微分方程的物理應用
1. 微分方程的具體應用,急
摘 要：介紹了電磁學計算方法的研究進展和狀態，對幾種富有代表性的演算法做了介紹，並比較了各自的優勢和不足，包括矩量法、有限元法、時域有限差分方法以及復射線方法等。
關鍵詞：矩量法；有限元法；時域有限差分方法；復射線方法
1 引 言
1864年Maxwell在前人的理論（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁極不存在）和實驗的基礎上建立了統一的電磁場理論，並用數學模型揭示了自然界一切宏觀電磁現象所遵循的普遍規律，這就是著名的Maxwell方程。在11種可分離變數坐標系求解Maxwell方程組或者其退化形式，最後得到解析解。這種方法可以得到問題的准確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有規則邊界的簡單問題。對於不規則形狀或者任意形狀邊界則需要比較高的數學技巧，甚至無法求得解析解。20世紀60年代以來，隨著電子計算機技術的發展，一些電磁場的數值計算方法發展起來，並得到廣泛地應用，相對於經典電磁理論而言，數值方法受邊界形狀的約束大為減少，可以解決各種類型的復雜問題。但各種數值計算方法都有優缺點，一個復雜的問題往往難以依靠一種單一方法解決，常需要將多種方法結合起來，互相取長補短，因此混和方法日益受到人們的重視。
本文綜述了國內外計算電磁學的發展狀況，對常用的電磁計算方法做了分類。
2 電磁場數值方法的分類
電磁學問題的數值求解方法可分為時域和頻域2大類。頻域技術主要有矩量法、有限差分方法等，頻域技術發展得比較早，也比較成熟。時域法主要有時域差分技術。時域法的引入是基於計算效率的考慮，某些問題在時域中討論起來計算量要小。例如求解目標對沖激脈沖的早期響應時，頻域法必須在很大的帶寬內進行多次采樣計算，然後做傅里葉反變換才能求得解答，計算精度受到采樣點的影響。若有非線性部分隨時間變化，採用時域法更加直接。另外還有一些高頻方法，如GTD，UTD和射線理論。
從求解方程的形式看，可以分為積分方程法（IE）和微分方程法（DE）。IE和DE相比，有如下特點：IE法的求解區域維數比DE法少一維，誤差限於求解區域的邊界，故精度高；IE法適合求無限域問題，DE法此時會遇到網格截斷問題；IE法產生的矩陣是滿的，階數小，DE法所產生的是稀疏矩陣，但階數大；IE法難以處理非均勻、非線性和時變媒質問題，DE法可直接用於這類問題〔1〕。
3 幾種典型方法的介紹
有限元方法是在20世紀40年代被提出，在50年代用於飛機設計。後來這種方法得到發展並被非常廣泛地應用於結構分析問題中。目前，作為廣泛應用於工程和數學問題的一種通用方法，有限元法已非常著名。
有限元法是以變分原理為基礎的一種數值計算方法。其定解問題為：
應用變分原理，把所要求解的邊值問題轉化為相應的變分問題，利用對區域D的剖分、插值，離散化變分問題為普通多元函數的極值問題，進而得到一組多元的代數方程組，求解代數方程組就可以得到所求邊值問題的數值解。一般要經過如下步驟：
①給出與待求邊值問題相應的泛函及其變分問題。
②剖分場域D，並選出相應的插值函數。
③將變分問題離散化為一種多元函數的極值問題，得到如下一組代數方程組：
其中：Kij為系數（剛度）矩陣；Xi為離散點的插值。
④選擇合適的代數解法解式（2），即可得到待求邊值問題的數值解Xi（i＝1，2，…，N）
（2）矩量法
很多電磁場問題的分析都歸結為這樣一個運算元方程〔2〕：
L（f）＝g（3）其中：L是線性運算元，f是未知的場或其他響應，g是已知的源或激勵。
