如兩點之間的距離，點到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導學生思考這些距離有什麼特點，發現共同的特點是最短與垂直。然後，啟發學生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什麼特徵？於是經過共同探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，並通過實物模型演示確認這樣的線段存在，在此基礎上，自然地給出異面直線距離的概念。這樣做，不僅使學生得到了概括能力的訓練，還嘗到了數學發現的滋味，認識到距離這個概念的本質屬性。
二、概念的教學中注重思維品質的培養
如何設計數學概念教學，如何在概念教學中有效地培養和開發學生的思維品質，是我們在教學中經常遇到並必須解決的問題。本文試圖以「兩條異面直線所成的角」一課的教學設計為例，談談概念教學中各個階段上培養思維能力，優化思維品質的一點粗淺體會。
1．展示概念背景，培養思維的主動性，思維的主動性，表現為學生對數學充滿熱情，以學習數學為樂趣，在獲得知識時有一種愜意的滿足感。（正方體為例觀察異面直線）揭示了異面直線所成的角出現的背景，將數學家的思維活動暴露給學生，使學生沉浸於對新知識的期盼、探求的情境之中，積極的思維活動得以觸發。
2．創設求知情境，培養思維的敏捷性思維的敏捷性表現在思考問題時，以敏銳地感知，迅速提取有效信息，進行「由此思彼」的聯想，果斷、簡捷地解決問題。（如何刻劃兩異面直線的相對位置呢？角和距離?揭示課題）。
3．精確表述概念，培養思維的准確性思維的准確性是指思維符合邏輯，判斷准確，概念清晰。新概念的引進解決了導引中提出的問題。學生自己參與形成和表述概念的過程培養了抽象概括能力（用相交直線的夾角刻劃異面直線的夾角）。
4．解剖新概念，培養思維的縝密性思維的縝密性表現在抓住概念的本質特徵，對概念的內涵與外延的關系全面深刻地理解，對數學知識結構的嚴密性和科學性能夠充分認識。（兩異面直線所成角的概念完全建立），在這個過程中滲透了把空間問題轉化為平面問題這一化歸的數學思想方法。
5．運用新概念，培養思維的深刻性。思維的深刻性主要表現在理解能力強，能抓住概念、定理的核心及知識的內在聯系，准確地掌握概念的內涵及使用的條件和范圍。在用概念判別命題的真偽時，能抓住問題的實質；在用概念解題時，能抓住問題的關鍵。鞏固深化階段：在學生深刻理解數學概念之後，應立即引導學生運用所學概念解決「引入概念」時提出的問題（或其他問題），在運用中鞏固概念。使學生認識到數學概念，既是進一步學習數學理論基礎，又是進行再認識的工具。如此往復，使學生的學習過程，成為實踐?認識?再實踐?再認識的過程，達到培養思維深刻性的目的。
6．分析錯解成因，培養思維的批判性。思維的批判是指思維嚴謹而不疏漏，能准確地辨別和判斷，善於覓錯、糾錯，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動。深化階段：對數學概念的理解要防止片面性。除在運用概念時，用典型的例子從正面加深對概念的理解、鞏固概念之外，還應針對?某些概念的定義中有些關鍵性的字眼不易被學生所理解，容易被忽視；某些概念的條件比較多，學生常顧此失彼，不易全面掌握；某些概念與它的鄰近概念相似，不易區別等等。我們還可以舉反例，從反面來加深學生對概念的內涵與外延的理解，培養思維的批判性。
當然，針對概念的特點我們要採用靈活的教學方法。我們應當在對不同概念的教學,在採用不同的教學方法和模式上下工夫。概念教學主要是要完成概念的形成和概念的同化這兩個環節。新知識的概念是學生初次接觸或較難理解的，所以在教學時應先列舉大量具體的例子，從學生實際經驗的肯定例證中，歸納出這一類事物的特徵，並與已有的概念加以區別和聯系，形成對這一特性的一種陳述性的定義，這就是形成一種概念的過程。在這一過程中同時要做到與學生認知結構中原有概念相互聯系、作用，從而領會新概念的本質屬性，獲得新概念，這就是概念的同化。在進行數學概念教學時，最能有效促進學生思維能力的主要是對實例的歸納及辨析。通過對實例的歸納和辨析對新問題的特性形成陳述性的理解，繼而與原有的知識結構相互聯系，完成概念教學的兩個環節。
F. 如何進行數學概念教學