在通常的情況下，這個方程是矢量方程（二維或三維的）。如果f能有方程解出，則是一個精確的解析解，大多數情況下，不能得到f的解析形式，只能通過數值方法進行預估。令f在L的定義域內被展開為某基函數系f1，f2，f3，…，fn的線性組合：
其中：an是展開系數，fn為展開函數或基函數。
對於精確解式（2）通暢是無限項之和，且形成一個基函數的完備集，對近似解，將式 （2）帶入式（1），再應用運算元L的線性，便可以得到：
m＝1，2，3，…
此方程組可寫成矩陣形式f，以解出f。矩量法就是這樣一種將運算元方程轉化為矩陣方程的一種離散方法。
在電磁散射問題中，散射體的特徵尺度與波長之比是一個很重要的參數。他決定了具體應用矩量法的途徑。如果目標特徵尺度可以與波長比較，則可以採用一般的矩量法；如果目標很大而特徵尺度又包括了一個很大的范圍，那麼就需要選擇一個合適的離散方式和離散基函數。受計算機內存和計算速度影響，有些二維和三維問題用矩量法求解是非常困難的，因為計算的存儲量通常與N2或者N3成正比（N為離散點數），而且離散後出現病態矩陣也是一個難以解決的問題。這時需要較高的數學技巧，如採用小波展開，選取合適的小波基函數來降維等〔3〕。
（3）時域有限差分方法
時域有限差分（FDTD）是電磁場的一種時域計算方法。傳統上電磁場的計算主要是在頻域上進行的，這些年以來，時域計算方法也越來越受到重視。他已在很多方面顯示出獨特的優越性，尤其是在解決有關非均勻介質、任意形狀和復雜結構的散射體以及輻射系統的電磁問題中更加突出。FDTD法直接求解依賴時間變數的麥克斯韋旋度方程，利用二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉換為差分形式，這樣達到在一定體積內和一段時間上對連續電磁場的數據取樣壓縮。電場和磁場分量在空間被交叉放置，這樣保證在介質邊界處切向場分量的連續條件自然得到滿足。在笛卡兒坐標系電場和磁場分量在網格單元中的位置是每一磁場分量由4個電場分量包圍著，反之亦然。
這種電磁場的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然幾何結構。因此FDTD演算法是計算機在數據存儲空間中對連續的實際電磁波的傳播過程在時間進程上進行數字模擬。而在每一個網格點上各場分量的新值均僅依賴於該點在同一時間步的值及在該點周圍鄰近點其他場前半個時間步的值。這正是電磁場的感應原理。這些關系構成FDTD法的基本算式，通過逐個時間步對模擬區域各網格點的計算，在執行到適當的時間步數後，即可獲得所需要的結果。
在上述演算法中，時間增量Δt和空間增量Δx，Δy和Δz不是相互獨立的，他們的取值必須滿足一定的關系，以避免數值不穩定。這種不穩定表現為在解顯式 差分方程時隨著時間步的繼續計算結果也將無限制的67增加。為了保證數值穩定性必須滿足數值穩定條件：
其中：（對非均勻區域，應選c的最大值）〔4〕。
用差分方法對麥克斯韋方程的數值計算還會在網格中引起所模擬波模的色散，即在FDTD網格中數字波模的傳播速度將隨波長、在網格中的傳播方向以及離散化的情況而改變。這種色散將導致非物理原因引起的脈沖波形的畸變、人為的各向異性及虛擬的繞射等，因此必須考慮數值色散問題。如果在模擬空間中採用大小不同的網格或包含不同的介質區域，這時網格尺寸與波長之比將是位置的函數，在不同網格或介質的交界面處將出現非物理的繞射和反射現象，對此也應該進行定量的研究，以保證正確估計FDTD演算法的精度。在開放問題中電磁場將占據無限大空間，而由於計算機內存總是有限的，只能模擬有限空間，因此差分網格在某處必將截斷，這就要求在網格截斷處不引起波的明顯反射，使對外傳播的波就像在無限大空間中傳播一樣。這就是在截斷處設置吸收邊界條件，使傳播到截斷處的波被邊界吸收而不產生反射，當然不可能達到完全沒有反射，目前已創立的一些吸收邊界條件可達到精度上的要求，如Mur所導出的吸收邊界條件。