如何進行數學概念的教學 數學是思維的科學，概念是思維的細胞，教好概念是教好數學的內在要求。概念教學搞不好，數學課程目標的實現就失去了根基。 李邦河院士指出，「數學根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！」因此，我們必須重視數學概念的教學。 然而，當前不重視概念教學是一個比較普遍的現象。「一個定義，三項注意」式的抽象講解，在學生對概念還沒有基本理解的時候就要求學生進行概念的綜合應用，許多教師甚至認為教概念不如多講幾道題目更「實惠」。更令人擔心的是，有些教師不知如何教概念。這一問題必須引起我們的充分重視。 從教育與發展心理學的觀點出發，概念教學的核心就是「概括」：將凝結在數學概念中的數學家的思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導學生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性、歸納得出數學概念等思維活動而獲得概念。數學教學要「講背景，講思想，講應用」，概念教學則要強調讓學生經歷概念的概括過程。由於「數學能力就是以數學概括為基礎的能力」，重視數學概念的概括過程對發展學生的數學能力具有重要的意義。 一般而言，概念教學應經歷以下7個基本環節： （1）背景引入； （2）通過典型、豐富的具體例證（必要時要讓學生自己舉例），引導學生開展分析、比較、綜合的活動； （3）概括共同本質特徵得到概念的本質屬性； （4）下定義（用准確的數學語言表達，可以通過看教科書完成）； （5）概念的辨析，即以實例（正例、反例）為載體，引導學生分析關鍵詞的含義，包括對概念特例的考察； （6）用概念作判斷的具體事例，這里要用有代表性的簡單例子，其目的是形成用概念作判斷的具體步驟； （7）概念的「精緻」，主要是建立與相關概念的聯系，形成功能良好的數學認知結構。 概念教學要盡量採用歸納式，給學生提供概括的機會。 比如： 「軸對稱」概念的教學。 本課安排在蘇科版教材八年級上冊。根據《數學課程標准》的要求，主要任務是通過具體實例認識軸對稱。由於沒有「對應點」概念，還不能以「對應點連線段的垂直平分線」定義對稱軸，學生只能憑觀察、操作找出對稱軸，因此本課的「數學味」較淡。如何才能將這樣的內容上出「數學味」？關鍵是要注意在學生現有認知水平基礎上提供概括機會，讓學生經歷從具體實例中歸納共同特徵，並讓學生從概念出發解釋自己操作的合理性。主要過程如下： 第1步，列舉生活中的對稱實例，抽象出軸對稱圖形，說明通過「沿某條直線對折」可使直線兩旁的部分相互重合，這里要注意例子的典型性、豐富性； 第2步，以問題「你能舉出與老師所舉例子具有相同結構的生活實例嗎」，引導學生舉出具有軸對稱形象的實例； 第3步，概括所舉例子的共同特徵——存在一條直線l，沿l對折，兩邊的圖形能夠重合； 第4步，下定義； 第5步，辨析概念的關鍵詞，即以正例、反例為載體，用變式推動概念的理解，如讓學生舉出常見的軸對稱圖形的例子並指出對稱軸，討論對稱軸可能有多少條等； 第6步，讓學生製作一個軸對稱圖形，並要求學生說出每一步驟的目的和依據，特別要問學生「為什麼要先折疊」，讓學生知道摺痕就是對稱軸。 這樣，圍繞軸對稱概念的核心——對稱軸，給學生更多的觀察、操作、用概念說理等機會，使學生形成「軸對稱圖形」和「對稱軸」的直觀感受，為後續探索軸對稱圖形的性質提供基礎。當然，這樣的內容不必用太多的課時，實際上，學生完全有能力更快地進入軸對稱圖形性質的討論。
G. 數學概念教學方法具體是什麼
數學概念是抽象化的空間形式和數量關系,是反映數學對象本質屬性的思維形式。數學概念也是數學基礎知識和基本技能的核心,它是理解、掌握其它數學知識的基礎,對培養學生的邏輯思維和靈活運用知識實現遷移的能力有重要的作用，在數學課堂中如何有效地實施概念教學,直接影響教學效果的提高。現結合數學概念教學的實踐,談幾點自己的認識與做法。
一、重視教學情境創設，實現概念引入的自然化
數學教材多是直接給定概念,教師應遵循高中數學新課標的要求,加強概念的引入,引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程。合理設置情境,使學生積極參與教學,了解知識發生、發展的背景和過程,使學生感受到學習的樂趣,這樣也能使學生加深對概念的記憶和理解。
1.以數學史話引入概念