（4）復射線方法
復射線是用於求解波場傳播和散射問題的一種高頻近似方法。他根據幾何光學理論和幾何繞射理論的分析方法和計算公式，在解析延拓的復空間中求解復射線軌跡和場的振幅和相位，從而直接得出局部不均勻波（凋落波）的傳播和散射規律〔5〕。復射線方法是包括復射線追蹤、復射線近軸近似、復射線展開以及復繞射線等處理技術在內的一系列處理方法的統稱。其共同特點在於：通過將射線參考點坐標延拓到復空間而建立了一個簡單而統一的實空間中波束／射線束（Bundle ofrays）分析模型；通過費馬原理及其延拓，由基於復射線追蹤或復射線近軸近似的處理技術，構造了射線光學架構下有效的鞍點場描述方法等。例如，復射線追蹤法將射線光學中使用的射線追蹤方法和場強計算公式直接地解析延拓到復空間，利用延拓後的復費馬原理進行復射線搜索，從而求出復射線軌跡和復射線場。這一方法的特點在於可以基於射線光學方法有效地描述空間中波束的傳播，因此，提供了一類分析波束傳播的簡便方法。其不足之處是對每一個給定的觀察點必須進行一次二維或四維的復射線軌跡搜索，這是一個十分花費時間的計算機迭代過程。
4 幾種方法的比較和進展
將有限元法移植到電磁工程領域還是二十世紀六七十年代的事情，他比較新穎。有限元法的優點是適用於具有復雜邊界形狀或邊界條件、含有復雜媒質的定解問題。這種方法的各個環節可以實現標准化，得到通用的計算程序，而且有較高的計算精度。但是這種方法的計算程序復雜冗長，由於他是區域性解法，分割的元素數和節點數較多，導致需要的初始數據復雜繁多，最終得到的方程組的元數很大，這使得計算時間長，而且對計算機本身的存儲也提出了要求。對電磁學中的許多問題，有限元產生的是帶狀（如果適當地給節點編號的話）、稀疏陣（許多矩陣元素是0）。但是單獨採用有限元法只能解決開域問題。用有限元法進行數值分析的第一步是對目標的離散，多年來人們一直在研究這個問題，試圖找到一種有效、方便的離散方法，但由於電磁場領域的特殊性，這個問題一直沒有得到很好的解決。問題的關鍵在於一方面對復雜的結構，一般的剖分方法難於適用；另一方面，由於剖分的疏密與最終所形成的系數矩陣的存貯量密切相關，因而人們採用了許多方法來減少存儲量，如多重網格法，但這些方法的實現較為困難〔6〕。
網格剖分與加密是有限元方法發展的瓶頸之一，採用自適應網格剖分和加密技術相對來說可以較好地解決這一問題。自適應網格剖分根據對場量分布求解後的結果對網格進行增加剖分密度的調整，在網格密集區採用高階插值函數，以進一步提高精度，在場域分布變化劇烈區域，進行多次加密。
這些年有限元方法的發展日益加快，與其他理論相結合方面也有了新的進展，並取得了相當應用范圍的成果，如自適應網格剖分、三維場建模求解、耦合問題、開域問題、高磁性材料及具有磁滯飽和非線性特性介質的處理等，還包括一些尚處於探索階段的工作，如擬問題、人工智慧和專家系統在電磁裝置優化設計中的應用、邊基有限元法等，這些都使得有限元方法的發展有了質的飛躍。
矩量法將連續方程離散化為代數方程組，既適用於求解微分方程，又適用於求解積分方程。他的求解過程簡單，求解步驟統一，應用起來比較方便。然而 77他需要一定的數學技巧，如離散化的程度、基函數與權函數的選取，矩陣求解過程等。另外必須指出的是，矩量法可以達到所需要的精確度，解析部分簡單，可計算量很大，即使用高速大容量計算機，計算任務也很繁重。矩量法在天線分析和電磁場散射問題中有比較廣泛地應用，已成功用於天線和天線陣的輻射、散射問題、微帶和有耗結構分析、非均勻地球上的傳播及人體中電磁吸收等。