教學中，適當引入與數學概念相關的故事，並巧妙處理，既可激發學習興趣，又可達到教育之目的。如教曲線方程時講講笛卡爾和費馬；學數列時講數學家高斯故事；講二項式定理時向學生介紹楊輝等。在故事引入的同時鼓勵學生勇於探索，培養他們愛科學、學科學、用科學的科學精神。
2.以實際問題引入概念
數學概念來源於實踐,又服務於實踐。從實際問題出發引入概念,使得抽象的數學概念貼近生活,使學生易於接受,還可以讓學生認識數學概念的實際意義,增強數學的應用意識。例如可從教室內牆面與地面相交,且二面角是直角的實際問題引入「兩個平面互相垂直」的概念。
3.利用學生探究實現概念的自然引入
以概念為基礎，以過程為導向，是概念教學的基本理念。讓學生在學習中發現問題，並通過一定的方式解決問題，這是新課程理念的最好體現。在概念教學過程中，教師應在學生現有的知識背景、能力水平和心理特點的基礎上，給學生提供適當的範例，引導學生對實例進行觀察、比較，對概念進行假設、驗證，從而獲得正確的概念。如在「異面直線距離」的概念教學時，不妨先讓學生回顧學過的有關距離的概念，如兩點間的距離、點到直線的距離、兩平行線間的距離，引導學生發現這些距離的共同特點是最短與垂直。然後啟發學生思考在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離最短？如果存在，有什麼特徵？經過探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，並通過實物模型演示確認這樣的線段存在。在此基礎上，自然地得到「異面直線距離」的概念。在引入過程中調動了學生積極性，培養了勇於發現，大膽探索的精神。
二、善於解剖概念，實現概念教學的深刻化
數學概念是為了解決數學問題，對概念理解不清，在解題時就會出現錯誤；對概念理解不透徹，常會遇到問題束手無策。要正確深刻地理解概念絕非易事，數學概念具有嚴密的科學性，因此概念教學應讓學生准確把握概念的內涵和外延，教師要根據學生的知識結構和能力特點，從多方面著手，適當引導學生剖析概念，抓住概念的實質。在教學中可以從以下幾個方面解剖概念：
1.強調概念中的關鍵詞語
如對函數概念中的「任何」與「唯一」要重點強調。然後舉例 ，前者可以稱 是 的函數，後者不能稱 是 的函數。因為對於任何一個 ,不是對應唯一 。這樣通過正反實例，強調概念中的關鍵詞語，更能加深概念的理解。
2.注重數學語言的翻譯
數學語言有文字語言、符號語言、圖形語言。符號語言有較強的概括性，更能反映概念的本質。如等差數列的概念可用符號「 」（ 為常數）概括。用定義證明一個數列是等差數列時，就是應用概念的符號語言。圖形語言則能更形象地反映概念的內容。如講「交集」概念時，用文氏圖表示「A B」，可以很容易理解概念。
3.注重相似概念的對比分析
有比較才有鑒別。用對比方法找出容易混淆的概念的異同點，有助於學生區分概念，獲取准確、明晰的認識。比如對分類計數原理與分步計數原理、排列與組合的概念，就可以通過概念對比，並結合實例的方式加深概念理解。
三、精心設計練習，實現概念教學的持續化
數學概念教學的主要目的是讓學生在理解概念的基礎上,運用知識解決數學問題,提高數學能力,全面提高學生素質。所以在練習設計上一定要精、針對性強,便於提高學生的能力。
1.加強應用概念中易錯原因剖析
很多概念本身就是解題方法。如「反函數」概念，就已經體現了反函數求法：「反解 」——「將 與 互換」——「標明反函數的定義域」（要通過原函數的值域來確定）。在反函數的求解中，學生常出現反函數定義域由反函數解析式本身確定而導致的錯誤。如果注意在解題中強化反函數概念以及它的由來，就可以避免這樣的錯誤了。
2.加強概念的逆用、變用，從中獲得解題方法
H. 中學數學概念教學的基本方式有哪些