FDTD用有限差分式替代時域麥克斯韋旋度方程中的微分式，得到關於場分量的有限差分式，針對不同的研究對象，可在不同的坐標系中建模，因而具有這幾個優點，容易對復雜媒體建模，通過一次時域分析計算，藉助傅里葉變換可以得到整個同帶范圍內的頻率響應；能夠實時在現場的空間分布，精確模擬各種輻射體和散射體的輻射特性和散射特性；計算時間短。但是FDTD分析方法由於受到計算機存儲容量的限制，其網格空間不能無限制的增加，造成FDTD方法不能適用於較大尺寸，也不能適用於細薄結構的媒質。因為這種細薄結構的最小尺寸比FDTD網格尺寸小很多，若用網格擬和這類細薄結構只能減小網格尺寸，而這必然導致計算機存儲容量的加大。因此需要將FDTD與其他技術相結合，目前這種技術正蓬勃發展，如時域積分方程／FDTD方法，FDTD／MOM等。FDTD的應用范圍也很廣闊，諸如手持機輻射、天線、不同建築物結構室內的電磁干擾特性研究、微帶線等〔7〕。
復射線技術具有物理模型簡單、數學處理方便、計算效率高等特點，在復雜目標散射特性分析等應用領域中有重要的研究價值。典型的處理方式是首先將入射平面波離散化為一組波束指向平行的復源點場，通過特定目標情形下的射線追蹤、場強計算和疊加各射線場的貢獻，可以得到特定觀察位置處散射場的高頻漸進解。目前已運用復射線分析方法對飛行器天線和天線罩（雷達艙）、（加吸波塗層）翼身結合部和進氣道以及塗層的金屬平板、角形反射器等典型目標散射特性進行了成功的分析。盡管復射線技術的計算誤差可以通過參數調整得到控制，但其本身是一種高頻近似計算方法，由於入射波場的離散和只引入鞍點貢獻，帶來了不可避免的計算誤差。總的來說復射線方法在目標電磁散射領域還是具有獨特的優勢，尤其是對復
雜目標的處理。
5 結 語
電磁學的數值計算方法遠遠不止以上所舉，還有邊界元素法、格林函數法等，在具體問題中，應該採用不同的方法，而不應拘泥於這些方法，還可以把這些方法加以綜合應用，以達到最佳效果。
電磁學的數值計算是一門計算的藝術，他橫跨了多個學科，是數學理論、電磁理論和計算機的有機結合。原則上講，從直流到光的寬頻帶范圍都屬於他的研究范圍。為了跟上世界科技發展的需要，應大力進行電磁場的並行計算方法的研究，不斷拓廣他的應用領域，如生物電磁學、復雜媒質中的電磁正問題和逆問題、醫學應用、微波遙感應用、非線性電磁學中的混沌與分叉、微電子學和納米電子學等。
參考文獻
〔1〕 文舸一．計算電磁學的進展與展望〔J〕．電子學報，1995，23（10）：62-69.
〔2〕 劉聖民．電磁場的數值方法〔M〕．武漢：華中理工大學出版社，1991．
〔3〕 張成，鄭宏興．小波矩量法求解電磁場積分方程〔J〕．寧夏大學學報（自然科學版），2000，21（1）：76-79.
〔4〕 王長清．時域有限差分(FD-TD)法〔J〕．微波學報,1989,(4):8-18.
〔5〕 阮穎諍．復射線理論及其應用〔M〕．成都：電子工業出版社，1991．
〔6〕 方靜，汪文秉．有限元法和矩量法結合分析背腔天線的輻射特性〔J〕．微波學報，2000，16(2):139-143.
〔7〕 楊永俠，王翠玲．電磁場的FDTD分析方法〔J〕．現代電子技術,2001,(11):73-74.
〔8〕 洪偉．計算電磁學研究進展〔J〕．東南大學學RB （自然科學版），2002，32（3）：335-339.