一、情境引導,發現本質 概念是對研究對象的本質屬性的概括.而本質屬性的概括的過程是一個由感性到理性、由特殊到一般的思維過程,要使學生獲得清晰的概念,就要在概念教學中充分開展這樣一個過程.按照初中生的年齡特徵,要盡量聯系學生的實際生活經驗引入概念,讓學生在不知不覺中對概念潛移默化,而不是照本宣科,死記詞句.例如,在教學平面內點的直角坐標的概念時,實質上是建立在平面內點和有序實數對的一一對應關系基礎之上.我們可以藉助於學生們看電影時找座位等一些學生所熟悉的實例來引入課題,讓學生在無意識狀態下進入新的概念學習當中,而不是就書認書,硬背概念.當然,要注意這樣做的本身並不是目的,它只是實現教學目標的一種手段,是為了用形象的實例來探討研究對象的抽象本質屬性,因而應把精力放在如何把感性認識上升到理性認識這一過程上來.另外,生活實例並不等於數學概念,有的包括非本質屬性,而有的遺漏了某些本質屬性,因此教者在舉例時必須切實,防止學生對概念的曲解,走向另一個極端. 此外,在概念的教學過程中,要在概念的系統中形成概念,而不是突如其來地灌給學生.從原有的概念基礎上引入,既要注意從學生已有的知識的基礎上引入新概念,又要充分揭示新知識與舊概念的矛盾,使學生認識到舊概念的局限性,學習新概念的必要性.這就要求我們教者在教學前要很好地分析新概念在概念系統中的位置.例如,算術根在教材中的位置,它的前面是方根,後面是根式.它是為了便於研究根式的性質和進行根式的運算,因為正數的平方根有兩個值,它們互為相反數.因此研究二次根式的性質只要研究算術平方根的性質就可以了.算術根是為了解決實數范圍內方根運算的可行和單值而出現的,從而為研究根式鋪平了道路,它在概念系統中起到了承上啟下的作用. 二、呈現定義,促進理解 概念的定義是我們所研究對象的本質屬性的概括,措辭更是精煉,每個字詞都有其重要的作用.為了深刻領會概念的含義,教師不僅要注意對概念論述時用詞的嚴密性和准確性,同時還要及時糾正某些不當及概念認識上的錯誤,這樣有利於培養學生嚴密的邏輯思維習慣,逐步養成對定義的深入鑽研,逐字逐句加以分析,認真推敲的良好習慣. 例如,在講解等腰三角形概念時,一定要強調概念中的有兩條邊相等的「有」字,而不是只有兩條邊相等的「只有」二字.前面的有兩條邊相等包括了兩種情況：一是只有兩條邊相等的等腰三角形,即腰與底不相等的等腰三角形；二是三條邊相等的等腰三角形又叫等邊三角形,而後面的僅僅涉及到一種情況,排除了等邊三角形也是等腰三角形的這一特殊情況.又如,「a、b、c不全等於零」和「a、b、c全不等於零」,這兩條定義字詞都一樣,只是位置不同,但意義截然不同.再如,不在同一直線上的三點確定一個圓,若改寫成三點確定一個圓,得出一個新命題,它既包括了三點在同一直線上也包括了三點不在同一直線上的兩種情形,而在同一直線上的三點不可能確定一個圓,即圓上任意三點都不在同一直線上.故將不在同一直線上三點確定一個圓寫成三點確定一個圓是不成立的.因此,在講述此概念時應突出「不在同一直線上」這句話. 三、新舊聯系,正反對照 有些概念單純地講學生難以接受,難以掌握.但是把某些相關或相對的概念放在一起進行類比、對照,使學生既了解它們之間的聯系又注意到它們的區別,會使學生茅塞頓開,另闢蹊徑.兩個概念之間的關系,可分為相容和不相容兩種,相容又可分為同一、交叉和從屬三種關系.例如,正整數和自然數是同一關系,平方根和算術平方根是從屬關系,方根和根式是交叉關系,矩形和菱形是交叉關系,平行四邊形和梯形是不相容關系.又如：講「仰角」和「俯角」時,將這兩個概念進行對照比較,就不難區別誰是「仰角」,誰是「俯角」.再如,「圓心角」與「圓周角」,同學們已經知道了「圓心角」是頂點在圓心的角,由此及彼,大部分學生就可以得出「圓周角」的定義：頂點在圓上的角叫「圓周角」這又恰恰錯了.此時教師再將「圓周角」的定義敘述出來,學生就會覺得恍然大悟.這樣通過比較「圓心角」與「圓周角」的概念一目瞭然,清清楚楚. 對數學概念的深刻理解,是提高學生解題能力的基礎；反之,也只有通過解題,學生才能加深對概念的認識,才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內涵和外延.課本中直接運用概念解題的例子很多,教學中要充分利用.同時,對學生在理解方面易出錯誤的概念,要設計一些有針對性的題目,通過練習、講評,使學生對概念的理解更深刻、更透徹. 四、深入剖析,揭示本質 數學概念是數學思維的基礎,要使學生對數學概念有透徹清晰的理解,教師首先要深入剖析概念的實質,幫助學生弄清一個概念的內涵與外延.也就是從質和量兩個方面來明確概念所反映的對象.如,掌握垂線的概念包括三個方面：①了解引進垂線的背景：兩條相交直線構成的四個角中,有一個是直角時,其餘三個也是直角,這反映了概念的內涵.②知道兩條直線互相垂直是兩條直線相交的一個重要的特殊情形,這反映了概念的外延.③會利用兩條直線互相垂直的定義進行推理,知道定義具有判定和性質兩方面的功能.另外,要讓學生學會運用概念解決問題,加深對概念本質的理解.