〔9〕 王長清，祝西里．電磁場計算中的時域有限差分法〔M〕．北京：北京大學出版社，1994．
〔10〕 樓仁海，符果行，袁敬閎．電磁理論〔M〕．成都：電子科技大學出版社，1996．
2. 考研中微分方程的簡單應用涉及物理知識嗎
同濟大學六版高等數學 上冊第一章函數與極限 第十節三、一致連續性 不考第二章導數與微分 第四節二、由參數方程所確定的函數的導學 數三不考;第五節四、微分在近似計算中的應用 不考第三章微分中值定理與導數的應用第七節曲率 數三不考第八節方程的近似解不考一、二分法(178) 二、切線法(179) 不考第四章不定積分第五節積分表的使用 不考第五章定積分第五節反常積分的審斂法 函數 函數朝綱要掌握第六章定積分的應用第二節三、平面曲線的弧長 數一數二考第三節定積分在物理學上的應用 數一數二考第七章第三節齊次方程 二、可化為齊次的方程 不考第四節二、伯努利方程 數一考第五節可降階的高階微分方程 數一數二考第六節高階線性微分方程三、常數變易法 不考第九節歐拉方程 數一考第十節常系數線性微分方程組解法舉例 不考同濟大學六版高等數學 上冊第一章函數與極限 第十節三、一致連續性第二章導數與微分 第四節二、由參數方程所確定的函數的導學 數三不考;第五節四、微分在近似計算中的應用 不考第三章微分中值定理與導數的應用第七節曲率 數三不考第八節方程的近似解 不考一、二分法(178) 二、切線法(179) 不考第四章不定積分第五節積分表的使用 不考第五章定積分第五節反常積分的審斂法 函數 函數朝綱要掌握第六章定積分的應用第二節三、平面曲線的弧長 數一數二考第三節定積分在物理學上的應用 數一數二考第七章第三節齊次方程 二、可化為齊次的方程 不考第四節二、伯努利方程 數一考第五節可降階的高階微分方程 數一數二考第六節高階線性微分方程三、常數變易法 不考第九節歐拉方程 數一考第十節常系數線性微分方程組解法舉例 不考同濟大學高等數學第六版 下冊第八章空間解析幾何與向量代數 數一考第九章多元函數微分的基本概念第三節全微分二、全微分在近似計算中的應用 不考第六節多元函數微分學的幾何應用 數一考第七節方向導數與梯度 數一考第九節二元函數的泰勒公式(非重點)數一考一、二函數的泰勒公式(119)二、極值充分條件的證明 非重點第十節最小二乘法 不考第十章重積分第二節三、二重積分的換元法 不考第三節三重積分 數一考第四節重積分的應用 數一考第五節含參變數的積分 不考總習題十 數一考第十二章無窮級數 數一數三考第一節常數項級的概念和性質 數一數三考第二節常數項級數的審斂法 數一數三考第三節冪級數 數一數三考第四節函數展開成冪級數數 一考第五節函數的冪級數展開式的應用 不考第六節函數項級數的一致收斂性及一致收斂級數的基本性質 不考第七節傅里葉級數 數一考第八節一般周期函數的傅里葉級數 數一考
微分方程廣泛應用於物理、增長率、RLC電路問題、經濟等各個方面
4. 微分方程的應用有哪些
在生物學及經濟學中，微分方程用來作為復雜系統的數學模型。微分方程的數學理論最早是和方程對應的科學領域一起出現，而微分方程的解就可以用在該領域中。不過有時二個截然不同的科學領域會形成相同的微分方程，此時微分方程對應的數學理論可以看到不同現象後面一致的原則。
例如考慮光和聲音在空氣中的傳播，以及池塘水面上的波動，這些都可以用同一個二階的偏微分方程來描述，此方程即為波動方程，因此可以將光和聲音視為一種波，和水面上的水波有些類似之處。
約瑟夫·傅立葉所發展的熱傳導理論，其統御方程是另一個二階偏微分方程－熱傳導方程式，擴散作用看似和熱傳導不同，但也適用同一個統御方程，而經濟學中的布萊克-休斯方程也和熱傳導方程有關。
(4)微分方程的物理應用擴展閱讀：
微分方程相關概念：
常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩定性的研究、化學反應過程穩定性的研究等。
這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題。應該說，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待於進一步的發展，使這門學科的理論更加完善。
5. 高等數學微分方程物理應用問題
6. 微分方程的物理應用，請問10+t是如何來的，及該題如何理解
y(x)=∫(0,x) y(t)dt+x+1,y(0)=1
兩邊求導得y'=y+1
即dy/dx=y+1
分離變數
dy/(y+1)=dx
兩邊積分
∫dy/(y+1)=∫dx
得ln(y+1)=x+C1
通解：y+1=Ce^x
初始條件y(0)=1，得C=2
所以y(x)=2e^x-1
7. 微分方程物理應用問題！！！
電感是一種特殊的電路元件，由導線密繞而成，其特點是可以減慢電路中電流大小的變化速度，也就是減小電流大小對時間的一階導數即dI/dt， dI/dt指的是電流大小歲時間變化的速度。
電感的單位 H 亨利 , 就是反映這種阻礙變化的能力的量度，電感兩端的電壓與通過其的電流滿足U=L*dI/dt，再由全電路的歐姆定律，E(電源)=U（電阻）+U（電感），可以得出一個微分方程，解出來就可以了！
8. 微分方程在幾何和物理上有什麼應用
樓主搜熱傳導方程、波動方程、泊松方程 此乃物力學三大經典微分方程。